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解直角三角形 单元同步培优卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则cosα的值是（ ）
A． B． C． D．
2．cos60° 的值等于（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在正方形网格中，的顶点都在格点上，则（ ）
A． B． C． D．
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列关系式中错误的是（ ）
A．b=c cosB B．b=a tanB C．a=c sinA D．a=b cotB
5．cos45°的值等于（ ）
A． B． C． D．
6．如图，∠1的正切值为（ ）
A． B． C．3 D．2
7．如图，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆．已知观测点到旗杆的距离，测得旗杆的顶部的仰角，旗杆底部的俯角，那么，旗杆的高度是（ ）
A．m B．m C．m D．m
8．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，，BC＝44cm，则高AD约为（ ）（参考数据：，，）
A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm
9．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为a，米，则树高为（ ）
A．米 B．米 C．米 D． 米
10．如图，一架人字梯，若，梯子离地面的垂直距离为2米，与地面的夹角为，则两梯脚之间的距离为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，则sin∠ACB的值为 ．
12．如图，某城市的电视塔AB坐落在湖边，数学老师带领学生隔湖测量电视塔AB的高度，在点M处测得塔尖点A的仰角∠AMB为22.5°，沿射线MB方向前进200米到达湖边点N处，测得塔尖点A在湖中的倒影A′的俯角∠A′NB为45°，则电视塔AB的高度为 米（结果保留根号）．
13．如图甲、乙两艘船同时从港口
A 出发，甲船沿北偏东45°的方向前进，乙船沿北偏东75°方向以每小时30海里的速度前进，两船航行两小时分别到达B，C处，此时测得甲船在乙船的正西方向，则此时甲、乙两船之间的距离是 海里．
14．如果α是锐角，且tanα=cot20°，那么α= 度．
15．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC= ，则sin = ．
16．如图，四边形ABCD中，AB//CD，AC⊥BC，∠DAB=60°，AD=CD=4，点M是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD=90°，则△MBC面积的最小值为 。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，某渔船沿正东方向以10海里/时的速度航行，在A处测得岛在北偏东的方向，1小时后渔船航行到处，测得岛在北偏东方向，已知该岛周围9海里内有暗礁.
（1）处离岛有多远
（2）如果渔船继续向东航行，有无触礁危险
（3）如果渔船在处改为向东偏南方向航行，有无触礁危险
参考数据：.
18．如图，飞机在一定高度上沿水平直线飞行，先在点A处测得正前方小岛C的俯角为30°，面向小岛方向继续飞行10km到达B处，发现小岛在其正后方，此时测得小岛的俯角为45°，如果小岛高度忽略不计，求飞机飞行的高度（结果保留根号）．
19．如图，斜坡AB的坡度为1：2.4，长度为26m，在坡顶B所在的平台上有一座电视塔CD，已知在A处测得塔顶D的仰角为45°，在B处测得塔顶D的仰角为73°，求电视塔CD的高度．
（参考数值：sin73°≈ ，cos73°≈0. ，tan73°≈ ）
20．如图，某海域有两个海岛 ， ，海岛 位于海岛 的正南方向，这两个海岛之间有暗礁，灯塔 位于海岛 的南偏东47.5°方向，海岛 的北偏东70°方向，一艘海轮从海岛 出发，沿正南方向航行32海里到达 处，测得灯塔 在北偏东37°方向上.求海岛 ， 之间的距离.（参考数据： ， ， ）
21．如图1，某人的一器官后面A处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离（图1）．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离方案如下：
课题 检测新生物到皮肤的距离
工具 医疗仪器等
示意图
说明 如图2，新生物在A处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠DBN；再在皮肤上选择距离B处9cm的C处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠ECN．
测量数据 ∠DBN＝35°，∠ECN＝22°，BC＝9cm
请你根据上表中的测量数据，计算新生物A处到皮肤的距离．（结果精确到0.1cm）
（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）
22．先化简，再求代数式 的值，其中 ．
23．已知cos45°=，求cos21°+cos22°+…+cos289°的值．
24．在平行四边形中，，，，点是上一点．，从点E出发，沿折线以每秒3个单位长度的速度运动，到D停止．连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段．连接．设点P的运动时间为t秒．
（1）用表示线段的长度；
（2）连接，求的值；
（3）当点在平行四边形的对角线上时，求的值；
（4）连接．当分线段为的两部分时，直接写出t的值．
25．如图1，线段，为中点，是平面上异于的任一动点，且满足，若点和点在直线的同侧，且，并始终有，连接．
（1）如图2，若，求线段的长；
（2）若将线段三等分，求线段的长；
（3）直接写出线段长度的取值范围．
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解直角三角形 单元同步培优卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则cosα的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【分析】如图所示：
∵AC=3，BC=4，
∴AB=5，
∴cosα=．
故选：D．
2．cos60° 的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：cos60°=
故答案为：A．
【分析】直接根据特殊角的三角函数值进行计算即可．
3．如图，在正方形网格中，的顶点都在格点上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴；
故选：B．
【分析】先利用分别求出AB，BC，AC，再利用逆定理推出为等腰直角三角形，从而得出，然后利用正弦进行求解．
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列关系式中错误的是（ ）
A．b=c cosB B．b=a tanB C．a=c sinA D．a=b cotB
【答案】A
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
则cosA=，sinA=，
tanB=，cosB=，
tanA=，cotA=；
因而b=ccosA=atanB，
a=csinA=ccosB=btanA= ，
错误的是b=c cosB．
故选A．
【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解即可．
5．cos45°的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解答：cos45°=
故选B．
分析： 将特殊角的三角函数值代入求解．
6．如图，∠1的正切值为（ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】A
【解析】【解答】解：根据圆周角的性质可得：∠1=∠2．
∵tan∠2=，
∴∠1的正切值等于 ．
故选A．
【分析】根据同弧所对的圆周角相等，可以把求三角函数的问题，转化为直角三角形的边的比的问题．
7．如图，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆．已知观测点到旗杆的距离，测得旗杆的顶部的仰角，旗杆底部的俯角，那么，旗杆的高度是（ ）
A．m B．m C．m D．m
【答案】D
【解析】【解答】解：在中，有（），
在中，有（），
∴（）．
故答案为：D．
【分析】根据正切定义可得BE，AE，再根据边之间的关系即可求出答案.
8．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，，BC＝44cm，则高AD约为（ ）（参考数据：，，）
A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm
【答案】B
【解析】【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的高，
∴，
∵BC＝44cm，
∴cm.
∵△ABC，AB＝AC，，
∴.
∵AD为BC边上的高，，
∴在中，
，
∵，cm，
∴cm.
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的性质可得DC=BC=22cm，∠ACB=∠ABC=27°，然后根据三角函数的概念就可求出AD.
9．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为a，米，则树高为（ ）
A．米 B．米 C．米 D． 米
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴
故答案为：C
【分析】在中，根据锐角三角函数的定义即可求出答案.
10．如图，一架人字梯，若，梯子离地面的垂直距离为2米，与地面的夹角为，则两梯脚之间的距离为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】D
【解析】【解答】解：过点A作，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴米，
∴米，故D正确．
故答案为：D
【分析】过点A作，进而根据等腰三角形的性质得到，再结合题意解直角三角形即可求解。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，则sin∠ACB的值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：
设小正方形的边长为1，
则由勾股定理得：BC= =5，AC= = ，
∵S△ABC=S△BDC﹣S正方形EAFD﹣S△AFC﹣S△BEA= ﹣1×1﹣ ﹣ = ，
∴ = ，
∴AN=1，
∴sin∠ACB= = = ，
故答案为： ．
【分析】根据勾股定理，可得BC、AC的长，求出△ABC的面积，求出高AN，解直角三角形求出即可．
12．如图，某城市的电视塔AB坐落在湖边，数学老师带领学生隔湖测量电视塔AB的高度，在点M处测得塔尖点A的仰角∠AMB为22.5°，沿射线MB方向前进200米到达湖边点N处，测得塔尖点A在湖中的倒影A′的俯角∠A′NB为45°，则电视塔AB的高度为 米（结果保留根号）．
【答案】100
【解析】【解答】解：如图，连接AN，
由题意知，BM⊥AA'，BA=BA'
∴AN=A'N，
∴∠ANB=∠A'NB=45°，
∵∠AMB=22.5°，
∴∠MAN=∠ANB﹣∠AMB=22.5°=∠AMN，
∴AN=MN=200米，
在Rt△ABN中，∠ANB=45°，
∴AB= AN=100 （米），
故答案为100 ．
【分析】根据垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点与线段的两个端点的距离相等，得到AN=A'N，再根据勾股定理求出AB的值.
13．如图甲、乙两艘船同时从港口
A 出发，甲船沿北偏东45°的方向前进，乙船沿北偏东75°方向以每小时30海里的速度前进，两船航行两小时分别到达B，C处，此时测得甲船在乙船的正西方向，则此时甲、乙两船之间的距离是 海里．
【答案】
【解析】【解答】
解：如图，过点C作CD⊥AB，交AB延长线于点D，
∴∠CDB=90°，
∵甲船沿北偏东45°的方向前进，
∴∠NAB=45，
∵乙船沿北偏东75°的方向前进，
∴∠NAC=75，
∴∠BAC=75°-45°=30°
∵B在C的正西方向，
∴∠ACB=90°-75°=15°，
∴∠CBD=∠BAC+∠ACB=45°，
∵AC=2×30=60，
∴CD= AC=30，
∴BC= ．
【分析】先求出∠NAC=75，再求出∠CBD=∠BAC+∠ACB=45°，最后利用勾股定理计算求解即可。
14．如果α是锐角，且tanα=cot20°，那么α= 度．
【答案】70
【解析】【解答】解：∵tanα=cot20°，
∴∠α+20°=90°，
即∠α=90°﹣20°=70°．
故答案为70．
【分析】根据一个角的正切值等于它的余角的余切值即可求解．
15．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC= ，则sin = ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵sinA= = ，
∴∠A=60°，
∴sin =sin30°= ．
故答案为： ．
【分析】根据∠A的正弦求出∠A=60°，再根据30°的正弦值求解即可．
16．如图，四边形ABCD中，AB//CD，AC⊥BC，∠DAB=60°，AD=CD=4，点M是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD=90°，则△MBC面积的最小值为 。
【答案】6﹣4
【解析】【解答】解：取AD的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于E，过点O作OF⊥BC于F，交CD于G，则．
∵∠AMD＝90°，AD＝4，OA＝OD，
∴OMAD＝2，
∵AB∥CD，
∴∠GCF＝∠B＝60°，
∴∠DGO＝∠CGF＝30°，
∵AD＝BC，
∴∠DAB＝∠B＝60°，
∴∠ADC＝120°，
∴∠DOG＝30°＝∠DGO，
∴DG＝DO＝2，
∵CD＝4，
∴CG＝2，
∴OG＝2OD cos30°＝2，GF，OF＝3，
∴ME≥OF﹣OM＝32，
∴当O，M，E共线时，ME的值最小，最小值为32．
在Rt△ABC中，
∴ △MBC面积的最小值为
故答案为：6﹣4.
【分析】取AD的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于E，过点O作OF⊥BC于F，交CD于G，则，当O，M，E共线时，ME的值最小，最小值为32，在Rt△ABC中，，所以 △MBC面积的最小值为
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，某渔船沿正东方向以10海里/时的速度航行，在A处测得岛在北偏东的方向，1小时后渔船航行到处，测得岛在北偏东方向，已知该岛周围9海里内有暗礁.
（1）处离岛有多远
（2）如果渔船继续向东航行，有无触礁危险
（3）如果渔船在处改为向东偏南方向航行，有无触礁危险
参考数据：.
【答案】（1）解：如图，
根据题意，得∠CAB=90°-60°=30°，∠CBE=90°-30°=60°，AB=10，
∵∠CBE=∠CAB+∠ACB，
∴∠ACB=60°-30°=30°，
∴∠ACB=∠CAB，
∴BC=AB=10，即B处离岛C有10海里；
（2）解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
∴∠BDC=90°，
∵，BC=10，
∴，
∵，
∴如果渔船继续向东航行，有触礁危险；
（3）解：如图，过点C作CG⊥BF于G，
∴∠BGC=90°，
∵∠CBE=60°，∠EBF=15°，
∴∠CBG=60°+15°=75°，
∵，BC=10，
∴，
∵9.66>9，
∴如果渔船在处改为向东偏南方向航行，无触礁危险.
【解析】【分析】（1）根据题意求出∠CAB=30°，∠CBE=60°，AB=10，利用三角形外角的性质得∠CBE=∠CAB+∠ACB，从而求出∠ACB=∠CAB=30°，进而根据“等角对等边”得BC=AC=10；
（2）过点C作CD⊥AB于点D，得∠BDC=90°，然后解直角三角形求出CD的值，最后进行比较即可求解；
（3）过点C作CG⊥BF于G，得∠BGC=90°，然后求∠CBG=75°，接下来接直角三角形求出CG的值，最后进行比较即可求解.
18．如图，飞机在一定高度上沿水平直线飞行，先在点A处测得正前方小岛C的俯角为30°，面向小岛方向继续飞行10km到达B处，发现小岛在其正后方，此时测得小岛的俯角为45°，如果小岛高度忽略不计，求飞机飞行的高度（结果保留根号）．
【答案】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D.
设CD=x，∵∠CBD=45°，∴BD=CD=x.
在Rt△ACD中，∵tan ，
∴ ，
由AD+BD=AB可得 x+x=10，解得x=5 ﹣5
答：飞机飞行的高度为（5 ﹣5）km
【解析】【分析】过点C做CD⊥AB，根据题意可以设BD=CD为x，根据∠ACD为30°，列出AD的关系式，根据AD+BD=AB列出方程求解即可。
19．如图，斜坡AB的坡度为1：2.4，长度为26m，在坡顶B所在的平台上有一座电视塔CD，已知在A处测得塔顶D的仰角为45°，在B处测得塔顶D的仰角为73°，求电视塔CD的高度．
（参考数值：sin73°≈ ，cos73°≈0. ，tan73°≈ ）
【答案】解：延长DC 交AM于F，作BE⊥AM于E．
∵DF⊥BC，DF⊥AM，
∴∠AEB=∠AFD=∠DCB=∠BCF=90°，
∴四边形BCEF是矩形，
∴BC=EF，BE=CF，
由题意BE：AE=1：2.4，
在Rt△ABE中，∵AB=26，
由勾股定理可得BE=10，AE=24，
在Rt△BCD中，∵∠DBC=73°，
∴tan73°= ，
∴ = ，
∴DC= BC，
在Rt△AFD中，∵∠DAF=45°，
∴AF=DF，
∴24+BC=10+ BC，
∴BC=6，DC=20，
答：电视塔CD的高度为20m
【解析】【分析】延长DC 交AM于F，作BE⊥AM于E．首先证明四边形BCEF是矩形，由题意BE：AE=1：2.4，在Rt△ABE中，根据AB=26，由勾股定理可得BE=10，AE=24，在Rt△BCD中，可知tan73°= ，推出 = ，推出DC= BC，在Rt△AFD中，由∠DAF=45°，可知AF=DF，可得24+BC=10+ BC，解方程求出BC即可解决问题．
20．如图，某海域有两个海岛 ， ，海岛 位于海岛 的正南方向，这两个海岛之间有暗礁，灯塔 位于海岛 的南偏东47.5°方向，海岛 的北偏东70°方向，一艘海轮从海岛 出发，沿正南方向航行32海里到达 处，测得灯塔 在北偏东37°方向上.求海岛 ， 之间的距离.（参考数据： ， ， ）
【答案】解：过点 作 交 于点
在 中，
∴ ，即
在 中， ，
∴ ，即
∵
∴
解得
∴
在 中，
∴ ，即
∴
故海岛 ， 之间的距离为42海里.
【解析】【分析】 过点 作 交 于点E，在 中求出， 在 中求出，根据 =32建立方程，从而求出CE，在 中，由
求出AE，根据AB=AE+BE即可求出结论.
21．如图1，某人的一器官后面A处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离（图1）．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离方案如下：
课题 检测新生物到皮肤的距离
工具 医疗仪器等
示意图
说明 如图2，新生物在A处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠DBN；再在皮肤上选择距离B处9cm的C处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠ECN．
测量数据 ∠DBN＝35°，∠ECN＝22°，BC＝9cm
请你根据上表中的测量数据，计算新生物A处到皮肤的距离．（结果精确到0.1cm）
（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）
【答案】解：过点A作AF⊥MN，垂足为F，
设BF＝xcm，
∵BC＝9cm，
∴CF＝BC+BF＝（x+9）cm，
在Rt△ABF中，∠ABF＝∠DBN＝35°，
∴AF＝BF tan35°≈0.7x（cm），
在Rt△ACF中，∠ACF＝∠ECN＝22°，
∴AF＝CF tan22°≈0.4（x+9）cm，
∴0.7x＝0.4（x+9），
解得：x＝12，
∴AF＝0.7x＝8.4（cm），
∴新生物A处到皮肤的距离约为8.4cm．
【解析】【分析】首先过A点作AF⊥MN，垂足为F，然后设BF的长为xcm，CF的长为(x+9) cm，然后在Rt△ABF中，根据∠ABF的正切函数求出AF的长，然后在Rt△ACF中，利用根据∠ACF的正切函数求出AF的长，进而列出关于x的方程，最后计算出结果即可.
22．先化简，再求代数式 的值，其中 ．
【答案】解：
=
=
= ；
∵ ；
∴原式 ．
【解析】【分析】先化简分式求出
，再将x的值代入计算求解即可。
23．已知cos45°=，求cos21°+cos22°+…+cos289°的值．
【答案】解：原式=（cos21°+cos289°）+（cos22°+cos288°）+…+（cos244°+cos246°）+cos245
=（sin21°+cos21°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin244°+cos244°）+cos245
=44+（）2
=44 ．
【解析】【分析】利用cosA=sin（90°﹣∠A）及sin2A+cos2A=1，即可求解．
24．在平行四边形中，，，，点是上一点．，从点E出发，沿折线以每秒3个单位长度的速度运动，到D停止．连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段．连接．设点P的运动时间为t秒．
（1）用表示线段的长度；
（2）连接，求的值；
（3）当点在平行四边形的对角线上时，求的值；
（4）连接．当分线段为的两部分时，直接写出t的值．
【答案】（1）解：①当点E在线段上时，即时，；
②当点E在线段上时，当时，．
（2）解：
解：过点C作延长线于点G，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
在，由，
∴，
设，
由勾股定理得：，
解得：，
∴，
∴中，．
（3）解：由旋转知，，
当时，点F落在上，如图1，
由得，，解得：；
点F落在上时，如图2，过点D作于点H，
同（1）可求，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，解得：
当时，点F落在上，过点P，F分别作AB的垂线，垂足为M，N，
由，得：，
∴，
可证：，
∴，
在中，，
∴ ，解得．
综上所述：t的值为，1，．
（4）解：或
【解析】【解答】解：（4）
①当时，构造如图4辅助线（均是水平线，铅垂线）
由平行线分线段成比例定理的：，由（2）知，
∵，
∴，
设，则，，，
∵，
∴，
而，
∴ ，
∵， ，
∵，
∴，
解得：，∴，∴；
②当时，构造如图5辅助线（均是水平线，铅垂线）
同理可得： ，
解得：，∴，∴．
综上所述：或．
【分析】（1）根据题意分类讨论：当点E在线段上时， ；当点E在线段上时，；
（2）过点C作延长线于点G，进而运用勾股定理结合锐角三角函数的定义解直角三角形即可求解；
（3）根据题意分类讨论：当时，点F落在上，点F落在上；当时，点F落在上，通过锐角三角函数的定义结合三角形全等的判定与性质即可求解；
（4）根据题意分类讨论：当及，构造辅助线，进而运用平行线分线段成比例定理，矩形的性质，全等三角形的性质结合题意即可求解。
25．如图1，线段，为中点，是平面上异于的任一动点，且满足，若点和点在直线的同侧，且，并始终有，连接．
（1）如图2，若，求线段的长；
（2）若将线段三等分，求线段的长；
（3）直接写出线段长度的取值范围．
【答案】（1）解：∵，，∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
（2）解：如图所示，取中点T，连接，设交于R，∵O是的中点，T是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
∵将线段三等分，
∴当点R是靠近点D的三等分点时，则，
∴，
∴，
在中，，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得或（舍去）
当点R是靠近点O的三等分点时，则，
∴，
∴，
在中，，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得或（舍去）；
综上所述，的长为或6
（3）
【解析】【解答】（3）解：如图，过点A作，使，连接．
则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∴．
∵，O为的中点，
∴，
∵点和点在直线的同侧，
∴，
∵，
∴，
∴．
【分析】（1）利用已知可求出∠B的度数，利用解直角三角形求出AC的长；在Rt△ADC中，利用解直角三角形求出AD的长.
（2）取中点T，连接，设交于R，∵O是的中点，T是的中点，利用三角形的中位线定理可证得；再利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△DRA∽△ORT，利用相似三角形的性质及已知条件，分情况讨论：当点R是靠近点D的三等分点时，可推出BC=4AD；在中，利用解直角三角形表示出AC的长，在中，利用勾股定理可求出符合题意的AD的长；当点R是靠近点O的三等分点时，可得到OT与AD的数量关系，同时可证得BC=AD，在中，利用解直角三角形表示出AC的长，在中，利用勾股定理可求出符合题意的AD的长；综上所述，可得到符合题意的AD的长.
（3）过点A作，使，连接．利用解直角三角形求出AF的长，同时可表示出AC的长；利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得△CAF∽△DAO，利用相似三角形的性质可得到OD与CF的数量关系，即可得到OC的长；根据点和点在直线的同侧，可知AF＜CF，即可求出CF的取值范围，由此可得到OD的取值范围，
（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，取中点T，连接，设交于R，
∵O是的中点，T是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
∵将线段三等分，
∴当点R是靠近点D的三等分点时，则，
∴，
∴，
在中，，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得或（舍去）
当点R是靠近点O的三等分点时，则，
∴，
∴，
在中，，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得或（舍去）；
综上所述，的长为或；
（3）解：如图，过点A作，使，连接．
则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∴．
∵，O为的中点，
∴，
∵点和点在直线的同侧，
∴，
∵，
∴，
∴．
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