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圆 单元综合巩固提升卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．提高交通安全意识是每一位青少年的“必修课”，以下有关交通安全的标识图，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下面纹祥的示意图中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．弧长等于半径的圆弧所对的圆心角是（ ）
A． B． C． D．60°
4．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是（ ）
A．28° B．30° C．36° D．56°
5．下列语句正确的是（ ）
A．三角形的内心是三角形三条角平分线的交点
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．圆有且只有一个内接三角形
D．平分弦的直径垂直于弦
6．某圆弧形桥拱的跨径(桥拱圆弧所对的弦的长)为12米，拱高(桥拱圆弧的中心到弦的距离)为4米，则该桥拱的半径为( )
A．15米 B．13米 C．9米 D．6.5米
7．下列几何图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
8．如图，在中，相交于点，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，是半圆的直径，是的中点，过点作，交半圆于点，则与的长度的比为（ ）
A．： B．： C．： D．：
10．以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y=﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（ ）
A．0≤b＜2 B．﹣2
C．﹣2 2 D．﹣2 ＜b＜2
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，六边形ABCDEF为正六边形，四边形ABGH为正方形，则∠BCG的度数为 .
12．如图，在的内接四边形中，，，，垂足为点E，则的长为 ．
13．如图， ABC是⊙O的内接三角形，OD⊥BC于点D．下面是借助直尺，画出 ABC中∠BAC的平分线的步骤：
①延长OD交 于点M；
②连接AM交BC于点N．
所以∠BAN=∠CAN．
即线段AN为所求 ABC中∠BAC的平分线．
请回答，得到∠BAN=∠CAN的依据是 ．
14． 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点 D 是斜边 AC 上一点，以AD 为直径的⊙O恰好与BC边相切，切点为E，⊙O 与 AB 相交于点 F.若 则 的长为 .
15．如图 25-11， 在 中， 的内切圆 与 ， 分别相切于点 ， 连结 的延长线交 于点 ， 则 .
16．如图，圆内接四边形的对角线互相垂直，且平分，延长，交于点F，若，，则 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，四边形内接于，是的直径，，连接，．
（1）求的度数．
（2）求弧的长．
（3）移动点，使为弧的中点，请直接写出此时的长．
18．如图， ， 分别与 相切于 两点，若 ，求 的度数．
19．⊙O的半径为17cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=30cm，CD=16cm．求AB和CD之间的距离．
20．“不在同一直线上的三点确定一个圆”．请你判断平面直角坐标系内的三个点A(2，3)，B(－3，－7)，C(5，11)是否可以确定一个圆．
21．观察下列图案（如图），分别指出每个图案是由哪个“基本图案”旋转得来的．
22． 已知：如图，在中，直径的长为，弦的长为，的平分线交于点，求和的长．
23．甲、乙两人轮流在一张圆桌上放置同样大小的硬币，每人每次只能放置一枚硬币，且放置过程中不允许重叠与倾斜，硬币不能超出桌面的边界。规定谁在桌上放下最后一枚硬币，谁就获胜。你知道获胜的策略吗？
24．定义，若四边形的一条对角线平分这个四边形的面积，则称这个四边形为倍分四边形，这条对角线称为这个四边形的倍分线.如图①，在四边形中，若，则四边形为倍分四边形，为四边形的倍分线．
（1）判断：若是真命题请在括号内打√，若是假命题请在括号内打×．
①平行四边形是倍分四边形（ ）
②梯形是倍分四边形（ ）
（2）如图①，倍分四边形中，是倍分线，若，，，求；
（3）如图②，中，以为直径的分别交、于点、，已知四边形是倍分四边形．
①求；
②连结，交于点，取中点，连结交于（如图③），若，求．
25．在平面直角坐标系中，给定图形和点，若图形上存在两个不同的点，满足．其中点为线段的中点，则称点是图形的相关点．
（1）已知点，
①在点中，线段的相关点是_______；
②若直线上存在线段的相关点，求的取值范围．
（2）已知点，，线段的长度为，当线段在直线上运动时，如果总能在线段上找到一点，使得在轴上存在以为直径的圆的相关点，直接写出的取值范围．
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圆 单元综合巩固提升卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．提高交通安全意识是每一位青少年的“必修课”，以下有关交通安全的标识图，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，A不符合题意；
B．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，B符合题意；
C．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，C不符合题意；
D．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】如果把一个图形绕某一点旋转180°后能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果把一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形。根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可。
2．纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下面纹祥的示意图中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
故选：C．
【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
3．弧长等于半径的圆弧所对的圆心角是（ ）
A． B． C． D．60°
【答案】B
【解析】【解答】解：设半径为R，弧所对的圆心角是n°，则弧长也是R，
根据弧长公式得：R= ，
解得：n= ，
即圆心角的度数为 ，
故选B．
【分析】设半径为R，弧所对的圆心角是n°，则弧长也是R，根据弧长公式得出R= ，求出即可．
4．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是（ ）
A．28° B．30° C．36° D．56°
【答案】A
【解析】【解答】解：设半圆圆心为O，连OA，OB，如图，
∵∠AOB＝86° 30°＝56°，
∴∠ACB＝∠AOB＝×56°＝28°．
故选A．
【分析】设半圆圆心为O，连OA，OB，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出答案.
5．下列语句正确的是（ ）
A．三角形的内心是三角形三条角平分线的交点
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．圆有且只有一个内接三角形
D．平分弦的直径垂直于弦
【答案】A
【解析】【解答】A、三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，所以A选项符合题意；
B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以B选项不符合题意；
C、圆有无数个内接三角形，所以C选项不符合题意；
D、平分（非直径）弦的直径垂直于弦．所以D选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据三角形内心的定义对A进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对B进行判断；根据圆的外接三角形的定义对C进行判断；根据垂径定理对D进行判断．
6．某圆弧形桥拱的跨径(桥拱圆弧所对的弦的长)为12米，拱高(桥拱圆弧的中心到弦的距离)为4米，则该桥拱的半径为( )
A．15米 B．13米 C．9米 D．6.5米
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，设弦AB所在圆的圆心为O，弧AB的中点为C，弦AB的中点为D，连接OD，OC，OA，圆O的半径为r，
由垂径定理可知OC⊥AB，OD⊥AB，
∴O，C，D三点共线，
∴，CD=4m，
∴OD=(r-4)m，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：OA2=AD2+OD2，
∴r2=62+(r-4)2，
解得r=6.5m，
∴该桥拱的半径约为6.5m.
故答案为：D.
【分析】设弦AB所在圆的圆心为O，弧AB的中点为C，弦AB的中点为D，连接OD，OC，OA，圆O的半径为rm，由垂径定理得AD=BD=6m，然后在Rt△AOD中，由勾股定理得出方程，解方程即可.
7．下列几何图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
8．如图，在中，相交于点，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，求得度数，再根据平行线的性质可得，最后根据三角形外角和内角的关系，即可求得的度数．
9．如图，是半圆的直径，是的中点，过点作，交半圆于点，则与的长度的比为（ ）
A．： B．： C．： D．：
【答案】A
【解析】【解答】连接OD，如图所示：
∵是半圆的直径，是的中点，
∴OD=2OC，
∵，
∴∠DOB=60°，
∴∠AOD=180°-∠DOB=180°-60°=120°，
设圆O的半径为r，
∴，，
∴与的长度的比=，
故答案为：A.
【分析】先求出∠DOB=60°，∠AOD=180°-∠DOB=180°-60°=120°，再利用弧长公式求出和的长度，最后求解即可.
10．以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y=﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（ ）
A．0≤b＜2 B．﹣2
C．﹣2 2 D．﹣2 ＜b＜2
【答案】D
【解析】【解答】解：当直线y=﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图．
在y=﹣x+b中，令x=0时，y=b，则与y轴的交点是（0，b），
当y=0时，x=b，则A的交点是（b，0），
则OA=OB，即△OAB是等腰直角三角形．
连接圆心O和切点C．则OC=2．
则OB= OC=2 ．即b=2 ；
同理，当直线y=﹣x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，b=﹣2 ．
则若直线y=﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是﹣2 ＜b＜2 ．
【分析】求出直线y=﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限，和当直线y=﹣x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时b的值，则相交时b的值在相切时的两个b的值之间．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，六边形ABCDEF为正六边形，四边形ABGH为正方形，则∠BCG的度数为 .
【答案】15°
【解析】【解答】解：∵ABCDEF为正六边形，ABGH为正方形，
∴AB=BC=BG，
∴∠BCG=∠BGC，
∵正六边形ABCDEF的每一个内角是4×180°÷6=120°，
正方形ABGH的每个内角是90°，
∴∠CBG=360° 120° 90°=150°，
∴∠BCG+∠BGC=180° 150°=30°，
∴∠BCG=15°.
故答案为：15°.
【分析】根据正多边形的性质可得AB=BC=BG，由等腰三角形的性质可得∠BCG=∠BGC，根据正多边形的性质及内角和公式可得∠CBA=120°，∠ABG=90°，结合周角为360°可得∠CBG=150°，根据内角和定理可得∠BCG+∠BGC=30°，据此求解.
12．如图，在的内接四边形中，，，，垂足为点E，则的长为 ．
【答案】1.5
【解析】【解答】解：如图，过A作于点F，
∵，，
∴，
在直角RtABF中：，
∵，
∴，
即，
∴，
在直角RtABE中：，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴；
故答案为：1.5．
【分析】根据等腰三角形和圆的对称性考虑过A作于点F，根据等腰三角形的性质以及在直角RtABF中利用勾股定理可得的长，再由，可得， 在直角RtABE中利用勾股定理可得的长，然后根据两个角相等的三角形相似可得，建立相似的比例关系式，即可求解．
13．如图， ABC是⊙O的内接三角形，OD⊥BC于点D．下面是借助直尺，画出 ABC中∠BAC的平分线的步骤：
①延长OD交 于点M；
②连接AM交BC于点N．
所以∠BAN=∠CAN．
即线段AN为所求 ABC中∠BAC的平分线．
请回答，得到∠BAN=∠CAN的依据是 ．
【答案】在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等
【解析】【解答】如图所示：
根据题目的步骤，延长OD交 于点M，
由垂径定理得到点M为 的中点，
，
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，
∠BAN=∠CAN，
线段AN为所求 ABC中∠BAC的平分线．
故答案为：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．
【分析】根据圆周角的性质求解即可。
14． 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点 D 是斜边 AC 上一点，以AD 为直径的⊙O恰好与BC边相切，切点为E，⊙O 与 AB 相交于点 F.若 则 的长为 .
【答案】
【解析】【解答】解：如解图，连接OE，OF，设OE与DF 相交于点 G.
∵ AD 是⊙O 的直径，
∴∠AFD = 90°，
又∵ BC 是⊙O 的切线，
∴∠OEB=90°，
∵ ∠B=90°，
∴ 四边形 BEGF 为矩形，
∴ ∠EGF = 90°，BF=GE，
∵OE 为⊙O的半径，
∴DG=GF，
∵OD=AO，
∴OG为△ADF的中位线，
∴AF=2OG，
，
在Rt△OGF中，
故答案为：.
【分析】连接OE，OF，设OE与DF 相交于点 G.根据切线的性质得到 四边形 BEGF 为矩形，然后证明OG为△ADF的中位线，即可得到AF=2OG，然后在Rt△OGF中，利用余弦的定义求出∠GOF的度数，进而得到∠DOF的度数，利用弧长公式计算解题.
15．如图 25-11， 在 中， 的内切圆 与 ， 分别相切于点 ， 连结 的延长线交 于点 ， 则 .
【答案】
【解析】【解答】解：连接OD，OE，OB，OB交ED于点G，
∵∠ACB=70°，∠ACB+∠CAB+ ∠CBA=180°，
∴∠CAB+ ∠CBA=110°，
∵点O为△ABC的内切圆的圆心，
∴OA平分∠CAB，OB平分∠CBA，
∴∠OAB+∠OBA=（∠CAB+ ∠CBA）=55°，
∴∠AOB=180°-（∠OAB+∠OBA）=125°，
∵OE=OD，BD=BE，
∴OB垂直平分DE，
∴∠OGE=90°，
∴∠AFD=∠AOB-∠OGF=125°-90°=35°.
故答案为：A
【分析】先求出∠CAB+ ∠CBA，再根据三角形内切圆的意义，求出∠OAB+∠OBA，再根据三角形的内角和定理求出∠AOB，然后证明OB垂直平分DE，可得∠OGE=90°，再根据∠AFD=∠AOB-∠OGF求解.
16．如图，圆内接四边形的对角线互相垂直，且平分，延长，交于点F，若，，则 ．
【答案】
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，四边形内接于，是的直径，，连接，．
（1）求的度数．
（2）求弧的长．
（3）移动点，使为弧的中点，请直接写出此时的长．
【答案】（1）
（2）
（3）6
18．如图， ， 分别与 相切于 两点，若 ，求 的度数．
【答案】解： 、 是 切线，
， ，
，
，
，
，
，
．
【解析】【分析】先求出 ， ， 再求出 ， 最后计算求解即可。
19．⊙O的半径为17cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=30cm，CD=16cm．求AB和CD之间的距离．
【答案】解：过圆心O作OE⊥AB，OF⊥CD，连接OB，OD．
在Rt△OBE中，OE= = =8cm，
在Rt△ODF中，OF= = =15cm．
①如图1，当弦AB、CD在圆心O的同侧：
EF=OF﹣OE=15﹣8=7cm；
②如图2，当弦AB、CD在圆心O的两侧：
EF=OF+OE=15+8=23cm．
综上：AB和CD之间的距离为7cm或23cm．
【解析】【分析】作OE⊥AB于E，交CD于F，如图，连结OA、OC，由AB∥CD，根据平行线的性质得OF⊥CD，再根据勾股定理得CF= CD=8，AE= AB=15，然后根据勾股定理计算出OE和OF，再求它们的差或和即可．
20．“不在同一直线上的三点确定一个圆”．请你判断平面直角坐标系内的三个点A(2，3)，B(－3，－7)，C(5，11)是否可以确定一个圆．
【答案】解：设直线BC解析式为：y=kx+b，依题可得：
，
解得，
∴直线BC解析式为：y=x-.
将x=2代入得：y=×2-=.
∴A点不在直线BC上，
∴A、B、C三点不共线，
∴A、B、C三点可以确定一个圆.
【解析】【分析】根据待定系数法先求出直线BC解析式，再看A点是否在直线BC上，不在即可确定一个圆.
21．观察下列图案（如图），分别指出每个图案是由哪个“基本图案”旋转得来的．
【答案】解：第一个图形是由图1绕点O顺时针（或逆时针）旋转90°、再旋转90°，再旋转90°而成的；
第二个图形是由图2绕点O顺时针（或逆时针）旋转45°、再旋转45°，再旋转45°旋转7次而成的．
【解析】【分析】根据图形特点分别得出基本图形，进而得出旋转角即可得出答案．
22． 已知：如图，在中，直径的长为，弦的长为，的平分线交于点，求和的长．
【答案】解：直径为，
，
弦为，
，
的平分线交于，
，
，
．
故BC，．
【解析】【分析】先利用勾股定理求出BC的长，再利用圆周角与弦的关系可得，再结合AC=6，利用等腰直角三角形的性质求出即可.
23．甲、乙两人轮流在一张圆桌上放置同样大小的硬币，每人每次只能放置一枚硬币，且放置过程中不允许重叠与倾斜，硬币不能超出桌面的边界。规定谁在桌上放下最后一枚硬币，谁就获胜。你知道获胜的策略吗？
【答案】解：根据题意，甲先在圆桌中心放一枚硬币，然后乙在圆桌的某个位置放一枚硬币，甲就在圆桌的对称位置放一枚硬币，这样，只要乙能放下一枚硬币，甲就能在对称位置放下一枚硬币，甲获胜。
【解析】【分析】根据对称思想结合题意分析，进而得到甲先在圆桌中心放一枚硬币，然后乙在圆桌的某个位置放一枚硬币，甲就在圆桌的对称位置放一枚硬币，进而即可求解。
24．定义，若四边形的一条对角线平分这个四边形的面积，则称这个四边形为倍分四边形，这条对角线称为这个四边形的倍分线.如图①，在四边形中，若，则四边形为倍分四边形，为四边形的倍分线．
（1）判断：若是真命题请在括号内打√，若是假命题请在括号内打×．
①平行四边形是倍分四边形（ ）
②梯形是倍分四边形（ ）
（2）如图①，倍分四边形中，是倍分线，若，，，求；
（3）如图②，中，以为直径的分别交、于点、，已知四边形是倍分四边形．
①求；
②连结，交于点，取中点，连结交于（如图③），若，求．
【答案】（1）①√；②×
（2）解：∵倍分四边形中，AC是倍分线，∴
如图所示，过点作于点，
∵，，，
∴，
在中，，
∴，
在中，
（3）解：①如图所示，连接，，， 设交于点，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，即是的中点，
∴，
∵四边形是倍分四边形．
若是倍分线，则点到的距离相等，
而是的角平分线，点到的距离相等，点不重合，故不是倍分线，
∴是倍分线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
又∵，
∴，
∴；
过点作于点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，则，
在中，，
在中，
∴
②如图所示，设交于点，连接，过点作交于点，
由①可得，则四边形是平行四边形，
∵点是的中点，
∴，则，
在中，∵
∴，则
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∵
∴，
∴
即
∴
∴
【解析】【解答（1）】解：①平行四边形是倍分四边形（√ ）
②梯形是倍分四边形（×）
故答案为：①√；②×．
【分析】（1）根据“倍分四边形”的定义判断即可 ；
（2）根据“倍分四边形”的定义得到，过点作于点，即可得到，，然后利用勾股定理求出长，即可得到，再在中，运用勾股定理解题；
（3）①连接，，， 设交于点，利用是倍分四边形．得到是倍分线，即，然后得到，即可得到，设，得到，即可得到，过点作于点，再根据勾股定理得到，解题；
②设交于点，连接，过点作交于点，由①可得是平行四边形，即可得到，然后推导，即可得到解题．
25．在平面直角坐标系中，给定图形和点，若图形上存在两个不同的点，满足．其中点为线段的中点，则称点是图形的相关点．
（1）已知点，
①在点中，线段的相关点是_______；
②若直线上存在线段的相关点，求的取值范围．
（2）已知点，，线段的长度为，当线段在直线上运动时，如果总能在线段上找到一点，使得在轴上存在以为直径的圆的相关点，直接写出的取值范围．
【答案】（1）①，；
解：②由题意可得线段的所有相关点都在以为直径的圆上及其内部，
如图．设这个圆的圆心是．
，，
，．
当直线与相切，且时，
将直线与轴的交点分别记为，
则点的坐标是，．
．
，
，解得．
当直线与相切，且时，
同理可求得．
所以的取值范围是．
（2）
【解析】【解答】（1）解：①∵，，
∴，
∵是线段的相关点，
∵，
若点分别与点重合，
则中点为，
∴在以为直径的圆上，
∵是线段上的点，
∴点在以为直径的圆上及其内部，
故答案为：，．
（2）
解：设点是直线上一点，且点，使得在轴上存在以为直径的圆的唯一相关点，
设，则以为直径的圆上两点为直径的圆与轴相切于点，且轴，如图所示，
设以为直径的圆，圆心是．则，
∴
是的中点，，
∴
当且时，轴上存在以为直径的圆的唯一相关点，
在中，，
∴，
∴，
根据对称性可得当点在轴的下方时，也符合题意，
∴．
【分析】（1）①根据新定义得出点在以为直径的圆上及其内部，以为直径，为圆心作圆，在圆上或圆内的点即为所求.
②根据①可得点在以为直径的圆上及其内部，设这个圆的圆心是，进而根据直线上存在线段的相关点，求得相切时的临界值，即可求解.
（2）设点是直线上一点，且点，使得在轴上存在以为直径的圆的唯一相关点，设，则以为直径的圆上两点为直径的圆与轴相切于点，且轴，当且时，轴上存在以为直径的圆的唯一相关点，勾股定理求得的值，进而根据对称性可得当点在轴的下方时，符合题意，即可求出答案.
（1）解：①∵，，
∴，
∵是线段的相关点，
∵，
若点分别与点重合，
则中点为，
∴在以为直径的圆上，
∵是线段上的点，
∴点在以为直径的圆上及其内部，
故答案为：，．
②由题意可得线段的所有相关点都在以为直径的圆上及其内部，
如图．设这个圆的圆心是．
，，
，．
当直线与相切，且时，
将直线与轴的交点分别记为，
则点的坐标是，．
．
，
，解得．
当直线与相切，且时，
同理可求得．
所以的取值范围是．
（2）解：设点是直线上一点，且点，使得在轴上存在以为直径的圆的唯一相关点，
设，则以为直径的圆上两点为直径的圆与轴相切于点，且轴，如图所示，
设以为直径的圆，圆心是．则，
∴
是的中点，，
∴
当且时，轴上存在以为直径的圆的唯一相关点，
在中，，
∴，
∴，
根据对称性可得当点在轴的下方时，也符合题意，
∴．
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