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第二十四章 圆 单元复习培优测试卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在中，，，，以点C为圆心，r为半径作．若点A在内，且点B在外，则r可能为（ ）
A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm
2．如图，在中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离，则的半径长为（ ）
A．4 B． C．5 D．
3．如图，已知等腰 ，以 为直径的圆交 于点 ，过点 的⊙ 的切线交 于点 ，若 ，则⊙ 的半径是（ ）
A． B．5 C．6 D．
4．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（ ）
A．点（0，3） B．点（2，3） C．点（5，1） D．点（6，1）
5．如图所示，是的直径，弦交于点，连结．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知⊙O的半径为5，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠A=60°，则BC的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．正五边形的一个外角度数是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠BCD=28°，则∠ABD（ ）
A．76° B．62° C．60° D．28°
9．一个正多边形的每个外角都是36°，那么它是（ ）
A．正六边形 B．正八边形 C．正十边形 D．正十二边形
10．正六边形的半径与边心距之比为（ ）
A．1： B． ：1 C． ：2 D．2：
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB=35°，则∠OAB= ．
12．如图所示，宽为2cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”（单位：cm） 则该圆的半径为 cm．
13． 如图，已知四边形 ABCD 内接于⊙O，∠D-∠B=40°，连结 AO，CO，则∠AOC 的度数为 .
14．边心距为2的圆内接正三角形的边长为
15．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC=30°，半径为1cm的的圆心P在射线OA上，且与点O的距离为6cm，⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么⊙P与直线CD相切时，圆心P的运动时间为 .
16．如图， 是半径为 的⊙ 的直径， 是圆上异于 ， 的任意一点， 的平分线交⊙ 于点 ，连接 和 ，△ 的中位线所在的直线与⊙ 相交于点 、 ，则 的长是
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在 中， ， 是线段 的中点，以 为直径作 ，试判断点 与 的位置关系．
18．如图，是直径，足的弦，．
（1）求的度数．
（2）若的半径，求的长．
19．如图，点在上.
（1）过点作的切线PQ.
（2）作出与PQ垂直的的切线.
20．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将绕点A逆时针旋转得到，点O，B对应点分别是E，F．
（1）请在图中画出；
（2）求出点B所经过的路径；
（3）求扫过的面积．
21． 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1＝∠C，
（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC＝3，∠C＝30°，求⊙O的直径．
22．如图，点A、C、B、D在⊙O上，且=，弦AB、CD相交于点E，AE与CE相等吗？为什么？
23．如图，以四边形的对角线为直径作圆，圆心为，过点作的延长线于点，已知平分．
（1）求证：是切线；
（2）若，求的半径和的长．
24．如图所示， 中，∠BAC=90°，∠C=30°，BC=2，⊙O是△ABC的外接圆，D是CB延长线上一点，且BD=1，连接DA，点P是射线DA上的动点。
（1）求证DA是⊙O的切线；
（2）DP的长度为多少时，∠BPC的度数最大，最大度数是多少？请说明理由。
（3）点P运动的过程中，（PB+PC）的值能否达到最小，若能，求出这个最小值，若不能，说明理由.
25．如图，PA，PB切于点A，B，连结AB，在AB，PA，PB上分别取点，F，E，使，连结DE，DF，EF.若，求(用含的代数式表示).
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第二十四章 圆 单元复习培优测试卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在中，，，，以点C为圆心，r为半径作．若点A在内，且点B在外，则r可能为（ ）
A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm
【答案】B
【解析】【解答】解：点A在内，
，
点B在外，
，
，
只有符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用点和圆的位置关系，可以得到，再逐项判断即可．
2．如图，在中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离，则的半径长为（ ）
A．4 B． C．5 D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵OE⊥AB，
∴AE=，
∵OE=4，
∴OA=，
即的半径长为.
故答案为：B.
【分析】首先根据垂径定理得出AE=，然后再根据勾股定理得出OA的长度，也就是的半径长。
3．如图，已知等腰 ，以 为直径的圆交 于点 ，过点 的⊙ 的切线交 于点 ，若 ，则⊙ 的半径是（ ）
A． B．5 C．6 D．
【答案】B
【解析】【解答】如图，连接OD、BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AC，
又∵AB=BC，
∴AD=CD，
又∵AO=OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，
∵DE是⊙O的切线，
∴DE⊥OD，
∴DE⊥BC，
∵CD=4 ，CE=8，
∴DE= ＝4，
∵S△BCD=BD CD÷2=BC DE÷2，
∴4 BD=4BC，即 BD=BC，
∴BD＝ BC，
∵BD2+CD2=BC2，
∴( BC)2+(4 ) ＝BC2，
解得BC=10，
∵AB=BC，
∴AB=10，
∴⊙O的半径是；10÷2＝5.
故答案为：B.
【分析】首先连接OD、BD，判断出OD∥BC，再根据DE是⊙O的切线，推得DE⊥OD，所以DE⊥BC；然后根据DE⊥BC，CD=4 ，CE=8，求出DE的长度是多少；最后判断出BD、AC的关系，根据勾股定理，求出BC的值是多少，再根据AB=BC，求出AB的值是多少，即可求出⊙O的半径是多少.
4．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（ ）
A．点（0，3） B．点（2，3） C．点（5，1） D．点（6，1）
【答案】C
【解析】【解答】解：连接AC，作AC，AB的垂直平分线，交格点于点O′，则点O′就是 所在圆的圆心，
∴三点组成的圆的圆心为：O′（2，0），
∵只有∠O′BD+∠EBF=90°时，BF与圆相切，
∴当△BO′D≌△FBE时，
∴EF=BD=2，
F点的坐标为：（5，1），
∴点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是：（5，1）．
故选：C．
【分析】根据垂径定理的性质得出圆心所在位置，再根据切线的性质得出，∠OBD+∠EBF=90°时F点的位置即可．
5．如图所示，是的直径，弦交于点，连结．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：连接BD，
∵是的直径，
∴∠ABD=90°，
∵，
∴∠ADB=60°，
∴∠ACB=∠ADB=60°。
故答案为：D.
【分析】连接BD，即可得出∠ABD=90°，进而得出∠ABD=90°，根据直角三角形两锐角互余即可得出∠ADB=60°，根据圆周角定理即可得出∠ACB=∠ADB=60°.
6．如图，已知⊙O的半径为5，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠A=60°，则BC的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】【解答】解：连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于点D，
∵∠A=60°，
∴∠BOC=2∠A=120°．
∵OB=OD，
∴∠OBD= =30°．
∴BD=OB cos30°=5× = ．
∵OD⊥BC，
∴BC=2BD=5 ．
故选C．
【分析】连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于点D，根据圆周角定理求出∠BOC的度数，再由三角形的性质得出∠OBD度数，根据垂径定理可知BC=2BD，进而可得出结论．
7．正五边形的一个外角度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵正五边形的每一个外角都相等，多边形的外角和等于360°，∴，
∴正五边形的一个外角度数是，
故答案为：B．
【分析】根据正多边形外角和为360度，并结合正五边形的5个外角都相等即可求解．
8．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠BCD=28°，则∠ABD（ ）
A．76° B．62° C．60° D．28°
【答案】B
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACD=90°﹣∠BCD=62°，
由圆周角定理得，∠ABD=∠ACD=62°，
故选：B．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，求出∠ACD，根据圆周角定理解答即可．
9．一个正多边形的每个外角都是36°，那么它是（ ）
A．正六边形 B．正八边形 C．正十边形 D．正十二边形
【答案】C
【解析】【解答】解： ，
是正十边形．
故答案为：C．
【分析】利用多边形的外角和，除以外角的度数，即可求出边数。
10．正六边形的半径与边心距之比为（ ）
A．1： B． ：1 C． ：2 D．2：
【答案】D
【解析】【解答】∵正六边形的半径为R，
∴边心距r＝ R，
∴R：r＝1： ＝2： ，
故答案为：D．
【分析】边心距：是指正多边形的每条边到其外接圆的圆心的距离，正六边形的边长就等于其外接圆的半径.它的边心距等于边长的 倍..正多边形的边心距就是其内切圆的半径.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB=35°，则∠OAB= ．
【答案】55°
【解析】【解答】解：∵∠ACB与∠AOB都对 ，
∴∠AOB=2∠ACB=70°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA= =55°．
故答案为：55°
【分析】由同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，根据∠ACB的度数求出∠AOB的度数，再由OA=OB，利用等边对等角得到一对角相等，利用三角形内角和定理即可求出∠OAB的度数．
12．如图所示，宽为2cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”（单位：cm） 则该圆的半径为 cm．
【答案】 cm
【解析】【解答】设OB=rcm，
∵刻度尺的宽为2cm，
∴OC=r-2，
∵另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”，
∴BC= ×6=3，
在Rt△OBC中，
∵OB2=OC2+BC2，即r2=（r-2）2+32，解得r= m．
故答案为： cm
【分析】由图可得OC=OB-CA=OB-2，由垂径定理可得BC=×6=3，在Rt△OBC中，用勾股定理可得关于OB的方程，解方程可求得半径OB的值。
13． 如图，已知四边形 ABCD 内接于⊙O，∠D-∠B=40°，连结 AO，CO，则∠AOC 的度数为 .
【答案】140°
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于☉O
∴∠B+∠D=180°
∵∠D-∠B=40°
∴∠D=110°，∠B=70°，
∴∠AOC=2∠B=140°
故答案为：140° .
【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠B+∠D=180°，根据∠D-∠B=40°求出∠D=110°，∠B=70°，根据圆周角定理得出∠AOC=2∠B，再代入求出答案即可.
14．边心距为2的圆内接正三角形的边长为
【答案】12
【解析】【解答】解：如图，
∵OD=2，
∴ CD=6，
∴CD=6，
∴BC=6×2=12．
故答案为12．
【分析】根据题意画出图形，构造Rt△DOC，利用三角函数求出DC的长，根据垂径定理求出BC的长．
15．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC=30°，半径为1cm的的圆心P在射线OA上，且与点O的距离为6cm，⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么⊙P与直线CD相切时，圆心P的运动时间为 .
【答案】4或8
【解析】【解答】解：如图，
当点P运动到点P1时，过点P1作P1E⊥CD于点E，
∴∠P1EO=90°
∵ ∠AOC=30° ，P1E=1
∴P1O=2P1E=2
∴PP1=OP-P1O=6-2=4，
∴圆心P的运动时间为4÷1=4；
当点P运动到点P2时，过点P2作P2E⊥CD于点E，
∴∠P2EO=90°
∵ ∠AOC=30° ，P2E=1
∴P2O=2P2E=2
∴PP2=OP+P2O=6+2=8，
∴圆心P的运动时间为8÷1=8；
故答案为：4或8.
【分析】分情况讨论：当点P运动到点P1时，过点P1作P1E⊥CD于点E，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，就可求出P1O的长，然后根据PP1=OP-P1O，可求出PP1的长，由此可求出圆心P的运动时间；当点P运动到点P2时，过点P2作P2E⊥CD于点E，利用同样的方法可求出圆心P的运动时间。
16．如图， 是半径为 的⊙ 的直径， 是圆上异于 ， 的任意一点， 的平分线交⊙ 于点 ，连接 和 ，△ 的中位线所在的直线与⊙ 相交于点 、 ，则 的长是
【答案】4
【解析】【解答】解：如图所示：
∵PC是∠APB的角平分线，
∴∠APC=∠CPB，
∴=；
∴AC=BC；
∵AB是直径，
∴∠ACB=90 .
即△ABC是等腰直角三角形。
连接OC，交EF于点D，则OC⊥AB；
∵MN是△ABC的中位线，
∴MN∥AB；
∴OC⊥EF，OD= OC=2.
连接OE，根据勾股定理，得：DE= =2 ，
∴EF=2ED=4 .
故答案为：4 .
【分析】先根据角平分线的性质得出∠APC=∠CPB，在同一个圆内相等的圆周角对应的弧长和弦长相等，可得出AC=BC，连接OC则OC⊥AB，根据垂径定理结合中位线可得出OD= OC=2，再在内根据勾股定理求出ED的长度，EF的长度是ED长度的2倍。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在 中， ， 是线段 的中点，以 为直径作 ，试判断点 与 的位置关系．
【答案】解：点 在 上．
理由如下：
连接 ，
∵ ， ，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∵ ，
∴
∴点 在⊙O上。
【解析】【分析】连接OD，易证明OD是△ABC的中位线，根据中位线定理求得OD的长，再确定点D与圆的位置关系即可。
18．如图，是直径，足的弦，．
（1）求的度数．
（2）若的半径，求的长．
【答案】（1）解：是的直径，
∴，∴，
∵，∴；
（2）解：∵，，，
∵的半径，AB是直径，
∴，∴．
【解析】【分析】（1）利用圆周角的性质可得，，再利用三角形的内角和求出的度数即可；
（2）根据“ 的半径，AB是直径”可得，再求出即可.
19．如图，点在上.
（1）过点作的切线PQ.
（2）作出与PQ垂直的的切线.
【答案】（1）解：如图所示，PQ即为所求；
（2）解：如图所示，BD、CE即为所求.
【解析】【分析】（1）作直线PO，过点P作PQ⊥PO，PQ即为所求；
（2）过点O作BC⊥AP，交于点B、C，过B、C作BD⊥BC，CE⊥BC，BD、CE即为所求.
20．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将绕点A逆时针旋转得到，点O，B对应点分别是E，F．
（1）请在图中画出；
（2）求出点B所经过的路径；
（3）求扫过的面积．
【答案】（1）解：如图所示，就是所求作的三角形；
（2）解：点的坐标为，点的坐标为，
，，
，
由旋转的性质可得，
由题意得点B的运动路径长是以点A为圆心，长为半径且圆心角度数为的扇形弧长
点所经过的路径长为；
（3）解：如图所示，由题意得，扫过的面积即为扇形的面积加上的面积，由旋转的性质可得的面积等于的面积，
∴扫过的面积．
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质，利用网格即可得出点E、F，再顺次连接A，E，F即可；（2） 点B所经过的路径也就是以AB为半径，90°角为圆心角所对的弧长，首先根据网格由勾股定理可得出，根据旋转性质得出圆心角为90°，进而根据弧长计算公式即可求得点B所经过的路径；
（3）扫过的面积即为扇形的面积加上的面积，进而根据割补法即可得出扫过的面积．
（1）解：如图所示，就是所求作的三角形；
（2）解：点的坐标为，点的坐标为，
，，
，
由旋转的性质可得，
由题意得点B的运动路径长是以点A为圆心，长为半径且圆心角度数为的扇形弧长
点所经过的路径长为；
（3）解：如图所示，由题意得，扫过的面积即为扇形的面积加上的面积，
由旋转的性质可得的面积等于的面积，
∴扫过的面积．
21． 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1＝∠C，
（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC＝3，∠C＝30°，求⊙O的直径．
【答案】（1）证明：∵∠P＝∠C，∠1＝∠C，
∴∠1＝∠P，
∴CB∥PD.
（2）解：连接OC，如图，
∵∠1＝30°，
∴∠P＝30°，
∵CD⊥AB，
∴，
∴∠BOC＝2∠P＝60°，
∴△BOC为等边三角形，
∴OB＝BC＝3，
∴⊙O的直径为6．
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理推论和∠1＝∠C，得到∠1=∠P，结论可证；
（2）连接OC，根据垂径定理得到，从而有∠BOC＝2∠P=2∠1＝60°，得等边三角形OBC，于是可得半径和直径.
22．如图，点A、C、B、D在⊙O上，且=，弦AB、CD相交于点E，AE与CE相等吗？为什么？
【答案】解：AE=CE；理由如下：
连接AC，如图所示：
∵=，
∴=，
∴∠C=∠A，
∴AE=CE．
【解析】【分析】连接AC，由已知条件得出=，由圆周角定理得出∠C=∠A，即可得出结论．
23．如图，以四边形的对角线为直径作圆，圆心为，过点作的延长线于点，已知平分．
（1）求证：是切线；
（2）若，求的半径和的长．
【答案】（1）证明：如图，连接，∵AE⊥CD，∴∠DAE+∠ADE=90°．
∵DA平分∠BDE，∴∠ADE=∠ADO，
又∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，
∴∠DAE+∠OAD=90°，，是切线；
（2）解：如图，取中点，连接，于点．
四边形AEFO是矩形，
，．
在Rt中，，
在Rt中，，
，的长是
【解析】【分析】（1）连接，进而根据垂直得到∠DAE+∠ADE=90°，再根据角平分线的定义得到∠ADE=∠ADO，再根据等腰三角形的性质得到∠OAD=∠ADO，从而结合题意运用切线的判定即可求解；
（2）取中点，连接，先根据矩形的判定与性质得到，进而运用勾股定理求出OD和AD即可求解。
24．如图所示， 中，∠BAC=90°，∠C=30°，BC=2，⊙O是△ABC的外接圆，D是CB延长线上一点，且BD=1，连接DA，点P是射线DA上的动点。
（1）求证DA是⊙O的切线；
（2）DP的长度为多少时，∠BPC的度数最大，最大度数是多少？请说明理由。
（3）点P运动的过程中，（PB+PC）的值能否达到最小，若能，求出这个最小值，若不能，说明理由.
【答案】（1）证明：连接AO，易知：△ABO是等边三角形，AB=BD=1；∴∠ADC=∠DAC=∠ABO=30°，而∠AOD=60°；∴∠DAO=90°
∴DA是⊙o的切线；
（2）解：当点P运动到A处时，即DP=DA=时，∠BPC的度数达到最大，最大值为90°.理由如下：
若点P不在A处时，不妨设点P在DA的延长线上，连接BP，与⊙o交于一点，记为点E，连接CE，
∴∠BPC＜∠BEC=∠BAC=90°；
（3）解：作点C关于射线DA的对称点C′，则BP+PC=BP+PC′，当点C′，P，B三点共线时，（PB+PC）的值达到最小，最小为BC.
过点作DC的垂线，垂足记为点H，连接DC′；
在Rt△DCP中，∠PDC=30°；
∴△DCC′为等边三角形，
∴H为DC的中点，
∴BH=DH-DB=CD-DB=-1=；
∴C′H=DH=；
由勾股定理求出：BC′=；
∴（PB+PC）的最小值为；
【解析】【分析】（1）连接AO，易知：△ABO是等边三角形，通过计算可以得出∠DAO=90°，所以DA是⊙o的切线；
（2）当点P运动到A处时，即DP=DA= 时，∠BPC的度数达到最大，最大值为90°.理由如下：若点P不在A处时，不妨设点P在DA的延长线上，连接BP，与⊙o交于一点，记为点E，连接CE，所以∠BPC＜∠BEC=∠BAC=90°；
（3）作点C关于射线DA的对称点C′，则BP+PC=BP+PC′，当点C′，P，B三点共线时，（PB+PC）的值达到最小，最小为BC.过点作DC的垂线，垂足记为点H，连接DC；通过等边三角形的性质和勾股定理即可求出。
25．如图，PA，PB切于点A，B，连结AB，在AB，PA，PB上分别取点，F，E，使，连结DE，DF，EF.若，求(用含的代数式表示).
【答案】解：∵ PA，PB切于点A，B
∴PA=PB，
∴ ∠FAD=∠DBE
∴ ∠P=180°-2∠FAD
∴ ∠FAD=90°-
∵ AD=BE，∠FAD=∠DBE，AF=DB
∴ △ADF≌△BED（SAS）
∴ ∠ADF=∠BED，∠AFD=∠BDE
∴ ∠EDF=180°-∠ADF-∠BDE=180°-（∠ADF+∠AFD）=180°-（180°-∠FAD）=∠FAD
∴ ∠EDF=90°-
【解析】【分析】本题考查圆的切线长定理，三角形全等的判定与性质，三角形的内角和等知识，熟练掌握切线长定理及三角形全等的判定是解题关键。先由PA，PB是切线得 ∠FAD=∠DBE得 ∠FAD=90°-；再证△ADF≌△BED，得∠EDF=∠FAD=90°-.
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