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一元一次方程 单元专项提升卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知，下列各式不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列运用等式性质进行的变形，正确的是（ ）
A．如果 ，那么 ； B．如果 ，那么 ；
C．如果 ，那么 ； D．如果 ，那么
3．若关于y的方程ay－2＝4与y－3＝－1的解相同，则a的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．－2
4．在解方程 时，去分母正确的是（ ）
A．3（x﹣1）﹣2（2x+3）=6 B．3（x﹣1）﹣2（2x+3）=1
C．2（x﹣1）﹣2（2x+3）=6 D．3（x﹣1）﹣2（2x+3）=3
5．中国明代数学著作《算法统宗》中有这样一首古诗： “巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧 三百六十四只碗，恰好用尽不用争．三人共餐一碗饭，四人共尝一碗羹，请问先生能算者，算出寺内几多僧 ”其大意是，某古寺用餐，3个和尚合吃一碗饭，4个和尚合分一碗汤，一共用了364只碗，问有多少个和尚 根据题意，可以设和尚的个数为x，则得到的方程是（ ）
A．3x+4x=364 B． x+ x=364
C． x+4x=364 D．3x+ x=364
6．已知某商店有两个进价不同商品都卖了80元，其中一个盈利60%，另一个亏损20%，在这次买卖中，这家商店（ ）
A．盈利50元 B．亏损10元
C．盈利10元 D．不盈不亏
7．列等式表示“x的5倍与10的和等于﹣20．”，下列正确的是（ ）
A．5x+10＝﹣20 B．5x﹣20＝10
C．5（x+10）＝﹣20 D．x+15＝﹣20
8．下列变形符合等式基本性质的是（ ）
A．如果那么 B．如果，那么等于
C．如果那么 D．如果，那么
9．下列各式中是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
10．某市在“五水共治”中新建成一个污水处理厂．已知该厂库池中存有待处理的污水a吨，另有从城区流入库池的待处理污水（新流入污水按每小时b吨的定流量增加）．若污水处理厂同时开动2台机组，需30小时处理完污水；若同时开动3台机组．需15小时处理完污水．现要求恰好用5个小时将污水处理完毕，则需同时开动的机组数为（ ）
A．6台 B．7台 C．8台 D．9台
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知A、B两地相距1000米，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，沿着同一条直线公路相向而行．若甲以7米/秒的速度骑自行车前进，乙以3米/秒的速度步行，则经过 秒两人相距100米．
12．若x =－3是方程 3(x－a) = 7的解， 则a = .
13．已知a，b为定值，且无论k为何值，关于x的方程的解总是x＝2，则 ．
14．某市为提倡节约用水，采取分段收费．若每户每月用水不超过20m3，每立方米收费2元；若用水超过20m3，超过部分每立方米加收1元．小明家5月份交水费64元，则他家该月用水 m3．
15．某超市一月份的营业额为220万元，一月、二月、三月的营业额共1000万元，如果设平均每月增长率为 ，则依题意列方程为 .
16．如图，一个盛有水的长方体玻璃容器的内底面为边长为4cm的正方形，容器内水的高度为2cm，把一根长方体玻璃棒垂直放入容器中，其中玻璃棒底面为边长是2cm的正方形，则容器内的水将升高 cm（假设水不会溢出）.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解方程：
（1）
（2）
18．定义：若有理数a，b 满足等式a+b= ab+2，则称a，b是“雉水有理数对”，记作（a，b）.如：数对是“雉水有理数对”.
（1）数对（4，） （填“是”或“不是”）“雉水有理数对”.
（2）若（m，2）是“雉水有理数对”，求m的值.
（3）请写出一个符合条件的“雉水有理数对”： （注意：不能与题目中已有的“雉水有理数对”重复）.
19．已知关于x的方程 与方程 的解相同，求 的值.
20．一个数减去它的 ，再加上 等于 ，求这个数．
21．若关于x的方程 mx- ＝ （x- ）有负整数解，求整数m的值．
22．利用等式的性质解下列方程：
（1）；
（2）．
23．橙子中含有丰富的维生素C和类黄酮具有很强的抗氧化性，可以起到减少皱纹、美白肌肤的美容功效，受到广大女性消费者的喜爱．某水果店以5元/千克的价格购进一批橙子，很快售完．该店又再次购进，第二次进货价格比第一次每千克便宜了1元，两次一共购进了1000千克，且第二次进货的花费是第一次进货花费的1.2倍．
（1）该水果店两次分别购进了多少千克的橙子？
（2）售卖中，第一批橙子在其进价的基础上加价a%进行定价，第二批橙子因为进价便宜，因此以第一批橙子的定价再打八折进行销售．销售时，在第一批橙子中有5%的橙子变质不能出售，在第二批橙子中有10%的橙子变质不能出售，该水果店售完两批橙子能获利1487元，求a的值．
24．春节某商场进行促销活动，出售一种优惠购物卡（注：此卡只作为购物优惠凭证不能顶替货款），花300元买这种卡后，凭卡可在这家商场按标价的8折购物.
（1）顾客购买多少元金额的商品时，买卡与不买卡花钱相等？在什么情况下购物合算？
（2）小张要买一台标价为3500元的冰箱，如何购买合算？小张能节省多少元钱？
（3）小张按合算的方案，把这台冰箱买下，如果某商场还能盈利25％，这台冰箱的进价是多少元？
25．已知关于x的方程ax=b有两个不同的解x1，和x2，求证这个方程必有无数多个解．
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一元一次方程 单元专项提升卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知，下列各式不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、，
成立，故A不符合题意；
B、时，和无意义，故B不符合题意；
C、，
成立，故C不符合题意；
D、，
成立，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】
根据等式的基本性质： 等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍然成立 ； 等式两边同时乘以或除以同一个非零数或整式，等式仍然成立 ；逐项判断即可解答．
2．下列运用等式性质进行的变形，正确的是（ ）
A．如果 ，那么 ； B．如果 ，那么 ；
C．如果 ，那么 ； D．如果 ，那么
【答案】D
【解析】【解答】解：A、当a＝b时，a＋c＝b＋c，故A不符合题意；
B、如果 ，那么 或0，故B不符合题意；
C、当c＝0时，此时 无意义，故C不符合题意；
D、如果 ，那么 ，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】注意等式的性质2中，等式两边同时除以同一个不为0的数，结果仍相等。因此，如果没有加上（）就是错误的
3．若关于y的方程ay－2＝4与y－3＝－1的解相同，则a的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．－2
【答案】B
【解析】【解答】解：∵y-3=-1，
∴y=2.
∵方程ay-2=4与y-3=-1的解相同，
∴ay-2=4的解为y=2，
∴2a-2=4，
∴a=3.
故答案为：B.
【分析】首先求出方程y-3=-1的解，然后代入方程ay-2=4中可得关于a的方程，求解即可.
4．在解方程 时，去分母正确的是（ ）
A．3（x﹣1）﹣2（2x+3）=6 B．3（x﹣1）﹣2（2x+3）=1
C．2（x﹣1）﹣2（2x+3）=6 D．3（x﹣1）﹣2（2x+3）=3
【答案】A
【解析】【解答】解：方程左右两边同时乘以6得：3（x﹣1）﹣2（2x+3）=6．
故选A．
【分析】去分母的方法是：方程左右两边同时乘以各分母的最小公倍数，这一过程的依据是等式的基本性质，注意去分母时分数线起到括号的作用，容易出现的错误是：漏乘没有分母的项，以及去分母后忘记分数线的括号的作用，符号出现错误．
5．中国明代数学著作《算法统宗》中有这样一首古诗： “巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧 三百六十四只碗，恰好用尽不用争．三人共餐一碗饭，四人共尝一碗羹，请问先生能算者，算出寺内几多僧 ”其大意是，某古寺用餐，3个和尚合吃一碗饭，4个和尚合分一碗汤，一共用了364只碗，问有多少个和尚 根据题意，可以设和尚的个数为x，则得到的方程是（ ）
A．3x+4x=364 B． x+ x=364
C． x+4x=364 D．3x+ x=364
【答案】B
【解析】【解答】解：设和尚的个数为x个，根据题意得：
.
故答案为：B.
【分析】抓住关键的已知条件：3个和尚合吃一碗饭，4个和尚合分一碗汤，可得到每一个和尚吃饭和喝汤的量，再根据饭碗的数量+汤碗的数量=364，列方程即可。
6．已知某商店有两个进价不同商品都卖了80元，其中一个盈利60%，另一个亏损20%，在这次买卖中，这家商店（ ）
A．盈利50元 B．亏损10元
C．盈利10元 D．不盈不亏
【答案】C
【解析】【解答】解：设盈利60%的进价为x元，亏损20%的进价为y元，由题意，得
x（1+60%）=80，y（1﹣20%）=80，
解得：x=50，y=100，
∴成本为：50+100=150元．
∵售价为：80×2=160元，
利润为：160﹣150=10元
故选C．
【分析】设盈利60%的进价为x元，亏损20%的进价为y元，根据销售问题的数量关系建立方程求出其解即可．
7．列等式表示“x的5倍与10的和等于﹣20．”，下列正确的是（ ）
A．5x+10＝﹣20 B．5x﹣20＝10
C．5（x+10）＝﹣20 D．x+15＝﹣20
【答案】A
【解析】【解答】解：∵x的5倍就是5x，
∴x的5倍与10的和即为，
∵x的5倍与10的和等于﹣20，
∴，
故答案为：A．
【分析】要明确给出文字语言中的运算关系先求倍数再求和即可。
8．下列变形符合等式基本性质的是（ ）
A．如果那么 B．如果，那么等于
C．如果那么 D．如果，那么
【答案】D
【解析】【解答】A、如果2x－y＝7，那么y＝2x－7，故A不符合题意；
B、k＝0时，两边都除以k无意义，故B不符合题意；
C、如果2x＝5，那么x＝，故C不符合题意；
D、两边都乘以－3：，，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用等式的基本性质判断求解即可。
9．下列各式中是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意得为一元一次方程，
故答案为：D
【分析】根据一元一次方程的定义结合题意对选项逐一分析，进而即可求解。
10．某市在“五水共治”中新建成一个污水处理厂．已知该厂库池中存有待处理的污水a吨，另有从城区流入库池的待处理污水（新流入污水按每小时b吨的定流量增加）．若污水处理厂同时开动2台机组，需30小时处理完污水；若同时开动3台机组．需15小时处理完污水．现要求恰好用5个小时将污水处理完毕，则需同时开动的机组数为（ ）
A．6台 B．7台 C．8台 D．9台
【答案】B
【解析】【解答】解：设每台机组每小时处理污水x吨，则
30×2x=a+30b，
15×3x=a+15b，
45x=a+15b，
60x=a+30b，
，
3a+90b=4a+120b，
a=30b，
∴60x=a+30b=60b，
x=b，
5mx=a+5b，
5mb=35b，
m=7（台）.
故答案为：B.
【分析】设每台机组每小时处理污水x吨，根据污水处理量列两个等式，统一量，分别把a和x用b表示，设同时开动m台机组，再根据要求列等式，求出m即可。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知A、B两地相距1000米，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，沿着同一条直线公路相向而行．若甲以7米/秒的速度骑自行车前进，乙以3米/秒的速度步行，则经过 秒两人相距100米．
【答案】90或110
【解析】【解答】解：设经过x秒两人相距100米，
当两人未相遇前，7x+3x+100＝1000，
解得：x＝90；
当两人相遇后，7x+3x﹣100＝1000，
解得：x＝110．
故答案为：90或110．
【分析】先设时间为x，利用：速度×时间=路程，列出方程，解出即可.
12．若x =－3是方程 3(x－a) = 7的解， 则a = .
【答案】
【解析】【解答】解：根据题意得：
解得：
【分析】使方程左右两边的值相等的未知数的值是该方程的解．若x=-3是方程3（x-a）=7的解，把x=-3代入方程就得到一个关于a的方程，就可以求出a的值．
13．已知a，b为定值，且无论k为何值，关于x的方程的解总是x＝2，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：方程两边都乘6，去分母得，
∴2kx-2a=6-6x-3bk，
整理得（2x+3b）k+6x=2a+6，
∵无论k为何值，方程的解总是2，
∴2a+6=6×2，2×2+3b=0，
解得a=3，，
∴．
故答案为：-4．
【分析】根据一元一次方程的解法，去分母并把方程整理成关于a、b的形式，然后根据方程的解与k无关分别列出方程求解即可．
14．某市为提倡节约用水，采取分段收费．若每户每月用水不超过20m3，每立方米收费2元；若用水超过20m3，超过部分每立方米加收1元．小明家5月份交水费64元，则他家该月用水 m3．
【答案】28
【解析】【解答】解：设该用户居民五月份实际用水x立方米，
故20×2+（x﹣20）×3=64，
故x=28．
故答案是：28．
【分析】20立方米时交40元，题中已知五月份交水费64元，即已经超过20立方米，所以在64元水费中有两部分构成，列方程即可解答．
15．某超市一月份的营业额为220万元，一月、二月、三月的营业额共1000万元，如果设平均每月增长率为 ，则依题意列方程为 .
【答案】
【解析】【解答】由题意，二月的营业额为200（1+x），三月的营业额为200（1+x）2，
∵一月、二月、三月的营业额共1000万元
∴200+200（1+x）+200（1+x）2 =1000
故答案为 .
【分析】首先分别表示出二月份、三月份的营业额，然后根据一、二、三月份营业总额为1000万元就可列出方程.
16．如图，一个盛有水的长方体玻璃容器的内底面为边长为4cm的正方形，容器内水的高度为2cm，把一根长方体玻璃棒垂直放入容器中，其中玻璃棒底面为边长是2cm的正方形，则容器内的水将升高 cm（假设水不会溢出）.
【答案】
【解析】【解答】解：设水升高xcm，
依题意可列方程：，
解得，，
故答案为：.
【分析】设水升高xcm，再根据体积的计算方法以及前后变化，即可列出方程求解.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1得；
（2）解：，
去分母，得，，
去括号，得，，
移项，得，
合并同类项，得：，
系数化为1得：．
【解析】【分析】（1）利用移项，合并同类项，系数化为1进行解方程即可；
（2）先去分母（两边同时乘以6，右边的1也要乘以6，不能漏乘），再去括号（括号前是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），然后移项合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可.
（1）解：，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1得；
（2）解：，
去分母，得，，
去括号，得，，
移项，得，
合并同类项，得：，
系数化为1得：．
18．定义：若有理数a，b 满足等式a+b= ab+2，则称a，b是“雉水有理数对”，记作（a，b）.如：数对是“雉水有理数对”.
（1）数对（4，） （填“是”或“不是”）“雉水有理数对”.
（2）若（m，2）是“雉水有理数对”，求m的值.
（3）请写出一个符合条件的“雉水有理数对”： （注意：不能与题目中已有的“雉水有理数对”重复）.
【答案】（1）是
（2）解：因为(m，2)是“雉水有理数对”，
所以m+2=2m+2，
所以m=0.
（3）(答案不唯一)
【解析】【解答】（1）解：4+=，，
所以数对（4，）是“雉水有理数对”；
故答案为：是；
（3）解：设a=5，
则5+b=5b+2，b=，
则可以写（5，）
故答案为：（5，）
【分析】（1）根据“雉水有理数对”的定义，进行判断即可；
（2）根据“雉水有理数对”的定义，列出关于m的方程，然后求解即可；
(3)设a=5，根据“雉水有理数对”的定义，列出方程，求解即可.
19．已知关于x的方程 与方程 的解相同，求 的值.
【答案】解：
将 代入 中，得
∴
【解析】【分析】根据两个方程的解相同，可先求出已知方程（x-16）=-6的解，再把求得的方程的解代入方程可得关于m的方程，解这个方程可求解.
20．一个数减去它的 ，再加上 等于 ，求这个数．
【答案】解：设这个数为 ，
依题意得： ，
移项得： ，
通分得： ，
合并同类项得： ，
将未知项的系数化为1得： ．
答：这个数为 。
【解析】【分析】求一个数的几分之几是多少，用这个数乘几分之几，然后列出方程即可。
21．若关于x的方程 mx- ＝ （x- ）有负整数解，求整数m的值．
【答案】解：∵关于x的方程 mx- ＝ （x- ）有负整数解
∴解方程，得
∴
∴m-1＜0
∴m＜1
∵ 为负整数
∴整数m的值为：0，-1．
【解析】【分析】首先解一元一次方程，再根据题意列不等式并求解，得到m的解集，再结合方程 mx- ＝ （x- ）有负整数解，从而得到m的取值．
22．利用等式的性质解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
；
（2）解：，
，
，
．
【解析】【分析】（）根据等式的基本性质1，两边同时减去解方程即可；
（）方程两边同时加上，再在两边同时乘以解方程即可.
（1）解：，
；
（2）解：，
，
，
．
23．橙子中含有丰富的维生素C和类黄酮具有很强的抗氧化性，可以起到减少皱纹、美白肌肤的美容功效，受到广大女性消费者的喜爱．某水果店以5元/千克的价格购进一批橙子，很快售完．该店又再次购进，第二次进货价格比第一次每千克便宜了1元，两次一共购进了1000千克，且第二次进货的花费是第一次进货花费的1.2倍．
（1）该水果店两次分别购进了多少千克的橙子？
（2）售卖中，第一批橙子在其进价的基础上加价a%进行定价，第二批橙子因为进价便宜，因此以第一批橙子的定价再打八折进行销售．销售时，在第一批橙子中有5%的橙子变质不能出售，在第二批橙子中有10%的橙子变质不能出售，该水果店售完两批橙子能获利1487元，求a的值．
【答案】（1）解：设第一次购进橙子x千克，第二次购进橙子（1000-x）千克
根据题意得：
解得：
∴1000-400=600（千克）
∴第一次购进橙子400千克，第二次购进橙子600千克
（2）解：根据题意，得：
解得a=45
即a的值为45
【解析】【分析】（1）设第一次购进橙子x千克，第二次购进橙子（1000-x）千克，进而根据“某水果店以5元/千克的价格购进一批橙子，很快售完．该店又再次购进，第二次进货价格比第一次每千克便宜了1元，两次一共购进了1000千克，且第二次进货的花费是第一次进货花费的1.2倍”即可列出一元一次方程，从而即可求解；
（2）根据题意列出一元一次方程，从而解方程即可求解。
24．春节某商场进行促销活动，出售一种优惠购物卡（注：此卡只作为购物优惠凭证不能顶替货款），花300元买这种卡后，凭卡可在这家商场按标价的8折购物.
（1）顾客购买多少元金额的商品时，买卡与不买卡花钱相等？在什么情况下购物合算？
（2）小张要买一台标价为3500元的冰箱，如何购买合算？小张能节省多少元钱？
（3）小张按合算的方案，把这台冰箱买下，如果某商场还能盈利25％，这台冰箱的进价是多少元？
【答案】（1）解：设顾客购买x元金额的商品时，买卡与不买卡花钱相等.
依题意： ，
解得：x=1500，
所以：当顾客消费小于1500元时，不买卡合算.
当顾客消费等于1500元时，买卡与不买花钱卡相等.
当顾客消费大于1500元时，买卡合算.
（2）解：因为3500＞1500，所以买卡合算， ，
答：小张买卡合算，买卡可以节省400元.
（3）解：设这台冰箱的进价为x元，依题意： ，
解得：x=2480（元），
答：这台冰箱的进价是2480元.
【解析】【分析】（1）先设顾客购买x元的商品，表示买卡和不买卡的代数式，确定相等得出方程，然后确定合算的方式；
（2）根据（1）中相等的数据比较，可得哪种方式合算，从而计算节省的钱数即可；
（3）根据合算方式利用盈利可得方程，解方程即可.
25．已知关于x的方程ax=b有两个不同的解x1，和x2，求证这个方程必有无数多个解．
【答案】证明：因为x1、x2都是方程ax=b的解，所以
从而 即
又因为 ，所以必有a=0，因此
由于a=0且b=0，因此方程ax=b有无数多解
又解 ，方程 有唯一解 ，现在方程ax=b有两个不同的解，所以必有a=0从而
由于a=0，b=0，因此任一个数都是 的解
【解析】【分析】在 ，方程 有唯一解 ，
在a=0且b=0时，方程ax=b有无穷多解，x可为任意数
在a=0且 ，方程 无解.
根据一元一次方程的解得意义，可将和代入方程得：a=a=b，则a（-）=0，由题意关于x的方程ax=b有两个不同的解，即≠，所以必有a=0=b，因此方程ax=b有无数多解。
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