中小学教育资源及组卷应用平台
一元二次方程 单元模拟测试卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若一元二次方程化成一般形式后二次项的系数是2，则一次项的系数是（ ）
A．3 B． C．5 D．
2．下列方程，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
3．若方程（m﹣1）﹣2x﹣m是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）
A．-1 B．1 C．5 D．﹣1或1
4．用一条长为40cm的绳子围成一个面积为acm2的长方形，a的值不可能为（ ）
A．20 B．40 C．100 D．120
5．某商品原价200元，连续两次降价a％后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ）
A．200(1+a%)2=148 B．200(1－a%)2=148
C．200(1－2a%)=148 D．200(1－a2%)=148
6．已知x2+3x+5=9，则代数式3x2+9x-2的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
7．下列方程中，一元二次方程共有（ ）
①3x2+x=20；②x2﹣ =4；③2x2﹣3xy+4=0；④x2=1；⑤x2﹣ +3=0．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．一个等腰三角形的两条边长分别是方程2x2﹣13x+15＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．8 B．11.5 C．10 D．8或11.5
9．一元二次方程x2－8x－1＝0配方后可变形为（ ）
A．（x+4）2＝17 B．（x－4）2＝17
C．（x+4）2＝15 D．（x－4）2＝15
10．已知 有四个非零实数根，且在数轴上对应的四个点等距排列，则 的值为 ( )
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．方程x2﹣4x＝0的实数解是 .
12．已知关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣（a2﹣4）x+8＝0不含一次项，则a＝ .
13．若x=0是关于x的一元二次方程( 的一个根，则k的值为 .
14．已知x为实数，且满足 ，那么x2+3x= .
15．已知x1、x2是方程x2－x－2＝0的两个根，则x1＋x2＋2x1x2＝ .
16．关于x的方程kx2﹣4x﹣=0有实数根，则k的取值范围是 .
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解方程： .
18．如图，现有一段旧围墙AB，现打算一边利用该围墙（墙的最大可用长度15米），另外三面用32m长的篱笆围成一块长方形场地CDEF．
（1）怎样围成一个面积为126m的长方形场地？
（2）长方形场地面积能达到130m吗？如能，请给出设计方案，如不能，请说明理由．
19．某商店准备进一种季节性小家电，每台进价为40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180台；销售定价每降低1元，销售量将增多10台．
（1）商店若希望销售量为260台，则应降价多少元？
（2）商店若希望获利2000元，且使顾客得到实惠，则销售定价为多少元？
20． 某汽车销售公司 6 月份销售某厂家的汽车， 在一定范围内， 每辆汽车的进价与销售量有如下关系： 若当月仅售出 1 辆汽车， 则该辆汽车的进价为 27 万元， 每多售出 1 辆， 所有售出汽车的进价均降低 0.1 万元/辆． 月底厂家根据销售量一次性返利给汽车销售公司．销售量在 10 辆以内 (含 10 辆)， 每辆返利 0.5 万元； 销售量在 10 辆以上， 每辆返利 1 万元．
（1）若该公司当月售出 3 辆汽车，则每辆汽车的进价为 万元．
（2） 如果汽车的售价为 28 万元/辆， 该公司计划当月盈利 12 万元， 那么需要售出多少辆汽车？ (盈利 销售利润 + 返利)
21．如图，等边三角形ABC的边长为6cm，点P自点B出发，以1cm/s的速度向终点C运动；点Q自点C出发，以1cm/s的速度向终点A运动．若P，Q两点分别同时从B，C两点出发，问经过多少时间△PCQ的面积是2 cm2？
22．列方程解应用题：
某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按 元销售时，每天可销售 个；若销售单价每降低1元，每天可多售出 个.已知每个玩具的固定成本为 元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润 元？
23．已知关于x的一元二次方程x2-4mx+3m2=0.
（1）求证：该方程总有两个实数根.
（2）若m>0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值.
24．关于x的方程 有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为 、 ，存不存在这样的实数k，使得 ？若存在，求出这样的k值；若不存在，说明理由．
25．某连锁超市派遣调查小组在春节期间调查某种商品的销售情况，下面是调查后小张与其他两位成员交流的情况．
小张：“该商品的进价为24元/件．”
成员甲：“当定价为40元/件时，每天可售出480件．”
成员乙：“若单价每涨1元，则每天少售出20件；若单价每降1元，则每天多售出40件．”根据他们的对话，请你求出要使该商品每天获利7680元，应该怎样合理定价？
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
一元二次方程 单元模拟测试卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若一元二次方程化成一般形式后二次项的系数是2，则一次项的系数是（ ）
A．3 B． C．5 D．
【答案】B
【解析】【解答】解： ，
∴2x2-3x+5=0，
∴ 一次项的系数是-3，
故答案为：B.
【分析】把方程化为一般式ax2+bx+c=0(a≠0)，然后得到一次项系数b的值即可.
2．下列方程，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】A.，符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意；
B.，方程含有两个未知数，故本选项不符合题意；
C.，未知数项的最高次数是一次，故本选项不符合题意；
D.，不是整式方程，故本选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断即可。
3．若方程（m﹣1）﹣2x﹣m是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）
A．-1 B．1 C．5 D．﹣1或1
【答案】A
【解析】【解答】解：由（m﹣1）﹣2x﹣m是关于x的一元二次方程，得
m2+1=2，且m﹣1≠0．
解得m=﹣1，
故选：A．
【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
4．用一条长为40cm的绳子围成一个面积为acm2的长方形，a的值不可能为（ ）
A．20 B．40 C．100 D．120
【答案】D
【解析】【解答】解：设围成面积为acm2的长方形的长为xcm，则宽为（40÷2﹣x）cm，依题意，得
x（40÷2﹣x）=a，整理，得
x2﹣20x+a=0，
∵△=400﹣4a≥0，
解得a≤100，
故答案为：D．
【分析】设围成面积为acm2的长方形的长为xcm，由长方形的周长公式得出宽为（40÷2﹣x）cm，根据长方形的面积公式列出方程x（40÷2﹣x）=a，整理得x2﹣20x+a=0，由△=400﹣4a≥0，求出a≤100，即可求解．
5．某商品原价200元，连续两次降价a％后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ）
A．200(1+a%)2=148 B．200(1－a%)2=148
C．200(1－2a%)=148 D．200(1－a2%)=148
【答案】B
【解析】【解答】主要考查增长率问题，本题可用降价后的价格=降价前的价格×（1-降价率），首先用x表示两次降价后的售价，然后由题意可列出方程．依题意得两次降价后的售价为200（1-a%）2，因此可得方程200（1-a%）2=148．
故答案为：B
【分析】这是一道平均降低率的问题，利用公式a(1-x)n=p，(其中a是降低开始的量，n是降低次数，p是降低结束达到的量）列出方程即可。
6．已知x2+3x+5=9，则代数式3x2+9x-2的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】D
【解析】【解答】解：因为x2+3x+5=9，所以x2+3x=4，所以3x2+9x=12，原式=12-2=10，故答案为：D
【分析】利用整体的思想，求得x2+3x的值，代入代数式即可求解.
7．下列方程中，一元二次方程共有（ ）
①3x2+x=20；②x2﹣ =4；③2x2﹣3xy+4=0；④x2=1；⑤x2﹣ +3=0．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解析】【解答】解：①3x2+x=20是一元二次方程；
②x2﹣ =4是分式方程；
③2x2﹣3xy+4=0是二元二次方程；
④x2=1是一元二次方程；
⑤x2﹣ +3=0是一元二次方程，
故选：B．
【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
8．一个等腰三角形的两条边长分别是方程2x2﹣13x+15＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．8 B．11.5 C．10 D．8或11.5
【答案】B
【解析】【解答】解：2x2﹣13x+15＝0
（x-5）（2x-3）=0，
解得：x1=5，x2=1.5，
①当等腰三角形的三边为5，1.5，1.5时，1.5+1.5＜5，不符合三角形的三边关系定理，不能组成三角形，舍去；
②当等腰三角形的三边为5，5，1.5时，此时能组成三角形，三角形的周长是5+5+1.5=11.5.
故答案为：B.
【分析】利用因式分解法可求出方程的根，然后根据等腰三角形的性质以及三角形的三边关系确定出三角形的三边，进而可得周长.
9．一元二次方程x2－8x－1＝0配方后可变形为（ ）
A．（x+4）2＝17 B．（x－4）2＝17
C．（x+4）2＝15 D．（x－4）2＝15
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意得x2－8x－1＝0，
∴x2－8x+16＝1+16，
∴（x－4）2＝17
故答案为：B
【分析】根据题意配方，进而即可变形一元二次方程。
10．已知 有四个非零实数根，且在数轴上对应的四个点等距排列，则 的值为 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：设 则原方程可变形为 ，
设该方程的两个实数根α、 则原方程的四个实数根为
∵它们在数轴上对应的四个点等距排列，
又·.
故答案为： C.
【分析】设 则原方程可变形为 0，设该方程的两个实数根α、 则原方程的四个实数根为 由四个实数根在数轴上对应的四个点等距排列，可得出， ，结合根与系数的关系可得出k值，再由根的判别式 即可确定k值，此题得解.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．方程x2﹣4x＝0的实数解是 .
【答案】或
【解析】【解答】解：∵
∴方程的实数解为或
故答案为：或.
【分析】此方程是一元二次方程的一般形式，且缺一次项，所以方程的左边易于利用提取公共因式法分解因式，故此题利用因式分解法求解即可.
12．已知关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣（a2﹣4）x+8＝0不含一次项，则a＝ .
【答案】﹣2
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣（a2﹣4）x+8＝0不含一次项，
∴
解之：a=±2且a≠2
∴a=-2.
故答案为：-2.
【分析】利用一元二次方程的二次项系数不为0，可得到a-2≠0，再根据此方程不含一次项，可得到a2-4≠0，由此可求出a的值.
13．若x=0是关于x的一元二次方程( 的一个根，则k的值为 .
【答案】-1
【解析】【解答】解：把x=0代入方程(k-1)x2+2x+k2-1=0，得k2-1=0，解得k=±1.
∵k-1≠0，∴k≠1，
∴k=-1.
故答案为：-1.
【分析】先将x=0代入方程求出k的可能值，再根据一元二次方程的定义确定k的取值.
14．已知x为实数，且满足 ，那么x2+3x= .
【答案】1
【解析】【解答】解： 可化为： ，
∵ ，∴ ，即
故答案为：1
【分析】将x2+3x，看着整体，再利用因式分解法解关于x2+3x的方程，由，求出x2+3x的值，即可得出答案。
15．已知x1、x2是方程x2－x－2＝0的两个根，则x1＋x2＋2x1x2＝ .
【答案】－3
【解析】【解答】解：根据题意得x1＋x2＝1，x1x2＝ 2，
所以x1＋x2＋2x1x2＝1＋2×（ 2）＝ 3.
故答案为： 3.
【分析】先利用根与系数的关系得到x1＋x2＝1，x1x2＝ 2，然后根据整体代入的方法计算.
16．关于x的方程kx2﹣4x﹣=0有实数根，则k的取值范围是 .
【答案】k≥﹣6
【解析】【解答】当k=0时，﹣4x﹣=0，解得x=﹣，
当k≠0时，方程kx2﹣4x﹣=0是一元二次方程，
根据题意可得：△=16﹣4k×（﹣）≥0，
解得k≥﹣6，k≠0，
综上k≥﹣6，
故答案为k≥﹣6．
【分析】由于k的取值不确定，故应分k=0（此时方程化简为一元一次方程）和k≠0（此时方程为一元二次方程）两种情况进行解答．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解方程： .
【答案】解：
∴
∴ ，
解得， ， .
【解析】【分析】利用配方法解方程即可.
18．如图，现有一段旧围墙AB，现打算一边利用该围墙（墙的最大可用长度15米），另外三面用32m长的篱笆围成一块长方形场地CDEF．
（1）怎样围成一个面积为126m的长方形场地？
（2）长方形场地面积能达到130m吗？如能，请给出设计方案，如不能，请说明理由．
【答案】（1）解：设CD=xm，则DE=（32-2x）m，
由题意得：x（32﹣2x）=126，
整理得x2﹣16x+63=0，
解得x1=9，x2=7，
当x1=9时，（32﹣2x）=14
当x2=7时，（32﹣2x）=18＞15（不合题意舍去）
∴能围成一个长14m，宽9m的长方形场地．
（2）解：设CD=ym，则DE=（32-2y）m，
由题意得y（32﹣2y）=130
整理得y2﹣16y+65=0
△=（﹣16）2﹣4×1×65=﹣4＜0
故方程没有实数根，
∴长方形场地面积不能达到130m2．
【解析】【分析】(1)根据长方形的面积列出一元二次方程求解即可.
(2)先根据长方形的面积列出一元二次方程，再根据判别式判断即可.
19．某商店准备进一种季节性小家电，每台进价为40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180台；销售定价每降低1元，销售量将增多10台．
（1）商店若希望销售量为260台，则应降价多少元？
（2）商店若希望获利2000元，且使顾客得到实惠，则销售定价为多少元？
【答案】（1）解：设每个小家电销售定价为x元，
则销量为（个），
依题意得，
解得，
，
答：应降价8元；
（2）解：由题意，得，
整理得：
解得，，
使顾客得到实惠，售价为50元．
【解析】【分析】本题考查一元二次方程的应用．
（1）设每个小家电销售定价为x元，根据题意列出一元一次方程，解一元一次方程可求出答案；
（2）根据题意可得等量关系：，据此可列出一元二次方程，解一元二次方程可求出销售定价，再根据题意可确定答案．
20． 某汽车销售公司 6 月份销售某厂家的汽车， 在一定范围内， 每辆汽车的进价与销售量有如下关系： 若当月仅售出 1 辆汽车， 则该辆汽车的进价为 27 万元， 每多售出 1 辆， 所有售出汽车的进价均降低 0.1 万元/辆． 月底厂家根据销售量一次性返利给汽车销售公司．销售量在 10 辆以内 (含 10 辆)， 每辆返利 0.5 万元； 销售量在 10 辆以上， 每辆返利 1 万元．
（1）若该公司当月售出 3 辆汽车，则每辆汽车的进价为 万元．
（2） 如果汽车的售价为 28 万元/辆， 该公司计划当月盈利 12 万元， 那么需要售出多少辆汽车？ (盈利 销售利润 + 返利)
【答案】（1）26.8
（2）解：设要卖x辆汽车，
①若x≤10，根据题意得：{28 [27 0.1（x 1）]}x＋0.5x＝12，
整理，得x2＋14x 120＝0，
解这个方程，得x1＝ 20（不合题意，舍去），x2＝6，
②若x＞10，根据题意得：{28 [27 0.1（x 1）]}x＋x＝12，
整理，得x2＋19x 120＝0，
解这个方程，得x1＝ 24（不合题意，舍去），x2＝5（不合题意，舍去），
答：要卖6辆汽车．
【解析】【解答】解：（1）∵若当月仅售出1辆汽车，则该辆汽车的进价为27万元，每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，
∴若该公司当月售出3辆汽车，则每辆汽车的进价为：27 0.1×（3 1）＝26.8，
答：若该公司当月卖出三辆汽车，则每辆汽车的进价为26.8万元。
【分析】（1）利用若当月仅售出1辆汽车，则该辆汽车的进价为27万元，每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/辆，得出该公司当月售出3辆汽车时，则每辆汽车的进价为：27 0.1×（3 1），即可得出答案，
（2）利用设要卖x辆汽车，分类讨论：①若x≤10，②若x＞10，再分别列出方程求解即可.
21．如图，等边三角形ABC的边长为6cm，点P自点B出发，以1cm/s的速度向终点C运动；点Q自点C出发，以1cm/s的速度向终点A运动．若P，Q两点分别同时从B，C两点出发，问经过多少时间△PCQ的面积是2 cm2？
【答案】解：设经过xs△PCQ的面积是2 cm2，由题意得
（6﹣x）× x=2
解得：x1=2，x2=4，
答：经过2s或4s△PCQ的面积是2 cm2
【解析】【分析】设经过xs△PCQ的面积是2 cm2，根据题意：PC=6﹣x，CQ=x，根据三角形的面积等于两邻边与其夹角正弦函数值的乘积的一半，列出方程，求解即可。
22．列方程解应用题：
某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按 元销售时，每天可销售 个；若销售单价每降低1元，每天可多售出 个.已知每个玩具的固定成本为 元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润 元？
【答案】解：设这种玩具的销售单价为x元时，厂家每天可获利润 元，由题意得，
(x-360)[160+2(480-x)]=20000
（x-360）(1120-2x)=20000
（x-360）(560-x)=10000
∴这种玩具的销售单价为460元时，厂家每天可获利润 元.
【解析】【分析】根据总利润=单件利润销量，用x的代数式分别表示两个量，构建方程，得出答案.
23．已知关于x的一元二次方程x2-4mx+3m2=0.
（1）求证：该方程总有两个实数根.
（2）若m>0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值.
【答案】（1）证明： ，
无论 取何值时， ， 即 ，
原方程总有两个实数根
（2）解： 即
.∴x=m ，x =3m.
∵m>0且该方程的两个实数根的差为2，
∴3m-m=2，
∴m=1
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式可得到b2-4ac，再证明b2-4ac≥0，即可得证.
（2）利用因式分解法求出此方程的解，再根据该方程的两个实数根的差为2，可得到关于m的方程，解方程求出m的值.
24．关于x的方程 有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为 、 ，存不存在这样的实数k，使得 ？若存在，求出这样的k值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=[﹣（2k﹣1）]2﹣4（k2﹣2k+3）=4k﹣11＞0，
解得：k＞
（2）解：存在，
∵x1+x2=2k﹣1，x1x2=k2﹣2k+3=（k﹣1）2+2＞0，
∴将|x1|﹣|x2|= 两边平方可得x12﹣2x1x2+x22=5，即（x1+x2）2﹣4x1x2=5，
代入得：（2k﹣1）2﹣4（k2﹣2k+3）=5，解得：k=4
【解析】【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根可得判别式大于零，从而可得关于k的不等式，解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=2k﹣1，x1x2=k2﹣2k+3=（k﹣1）2+2＞0，然后整理条件中的等式两边平方可代入得出关于k的方程，解方程即可.
25．某连锁超市派遣调查小组在春节期间调查某种商品的销售情况，下面是调查后小张与其他两位成员交流的情况．
小张：“该商品的进价为24元/件．”
成员甲：“当定价为40元/件时，每天可售出480件．”
成员乙：“若单价每涨1元，则每天少售出20件；若单价每降1元，则每天多售出40件．”根据他们的对话，请你求出要使该商品每天获利7680元，应该怎样合理定价？
【答案】解：设每件商品定价为x元．
①当x≥40时，(x-24)[480-20(x-40)]=7680，
解得：x1=40，x2=48；
②当x<40时，(x-24)[480+40(40-x)]=7680，
解得：x1=40（舍去），x2=36．
答：要使该商品每天获利7680元，应定价为36元/件、40元/件或48元/件．
【解析】【分析】分两种情况讨论， ①当x≥40时， 每件利润为 (x-24) 元，因为少售出20(x-40) 件，则售出的数量为 [480-20(x-40)]件，再根据“总利润=每件利润×售出数量”列方程求解即可；②当x<40时，每件利润为 (x-24) 元，因为多售出40(40-x) 件，最后根据“总利润=每件利润×售出数量”列方程求解即可.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
