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第二十六章 二次函数 单元达标测评卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．抛物线 的顶点坐标是（ ）
A．(0，－1) B．(0，1) C．(－1，0) D．(1，0)
2．二次函数y=-x2+2x+n图象的顶点坐标是(m，1)，则m-n的值为（ ）
A．1 B．0 C．1 D．2
3．已知二次函数的图象（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值 1.5，有最小值﹣2.5 B．有最大值 2，有最小值 1.5
C．有最大值 2，有最小值﹣2 5 D．有最大值 2，无最小值
4．二次函数 的对称轴是直线（ ）
A． B． C． D．
5．下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A．y= B．y=x2+x﹣2 C．y=2x+1 D．y2=x2+3x
6．在平面直角坐标系中，函数 y＝－ x+1与 y＝ ( x－1) 2的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
7．若抛物线 （ ）经过 ， 两点，则抛物线的对称轴为（ ）
A． B． C． D．
8．下列函数不属于二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知点 ， 在同一个函数图象上， 则这个函数图象可能是（ ）
A． B． C． D．
10．a≠0，函数y＝ 与y＝﹣ax2+a在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2的图象的顶点坐标为 .
12．抛物线y＝x2﹣6x+2的对称轴为直线 ．
13．若 是二次函数，则m= .
14．若y与x的函数y=(m-1)+3x是二次函数，则m=
15．已知抛物线 的顶点为 ，则 ．
16．如图，“心”形是由抛物线 和它绕着原点O，顺时针旋转60°的图形经过取舍而成的，其中点C是顶点，点A，B是两条抛物线的两个交点，点E，F，G是抛物线与坐标轴的交点，则AB= ，FG= ，CE= ．( 写出其中两个即可）
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．用一根长为800cm的木条做一个长方形窗框，若宽为x cm，写出它的面积y与x之间的函数关系式，并判断y是x的二次函数吗？
18．已知y=（m﹣2）+3x+6是二次函数，求m的值，并判断此抛物线开口方向，写出对称轴及对称轴顶点坐标．
19．已知两个变量x，y之间的关系式为y=(a-2)x2+(b+2)x-3．
（1）当a，b满足什么条件时，y是关于x的二次函数？
（2）当a，b满足什么条件时，y是关于x的一次函数？
20．已知是x的二次函数，求m的值和二次函数的解析式．
21．已知y=(m-2) +3x+6是二次函数，求m的值，并判断此抛物线的开口方向，写出对称轴及顶点坐标.
22．已知矩形窗户的周长是6cm，写出窗户的面积y（m2）与窗户的一边长x（m）之间的函数关系式，并判断此函数是不是二次函数；如果是，请求出自变量x的取值范围，并画出函数的图象．
23．已知y=（m﹣1）x 是关于x的二次函数，求m的值．
24．如图，抛物线：y1＝ax2＋2ax（a＞0）与x轴交于点A，顶点为点P．
（1）直接写出抛物线的对称轴是 ，用含a的代数式表示顶点P的坐标 ；
（2）把抛物线，绕点M（m，0）旋转180°得到抛物线（其中m＞0），抛物线与x轴右侧的交点为点B，顶点为点Q．
①当m＝1时，求线段AB的长；
②在①的条件下，是否存在△ABP为等腰三角形．若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
25．已知 是x的二次函数，求出它的解析式．
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第二十六章 二次函数 单元达标测评卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．抛物线 的顶点坐标是（ ）
A．(0，－1) B．(0，1) C．(－1，0) D．(1，0)
【答案】A
【解析】【解答】解：∵ ，
∴顶点坐标为：（0， ）；
故答案为：A.
【分析】根据二次函数y=ax2+k的顶点坐标为（0，k）可求解.
2．二次函数y=-x2+2x+n图象的顶点坐标是(m，1)，则m-n的值为（ ）
A．1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【解析】【解答】解：∵y=-x2+2x+n=-（x-1）2+n+1，
∴抛物线的顶点坐标为（1，n+1），
∵顶点坐标是（m，1），
∴m=1，n+1=1，即n=0，
则m-n=1，
故答案为：C.
【分析】首先将函数解析式配成顶点式，可得出其顶点坐标，再结合题目所给的顶点坐标即可求出m、n的值，最后根据有理数的减法法则即可算出答案.
3．已知二次函数的图象（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值 1.5，有最小值﹣2.5 B．有最大值 2，有最小值 1.5
C．有最大值 2，有最小值﹣2 5 D．有最大值 2，无最小值
【答案】C
【解析】【解答】解：看图象可知，在 0≤x≤4范围内，最大值为2，最小值为-2.5.
故答案为：C.
【分析】看图象获取信息，找出自变量的取值范围内，找出图象的最高点和最低点即可得出函数的最大值和最小值.
4．二次函数 的对称轴是直线（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵二次函数解析式 ，
∴对称轴是直线 ．
故答案为：B．
【分析】根据对称轴公司求出对称轴即可。
5．下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A．y= B．y=x2+x﹣2 C．y=2x+1 D．y2=x2+3x
【答案】B
【解析】【解答】根据二次函数的一般形式可知：y=x2+x﹣2是二次函数．故选：B．
【分析】二次函数的一般形式为：y=ax2+bx+c（a≠0）．
6．在平面直角坐标系中，函数 y＝－ x+1与 y＝ ( x－1) 2的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：对于，当x=0时，y=1，即排除A、B选项；对于，当x=1时，y=0，则只有D图像符合题意.
故答案为：D.
【分析】对两个函数分别算出特值点，再根据点的位置判断图像大致情况即可.
7．若抛物线 （ ）经过 ， 两点，则抛物线的对称轴为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】∵抛物线经过点 ， ，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
故答案为：B．
【分析】根据点A、B的纵坐标相等，可知点AB关于对称轴对称，利用中点坐标公式即可求出对称轴。
8．下列函数不属于二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A：=x2+x-2 ，所以A属于二次函数；
B：=-2x+1，所以B不属于二次函数；
C： =2x2-4x+2，所以C属于二次函数；
D： ，所以D是二次函数。
故答案为：B。
【分析】根据二次函数的定义，分别进行识别，即可得出答案。
9．已知点 ， 在同一个函数图象上， 则这个函数图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：当点M(-4，a+2)，N(-2，a)，P(2，a)在同一直线上时，
设直线解析式为y=kx+b(k≠0)，
根据题意，得-2k+b= 2k+b，
解得k =0，
与k≠ 0矛盾，
故A错误；
当点M(-4，a+2)，N(-2，a)，P(2，a)在同一反比例函数图象上时，
则a≠0，设反比例函数解析式为(k≠0)，
根据题意，得-2a =2a，
解得a=0，
与a ≠ 0矛盾，
故C错误；
由N(-2，a)，P(2，a)在同一个函数图象上，
故图象关于y轴对称，由M(-4，a-2)，N(-2，a)，可知在y轴的左侧，y随x的增大而减小，故D符合题意；B不符合题意，
故答案为：D.
【分析】图象上点的坐标满足函数的解析式据此计算判断即可.
10．a≠0，函数y＝ 与y＝﹣ax2+a在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】当a＞0时，函数y＝ 的图象位于一、三象限，y＝﹣ax2+a的开口向下，交y轴的正半轴，没有符合的选项，
当a＜0时，函数y＝ 的图象位于二、四象限，y＝﹣ax2+a的开口向上，交y轴的负半轴，D选项符合；
故答案为：D．
【分析】分a＞0和a＜0两种情况分类讨论即可确定正确选项
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2的图象的顶点坐标为 .
【答案】（1，2）
【解析】【解答】解：二次函数y=-（x﹣1）2+2的图象的顶点坐标为（1，2）.
故答案为：（1，2）.
【分析】二次函数的顶点式为：y=a(x-h)2+k，顶点坐标为（h，k），据此解答.
12．抛物线y＝x2﹣6x+2的对称轴为直线 ．
【答案】x＝3
【解析】【解答】解：∵y＝x2﹣6x+2＝（x﹣3）2﹣7，
∴对称轴是直线x＝3，
故答案为：x＝3．
【分析】把解析式化为顶点式可求得答案．
13．若 是二次函数，则m= .
【答案】
【解析】【解答】根据题意得 ＝2
解得m＝±1
又 ．
∴m＝-1
故答案为-1．
【分析】根据二次函数的定义得到 ＝2且 ，然后解方程即可．
14．若y与x的函数y=(m-1)+3x是二次函数，则m=
【答案】-1
【解析】【解答】解：∵y=(m-1)+3x是二次函数，
∴m2+1=2，m﹣1≠0．
解得：m=﹣1．
故答案为：﹣1．
【分析】由二次函数的定义可知m2+1=2，m﹣1≠0，从而可求得m的值．
15．已知抛物线 的顶点为 ，则 ．
【答案】-4
【解析】【解答】把 代入 ，得
，
∴b=-4．
故答案为：-4．
【分析】把 代入 即可求出b的值
16．如图，“心”形是由抛物线 和它绕着原点O，顺时针旋转60°的图形经过取舍而成的，其中点C是顶点，点A，B是两条抛物线的两个交点，点E，F，G是抛物线与坐标轴的交点，则AB= ，FG= ，CE= ．( 写出其中两个即可）
【答案】；；
【解析】【解答】解：根据旋转的性质得：∠COD=60°，
则∠COB=∠DOB=30°，
∴∠AOE=30°，
过点A作AM⊥y轴于点M，设AM=a，
∴AO=2a，OM=a，
∴点A的坐标为(-a，-a)，
设直线AB的解析式为y=kx，
则-a=-ak，
∴k=，
∴直线AB的解析式为：y=x，
当-x2+6=x，
解得x1=-2，x2=，
∴点A的坐标为(-2，-6)，点B的坐标为（，3），
∴AB==6，
令y=-x2+6=0，
解得x=±，
∵∠COD=60°，
∴∠COB=∠BOD=∠GOD=30°，
∴点B和点G关于OD对称，
∴OG=OB=2，
∴FG=OF+OG=+2，
设E点坐标为(0，m)，设E点旋转前的点为H点，则OH=m，
过点H作HN⊥x轴于点N，
∴∠HOE=60°，∠HON=30°，
∴HN=m，ON=m，
∴点H的坐标为（m，-m），
∵点H在抛物线 上，
∴，
解得m=，
∴点E的坐标为（0，），
∴OE=
∴CE=OC+OE=6+= .
故答案为： ， ， .
【分析】根据旋转的性质先求出有关角的度数，过点A作AM⊥y轴于点M，设AM=a，利用待定系数法求得直线AB的解析式，解方程求得点A、B的坐标，再利用两点间距离公式求AB长度，根据旋转的性质和对称性求OG长度，求抛物线与x轴的交点坐标，则可根据线段间和差关系求FG；设点的坐标为(0， m)，设点E旋转前的点为H，把点H的坐标用m表示，代入抛物线解析式求解，即可求出OE长，从而求出CE.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．用一根长为800cm的木条做一个长方形窗框，若宽为x cm，写出它的面积y与x之间的函数关系式，并判断y是x的二次函数吗？
【答案】解：设宽为xcm，
由题意得，矩形的周长为800cm，
∴矩形的长为cm，
∴y=x×=﹣x2+400x（0＜x＜400）．
y是x的二次函数．
【解析】【分析】根据矩形的周长表示出长，根据面积=长×宽即可得出y与x之间的函数关系式．
18．已知y=（m﹣2）+3x+6是二次函数，求m的值，并判断此抛物线开口方向，写出对称轴及对称轴顶点坐标．
【答案】解：∵y=（m﹣2）+3x+6是二次函数，
∴m﹣2≠0且m2﹣m=2．
解得：m=﹣1．
将m=﹣1代入得：y=﹣3x2+3x+6．
抛物线的对称轴为直线x=﹣=，
将x=代入得；y=6．
抛物线的顶点坐标为（，6）．
【解析】【分析】根据二次函数的定义可知m﹣2≠0且m2﹣m=2，从而可求得m的值，然后将m代入得到二次函数的解析式，然后利用二次函数的性质求解即可．
19．已知两个变量x，y之间的关系式为y=(a-2)x2+(b+2)x-3．
（1）当a，b满足什么条件时，y是关于x的二次函数？
（2）当a，b满足什么条件时，y是关于x的一次函数？
【答案】（1）解：∵两个变量x，y之间的关系式y=(a-2)x2+(b+2)x-3是y关于x的二次函数，
∴a-2≠0，
∴a≠2，
∴当a≠2，b为任意实数时，y是关于x的二次函数；
（2）解：∵两个变量x，y之间的关系式y=(a-2)x2+(b+2)x-3是y关于x的一次函数，
∴a-2=0，b+2≠0，
∴a=2，b≠-2，
∴.当a=2，b≠-2时，y是关于c的一次函数.
【解析】【分析】（1）利用二次函数定义中的二次项的系数不为0，可得到a，b的取值范围.
（2）利用一次函数的定义：含自变量的式子是一次式，可得到a-2=0，b+2≠0，分别求解，可得到a，b满足的条件.
20．已知是x的二次函数，求m的值和二次函数的解析式．
【答案】解：∵是x的二次函数，
∴，解得m=3或m=﹣1，
∴此二次函数的解析式为：y=6x2+9或y=2x2﹣4x+1．
【解析】【分析】先根据二次函数的定义求出m的值，再把m的值代入函数的解析式即可．
21．已知y=(m-2) +3x+6是二次函数，求m的值，并判断此抛物线的开口方向，写出对称轴及顶点坐标.
【答案】解：∵y=(m-2) +3x+6是二次函数，
∴m-2≠0且m2-m=2，解得m=-1.
将m=-1代入，得y=-3x2+3x+6.
抛物线开口向下，对称轴为x=- ，将x= 代入得y= ，
∴抛物线的顶点坐标为 .
【解析】【分析】根据二次函数的定义，自变量的最大指数是2，二次项的系数不能为0，列出混合组，求解得出m的值，从而得出睾的解析式，根据抛物线的顶点坐标公式即可求出其顶点坐标，对称轴直线，根据二次项的系数判断出开口方向。
22．已知矩形窗户的周长是6cm，写出窗户的面积y（m2）与窗户的一边长x（m）之间的函数关系式，并判断此函数是不是二次函数；如果是，请求出自变量x的取值范围，并画出函数的图象．
【答案】解：由题意可得：y=（3﹣x）x=﹣x2+3x，故此函数是二次函数，
0＜x＜3，如图所示：
【解析】【分析】直接利用矩形面积求法结合二次函数图象画法得出即可．
23．已知y=（m﹣1）x 是关于x的二次函数，求m的值．
【答案】解：∵y=（m﹣1）x 是关于x的二次函数，
∴m2+2m﹣1=2，
解得m=1或﹣3，
∵m﹣1≠0，
∴m≠1，
∴m=﹣3
【解析】【分析】根据二次函数的定义，自变量的最高次数是2次，二次项的系数不为0，从而列出混合组，求解得出答案。
24．如图，抛物线：y1＝ax2＋2ax（a＞0）与x轴交于点A，顶点为点P．
（1）直接写出抛物线的对称轴是 ，用含a的代数式表示顶点P的坐标 ；
（2）把抛物线，绕点M（m，0）旋转180°得到抛物线（其中m＞0），抛物线与x轴右侧的交点为点B，顶点为点Q．
①当m＝1时，求线段AB的长；
②在①的条件下，是否存在△ABP为等腰三角形．若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）直线x＝－1；（－1，－a）
（2）解：①由旋转知，MA＝MB，当y1＝0时，＝－2，＝0，∴A（－2，0），∴AO＝2，
∵M（1，0），∴AM＝3，∴AB＝2MA＝2×3＝6
②存在，∵A（－2，0），AB＝6，∴B（4，0）．∵A（－2，0），P（－1，－a），∴AP＝＝，BP2＝25＋a2，当AB＝AP时，1＋a2＝，解得＝，＝－（舍去）；
当AB＝BP时，25＋a2＝，解得＝，＝－（含去）；
当AP＝BP时，1＋a2＝25＋a2，不成立，即当a取或时，△ABP为等腰三角形．
【解析】【解答】解：（1）y1＝ax2＋2ax（a＞0）
对称轴为x==-1，
当x=-1时，y1＝a-2a=-a，
∴ 顶点P的坐标（-1，-a）.
故答案为： 直线x＝－1 ， （－1，－a）
【分析】（1）直接利用对称轴公式求出对称轴，即而求出顶点坐标；
（2）① 由旋转知MA＝MB ，令y1＝0时求出x值，即可确定A的坐标，从而得出AM的长，由AB＝2MA即可求解；
②分三种情况： 当AB＝AP时、当AB＝BP时和当AP＝BP时 ，据此分别解答即可.
25．已知 是x的二次函数，求出它的解析式．
【答案】解：根据二次函数的定义可得：m2﹣2m﹣1=2，且m2﹣m≠0，
解得，m=3或m=﹣1；
当m=3时，y=6x2+9；
当m=﹣1时，y=2x2﹣4x+1；
综上所述，该二次函数的解析式为：y=6x2+9或y=2x2﹣4x+1．
【解析】【分析】利用二次函数的定义：自变量的最高次数=2，且二次项系数≠0，建立方程和不等式，求解即可得函数解析式。
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