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第二十七章 圆与正多边形 单元综合提升卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，小伍从A点出发沿直线前进8米到达B点后向左旋转一定角度，再沿直线前进8米，到达点C后，又向左旋转相同角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了米，则每次旋转的角度为（ ）
A． B． C． D．
2．2021年3月考古人员在山西泉阳发现目前中国规模最大、保存最完好的战国水井，井壁由等长的柏木按原始榫卯结构相互搭接呈闭合的正九边形逐层垒砌，关于正九边形下列说法错误的是（ ）
A．它是轴对称图形 B．它是中心对称图形
C．它的外角和是360° D．它的每个内角都是140°
3．如图，在正六边形 中，连接 ， ，则关于 外心的位置，下列说法正确的是（ ）
A．在 内 B．在 内
C．在线段 上 D．在线段 上
4．如图，在半径为5的 中，半径 弦 于点C，连接 并延长交 于点E，连接 .若 ，则 的长为（ ）
A． B．8 C． D．
5．确定一个圆的条件是（ ）
A．已知圆心 B．已知半径
C．过三个已知点 D．过一个三角形的三个顶点
6．如图，在平面直角坐标系中，与轴相切于点，为的直径，点在函数的图象上，若的面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD=8，OP=3，则⊙O的半径为（ ）
A．10 B．8 C．5 D．3
8．如图，在平面直角坐标系中，过边长为1的正方形格点A、B、C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（ ）
A．点（5，0） B．点（2，3） C．点（6，1） D．点（1，3）
9．如图，以CD为直径的⊙O中，弦AB⊥CD于M．AB＝16，CM＝16．则MD的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2 ，Q为AC上的动点，P为Rt△ABC内一动点，且满足∠APB=120°，若D为BC的中点，则PQ+DQ的最小值是（ ）
A． B． C．4 D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在半径为的扇形中，，为的中点，过点作交于点，连接，则图中阴影部分的面积为 .
12．如图， 中， ， 是 的平分线， 是 的垂直平分线，交 于点O．若 ，则 外接圆的面积为 ．
13．如图，面积为16的正方形内接于，则的长为 ．
14．如图，已知⊙O的半径为4，CD是⊙O的直径，AC为⊙O的弦，B为CD延长线上的一点，∠ABC=30°，AB为⊙O的切线，且AB=AC．图中阴影部分的面积是 ．
15．已知 的半径为2， 中有两条平行的弦 和 ， ， ，则两条弦之间的距离为 ．
16．如图，在△ABC中，I是△ABC的内心，O是AB边上一点，⊙O经过点B且与AI相切于点I，若tan∠BAC＝，则sin∠ACB的值为 .
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BD与过点C的切线垂直于点D，BD与⊙O交于点E．
（1）求证：BC平分∠DBA；
（2）连接AE和AC，若cos∠ABD＝ ，OA＝m，请写出求四边形AEDC面积的思路．
18．如图，在中，，以斜边上的一点为圆心，以为半径作，与边交于点，与边交于点，连接，且平分．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求阴影部分的面积．（结果保留）
19．如图，四边形ABCD是平行四边形，以边AB为直径的⊙O经过点C，E是⊙O上的一点，且∠BEC=45°．
（1）试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BE=8cm，sin∠BCE=，求⊙O的半径．
20．如图，点P（x，y）在以坐标原点为圆心、5为半径的圆上，若x，y都是整数，请探究这样的点P一共有多少个？写出这些点的坐标．
21．如图，已知在中，，，延长到，使，以为圆心，长为半径作交延长线于点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求图中阴影部分的面积．
22．如图，在⊙O中，C﹑D为⊙O上两点，AB是⊙O的直径，已知∠AOC=130°，AB=2．
求：（1）的长；
（2）∠D的度数．
23．如图为一种翻盖式圆柱形茶杯，底面直径为 15 cm，高为20cm.
（1）如图①，小明通过按压点 A 打开杯盖AD 注入热水(点D，D'为对应点).若 求点 D 运动的路径长；
（2）如图②，将茶杯支在桌子上，当杯底倾斜到与桌面成53°角时，恰好将热水倒出，求此时杯子最高点 A 与桌面的距离.(参考数据：sin53°≈0.8，
24． 在中，，平分交于点E，D是边上一点，以为直径的经过点E，且交于点F．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
25． 如图，桐乡市A 正北方向50 km的B 处，有一无线电信号发射塔.已知该发射塔发射的无线电信号的有效半径为100km，AC 是一条直达嘉兴市C 的公路，从桐乡发往嘉兴的班车的速度为60 km/h.
（1）当班车从桐乡出发开往嘉兴时，车上一乘客立即打开无线电收音机，班车行驶了0.5h的时候接收到的信号最强，此时班车到发射塔的距离是多少千米(离发射塔越近，信号越强)
（2）班车从桐乡到嘉兴共行驶了 2 h，那么班车到嘉兴后还能接收到信号吗 请说明理由.
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第二十七章 圆与正多边形 单元综合提升卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，小伍从A点出发沿直线前进8米到达B点后向左旋转一定角度，再沿直线前进8米，到达点C后，又向左旋转相同角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了米，则每次旋转的角度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意：小伍从出发到第一次回到出发地点形成的轨迹为正多边形，
∵，
∴轨迹为正十二边形，
∴每次旋转的角度为
故答案为：A.
【分析】根据题意得到轨迹为正十二边形，据此即可求解．
2．2021年3月考古人员在山西泉阳发现目前中国规模最大、保存最完好的战国水井，井壁由等长的柏木按原始榫卯结构相互搭接呈闭合的正九边形逐层垒砌，关于正九边形下列说法错误的是（ ）
A．它是轴对称图形 B．它是中心对称图形
C．它的外角和是360° D．它的每个内角都是140°
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意知正九边形是轴对称图形，不是中心对称图形
∴A不符合题意，B符合题意；
由正多边形的外角和为360°可知正九边形的外角和为360°
∴C不符合题意；
由正n边形的内角为 ，可得
∴D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据正多边形的性质、多边形的内角和及外角和的性质逐项判断即可。
3．如图，在正六边形 中，连接 ， ，则关于 外心的位置，下列说法正确的是（ ）
A．在 内 B．在 内
C．在线段 上 D．在线段 上
【答案】D
【解析】【解答】解：∵正六边形的每一个外角都是 ，
∴正六边形的每一个内角都为 ，
，
在正六边形 中，AB=AF，
，
，
是直角三角形，
的外心是BE的中点，
故答案为：D
【分析】根据正六边形的性质先判断△BFE的形状，再确定其外心的位置.
4．如图，在半径为5的 中，半径 弦 于点C，连接 并延长交 于点E，连接 .若 ，则 的长为（ ）
A． B．8 C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为5，
∴OA＝OD＝5，
∵CD＝2，
∴ ，
∵OD⊥AB，
∴ ，
∵OA＝OE，
∴OC是△ABE的中位线，
∴BE＝2OC＝6，
∴ ，
故答案为：D.
【分析】先求出，利用垂径定理及勾股定理求出AC=BC=4，根据三角形中位线定理可得BE＝2OC＝6，再利用勾股定理求出EC的长即可.
5．确定一个圆的条件是（ ）
A．已知圆心 B．已知半径
C．过三个已知点 D．过一个三角形的三个顶点
【答案】D
【解析】【解答】解：确定一个圆的条件是圆心和半径，过一个三角形的三个顶点即可确定一个圆，
故选D．
【分析】已知圆心和半径所作的圆就是唯一的．
6．如图，在平面直角坐标系中，与轴相切于点，为的直径，点在函数的图象上，若的面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：如图连接，
是直径，
，
，
，
与轴相切于点，
轴，
，
，
故选：．
【分析】本题查圆的切线性质，三角形面积，反比例函数的知识。由AC=AB得，，由切线得CB⊥OB得，得K值，
7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD=8，OP=3，则⊙O的半径为（ ）
A．10 B．8 C．5 D．3
【答案】C
【解析】【解答】解：连接OC，
∵CD⊥AB，CD=8，
∴PC= CD= ×8=4，
在Rt△OCP中，
∵PC=4，OP=3，
∴OC= = =5．
故选C．
【分析】连接OC，先根据垂径定理求出PC的长，再根据勾股定理即可得出OC的长．
8．如图，在平面直角坐标系中，过边长为1的正方形格点A、B、C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（ ）
A．点（5，0） B．点（2，3） C．点（6，1） D．点（1，3）
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，∵过格点A，B，C作一圆弧，而 的垂直平分线交于点
∴三点组成的圆的圆心为： ，
∵只有 时， 与圆相切，
∴当 时，
此时满足
∴
∴ 点的坐标为：（1，3），
∴点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是：（1，3）．
故答案为：D．
【分析】先确定圆弧的圆心的位置，再利用切线的判定得出只有 时， 与圆相切，从而得出 ，满足条件，即可得出答案。
9．如图，以CD为直径的⊙O中，弦AB⊥CD于M．AB＝16，CM＝16．则MD的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【解析】【解答】连接OB
∵且过圆心，
∴
设半径为r，则
在中，
解得：
∴
∴
故选A．
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理.连接OB，根据垂径定理得出，代入数据可求出AM，设半径为r，再根据勾股定理可列出方程，解方程可求出r的值，利用线段的运算可求出OM，DM进而可求出答案．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2 ，Q为AC上的动点，P为Rt△ABC内一动点，且满足∠APB=120°，若D为BC的中点，则PQ+DQ的最小值是（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】A
【解析】【解答】解：如图以AB为边，向左边作等边△ABE，作△ABE的外接圆⊙O，连接OB，则点P在⊙O上.
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2 ，
∴AB=4 ，
则易知OB=4，OB⊥BC，
作点D关于AC的对称点D′，连接OD′，OP，PD′，PD′交AC于Q，则PQ+QD=PQ+QD′=PD′，
∵PD′≥OD′-OP，OP=OB=4，OD′= = ，
∴PD′≥ -4，
∴PQ+DQ的最小值为 -4，
故答案为：A.
【分析】以AB为边，向左边作等边△ABE，作△ABE的外接圆⊙O，连接OB，则点P在⊙O上，再利用含30°直角三角形的边之间的关系求出AB的长，同时可求出OB的长；作点D关于AC的对称点D′，连接OD′，OP，PD′，PD′交AC于Q，则PQ+QD=PQ+QD′=PD′，利用三角形的三边关系定理可证得PD′≥OD′-OP，利用勾股定理求出OD′的长，可求出PD′的取值范围，然后求出PQ+DQ的最小值.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在半径为的扇形中，，为的中点，过点作交于点，连接，则图中阴影部分的面积为 .
【答案】
【解析】【解答】∵DE∥OA ，∠AOB=90°，
∴∠ODE=90°，
∵OE=OB，点D为OB的中点，
∴OE=2OD，
∴∠DEO=30°，
∴∠AOE=∠DEO=30°，
∵扇形OAB的半径为，
∴S阴影=，
故答案为：.
【分析】先求出∠AOE=∠DEO=30°，再利用扇形面积公式列出算式求解即可.
12．如图， 中， ， 是 的平分线， 是 的垂直平分线，交 于点O．若 ，则 外接圆的面积为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴BD=CD，AD⊥BC，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴点O是△ABC外接圆的圆心，
∵OA=3，
∴△ABC外接圆的面积=
故答案为： ．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质，得出BD=CD，AD⊥BC，由EF是AC的垂直平分线，可得点O是△ABC外接圆的圆心，从而得出半径OA=3，利用圆的面积公式计算即得.
13．如图，面积为16的正方形内接于，则的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：连接OA、OB，如图所示：
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴∠AOB=90°，
∵正方形的面积为16，
∴，
设圆的半径为r，在Rt△AOB中，根据勾股定理可知，，
即，
∴，
．
故答案为：．
【分析】连接OA、OB，设圆的半径为r，在Rt△AOB中，根据勾股定理可得，求出r的值，再利用弧长公式求解即可。
14．如图，已知⊙O的半径为4，CD是⊙O的直径，AC为⊙O的弦，B为CD延长线上的一点，∠ABC=30°，AB为⊙O的切线，且AB=AC．图中阴影部分的面积是 ．
【答案】 π+4
【解析】【解答】解：如图，连接OA，AD，
∵AB=AC，∠ABC=30°，
∴∠ABC=∠ACB=30°．
∴∠AOB=2∠ACB=60°，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DAC=90°．
∵∠ACB=30°，
∴AD= CD=4，
则根据勾股定理知AC= =4 ，
在△ADC中，∠DAC=90°，AD=4，AC=4 ，则S△ADC= AD AC= ×4×4 =8 ．
∵点O是△ADC斜边上的中点，
∴S△AOC= S△ADC=4 ．
根据图示知，S阴影=S扇形ADO+S△AOC= +4 = +4 ，即图中阴影部分的面积是 π+4 ；
故答案为 π+4 ．
【分析】如图，连接OA，AD，构建直角△ADC，利用“30度角所对的直角边是斜边的一半”求得AD=4，然后利用勾股定理来求弦AC的长度；根据图示知，图中阴影部分的面积=扇形ADO的面积+△AOC的面积．
15．已知 的半径为2， 中有两条平行的弦 和 ， ， ，则两条弦之间的距离为 ．
【答案】 或
【解析】【解答】解：①当弦 和 在圆心同侧时，如图1所示，
， ，
， ，
，
， ，
；
②当弦 和 在圆心异侧时，如图2所示，
， ，
， ，
，
， ，
；
综上所述： 和 之间的距离为 或 ．
故答案为： 或
【分析】分两种情况进行讨论：①弦 和 在圆心同侧；②弦 和 在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可
16．如图，在△ABC中，I是△ABC的内心，O是AB边上一点，⊙O经过点B且与AI相切于点I，若tan∠BAC＝，则sin∠ACB的值为 .
【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接OI并延长交AC于D，连接BI，
∵AI与⊙O相切，
∴AI⊥OD，
∴∠AIO＝∠AID＝90°，
∵I是△ABC的内心，
∴∠OAI＝∠DAI，∠ABI＝∠CBI，
∵AI＝AI，
∴△AOI≌△ADI（ASA），
∴AO＝AD，
∵OB＝OI，
∴∠OBI＝∠OIB，
∴∠OIB＝∠CBI，
∴OD∥BC，
∴∠ADO＝∠C，
作OE⊥AC于E，
∵tan∠BAC＝＝，
∴不妨设OE＝24k，AE＝7k，
∴OA＝AD＝25k，
∴DE＝AD﹣AE＝18k，
∴OD＝＝30k，
∴sin∠ACB＝＝＝ .
故答案为：.
【分析】连接OI并延长交AC于D，连接BI，利用切线的性质可证得AI⊥OD，∠AIO＝∠AID，利用三角形内心的定义可得到∠OAI＝∠DAI，∠ABI＝∠CBI，利用ASA证明△AOI≌△ADI，利用全等三角形的性质可证得AO=AD；再证明OD∥BC，利用平行线的性质可得∠ADO＝∠C；作OE⊥AC于E，利用已知设OE＝24k，AE＝7k，可表示出OA，AD的长，利用勾股定理表示出OD的长，然后利用锐角三角函数的定义可求出sin∠ACB的值.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BD与过点C的切线垂直于点D，BD与⊙O交于点E．
（1）求证：BC平分∠DBA；
（2）连接AE和AC，若cos∠ABD＝ ，OA＝m，请写出求四边形AEDC面积的思路．
【答案】（1）证明：如图1中，连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，∵BD⊥CD，
∴OC∥BD，
∴∠OCB＝∠CBD，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠CBO＝∠CBD，
∴BC平分∠DBA
（2）解：如图连接A
C、AE．
∵cos∠ABD＝ ，
∴∠ABD＝60°，
由（1）可知，∠ABC＝∠CBD＝30°，
在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝2m，
∴BC＝AB cos30°＝ m，
在Rt△ABE中，∵∠AEB＝90°，∠BAE＝30°，AB＝2m，
∴BE＝ AB＝m，AE＝ m，
在Rt△CDB中，∵∠D＝90°，∠CBD＝30°，BC＝ m，
∴CD＝ BC＝ m，BD＝ m，
∴DE＝DB﹣BE＝ m．
∴S梯形AEDC＝ （CD+AE） DE＝ m2．
【解析】【分析】（1）根据切线的性质，即可得到OC⊥CD，即可证明OC∥BD，根据直线平行的性质即可证明BC为角平分线。
（2）根据题目所求图形的面积为梯形，根据梯形的面积公式求出其上下两个底以及高，根据数据求出面积即可。
18．如图，在中，，以斜边上的一点为圆心，以为半径作，与边交于点，与边交于点，连接，且平分．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求阴影部分的面积．（结果保留）
【答案】（1）证明：如图，连接．
平分．
，
．
，即．
又为的半径，
是的切线．
（2）解：如图，连接，设与交于点．
平分，
．
为等边三角形，
．
平分，
．
四边形是菱形，
，
阴影部分的面积．
【解析】【分析】（1）根据切线的判定、等腰三角形的性质求解。连接，利用角平分线和半径之间关系证出，结合得，根据切线的判定推出即可；
（2）根据等边三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、扇形的面积公式求解。连接、，由题干得为等边三角形，利用半径相等得四边形是菱形，得出阴影部分的面积=扇形的面积，求出扇形的面积即可．
19．如图，四边形ABCD是平行四边形，以边AB为直径的⊙O经过点C，E是⊙O上的一点，且∠BEC=45°．
（1）试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BE=8cm，sin∠BCE=，求⊙O的半径．
【答案】解：（1）相切．理由如下：
连接OC，如图，
∵∠BEC=45°，
∴∠BOC=90°，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．
∴∠OCD=∠BOC=90°，
∴OC⊥CD．
∴CD为⊙O的切线；
（2）连接AE，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵∠EAB=∠BCE，sin∠BCE=，
∴sin∠EAB=，
∴=，
∵BE=8，
∴AB=10，
∴AO=AB=5，
∴⊙O的半径为5 cm．
【解析】【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠BOC=2∠BEC=90°，再根据平行四边形的性质可得AB∥CD，则∠OCD=∠BOC=90°，然后根据切线的判定定理即可得到CD与⊙O相切；
（2）连接AE，根据圆周角定理及其推论得∠AEB=90°，∠EAB=∠BCE，而sin∠BCE=，则sin∠EAB=，根据三角函数的定义易求出AB，即可得到圆的半径．
20．如图，点P（x，y）在以坐标原点为圆心、5为半径的圆上，若x，y都是整数，请探究这样的点P一共有多少个？写出这些点的坐标．
【答案】解：分为两种情况：
①若这个点在坐标轴上，那么有四个，它们是（0，5），（5，0），（﹣5，0），（0，﹣5）；
②若这个点在象限内，
∵52=42+32，而P都是整数点，
∴这样的点有8个，分别是（3，4），（﹣3，4），（3，﹣4），（﹣3，﹣4），（4，3）（﹣4，3），（4，﹣3 ），（﹣4，﹣3），
∴这些点的坐标共有12个．
【解析】【分析】先为两种情况：①若这个点在坐标轴上，那么有四个；②若这个点在象限内，由52=42+32，可知在每个象限有两个，总共12个，即可得出答案．
21．如图，已知在中，，，延长到，使，以为圆心，长为半径作交延长线于点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：连接，
，，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
即，
为半径，
是的切线；
（2）解：，，，
，
由勾股定理得：，
．
【解析】【分析】（1）连接，先根据角的运算得到，再根据等边三角形的判定与性质得到，，进而结合题意证明，从而运用切线的判定即可求解；
（2）先根据含30°角的直角三角形的性质得到，进而根据勾股定理求出CD，再根据扇形的面积公式结合“”即可求解。
22．如图，在⊙O中，C﹑D为⊙O上两点，AB是⊙O的直径，已知∠AOC=130°，AB=2．
求：（1）的长；
（2）∠D的度数．
【答案】解：（1）∵∠AOC=130°，AB=2，
∴=；
（2）由∠AOC=130°，
得∠BOC=50°，
又∵∠D=∠BOC，
∴∠D=×50°=25°．
【解析】【分析】（1）直接利用弧长公式求出即可；
（2）利用邻补角的定义以及圆周角定理得出即可．
23．如图为一种翻盖式圆柱形茶杯，底面直径为 15 cm，高为20cm.
（1）如图①，小明通过按压点 A 打开杯盖AD 注入热水(点D，D'为对应点).若 求点 D 运动的路径长；
（2）如图②，将茶杯支在桌子上，当杯底倾斜到与桌面成53°角时，恰好将热水倒出，求此时杯子最高点 A 与桌面的距离.(参考数据：sin53°≈0.8，
【答案】（1）解：点D的运动路径长为
∴点D的运动路径长为10πcm
（2）解：如图，过点D作DG⊥CG于G，过点A作AF⊥DG于F，
由题意可知，∠FAD=∠GDC=∠BCH=53°，
∵AD=15cm，DC=20cm，
∴，，
∴FD=12cm，DG=12cm，
∴FG=24cm，
∴此时杯子最高点A距离桌面的距离为24cm
【解析】【分析】(1)直接代入弧长公式即可得出答案；
(2)过点D作DG⊥CG于G，过点A作AF⊥DG于F，由题意可知，∠FAD=∠GDC=∠BCH=53°，利用，，得FD=12cm，DG=12cm，从而得出答案.
24． 在中，，平分交于点E，D是边上一点，以为直径的经过点E，且交于点F．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：如图，连接，
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，即．
∵为半径，
∴是的切线；
（2）解：如图，连接，过点O作于点M，
∴四边形为矩形，
∴，，．
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴，，
∵OM⊥BF，
∴BM=MF=3，
∴BF=BF+MF=6，
∴OB=OF=BF=6，
∴为等边三角形，
∴．
由（1）可知，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）证切线，已知切点，连半径证垂直，作辅助线连接OE，先根据角平分线定义和等腰三角形两底角相等得到∠BEO=∠CBE，再根据内错角相等，两直线平行得到OE∥CB，再根据两直线平行，同位角相等得到∠OEA=∠C=90°，根据经过半径的外端并垂直于这条半径的直线是圆的切线即可证明；
（2）求阴影面积，先求三角形面积和扇形面积，再相减即可；由矩形的性质可得到OM=CE，CM=OE=OB以及∠OMF=90°，设半径为x，在直角三角形OMF中由勾股定理列出方程解出x，进而求出MF，再根据垂径定理可得BF=2MF=6，即可证得三角形OBF为等边三角形，求得∠OBC=60°，由两直线平行同位角相等可得∠AOE=∠ABC=60°，根据扇形面积公式即可求出扇形面积；根据可求出AE长，即可求出直角三角形AOE面积，相减即可求出阴影面积.
25． 如图，桐乡市A 正北方向50 km的B 处，有一无线电信号发射塔.已知该发射塔发射的无线电信号的有效半径为100km，AC 是一条直达嘉兴市C 的公路，从桐乡发往嘉兴的班车的速度为60 km/h.
（1）当班车从桐乡出发开往嘉兴时，车上一乘客立即打开无线电收音机，班车行驶了0.5h的时候接收到的信号最强，此时班车到发射塔的距离是多少千米(离发射塔越近，信号越强)
（2）班车从桐乡到嘉兴共行驶了 2 h，那么班车到嘉兴后还能接收到信号吗 请说明理由.
【答案】（1）解：如图，过点 B 作 BM⊥AC 于点M.
由题意可知，班车行驶0.5h的时候到达点 M，
则AM=60×0，5=30(km)，
又∵AB=50 km，
∴在 Rt△ABM 中，由勾股定理，得 40(km)，
∴此时班车到发射塔的距离是40 km
（2）解：能.理由：如图，连结 BC.
∵AC=60×2= 120(km)， AM =30km，
∴CM = AC - AM = 120 - 30 =90(km).
在 Rt△BMC 中，由勾股定理，得 BC=
∴班车到嘉兴后还能接收到信号
【解析】【分析】(1)过点 B 作 BM⊥AC 于点M，利用垂线段最短找到信号最强时班车的位置，再用勾股定理求距离；
(2)通过计算班车到嘉兴后与发射塔的距离并与发射塔有效半径比较来判断能否接收到信号.
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