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锐角三角函数 单元强化提升卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝2，则cosA＝（ ）
A． B． C． D．
2． 的值等于（ ）
A． B． C．1 D．
3．如图，马航370失联后，“海巡31”船匀速在印度洋搜救，当它行驶到A处时，发现它的北偏东30°方向有一灯塔B，海巡船继续向北航行4小时后到达C处，发现灯塔B在它的北偏东60°方向．若海巡船继续向北航行，那么要再过多少时间海巡船离灯塔B最近？（ ）
A．1小时 B．2小时
C．小时 D．2小时
4．正方形 的边长 ， 为 的中点， 为 的中点， 分别与 相交于点 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处已知AB=8，BC=10，则tan∠EFC的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，，的垂直平分线交于D，连接，若，则BC的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，大坝横截面的迎水坡AB的坡比为1：2，即BC：AC＝1：2，若坡面AB的水平宽度AC为12米，则斜坡AB的长为（ ）
A．4 米 B．6 米 C．6 米 D．24米
8．的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，一艘轮船以每小时 海里的速度沿正北方航行，在 处测得灯塔 在北偏西 方向上，轮船航行 小时后到达 处，在 处测得灯塔 在北偏西 方向上，当轮船到达灯塔 的正东方向 处时，则轮船航程 的距离是（ ）
A． 海里 B． 海里 C． 海里 D． 海里
10．如图，把一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在E处，BE与AD相交于点F，下列结论：①BD=AD2+AB2；②△ABF≌△EDF；③ ＝
④AD=BD cos45°．其中正确的一组是（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图1是超市手推车，如图2是其侧面示意图，已知前后车轮半径均为5cm，两个车轮的圆心的连线AB与地面平行，测得支架AC＝BC＝60cm，AC、CD所在直线与地面的夹角分别为30°、60°，CD＝50cm.
（1）求扶手前端D到地面的距离为 ；
（2）手推车内装有简易宝宝椅，EF为小坐板，打开后，椅子的支点H到点C的距离为10cm，DF＝20cm，EF∥AB，∠EHD＝45°，坐板EF的宽度为 .
12．如图，B为地面上一点，测得B到树底部C的距离为，在B处放置高的测角仪，测得树顶A的仰角为，则树高为 m（结果保留根号）．
13．由于四边形具有不稳定性，如图，将正方形ABCD向下挤压变形后得到菱形．若， 则菱形与原正方形ABCD的面积之比为
14．已知a为锐角，tan（90°﹣a）=，则a的度数为 °.
15． 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=2，sinA= ，则斜边上的中线 CD 的长为 .
16．如图，在 中， 于点D， 于点E， ， 交于点O，F为 的中点，连接 ， ， ，则下列结论：① ；② ；③ ；④若 时， .其中正确的是 （把所有正确结论的序号都选上）
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．教育部布的《基础教育课程改革纲要》要求每位学生每学年都要参加社会实践活动，某学校组织了一次测量探究活动，如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度1： ，AB＝10米，AE＝21米，求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据： ≈1.41， ≈1.73，tan53°≈ ，cos53°≈0.60）
18．图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知踏板CD长为1.6m，CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，支架AC长为0.8m，∠ACD为80°，求跑步机手柄的一端A的高度h（精确到0.1m）．
（参考数据：sin12°=cos78°≈0.21，sin68°=cos22°≈0.93，tan68°≈2.48）
19．随着天气的逐渐炎热(如图1)，遮阳伞在我们的日常生活中随处可见如图2所示，遮阳伞立柱OA垂直于地面，当将遮阳伞撑开至OD位置时，测得∠ODB=45°，当将遮阳伞撑开至OE位置时，测得∠OEC=30°，且此时遮阳伞边沿上升的竖直高度BC为20cm，求若当遮阳伞撑开至OE位置时伞下阴凉面积最大，求此时伞下半径EC的长。(结果保留根号)
20．如图，某工厂为了提升生产过程中所产生废气的净化效率，需在气体净化设备上增加一条管道，已知，，求管道的总长．
21．如图，某居民楼AB的前面有一围墙CD，在点E处测得楼顶A的仰角为25°，在F处测得楼顶A的仰角为45°，且CE的高度为2米，CF之间的距离为20米（B，F，C在同一条直线上）.求居民楼AB的高度.（参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，结果保留整数）
22．2021年4月29日 11时23分，中国空间站天和核心舱在海南文昌航天发射场发射升空，准确进入预定轨道，任务取得成功，建造空间站、建成国家太空实验室，是实现我国载人航天工程“三步走”战略的重要目标，是建设科技强国、航天强国的重要引领性工程，天和核心舱发射成功，标志着我国空间站建造进入全面实施阶段，为后续任务展开奠定了坚实基础。
某校航天爱好者的同学们构建数学模型，使用卷尺和测角仪测量天和核心舱的高度．如图所示，核心舱架设在1米的稳固支架上，他们先在水平地面点B处测得天和核心舱最高点A的仰角为22°，然后沿水平MN方向前进24米，到达点C处，测得点A的仰角为45°，测角仪MB的高度为1.6米，求天和核心舱的高度．
(结果精确到0.1米，参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40， ≈1.41)
23．如图①，西安奥体中心体育场作为2021年第十四届全运会的主会场，以西安市花“石榴花”为构思，以“丝路起航，盛世之花”为立意，让建筑、自然与人共生共融.小明和数学实践小组的同学想知道西安奥体中心主体育场馆的高度，于是他们拿着测倾器和皮尺来到奥体中心，如图②所示，小明选定场馆前的一棵树CD来测量，他先调整测倾器的位置发现，在H处观测树顶C的仰角为30°，此时恰好看到场馆AB的顶部A（G，C、A三点在一条直线上）；接着，小明从H处出发沿HB方向前进26m到达F处，此时观测树顶C的仰角为60°，测得BD＝60m，测倾器的高度GH＝EF＝1m，已知AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，CH⊥BH，点D、F在BH上，求西安奥体中心主体育场馆AB的高度.（结果保留根号）
24．项目式学习
目的 探究遮阳篷的影子长度
素材1 图1是一款固定在墙上的遮阳篷，篷面可伸缩，还可以绕固定在墙上的轴旋转．在遮阳篷下，离墙米处有一盆铁树盆景．图2是遮阳篷侧面示意图．表示墙面，表示篷面，可以绕点A旋转，其中米．为了获得更好的遮阳效果，将篷面延伸至最长，此时米．
素材2 此地某天上午不同时间的太阳高度角（即太阳光线与地面的夹角，如图2中的）的数据表：时刻8：009：0010：0011：0012：00太阳高度角（度）
观察·思考 在这天10：00时，将篷面与墙面的夹角调整为．任务1：求点D到墙的距离；任务2：铁树能否会被太阳光照射到？
探究·发现 调节篷面伸缩的长度或篷面与墙面的夹角，可以改变篷面在地面的影长l．
解答问题（，结果精确到米）
（1）完成任务1，要有必要的解答过程．（2）完成任务2，要有必要的解答过程．（3）直接写出这天10：00时，l的最大值以及相应的的度数．
25．在日常生活中我们经常会使用到订书机(装订机)，如图，MN是订书机的底座，AB是订书机的托板，始终与底座平行，连接杆DE的D点固定，点E从A向B处滑动，压柄BC可绕着转轴B旋转．已知BC=AB=12cm，BD=5cm．
（1）当托板与压柄夹角∠ABC=37°时，如图1，点E从A点滑动了2cm，求连接杆DE的长度．
（2）当压柄BC从(1)中的位置旋转到与底座AB的夹角∠ABC=127°时，如图2．求这个过程中点E滑动的距离．(结果保留根号，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75)
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锐角三角函数 单元强化提升卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝2，则cosA＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】由勾股定理得，AC＝ ＝ ＝ ，
则cosA＝ ＝ ＝ ，
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理先求出AC，再用余弦三角函数定义求值即可.
2． 的值等于（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】【解答】解： .
故答案为：A.
【分析】根据特殊角的三角函数值，即可得解.
3．如图，马航370失联后，“海巡31”船匀速在印度洋搜救，当它行驶到A处时，发现它的北偏东30°方向有一灯塔B，海巡船继续向北航行4小时后到达C处，发现灯塔B在它的北偏东60°方向．若海巡船继续向北航行，那么要再过多少时间海巡船离灯塔B最近？（ ）
A．1小时 B．2小时
C．小时 D．2小时
【答案】B
【解析】【解答】解：作BD⊥AC于D，如下图所示：
易知：∠DAB=30°，∠DCB=60°，
则∠CBD=∠CBA=30°．
∴AC=BC，
可得∠DBC=30°，
故CD=BC，
∵海巡船从A点继续向北航行4小时后到达C处，
∴海巡船继续向北航行2小时到达D处．
故选：B．
【分析】过B作AC的垂线，设垂足为D．由题易知：∠DAB=30°，∠DCB=60°，则∠CBD=∠CBA=30°，得AC=BC．根据BC（即AC）的长求出CD的长的关系，进而可求出该船需要继续航行的时间．
4．正方形 的边长 ， 为 的中点， 为 的中点， 分别与 相交于点 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD，
∴AD=AB=BC=2，∠DAE=∠ABF=90°
∵E为AB的中点，F为BC的中点
∴AE=BF=1
∴
在△ABF和△DAE中
BF=AE，∠DAE=∠ABF，AD=AB
∴△ABF≌△DAE
∴AF=DE=，∠BAF=∠ADE
∵∠BAF+∠DAM=90°
∴∠ADE+∠DAM=90°
∴∠AME=∠AMD=90°
∴
∴
解之：
∵AD∥BF
∴
解之：
∴
故答案为：C
【分析】根据正方形的性质及勾股定理求出DE、AF的长，再利用全等三角形的判定和性质，及锐角三角函数的定义求出AM的长，然后根据平行线分线段成比例求出AN的长，从而可求出MN的长即可。
5．如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处已知AB=8，BC=10，则tan∠EFC的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：根据题意可得：在Rt△ABF中，有AB=8，AF=AD=10，BF=6，
而Rt△ABF∽Rt△EFC，故有∠EFC=∠BAF，故tan∠EFC=tan∠BAF= = ．
故答案为：A．
【分析】根据折叠的性质和锐角三角函数的概念来解决．
6．如图，在中，，，的垂直平分线交于D，连接，若，则BC的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵MN为线段AB的垂直平分线，
∴BD=AD.
∵cos∠BDC=，
∴可设CD=3k，AD=5k.
∵AC=16，
∴CD+AD=8k=16，
∴k=2，
∴BD=AD=5k=10，CD=3k=6，
∴BC===8.
故答案为：B.
【分析】根据垂直平分线的性质可得BD=AD，由三角函数的概念可设CD=3k，AD=5k，结合AC=16可得k的值，然后求出BD、CD，再利用勾股定理就可求出BC.
7．如图，大坝横截面的迎水坡AB的坡比为1：2，即BC：AC＝1：2，若坡面AB的水平宽度AC为12米，则斜坡AB的长为（ ）
A．4 米 B．6 米 C．6 米 D．24米
【答案】C
【解析】【解答】解：∵大坝横截面的迎水坡AB的坡比为1：2，AC＝12米，
∴ ，
∴BC＝6，
∴AB＝ ＝ ＝6 （米）.
故答案为：C.
【分析】根据坡面AB的坡比以及AC的值，求出BC，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长.
8．的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：
又
故答案为：D
【分析】根据正弦、余弦、正切函数的增减性比较大小，进而即可求解。
9．如图，一艘轮船以每小时 海里的速度沿正北方航行，在 处测得灯塔 在北偏西 方向上，轮船航行 小时后到达 处，在 处测得灯塔 在北偏西 方向上，当轮船到达灯塔 的正东方向 处时，则轮船航程 的距离是（ ）
A． 海里 B． 海里 C． 海里 D． 海里
【答案】C
【解析】【解答】由题意得 ，
∴ ，
∴ 海里，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴
∴ (海里)
故答案为：C．
【分析】根据三角形外角和定理可求得 继而求得BC的值，然后放到直角三角形BCD中，借助60°角的余弦值求得BD的值，即可解答．
10．如图，把一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在E处，BE与AD相交于点F，下列结论：①BD=AD2+AB2；②△ABF≌△EDF；③ ＝
④AD=BD cos45°．其中正确的一组是（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
【答案】B
【解析】【解答】①∵△ABD为直角三角形，
∴BD2=AD2+AB2 ，
∴BD≠AD2+AB2 ，错误；
②根据折叠性质可知：DE=CD=AB，∠A=∠E，∠AFB=∠EFD，∴△ABF≌△EDF（AAS），正确；
③根据②可以得到△ABF≌△EDF，∴ ＝ =1，正确；
④在Rt△ABD中，∠ADB≠45°，∴AD≠BD cos45°，错误.
综上，正确的有 ②③ .
故答案为：B.
【分析】①由于△ABD为直角三角形，由勾股定理可得BD2=AD2+AB2；②根据矩形的性质结合折叠的性质DE=CD=AB，利用角角边定理可证△ABF≌△EDF；③由于△ABF≌△EDF，对应边之比等于1；④用三角函数的定义可得AD≠BD cos45°.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图1是超市手推车，如图2是其侧面示意图，已知前后车轮半径均为5cm，两个车轮的圆心的连线AB与地面平行，测得支架AC＝BC＝60cm，AC、CD所在直线与地面的夹角分别为30°、60°，CD＝50cm.
（1）求扶手前端D到地面的距离为 ；
（2）手推车内装有简易宝宝椅，EF为小坐板，打开后，椅子的支点H到点C的距离为10cm，DF＝20cm，EF∥AB，∠EHD＝45°，坐板EF的宽度为 .
【答案】（1）（35+25 ）cm
（2）（20 ﹣20）
【解析】【解答】解：（1）如图2，过C作CM⊥AB，垂足为M，
又过D作DN⊥AB，垂足为N，过C作CG⊥DN，垂足为G，则∠DCG＝60°.
∵AC＝BC＝60cm，AC、CD所在直线与地面的夹角分别为30°、60°，
∴∠A＝∠B＝30°，
则在Rt△AMC中，CM＝ ＝30cm.
∵在Rt△CGD中，sin∠DCG＝ ，CD＝50cm，
∴DG＝CD sin∠DCG＝50×sin60°＝ （cm）.
又GN＝CM＝30cm，前后车轮半径均为5 cm，
∴扶手前端D到地面的距离为DG+GN+5＝25 +30+5＝35+25 （cm）；
故答案为：（35+25 ）cm；
（2）∵EF∥CG∥AB，
∴∠EFH＝∠DCG＝60°，
∵CD＝50cm，椅子的支点H到点C的距离为10cm，DF＝20cm，
∴FH＝20cm，
如图2，过E作EQ⊥FH，垂足为Q，设FQ＝x，
在Rt△EQF中，∠EFH＝60°，
∴EF＝2FQ＝2x，EQ＝ x，
在Rt△EQH中，∠EHD＝45°，
∴HQ＝EQ＝ x，
∵HQ+FQ＝FH＝20cm，
∴ x+x＝20，
解得x＝ .
∴EF＝2（10 ﹣10）＝20 ﹣20（cm）.
答：坐板EF的宽度为（20 ﹣20）cm.
故答案为：（20 ﹣20）cm.
【分析】（1）过C作CM⊥AB，垂足为M，过D作DN⊥AB，垂足为N，过C作CG⊥DN，垂足为G，则∠DCG＝60°，由题意可得∠A＝∠B＝30°，则CM=AC=30cm，根据∠DCG的正弦函数可得DG，据此求解；
（2）由平行线的性质可得∠EFH＝∠DCG＝60°，由题意可得FH＝20cm，过E作EQ⊥FH，垂足为Q，设FQ＝x，则EF＝2x，HQ＝EQ＝x，根据HQ+FQ＝FH＝20cm可得x，进而可求出EF.
12．如图，B为地面上一点，测得B到树底部C的距离为，在B处放置高的测角仪，测得树顶A的仰角为，则树高为 m（结果保留根号）．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，
∵DE⊥AC于点E，
∴∠AED=90°，四边形DBCE是矩形，
∴CE=BD=1m，BC=ED=10m，
∵ 树顶A的仰角为60°，
∴.
故答案为： .
【分析】利用垂直的定义可证得∠ADE=90°，同时可得到四边形DBCE是矩形，利用矩形的性质可求出CE，DE的长；再利用解直角三角形求出AE的长，根据AC=AE+CE，代入计算求出AC的长.
13．由于四边形具有不稳定性，如图，将正方形ABCD向下挤压变形后得到菱形．若， 则菱形与原正方形ABCD的面积之比为
【答案】
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ADC=90°，正方形ABCD的面积=CD2.
∵菱形A′B′CD，
∴A′D=CD.
∵∠ADA′=30°，
∴∠A′DC=60°，
∴CD边上的高=A′D·sin60°=A′D=CD，
∴菱形A′B′CD的面积为CD2，
∴菱形A′B′CD与原正方形ABCD的面积之比为：.
故答案为：.
【分析】根据正方形的性质可得∠ADC=90°，正方形ABCD的面积=CD2，由菱形的性质可得A′D=CD，根据角的和差关系可得∠A′DC=∠ADC-∠ADA′=60°，由三角函数的概念可得CD边上的高，然后表示出菱形A′B′CD的面积，据此求解.
14．已知a为锐角，tan（90°﹣a）=，则a的度数为 °.
【答案】30
【解析】【解答】解：∵α为锐角，tan（90°﹣α）=，
∴90°﹣α=60°，
∴α=30°．
故答案为：30．
【分析】先根据α为锐角及tan60°=解答即可．
15． 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=2，sinA= ，则斜边上的中线 CD 的长为 .
【答案】4
【解析】【解答】解： 中，
∵CD斜边上的中线，
故答案为：4.
【分析】在直角三角形中，利用 的正弦、BC与AB间关系，计算得结论.
16．如图，在 中， 于点D， 于点E， ， 交于点O，F为 的中点，连接 ， ， ，则下列结论：① ；② ；③ ；④若 时， .其中正确的是 （把所有正确结论的序号都选上）
【答案】①②③④
【解析】【解答】解：∵ 于点D， 于点E
∴
∵F为 的中点
∴ ，
∴ ，选项①正确；
∵ ，
∴
∴ ，即
∴②正确；
∵
∴
又∵
∴
∴
∵ ，
∴
∵
∴
∴③正确；
∵ ，
∴
∵F为 的中点
∴
∴
∴④正确；
故答案为：①②③④.
【分析】结合 于点D， 于点E，利用直角三角形斜边中线的性质，即可得 ；根据 ， ，可判定 ，从而证明 ，再通过证明 得 ，结合题意，得 ，即可完成 证明；根据 ， ，通过特殊角度三角函数值，即可得到 ，再结合F为 的中点，可推导得 .
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．教育部布的《基础教育课程改革纲要》要求每位学生每学年都要参加社会实践活动，某学校组织了一次测量探究活动，如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度1： ，AB＝10米，AE＝21米，求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据： ≈1.41， ≈1.73，tan53°≈ ，cos53°≈0.60）
【答案】解：过B作BG⊥DE于G，BH⊥AE于H， Rt△ABF中，i＝tan∠BAH＝ ， ∴∠BAH＝30°， ∴BH＝ AB＝5；AH＝5 ， ∴BG＝AH+AE＝5 +21， 在Rt△BGC中，∠CBG＝45°， ∴CG＝BG＝5 +21， 在Rt△ADE中，∠DAE＝53°，AE＝21， ∴DE＝ AE＝28． ∴CD＝CG+GE﹣DE＝26+5 ﹣28≈6.7m． 答：宣传牌CD高约6.7米．
【解析】【分析】过B作BG⊥DE于G，BH⊥AE，在△ADE中解直角三角形求出DE的长，进而可求出EH即BG的长，在Rt△CBG中，∠CBG＝45°，则CG＝BG，由此可求出CG的长然后根据CD＝CG+GE﹣DE即可求出宣传牌的高度．
18．图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知踏板CD长为1.6m，CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，支架AC长为0.8m，∠ACD为80°，求跑步机手柄的一端A的高度h（精确到0.1m）．
（参考数据：sin12°=cos78°≈0.21，sin68°=cos22°≈0.93，tan68°≈2.48）
【答案】解：过C点作FG⊥AB于F，交DE于G．
∵CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，∠ACD为80°，
∴∠ACF=∠FCD﹣∠ACD=∠CGD+∠CDE﹣∠ACD=90°+12°﹣80°=22°，
∴∠CAF=68°，
在Rt△ACF中，CF=AC sin∠CAF≈0.744m，
在Rt△CDG中，CG=CD sin∠CDE≈0.336m，
∴FG=FC+CG≈1.1m．
故跑步机手柄的一端A的高度约为1.1m．
【解析】【分析】过C点作FG⊥AB于F，交DE于G．在Rt△ACF中，根据三角函数可求CF，在Rt△CDG中，根据三角函数可求CG，再根据FG=FC+CG即可求解．
19．随着天气的逐渐炎热(如图1)，遮阳伞在我们的日常生活中随处可见如图2所示，遮阳伞立柱OA垂直于地面，当将遮阳伞撑开至OD位置时，测得∠ODB=45°，当将遮阳伞撑开至OE位置时，测得∠OEC=30°，且此时遮阳伞边沿上升的竖直高度BC为20cm，求若当遮阳伞撑开至OE位置时伞下阴凉面积最大，求此时伞下半径EC的长。(结果保留根号)
【答案】解：由题意可得：OE=OD，
在Rt△OEC中，∠BOE=60°，∠OCE=90°
∴OC= OE，
在Rt△OBD中，∠DOB=45°，∠OBD=90°，
∴OB= OD= OE
∵BC=OB-OC，
即， OE- OE=20
解得：OE=40( +1)cm，
∴EC= ×20( +1)=20( + )cm。
【解析】【分析】根据题意可得OE=OD，由三角函数得出OC= OE，OB= ，再利用BC=OB-OC解答即可。
20．如图，某工厂为了提升生产过程中所产生废气的净化效率，需在气体净化设备上增加一条管道，已知，，求管道的总长．
【答案】解：如图：过点作于点，
由题意，得，
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．即管道的总长为
【解析】【分析】如图：过点作于点，易证四边形DCBE是矩形，利用矩形的性质可求出BE的长；利用解直角三角形求出AD的长，然后求出AD+CD的值即可.
21．如图，某居民楼AB的前面有一围墙CD，在点E处测得楼顶A的仰角为25°，在F处测得楼顶A的仰角为45°，且CE的高度为2米，CF之间的距离为20米（B，F，C在同一条直线上）.求居民楼AB的高度.（参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，结果保留整数）
【答案】解：如解图，过点E作EM⊥AB，垂足为点M，
∴四边形ECBM为矩形，
∴EM＝BC，BM＝CE＝2.
设AB为x，
在Rt△ABF中，∠AFB＝45°，
∴BF＝AB＝x，
∴BC＝EM＝BF＋FC＝x＋20.
在Rt△AEM中，∠AEM＝25°，AM＝AB－BM＝AB－CE＝x－2.
∵tan∠AEM＝ ，
∴ ≈0.47，
解得x≈22.
答：居民楼AB的高度约为22米.
【解析】【分析】过点E作EM⊥AB，垂足为点M， 易证四边形ECBM为矩形，利用矩形的性质可求出CE的长，同时可证得EM=BC；设BF=AB=x，可表示出BC，AM的长，在Rt△AEM中，利用正切函数的定义建立关于x的方程，解方程求出x的值，由此可求解.
22．2021年4月29日 11时23分，中国空间站天和核心舱在海南文昌航天发射场发射升空，准确进入预定轨道，任务取得成功，建造空间站、建成国家太空实验室，是实现我国载人航天工程“三步走”战略的重要目标，是建设科技强国、航天强国的重要引领性工程，天和核心舱发射成功，标志着我国空间站建造进入全面实施阶段，为后续任务展开奠定了坚实基础。
某校航天爱好者的同学们构建数学模型，使用卷尺和测角仪测量天和核心舱的高度．如图所示，核心舱架设在1米的稳固支架上，他们先在水平地面点B处测得天和核心舱最高点A的仰角为22°，然后沿水平MN方向前进24米，到达点C处，测得点A的仰角为45°，测角仪MB的高度为1.6米，求天和核心舱的高度．
(结果精确到0.1米，参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40， ≈1.41)
【答案】解：过 作 交 的延长线于 ，
延长 交 于 ，
则四边形 ，四边形 是矩形，
， ，
， ，
是等腰直角三角形，
，
设 ，
，
，
，
解得： ，
，
答：天和核心舱的高度约为 ．
【解析】【分析】根据题意构造直角三角形，解直角三角形即可。
23．如图①，西安奥体中心体育场作为2021年第十四届全运会的主会场，以西安市花“石榴花”为构思，以“丝路起航，盛世之花”为立意，让建筑、自然与人共生共融.小明和数学实践小组的同学想知道西安奥体中心主体育场馆的高度，于是他们拿着测倾器和皮尺来到奥体中心，如图②所示，小明选定场馆前的一棵树CD来测量，他先调整测倾器的位置发现，在H处观测树顶C的仰角为30°，此时恰好看到场馆AB的顶部A（G，C、A三点在一条直线上）；接着，小明从H处出发沿HB方向前进26m到达F处，此时观测树顶C的仰角为60°，测得BD＝60m，测倾器的高度GH＝EF＝1m，已知AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，CH⊥BH，点D、F在BH上，求西安奥体中心主体育场馆AB的高度.（结果保留根号）
【答案】解：画图如下，延长GE，交CD于点N，交AB于点M，
根据题意，得∠CGM=30°，
∠CEM=60°，
∵∠CEM=∠ECG+∠CGM，
∴∠ECG=∠CGM=30°，
∴CE=EG，
∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，CH⊥BH，GH＝EF＝1，
∴四边形EFHG是矩形，四边形NDFE是矩形，四边形MBDN是矩形，
∴CE=EG=FH=26，MB=ND=EF=GH=1，
∴在直角三角形CNE中，
∵∠CEM=60°，
∴∠NCE=30°，
∴NE=13，
∵四边形MBDN是矩形，
∴MN=BD=60，
∴MG=MN+NE+EG=99，
在直角三角形AMG中，
tan∠CGM= tan 30°= ，
∴ ，
∴AM=33 ，
∴AB=AM+MB=33 +1.
故西安奥体中心主体育场馆AB的高度为（33 +1）米
【解析】【分析】 延长GE，交CD于点N，交AB于点M， 先求出CE=EG， 可证四边形EFHG是矩形，四边形NDFE是矩形，四边形MBDN是矩形， 可得CE=EG=FH=26，MB=ND=EF=GH=1，利用含30°角的直角三角形的性质，得出NE=CE=13， 结合矩形的性质得出MG=MN+NE+EG=99，在直角三角形AMG中，利用tan∠CGM= tan 30°= ，求出AM的长，利用AB=AM+MB即可求出结论.
24．项目式学习
目的 探究遮阳篷的影子长度
素材1 图1是一款固定在墙上的遮阳篷，篷面可伸缩，还可以绕固定在墙上的轴旋转．在遮阳篷下，离墙米处有一盆铁树盆景．图2是遮阳篷侧面示意图．表示墙面，表示篷面，可以绕点A旋转，其中米．为了获得更好的遮阳效果，将篷面延伸至最长，此时米．
素材2 此地某天上午不同时间的太阳高度角（即太阳光线与地面的夹角，如图2中的）的数据表：时刻8：009：0010：0011：0012：00太阳高度角（度）
观察·思考 在这天10：00时，将篷面与墙面的夹角调整为．任务1：求点D到墙的距离；任务2：铁树能否会被太阳光照射到？
探究·发现 调节篷面伸缩的长度或篷面与墙面的夹角，可以改变篷面在地面的影长l．
解答问题（，结果精确到米）
（1）完成任务1，要有必要的解答过程．（2）完成任务2，要有必要的解答过程．（3）直接写出这天10：00时，l的最大值以及相应的的度数．
【答案】解：（1）作于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得或（舍去），
即点D到墙的距离约为米；
（2）作于点，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵10：00时，，
∴，
∴米，
∵，
∴铁树能被太阳光照射到；
（3）l的最大值为米，此时的度数．
【解析】【解答】（3）如图，当垂直太阳光线时，篷面在地面的影长l最大．即太阳光线时，在地面的影长为，作于点，作于点，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵10：00时，，
∴，
在四边形中，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴米，
∴l的最大值为米，此时的度数．
【分析】（1）作于点，根据等腰直角三角形性质可得，再根据勾股定理即可求出答案.
（2）作于点，根据矩形判定定理可得四边形为矩形，则，，再根据正切定义及特殊角的三角函数值可得EG，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）当垂直太阳光线时，篷面在地面的影长l最大．即太阳光线时，在地面的影长为，作于点，作于点，根据矩形判定定理可得四边形为矩形，则，，根据补角可得∠DEB=120°，再根据四边形内角和可得∠BAD=60°，则，根据含30°角的直角三角形性质可得AF，根据勾股定理可得DF，再根据彼岸之回见的关系可得DG，再根据正切定义及特殊角的三角函数值可得EG，再根据边之间的关系即可求出答案.
25．在日常生活中我们经常会使用到订书机(装订机)，如图，MN是订书机的底座，AB是订书机的托板，始终与底座平行，连接杆DE的D点固定，点E从A向B处滑动，压柄BC可绕着转轴B旋转．已知BC=AB=12cm，BD=5cm．
（1）当托板与压柄夹角∠ABC=37°时，如图1，点E从A点滑动了2cm，求连接杆DE的长度．
（2）当压柄BC从(1)中的位置旋转到与底座AB的夹角∠ABC=127°时，如图2．求这个过程中点E滑动的距离．(结果保留根号，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75)
【答案】（1）解：如图1，作DH⊥BE于H，如图所示：
在Rt△BDH中，∠DHB=90°，BD=5，∠ABC=37°，
∴=sin37°，=cos37°，
∴DH=5sin37°≈5×0.6=3(cm)，BH=5cos37°≈5×0.8=4(cm)．
∵AB=BC=12cm，AE=2cm，
∴EH=AB-AE-BH=12-2-4=6(cm)，
∴DE=(cm)．．
答：连接杆DE的长度为cm
（2）解：如图2，作DF⊥AB的延长线于点F，如图所示：
∵∠ABC=127°，
∴∠DBF=53°，∠BDF=37°，
在Rt△DBF中，=sin37°≈0.6，
∴BF≈3cm，
∴DF≈4cm．
在Rt△DEF中，EF2+DF2=DE2，
∴(EB+3)2+16=45，
∴EB=(-3)cm，
∴点E滑动的距离为12-(-3)-2=(13-)cm．
答：这个过程中点E滑动的距离为(13-)cm
【解析】【分析】（1）作DH⊥BE于H，先利用解直角三角形的方法求出DH=5sin37°≈5×0.6=3(cm)，BH=5cos37°≈5×0.8=4(cm)，再利用线段的和差求出EH的长，最后利用勾股定理求出DE的长即可；
（2）作DF⊥AB的延长线于点F，先利用解直角三角形的方法求出BF和DF的长，再利用勾股定理可得(EB+3)2+16=45，求出EB的长，最后利用线段的和差求出点E滑动的距离即可.
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