2025-2026学年上海市松江区九年级（上）期中数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年上海市松江区九年级（上）期中数学试卷（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 113.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-26 12:19:53 | ||
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文档简介
2025-2026学年上海市松江区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.延长线段AB至点C，使得BC=2AB，那么的值为（ ）
A. B. C. D. 2
2.如果把一个Rt△ABC的三边都扩大2倍，那么锐角A的正切值（ ）
A. 扩大2倍 B. 保持不变 C. 缩小到原来的 D. 以上都有可能
3.已知、为非零向量，下列说法中，不正确的是（ ）
A. 如果，那么 B. 如果，那么
C. 如果，那么 D. 0 =0
4.已知△ABC中，D、E分别是边AB、AC反向延长线上的点，下列各式中，能判断出DE∥BC的是（ ）
A. B. C. D.
5.已知线段a,b,c,求作线段x,使bx=ac,下列作法中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6.以下是利用出入相补原理解决比例线段问题的一个例子：
如图，设O是矩形ABCD对角线AC上任意一点，过点O分别作一组邻边的平行线PQ、直线PQ分别与边AD、BC交于点P、Q，直线SR分别与边AB、DC交于点R、S，那么由矩形与矩形RBQO的面积相等可以得到：PO OS=RO OQ，这个结论通常表示为.
部分同学进一步研究了这个图形，提出以下两个命题：
命题甲：矩形OQCS与矩形AROP相似.
命题乙：如果将矩形POSD、矩形OQCS、矩形AROP的面积依次记为S1、S2、S3，那么S1是S2和S3的比例中项.
关于这两个命题，下列判断正确的是（ ）
A. 命题甲是真命题，命题乙是假命题 B. 命题甲是假命题，命题乙是真命题
C. 命题甲、命题乙都是真命题 D. 命题甲、命题乙都是假命题
二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
7.如果，且a+b=12，那么c+d= .
8.在比例尺为1：2000000的地图上，测得甲、乙两地的距离约为8厘米，那么甲、乙两地的实际距离约为 千米.
9.已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞CB，AB=8cm,那么AC= cm.（结果保留根号）
10.已知△ABC和△DEF相似，∠A=∠D=60°，∠B=2∠E，那么△ABC的最大内角的度数为 .
11.两个相似三角形中，我们把联结两条对应边中点的中位线称为这两个相似三角形的对应中位线.如果两个相似三角形的面积之比为4：9，那么这两个三角形的对应中位线之比为 .
12.已知向量的长度为3，与单位向量方向相反，那么向量可用向量表示为 .
13.如图，已知l1∥l2∥l3，，BE=22，那么CE= .
14.已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，，那么BC的长为 .
15.如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，BC=5，cotA=2，那么CD的长为 .
16.如图，D是△ABC边BC上一点，点E、F分别是△ABD和△ACD的重心，如果，，用、的线性组合表示，那么= .
17.如图，点A、B、C均在4×4的正方形网格的格点上，那么∠ABC的正弦值为 .
18.已知矩形ABCD中，CD=3，E是边AD上一点，DE=1，将△CDE沿着CE所在的直线翻折，点D的对应点为点F，联结EF并延长交边BC于点G，联结AG，如果△ABG与△CGF相似，那么边AD的长为 .
三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
计算：.
20.(本小题10分)
如图，已知向量、.
（1）化简：；
（2）作出化简后的向量.
（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写出表示结论的向量）
21.(本小题10分)
如图，已知△ABC中，AD是BC边上的中线，点E、F分别在边AB、AC上，且EF∥BC，EF与AD相交于点M.
（1）求证：EM=MF；
（2）联结DE、DF，若DE⊥DF，BC=6，AD=4，求EF的长.
22.(本小题10分)
如图，已知△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，BD=CD=5，AB=6.
（1）求AD的长；
（2）求cosC的值.
23.(本小题12分)
如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，AC2=AD BC，点E在线段AC的延长线上，联结DE.
（1）求证：∠BAD=∠DCE；
（2）若∠ADB=∠CDE，求证：AB2=AC CE.
24.(本小题12分)
为探究“光的直线传播和反射定律”，小丽和小杰利用一个上底面和下底面都是平面镜的盒子进行实验.如图所示，盒子的直截面是边长为5cm的正方形ABCD，实验过程中，光线只在该截面内传播.盒子左边距离B点2cm的点E处（BE=2cm）.盒子右边距离D点1cm的点F处（DF=1cm）各有一个小孔（孔的大小忽略不计），盒子的底部距离B点2cm的点M处（BM=2cm）有一个可调整高度的挡板MN.
（1）如图1，小丽控制激光笔发出光线OE从点E处射入，从点F处射出，小杰调整挡板MN的高度遮挡光线，当恰好挡住光线时，求挡板MN的高度；
（2）如图2，小丽调整光线入射角度，使光线OE入射到面AD的点G处，经反射后从点F处射出，求此时∠OEB的正切值；
（3）小杰取出挡板MN，小丽继续调整入射角度，使光线分别经过面AD和面BC的两次反射后，从点F处射出，请直接写出光线在AD面上的入射点到点A的距离.
25.(本小题14分)
如图，已知△ABC中，D是AB边的中点，E是BC边上一点，BE=2，CE=3，联结CD、AE交于点F.
（1）求的值；
（2）如图2，若∠BAE=∠BCD，AE⊥CD，求EF的长；
（3）若CD⊥AB，且△CEF是等腰三角形，求AF的长.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】8
8.【答案】160
9.【答案】（4-4）
10.【答案】80°
11.【答案】2：3
12.【答案】=-3
13.【答案】8
14.【答案】6
15.【答案】
16.【答案】（-）
17.【答案】
18.【答案】9或
19.【答案】．
20.【答案】．
21.【答案】∵△ABC中，AD是BC边上的中线，
∴BD=DC，
∵EF∥BC，EF与AD相交于点M，
∴EM∥BD，MF∥DC，
∴△AEM∽△ABD，△AMF∽△ADC，
∴=，=，
∴=，
∴==1，
∴EM=MF．
EF的长为
22.【答案】AD=4；
cosC=
23.【答案】∵AC2=AD BC，
∴=，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∴△DAC∽△ACB，
∴∠ACD=∠CBA，
∵∠BAD+∠CBA=180°，∠DCE+∠ACD=180°，
∴∠BAD=∠DCE．
∵△DAC∽△ACB，
∴=，
∴=，
∵∠BAD=∠DCE，∠ADB=∠CDE，
∴△ADB∽△CDE，
∴=，
∴=，
∴AB2=AC CE
24.【答案】挡板MN的高度为cm；
；
光线在AD面上的入射点到点A的距离为或
25.【答案】，
EF=；
AF=或或2
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一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.延长线段AB至点C，使得BC=2AB，那么的值为（ ）
A. B. C. D. 2
2.如果把一个Rt△ABC的三边都扩大2倍，那么锐角A的正切值（ ）
A. 扩大2倍 B. 保持不变 C. 缩小到原来的 D. 以上都有可能
3.已知、为非零向量，下列说法中，不正确的是（ ）
A. 如果，那么 B. 如果，那么
C. 如果，那么 D. 0 =0
4.已知△ABC中，D、E分别是边AB、AC反向延长线上的点，下列各式中，能判断出DE∥BC的是（ ）
A. B. C. D.
5.已知线段a,b,c,求作线段x,使bx=ac,下列作法中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6.以下是利用出入相补原理解决比例线段问题的一个例子：
如图，设O是矩形ABCD对角线AC上任意一点，过点O分别作一组邻边的平行线PQ、直线PQ分别与边AD、BC交于点P、Q，直线SR分别与边AB、DC交于点R、S，那么由矩形与矩形RBQO的面积相等可以得到：PO OS=RO OQ，这个结论通常表示为.
部分同学进一步研究了这个图形，提出以下两个命题：
命题甲：矩形OQCS与矩形AROP相似.
命题乙：如果将矩形POSD、矩形OQCS、矩形AROP的面积依次记为S1、S2、S3，那么S1是S2和S3的比例中项.
关于这两个命题，下列判断正确的是（ ）
A. 命题甲是真命题，命题乙是假命题 B. 命题甲是假命题，命题乙是真命题
C. 命题甲、命题乙都是真命题 D. 命题甲、命题乙都是假命题
二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
7.如果，且a+b=12，那么c+d= .
8.在比例尺为1：2000000的地图上，测得甲、乙两地的距离约为8厘米，那么甲、乙两地的实际距离约为 千米.
9.已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞CB，AB=8cm,那么AC= cm.（结果保留根号）
10.已知△ABC和△DEF相似，∠A=∠D=60°，∠B=2∠E，那么△ABC的最大内角的度数为 .
11.两个相似三角形中，我们把联结两条对应边中点的中位线称为这两个相似三角形的对应中位线.如果两个相似三角形的面积之比为4：9，那么这两个三角形的对应中位线之比为 .
12.已知向量的长度为3，与单位向量方向相反，那么向量可用向量表示为 .
13.如图，已知l1∥l2∥l3，，BE=22，那么CE= .
14.已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，，那么BC的长为 .
15.如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，BC=5，cotA=2，那么CD的长为 .
16.如图，D是△ABC边BC上一点，点E、F分别是△ABD和△ACD的重心，如果，，用、的线性组合表示，那么= .
17.如图，点A、B、C均在4×4的正方形网格的格点上，那么∠ABC的正弦值为 .
18.已知矩形ABCD中，CD=3，E是边AD上一点，DE=1，将△CDE沿着CE所在的直线翻折，点D的对应点为点F，联结EF并延长交边BC于点G，联结AG，如果△ABG与△CGF相似，那么边AD的长为 .
三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
计算：.
20.(本小题10分)
如图，已知向量、.
（1）化简：；
（2）作出化简后的向量.
（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写出表示结论的向量）
21.(本小题10分)
如图，已知△ABC中，AD是BC边上的中线，点E、F分别在边AB、AC上，且EF∥BC，EF与AD相交于点M.
（1）求证：EM=MF；
（2）联结DE、DF，若DE⊥DF，BC=6，AD=4，求EF的长.
22.(本小题10分)
如图，已知△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，BD=CD=5，AB=6.
（1）求AD的长；
（2）求cosC的值.
23.(本小题12分)
如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，AC2=AD BC，点E在线段AC的延长线上，联结DE.
（1）求证：∠BAD=∠DCE；
（2）若∠ADB=∠CDE，求证：AB2=AC CE.
24.(本小题12分)
为探究“光的直线传播和反射定律”，小丽和小杰利用一个上底面和下底面都是平面镜的盒子进行实验.如图所示，盒子的直截面是边长为5cm的正方形ABCD，实验过程中，光线只在该截面内传播.盒子左边距离B点2cm的点E处（BE=2cm）.盒子右边距离D点1cm的点F处（DF=1cm）各有一个小孔（孔的大小忽略不计），盒子的底部距离B点2cm的点M处（BM=2cm）有一个可调整高度的挡板MN.
（1）如图1，小丽控制激光笔发出光线OE从点E处射入，从点F处射出，小杰调整挡板MN的高度遮挡光线，当恰好挡住光线时，求挡板MN的高度；
（2）如图2，小丽调整光线入射角度，使光线OE入射到面AD的点G处，经反射后从点F处射出，求此时∠OEB的正切值；
（3）小杰取出挡板MN，小丽继续调整入射角度，使光线分别经过面AD和面BC的两次反射后，从点F处射出，请直接写出光线在AD面上的入射点到点A的距离.
25.(本小题14分)
如图，已知△ABC中，D是AB边的中点，E是BC边上一点，BE=2，CE=3，联结CD、AE交于点F.
（1）求的值；
（2）如图2，若∠BAE=∠BCD，AE⊥CD，求EF的长；
（3）若CD⊥AB，且△CEF是等腰三角形，求AF的长.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】8
8.【答案】160
9.【答案】（4-4）
10.【答案】80°
11.【答案】2：3
12.【答案】=-3
13.【答案】8
14.【答案】6
15.【答案】
16.【答案】（-）
17.【答案】
18.【答案】9或
19.【答案】．
20.【答案】．
21.【答案】∵△ABC中，AD是BC边上的中线，
∴BD=DC，
∵EF∥BC，EF与AD相交于点M，
∴EM∥BD，MF∥DC，
∴△AEM∽△ABD，△AMF∽△ADC，
∴=，=，
∴=，
∴==1，
∴EM=MF．
EF的长为
22.【答案】AD=4；
cosC=
23.【答案】∵AC2=AD BC，
∴=，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∴△DAC∽△ACB，
∴∠ACD=∠CBA，
∵∠BAD+∠CBA=180°，∠DCE+∠ACD=180°，
∴∠BAD=∠DCE．
∵△DAC∽△ACB，
∴=，
∴=，
∵∠BAD=∠DCE，∠ADB=∠CDE，
∴△ADB∽△CDE，
∴=，
∴=，
∴AB2=AC CE
24.【答案】挡板MN的高度为cm；
；
光线在AD面上的入射点到点A的距离为或
25.【答案】，
EF=；
AF=或或2
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