2025-2026学年九年级数学 第二十七章 相似 培优滚动练（含答案）

第二十七章相似
一、选择题：本大题共5小题，共15分。
1.如图，中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是
A. B. C. D.
2.如图，AB，CD相交于点E，且，点C，F，B在同一条直线上．已知，，，则p，q，r之间满足的数量关系式是
A. B. C. D.
3.如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分，分别交BC，BD于点E，F，下列结论：①∽；②；③；④若的面积为1，则正方形ABCD的面积为其中正确的结论的个数是
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4.如图，中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点的横坐标是
A. B. C. D.
5.如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共3小题，共9分。
6.如图，一个由8个正方形组成的“C”模板恰好完全放入一个矩形框内，模板四周的直角顶点M，N，O，P，Q都在矩形ABCD的边上．若8个小正方形的面积均为1，则边AB的长为 .
7.如图，在边长为a的等边中，分别取三边的中点，，，得；再分别取三边的中点，，，得；这样依次下去…，经过第2025次操作后得，则的面积为 .
8.如图，在矩形ABCD中，O为AC的中点，过点O的直线分别交AB，CD于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，若，，则下列结论：①；②≌；③四边形EBFD是菱形；④其中正确的结论有 填写所有正确结论的序号
三、解答题：本大题共28小题，共94.5分。
9.如图，AB是的直径，AC是弦，于点D，过点A作的切线AP，与OD的延长线交于点P，连接并延长PC，与AB的延长线交于点
求证：PC是的切线；
求证：
10.如图，四边形ABCD内接于，AC是的直径，AC与BD相交于点E，PB切于点
求证：；
若，，求证：∽
11.如图，AB是的直径，C，D是上两点，，过C作交DA的延长线于点
求证：CE是的切线；
若，，求的半径．
12.如图，四边形ABCD是的内接四边形，AC是的直径，D是的中点，过点D作交BA的延长线于点
求证：DE是的切线；
若，，求的半径长．
13.如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上一点，CG的延长线交AB于点E，交DA的延长线于点F，连接
求证：；
若，求CG的长．
14.如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，
求证：∽；
当，时，求AE的长；
在的条件下，求的面积．
15.如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点在对角线OB上，且，反比例函数的图象经过C，D两点，直线CD交x轴于点
求k的值；
求的面积．
16.如图，在中，，CD是边AB上的中线，EF垂直平分CD，分别交AC，BC于点E，F，连接DE，
求证：∽；
当，时，求线段EF的长．
17.如图1，在等边中，D，E分别是边BC，AC上的点，且，AD与BE相交于点P，连接
求证：；
若，求证：；
如图2，连接DE，若，求的值．
18.在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是以点P为位似中心的位似图形．
在图中标出位似中心P的位置，并写出点P及点B的对应点的坐标；
以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似图形，使它与的位似比为，并写出点B的对应点的坐标；
的内部一点M的坐标为，写出M在中的对应点的坐标．
19.知识回顾
设的面积为如图1，分别将AC，BC边2等分，，是其分点，连接，相交于点，得到四边形
则的面积为 ， ；
求出四边形的面积；
①如图2，分别将AC，BC边3等分，，，，是其分点，连接，相交于点，得到四边形，其面积为 ；
②如图3，分别将AC，BC边4等分，，，，，，是其分点，连接，相交于点，得到四边形，其面积为 ；
③按照这个规律进行下去，若分别将AC，BC边等分，…，得到四边形，其面积为 ；
【知识运用】如图4，在中，，，，，，求四边形CDFE的面积．
20.某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下：
项目主题：测量学校旗杆高度．
问题驱动：能利用哪些科学原理来测量旗杆的高度？
组内探究：由于旗杆较高，需要借助一些工具来测量，例如自制直角三角形硬纸板，标杆，平面镜，甚至还可以利用无人机……确定方法后，先画出测量示意图，然后实地进行测量，并得到具体数据，从而计算旗杆的高度．
成果展示：下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案：
… 方案一 方案二
测量工具 自制直角三角形硬纸板、皮尺 标杆、皮尺
测量示意图及说明 说明：如图1，线段AB表示学校旗杆，小亮的眼睛到地面的距离，点D与点B在同一水平直线上，点D，B之间的距离可以直接测得，且点A，B，C，D，E，F，G都在同一竖直平面内，A，C，E三点在同一直线上，C，F，G三点在同一直线上 说明：如图2，线段AB表示学校旗杆，小明的眼睛到地面的距离，点F与点B，D在同一水平直线上，点D，F，B之间的距离都可以直接测得，且点A，B，C，D，E，F都在同一竖直平面内，A，C，E三点在同一直线上
测量数据 点D，B之间的距离 点D，B之间的距离
EF的长度 点D，F之间的距离
CE的长度 标杆EF的长度
根据上述材料，请你选择一个方案，求出学校旗杆AB的高度．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】略
2.【答案】C
【解析】略
3.【答案】B
【解析】略
4.【答案】A
【解析】设点的横坐标为x，
则B，C的横坐标表示的点之间的长度为，，C的横坐标表示的点之间的长度为，
放大到原来的2倍得到，
，
解得
5.【答案】C
【解析】略
6.【答案】
【解析】略
7.【答案】
【解析】略
8.【答案】①③④
【解析】略
9.【答案】【小题1】
证明：如图，连接OC，
，OD经过圆心O，
垂直平分
在和中，
≌
是的切线，
，即
是的半径，是的切线．
【小题2】
如图，连接BC，
是的直径，
，
又，∽

【解析】 略
略
10.【答案】【小题1】
证明：是的直径，
切于点B，
，即
【小题2】
由知，，
，
，
，
∽

【解析】 略
略
11.【答案】【小题1】
证明：如图，连接OC，
，
，
，
是的半径，是的切线．
【小题2】
解：如图，连接AC，
，
是的直径，
，∽
，
，
的半径为

【解析】 略
略
12.【答案】【小题1】
证明：如图，连接OD，
是的中点，
是的直径，
是等腰直角三角形．
，
是的半径，是的切线．
【小题2】
解：如图，过点A作于点F，
，，
，
四边形AFDO是正方形．
设，则
，
，∽
，即，
解得或不合题意，舍去，
即的半径长为

【解析】 略
略
13.【答案】【小题1】
证明：是正方形ABCD的对角线，
，，≌
【小题2】
解：四边形ABCD是正方形，
由可知≌，
，即
，∽
，即
或不合题意，舍去
根据中的结论，

【解析】 略
略
14.【答案】【小题1】
证明：四边形ABCD为菱形，
，
，∽
【小题2】
解：∽，
，，
【小题3】
解：如图，连接BD交AC于点O，
四边形ABCD是菱形，，
，

【解析】 略
略
略
15.【答案】【小题1】
解：点在反比例函数的图象上，
，解得
【小题2】
，
四边形OABC是平行四边形，
，
∽
，即，解得
将代入，得，解得
点C的坐标为
设直线CD的解析式为
将点，代入，
得解得
直线CD的解析式为
令，解得，

【解析】 略
略
16.【答案】【小题1】
证明：垂直平分CD，
，，
，
，，
，∽
【小题2】
解：如图，过点A作交FD的延长线于点G，连接GE，
，
在和中，
≌
，
在中，
，
又，垂直平分

【解析】 略
略
17.【答案】【小题1】
证明：如图1，
为等边三角形，
，
又，≌
又，
【小题2】
证明：如图1，取AP的中点G，连接BG，
，
又，
又，
在和中，
≌
，
又，
【小题3】
解：如图2，
由已证，
又，
，D，C，E四点共圆．
，
又，
，
由已证≌，
又，
，
，，，
又，∽
，
设，
，，
设，则
，
解得，舍去

【解析】 略
略
略
18.【答案】【小题1】
解：位似中心P如图所示，，
【小题2】
如图所示，
【小题3】
点

【解析】 略
略
略
19.【答案】【小题1】

【小题2】
如图1，连接，
，分别是AC，BC的中点，
，
∽，∽，
且
是BC的中点，
，
【小题3】
【小题4】
，
，
四边形CDFE的面积为

【解析】 略
略

①如图2，连接，
，是两边的三等分点，
，
，，
且
是BC的三等分点，
，
故答案为
②如图3，连接，
同理，得
故答案为
③以此类推，将AC，BC边等分，得到四边形，
故答案为
略
20.【答案】解：方案一：依题意，得四边形CDBG是矩形，
，
，，
∽
，即，
解得
答：学校旗杆AB的高度为
方案二：如图2，过点C作分别交EF，AB于点Q，H，
依题意，得四边形CDFQ与四边形CDBH都是矩形，
，，
，∽
，即，解得
答：学校旗杆AB的高度为

【解析】略
第2页，共2页