2025-2026学年九年级数学 第二十四章 圆 培优滚动练（含答案）

第二十四章圆
一、选择题：本大题共4小题，共12分。
1.如图，从A地到B地有两条路可走，一条路是大半圆，另一条路是4个小半圆．有一天，一只猫和一只老鼠同时从A地到B地．老鼠见猫沿着大半圆行走，它不敢与猫同行怕被猫吃掉，就沿着4个小半圆行走．假设猫和老鼠行走的速度相同，那么下列结论正确的是
A. 猫先到达B地 B. 老鼠先到达B地
C. 猫和老鼠同时到达B地 D. 无法确定
2.如图，PA，PB切于点A，B，，CD切于点E，交PA，PB于C，D两点，则的周长是
A. 10 B. 18 C. 20 D. 22
3.如图，在边长为8的菱形ABCD中，，以点D为圆心，菱形的高DF为半径画弧，交AD于点E，交CD于点G，则图中阴影部分的面积是
A. B. C. D.
4.如图，在矩形纸片ABCD中，，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则AB的长为
A. B. 4cm C. D. 5cm
二、填空题：本大题共5小题，共15分。
5.如图，AB是的直径，C是半圆上的一个三等分点，D是的中点，P是直径AB上一点．若的半径为2，则的最小值是 .
6.如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别相交于点B，C，半径为2的的圆心P从点点A在直线上出发以每秒个单位长度的速度沿射线AC运动．设点P运动的时间为t秒，则当 时，与坐标轴相切．
7.如图，正方形ABCD的边长为4，的半径为若在正方形ABCD内平移可以与该正方形的边相切，则点A到上的点的距离的最大值为 .
8.如图，正外切于，正方形DEFG内接于，若正的边长为6，则正方形DEFG的边长为 .
9.已知在中，，，，以边AB所在的直线为轴，将旋转一周，则所得几何体的表面积为 .
三、解答题：本大题共21小题，共87分。
10.如图，MN是半圆O的直径，正方形ABCD和正方形CEFG彼此相邻点B，C，E在直径MN上，点A，D，F在半圆上，点G在CD上，若正方形CEFG的面积为1，求圆O的半径．
11.如图是一根圆形下水管道的横截面，管内有少量的污水，此时的水面宽AB为米，污水的最大深度为米．
求此下水管横截面的半径．
随着污水量的增加，水位又被抬升米，此时水面的宽度增加了多少？
12.如图，在中，直径AB垂直弦CD于点M，E是弧AD的中点，连接AD，CE，延长AE，CD，交于点
证明：；
当，时，求AF的长．
13.如图，，C，D是的三等分点，AB分别交OC，OD于点E，
求证：
14.如图，在中，，以AB为直径的半圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使，连接FB，
求证：四边形ABFC是菱形；
若，，求半圆和菱形ABFC的面积．
15.如图，D是等腰底边的中点，过点A，B，D作
求证：AB是的直径；
延长CB交于点E，连接DE，求证：；
若，，求BE的长．
16.如图，的直径BE为4，点A在上，的平分线AD交于点D，交BE于点F，C是BE延长线上一点，且
求BD的长；
求证：AC是的切线．
17.如图，为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与相切于点D，OB与相交于点求证：AC是的切线．
18.如图，与的边AC相切于点C，与边BC交于点E，过AB上一点D，且，CE是的直径．
求证：AB是的切线；
若，，求AC的长．
19.如图，点E是的内心，线段AE的延长线交的外接圆于点D，连接
求证：；
若，的外接圆的直径是6，求BD的长．
20.我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做“奇异三角形”．
根据“奇异三角形”的定义，请你判断命题“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题，并说明理由；
在中，，，，，且，若是奇异三角形，求的值；
如图，AB是的直径，C是上一点不与点A，B重合，D是半圆弧ADB的中点，C，D在直径AB的两侧，若在内存在点E，使，，试说明是奇异三角形．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】略
2.【答案】C
【解析】略
3.【答案】C
【解析】略
4.【答案】B
【解析】略
5.【答案】
【解析】略
6.【答案】2或6或10
【解析】略
7.【答案】
【解析】略
8.【答案】
【解析】略
9.【答案】
【解析】略
10.【答案】解：根据对称性有，设，则
如图，连接OD，OF，
正方形CEFG的面积为1，
，，
解得，舍去
圆O的半径为

【解析】略
11.【答案】【小题1】
解：如图1，作半径于点C，连接OB，
则米．
由垂径定理，得米
在中，，
，
即下水管横截面的半径为米．
【小题2】
如图2，过点O作于点H，
水位又被抬升米，
米
米
米．增加了米．
水位又被抬升米，水面的宽度增加了米．

【解析】 略
略
12.【答案】【小题1】
证明：直径弦CD于点M，
是弧AD的中点，
【小题2】
解：，，
，
，直径弦CD，
，

【解析】 略
略
13.【答案】证明：如图，连接AC，
，C，D是的三等分点，
，
又，
，，，

【解析】略
14.【答案】【小题1】
证明：是直径，
，，
四边形ABFC是平行四边形．
，四边形ABFC是菱形．
【小题2】
解：如图，连接BD，设
是直径，
，
解得或不合题意，舍去
，

【解析】 略
略
15.【答案】【小题1】
证明：如图，连接BD，
，，
是的直径．
【小题2】
证明：，，
【小题3】
解：如图，连接AE，
是的直径，
是等腰底边的中点，
，
设，则
在中，，
在中，，
，
解得的长为

【解析】 略
略
略
16.【答案】【小题1】
解：如图，连接OD，
为的直径，
平分，，
在中，
【小题2】
证明：如图，连接OA，
，
，
，
由知，
于点
是的半径，是的切线．

【解析】 略
略
17.【答案】证明：如图，连接AO，OD，过点O作于点F，
为等腰三角形，O是底边BC的中点．
，AO平分
与相切于点D，
，
是的半径，是的切线．

【解析】略
18.【答案】【小题1】
证明：如图，连接OD，
，
，，
是切线，，
在和中，
≌
是的半径，是的切线．
【小题2】
解：是的切线，
，AC是的切线，
设
在中，，
，解得

【解析】 略
略
19.【答案】【小题1】
证明：点E是的内心，
，
，
，
【小题2】
解：如图，连接CD，
，是的直径．
的直径是6，
为的内切圆的圆心，
，

【解析】 略
略
20.【答案】【小题1】
解：命题“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题．理由如下：对于任一等边三角形，设等边三角形的一边为a，则，符合“奇异三角形”的定义．
故命题“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题．
【小题2】
，①
是奇异三角形，且，
②
由①②得，，
【小题3】
是的直径，
在中，，
在中，，
是半圆弧ADB的中点，
又，，
是奇异三角形．

【解析】 略
略
略
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