2025-2026学年九年级数学 第二十一章 一元二次方程 培优滚动练（含答案）

第二十一章一元二次方程
一、选择题：本大题共2小题，共6分。
1.函数的图象如图所示，则一元二次方程的根的存在情况是
A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定
2.等腰三角形的一边长是4，方程的两个根是三角形的两边长，则m为
A. 7 B. 8 C. 4 D. 7或8
二、填空题：本大题共5小题，共15分。
3.设a，b是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边长为 .
4.方程的解为 .
5.已知是方程的一个根，则方程另一个根是 ， .
6.如图，有一道长为10m的墙，计划用总长为54m的篱笆，靠墙围成由六个小长方形组成的矩形花圃若花圃ABCD面积为，则
7.剧院演出，工作人员准备利用一边靠墙墙长26米的空旷场地为提前到场的观众设立面积为300平方米的长方形等候区．如图，为了方便观众进出，在两边空出两个宽各为1米的出入口，共用去隔栏绳48米，则工作人员围成的这个长方形的相邻两边长AB，BC分别是 米， 米．
三、计算题：本大题共3小题，共18分。
8.解分式方程：
9.解方程组
10.解方程：
四、解答题：本大题共22小题，共111分。
11.已知m是方程的一个根，求代数式的值．
12.若m是方程的一个根，求代数式的值．
13.“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：，，，试用“配方法”证明：代数式的最小值是
14.已知等腰的三边长为a，b，c，其中a，b满足：，求的周长．
15.用“配方法”证明代数式的值总大于的值．
16.已知关于x的方程有两个不相等的实数根，请化简
17.已知，是关于x的方程两个实数根．
求m的取值范围；
若，求m的值及方程的根．
18.如果关于x的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”．
通过计算，判断是否是“倍根方程”；
若关于x的方程是“倍根方程”，求代数式的值；
已知关于x的一元二次方程是常数是“倍根方程”，请直接写出m的值．
19.如图，某公园准备在一块长为42m、宽为30m的长方形花园内修建一个底部为正方形的温室花房，并在温室花房四周修四条宽度相同，且与温室花房各边垂直的小路，温室花房边长是小路宽度的6倍，花园内其他的空白地方铺草坪，设小路宽度为
用含x的代数式表示花园内温室花房的面积和小路面积；
若草坪面积为时，求这时小路宽度．
20.如图，要设计一幅宽20cm、长30cm的图案，其中有两横彩条、一竖彩条，横、竖彩条的宽度比为如果要使彩条所占面积是图案总面积的，求竖彩条的宽度．
21.李明在家制作一种工艺品，并通过网络平台进行线上销售，经过一段时间后发现：当售价是50元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出2件，设该商品的售价为x元/件
用含售价x的代数式表示每天能售出该工艺品的件数为 件；
已知每件工艺品需要20元成本，每天销售该工艺品的纯利润为1000元，求该商品的售价．
22.如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A沿边AB向点B以的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以的速度移动．问：
几秒时，的面积等于？
几秒时，的面积等于？
几秒时，？
23.【知识背景】
我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，例如可变形为如图1，构造一个长为、宽为x、面积为35的矩形；如图2，将4个矩形构造成一个边长为的大正方形，中间恰好是一个边长为2的小正方形，大正方形的面积可表示为，也可表示为，由此可得新方程：，易得这个方程的正数解为注意：这种构造图形的方法只能求出方程的一个根！
【尝试应用】
小颖根据赵爽的解法解方程，请将其解答过程补充完整：
第一步：将原方程变为，即________；
第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；在画图区画出示意图，标明各边长
第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：________________，解得原方程的一个根为________.
【思维拓展】参照以上方法求出关于x的一元二次方程的正数解．用含b，c的代数式表示
24.
如何利用闲置纸板箱制作储物盒
素材1 小琴家需要设置存放储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体，其底面尺寸如图1所示
素材2 以下是利用闲置纸板箱拆解出的两种纸板：长方形纸板①如图和长方形纸板②如图，其中两种纸板的宽度均为
小琴将分别利用长方形纸板①和长方形纸板②制作无盖和有盖的储物盒，长方形纸板①的制作方式如图4所示，长方形纸板②的制作方式如图5所示
任务1 熟悉材料 若要求按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够刚好放入如图1所示的储物区域，则裁去小正方形的边长为________，a的值为________
任务2 利用任务1计算所得的数据a，进行进一步探究
初步应用 按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是，求储物盒的容积
储物收纳 按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若EF和HG两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为，如图6是家里一个玩具机械狗和玩具车的实物图和尺寸大小，请通过计算判断机械狗和玩具车能否分别完全放入该储物盒并合上盖子不考虑倾斜放入
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：根据函数的图象可得；，，
则一元二次方程中，，
则一元二次方程根的存在情况是有两个不相等的实数根，
故选：
2.【答案】D
【解析】【分析】
此题主要考查了一元二次方程的解的定义，三角形三边关系，等腰三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质得到方程的解，把方程的解代入原方程即可求出待定字母的取值即可解决问题．
由于一个等腰三角形的一边长为4，另两边长是关于x的方程的两根，有两种情况：
①当腰长为4时，直接把代入原方程即可求出m的值，然后求出方程的另一根，即可判断能否构成三角形；
②当底边为4时，那么x的方程的两根是相等的，利用判别式为0即可求出m的值，然后就可以求出方程的解，即可判断能否构成三角形．
【解答】
解：一个等腰三角形的一边长为4，另两边长是方程的两个根，
①当腰长为4时，把代入原方程得
，
，
原方程变为：，
设方程的另一个根为a，
则，
，
能构成三角形；
②当底边为4时，那么x的方程的两根是相等的，
，
，
方程变为，
方程的两根相等为，
能构成三角形．
综上，m的值是7或
3.【答案】
【解析】略
4.【答案】或
【解析】略
5.【答案】
1

【解析】略
6.【答案】12
【解析】略
7.【答案】15
20

【解析】略
8.【答案】解：方程两边同乘，得
整理，得，
解得，
经检验，，是原方程的解，
原方程的解为，

【解析】略
9.【答案】解：
由①，得③
把③代入②，得
整理，得，
解得，
把，分别代入③，得，
原方程组的解为

【解析】略
10.【答案】解：
，或，
经检验，是原方程的增根，舍去．
原方程的解为

【解析】略
11.【答案】解：原式
是方程的一个根，
，即
则原式

【解析】略
12.【答案】解：依题意，得，
则，即
则

【解析】略
13.【答案】证明：，
当时，代数式有最小值，这个最小值为

【解析】略
14.【答案】解：，
，
，
则，，
解得，，，
为等腰三角形，当的三边长分别为3，3，6时，不符合三角形三边关系；当的三边长分别为3，6，6时，符合三角形三边关系，
的三边长分别为3，6，6，
的周长为：
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
15.【答案】解：
，
不论x为何值时，总成立．
代数式的值总大于的值．

【解析】略
16.【答案】解：关于x的方程有两个不相等的实数根，
，解得
原式

【解析】略
17.【答案】【小题1】
解：依题意，得且，
即，解得且
【小题2】
依题意，有以下两种情况：
①当，这时，得，
②当时，这时，得，
且，此时方程无解．
综上所述，，方程的根为

【解析】 略
略
18.【答案】【小题1】
解：解方程，得，
是“倍根方程”．
【小题2】
解：，
，
是“倍根方程”，
或
当时，；
当时，
综上所述，代数式的值为26或
【小题3】
解：依题意，设方程的两根分别为，
根据根与系数的关系，得
解得 或
的值为13或

【解析】
略

略

略
19.【答案】【小题1】
解：温室花房边长是小路宽度的6倍，小路宽度为xm，
温室花房边长为
温室花房的面积为，
小路的面积为
【小题2】
依题意，得，
整理，得，
解得，不合题意，舍去
答：当草坪面积为时，小路的宽度为

【解析】 略
略
20.【答案】解：设横彩条的宽度是xcm，竖彩条的宽度是3xcm，
则，
解得，不合题意，舍去
答：竖彩条的宽度是

【解析】略
21.【答案】【小题1】
【小题2】
解：由题意，得，
整理，得，
解得，不合题意，舍去
答：该商品的售价为30元/件．

【解析】
解：该商品的售价为x元/件，且当售价是50元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出2件，
每天能售出该工艺品的件数为 件．
故答案为
略
22.【答案】【小题1】
解：设x秒时的面积等于，
则，
依题意，得，
解得，
答：2s或4s时的面积等于
【小题2】
设出发ys时的面积等于
，
，
整理，得，
解得，，
答：2s或4s时的面积等于
【小题3】
设as时，为直角，
则，
，
在中，，
在中，，
在中，，
在中，，，
整理，得，
解得，
答：或6s时

【解析】 略
略
略
23.【答案】【小题1】
解：
【小题2】
方程变形为，
根据赵爽的解法可造方程，
，，
负值已舍去
原方程的正数解为

【解析】 略
略
24.【答案】解：任务1：5cm 50
任务2：初步应用：设裁去小正方形的边长为
依题意，得，
解得，不合题意，舍去
储物盒的容积为
储物收纳：设裁去小长方形的长为mcm，宽为ncm，
则，
即
依题意，得，
，
解得，不合题意，舍去
，
裁去小长方形的长为32cm，宽为14cm，制作的储物盒长为36cm，高为14cm，宽为
，，，
机械狗能完全放入．
，玩具车不能完全放入．

【解析】略
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