2025-2026学年九年级数学 第二十二章 二次函数 培优滚动练（含答案）

第二十二章二次函数
一、选择题：本大题共3小题，共9分。
1.在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是
A. B. C. D.
2.在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数是常数且的图象可能是
A. B. C. D.
3.如图，抛物线的对称轴是直线，且过点，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论为
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④
二、填空题：本大题共2小题，共3分。
4.已知抛物线，如图，直线是其对称轴，与x轴的一个交点为
判断符号：a 0，b 0，c 0， 0， 0； 0；
当x满足 时，
三、解答题：本大题共27小题，共85.5分。
5.为进一步落实“双减增效”政策，某校增设活动拓展课程——开心农场．如图，准备利用现成的一堵“L”字形的墙面粗线ABC表示墙面，已知，米，米和总长为14米的篱笆围建一个“日”字形的小型农场细线表示篱笆，小型农场中间GH也是用篱笆隔开，点D可能在线段AB上如图，也可能在线段BA的延长线上如图，点E在线段BC的延长线上．
当点D在线段AB上时，
①设DF的长为x米，请用含x的代数式表示EF的长．
②若要求所围成的小型农场DBEF的面积为12平方米，求DF的长．
当DF的长为多少米时，小型农场DBEF的面积最大？最大面积为多少平方米？
6.某超市销售一种商品，成本价为30元/千克，经市场调查，每天的销售量千克与销售价格元/千克之间的关系如图所示，假设每千克售价不能低于30元，且不高于80元．
求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
若每天的总利润为w元，求出w关于x的函数关系式，并求出当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大；最大利润是多少元．
7.蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它的出现使得人们可以吃到反季节蔬菜，一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构成，其中，，取BC的中点O，过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E，若以点O为原点，BC所在直线为x轴，OE所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，请解答下列问题：
如图1，已知抛物线AED的顶点E的坐标为，求抛物线的解析式；
如图2，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT，点L，R在抛物线上，点F，G，M，N在线段AD上，若，求两个正方形装置的间距GM的长；
如图1，在某一时刻，太阳光线平行线透过点A恰好照射到点C，此时大棚截面的阴影为BK，求BK的长．
8.如图1，抛物线与x轴相交于，两点，与y轴相交于点
求该抛物线的函数表达式．
是位于直线AC上方抛物线上的一个动点，过点P作轴交AC于点D，作于点E，过点E作轴于点F，求出的最大值及此时点P的坐标．
如图2，将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，与原抛物线相交于点M，N为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点A，M，N，H为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
9.如图，已知抛物线与直线都经过，两点，该抛物线的顶点为
求此抛物线和直线AB的表达式．
设直线AB与该抛物线的对称轴相交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过点M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M，N，C，E是平行四边形的四个顶点？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
10.如图1，抛物线与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，P为x轴下方抛物线上一点，若
求抛物线解析式；
如图2，若，求点P的坐标．
11.已知抛物线为常数，的顶点为P，对称轴与x轴相交于点D，点在抛物线上，，O为坐标原点．
【构建联系】
如图1，当，抛物线与y轴相交于点时，求该抛物线顶点P的坐标；
如图2，当时，求a的值；
【深入探究】
如图3，若N是抛物线上的点，且点N在第四象限，，，点E在线段MN上，点F在线段DN上，，当取得最小值为时，求a的值．
12.小爱同学学习二次函数后，对函数进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图所示的函数图象，请根据函数图象，解答下列问题：
观察探究：
①写出该函数的一条性质： ；
②方程的解为： ；
③若方程有四个实数根，则m的取值范围是 .
延伸思考：将函数的图象经过怎样的平移可得到函数的图象？写出平移过程，并直接写出当时，自变量x的取值范围．
13.我们约定：若抛物线的解析式为且，抛物线的解析式为，则称与互为“湘一相依抛物线”．例如：抛物线：与抛物线：就是一组“湘一相依抛物线”．根据该约定，解答下列问题：
已知抛物线：，求其“湘一相依抛物线”的解析式；
若抛物线：的顶点在其“湘一相依抛物线”上，试求出抛物线经过的定点坐标；
已知抛物线：为实数且，与y轴相交于点A，其“湘一相依抛物线”与y轴相交于点点A在点B的上方抛物线与始终有一交点C在与x轴垂直的定直线上运动．当，，且m，n，t满足时，抛物线与直线相交于M，N两点，求线段MN长度的取值范围．
14.【综合实践】
某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，喷出的水柱形状可以看作是抛物线的一部分．若记水柱上某一位置与水管的水平距离为x米，与湖面的垂直高度为y米，下面的表中记录了x与y的五组数据：
米 0 1 2 3 4
米
在下面网格图中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示y与x函数关系的图象．
若水柱最高点距离湖面的高度为m米，则________，并求出y与x的函数表达式．
现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从抛物线形水柱下方通过，如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从抛物线形水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于米，已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露出湖面的高度喷水头忽略不计至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由．结果保留一位小数
15.【综合与实践】某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察刹车距离．
【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．
【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试，兴趣小组成员记录其中一组数据如下表：
刹车后行驶的时间 0 1 2 3
刹车后行驶的距离 0 27 48 63
发现：①开始刹车后行驶的距离单位：与刹车后行驶的时间单位：之间成二次函数关系；②汽车刹车后行驶的距离y随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止．
【问题解决】请根据以上信息，解答下列问题：
求y关于t的函数解析式．不要求写出自变量的取值范围
若汽车刹车4s后，行驶了多长距离．
若汽车司机发现正前方73m处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，请问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】略
2.【答案】C
【解析】略
3.【答案】D
【解析】解：抛物线开口向下，
，
对称轴在y轴左侧，
，
抛物线与y轴交于正半轴，
，
，故①正确，
抛物线过点，
，
，故②错误，
对称轴是直线，
，
抛物线过点，
抛物线过点，
当时，，
，
，故③错误，
抛物线开口向下，对称轴是直线，
当时，y有最大值为：，
，
，
即，故④正确.
4.【答案】【小题1】
<
<
>
>
>
=
【小题2】
或

【解析】 略
略
5.【答案】【小题1】
解：①点D在线段AB上，
米
，，即
②依题意，得，解得，不合题意，舍去
的长为4米．
【小题2】
设小型农场DBEF的面积为S平方米，DF的长为x米．
①当点D在线段AB上时，由知此时，
则，
，抛物线的对称轴为直线，
当时，S随x的增大而减小．
当时，S有最大值，；
②当点D在线段BA的延长线上时，此时，
则
，
，，当时，S有最大值，
，
当DF的长为3米时，小型农场DBEF的面积最大，最大面积为平方米．

【解析】 略
略
6.【答案】【小题1】
解：设y与x之间的函数关系式为
将点，代入，得解得
与x之间的函数关系式为
【小题2】
依题意，得
，
，
当时，w随x的增大而增大．
又，当时，w取最大值，
此时，
即销售单价定为80元时，该超市每天的利润最大，最大利润是5000元．

【解析】 略
略
7.【答案】【小题1】
解抛物线AED的顶点E的坐标为，
设抛物线的解析式为
四边形ABCD为矩形，OE为BC的中垂线，
，
又，
将点A的坐标代入，得，解得
抛物线的解析式为
【小题2】
设，则
，
解得负值已舍去
两个正方形装置的间距GM的长为
【小题3】
依题意，得，，
由点A，C的坐标，可得直线AC的解析式为，
太阳光线为平行线，
设过点K平行于AC的直线的解析式为
依题意，得直线与抛物线相切，
联立
整理，得，
，
解得
当时，
，

【解析】 略
略
略
8.【答案】【小题1】
解：依题意，设该抛物线的函数表达式为，即，
，解得
该抛物线的函数表达式为
【小题2】
依题意，得，
则为等腰直角三角形，
由点A，C的坐标，可得直线AC的解析式为，
点P在抛物线上，轴交AC于点D，
设，则
，其中
如图1，延长FE交PD于点G，
则易知为等腰直角三角形，
，
，
当时，有最大值，此时
【小题3】
存在，点H的坐标为或或或

【解析】 略
略

由平移可求得平移后函数解析式为，
与原函数相交于点
①如图2，以AM为边，作交原抛物线的对称轴于点，可构造矩形，
设，
，
，
，
解得，即
此时设，由A，M，，四点的相对位置关系，可得
解得；
②同理，以AM为边，作交对原抛物线的称轴于点，可构造矩形，设
，
，
解得，即
此时设，由A，M，，四点的相对位置关系，可得
解得；
③如图3，以AM为对角线，作交原抛物线的对称轴于点，可构造矩形，
设
，
，解得，，
即，，
此时设，由A，M，，四点的相对位置关系，可得
解得；
设，由A，M，，四点的相对位置关系，可得
解得
综上所述，点H的坐标为或或或
9.【答案】【小题1】
解：抛物线经过，两点，
解得
抛物线的表达式为
直线经过，两点，
解得
直线AB的表达式为
【小题2】
存在．
，
抛物线的顶点C的坐标为
轴，点E在直线上，
①如图1，连接CN，
若点M在x轴的下方，四边形CEMN为平行四边形，则
设，则
，解得或不合题意，舍去
；
②如图2，连接EN，CM，MN，
若点M在x轴的上方，四边形CENM为平行四边形，则
设，则
，解得或不合题意，舍去
综上所述，点M的坐标为或

【解析】 略
略
10.【答案】【小题1】
解：，，抛物线的解析式为
，
，解得抛物线的解析式为
【小题2】
如图2，过点A作x轴的垂线交BP的延长线于点Q，
在和中，≌
设直线BQ的解析式为
把，代入，得解得
直线BQ的解析式为，
联立解得不合题意，舍去
或点P的坐标为

【解析】 略
略
11.【答案】【小题1】
解：，抛物线与y轴相交于点，
，解得
该抛物线的解析式为
该抛物线顶点P的坐标为
如图2，过点作轴，垂足为H，
则，，
在中，由勾股定理，得，
，解得，不合题意，舍去
点M的坐标为
，抛物线的对称轴为直线
对称轴与x轴相交于点D，，
在中，由勾股定理，得，
，解得或不合题意，舍去
由，得该抛物线顶点P的坐标为，
该抛物线的解析式为
点在该抛物线上，
，解得
【小题2】
如图3，过点作轴，垂足为H，
则，，
在中，
如图3，过点N作轴，垂足为K，则
在和中，
≌
，
点N的坐标为
在中，，
，即
又，，
如图3，在的外部，作，且，连接GM，GF，
在和中，
≌
当满足条件的点F落在线段GM上时，取得最小值，即
在中，，
，解得
，解得，不合题意，舍去
点M的坐标为，点N的坐标为
点，都在抛物线上，
解得

【解析】 略
略
12.【答案】【小题1】
函数图象关于y轴对称
答案不唯一
或或
【小题2】
如图，将函数的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度可得到函数的图象．
当时，自变量x的取值范围是且

【解析】 略
略
13.【答案】【小题1】
解：依题意，得抛物线的“湘一相依抛物线”的解析式为
【小题2】
，
的顶点坐标为
抛物线的“湘一相依抛物线”的解析式为，且抛物线的顶点在上，
：
当时，，解得，
抛物线过定点，
【小题3】
抛物线：的“湘一相依抛物线”的解析式为，
联立
解得，，
对于：，
当时，，同理
点A在点B的上方，
，，
，
，
：，：
联立
整理，得
设的两个根为，，
则，
，，
，
当时，有最小值，此时MN有最小值；
当时，有最大值，此时MN有最大值

【解析】 略
略
略
14.【答案】【小题1】
解：以水管与湖面的交点为原点，水管所在的直线为纵轴建立平面直角坐标系，函数图象如图1所示．
【小题2】
解：；
由图1可得函数图象的顶点坐标为，
水柱最高点距离湖面的高度为米．
根据图象可设二次函数的表达式为
将代入，得 ，
抛物线的表达式为 ．
【小题3】
解：设调节后的水管喷出的抛物线的表达式为 ．
由题意可知，当横坐标为 时，纵坐标的值不小于，
，
解得 ．
公园应将水管露出湖面的高度至少调节到约米才能符合要求．

【解析】
略

略

略
15.【答案】【小题1】
解：设y关于t的函数解析式为
将，，代入，得解得
关于t的函数解析式为
【小题2】
由得y关于t的函数解析式为，
当时，，
汽车刹车4s后，行驶了72米．
【小题3】
会．理由如下：
由得y关于t的函数解析式为，
当时，汽车完全停止，行驶了75米．
，该车在不变道的情况下会撞到抛锚的车．

【解析】 略
略
略
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