2025-2026学年九年级数学 第二十五章 概率初步 培优滚动练（含答案）

第二十五章概率初步
一、解答题：本大题共21小题，共79分。
1.如图，有四张背面相同的卡片A、B、C、D，卡片的正面分别印有正三角形、平行四边形、圆、正五边形这些卡片除图案不同外，其余均相同把这四张卡片背面向上洗匀后，进行下列操作：
若任意抽取其中一张卡片，抽到的卡片既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是 ；
若任意抽出1张不放回，然后再从余下的抽出一张，求抽出的两张卡片的图形是中心对称图形的概率．
2.在科技馆里，小亮看见一台名为帕斯卡三角的仪器，如图所示，当一实心小球从入口落下，它在依次碰到每层菱形挡块时，会等可能地向左或向右落下．
试问小球通过第二层A位置的概率是多少？
请用学过的数学方法模拟试验，并具体说明小球下落到第三层B位置和第四层C位置处的概率各是多少．
3.有一电路AB是由如图所示的开关控制，任意地闭合两个开关，使电路形成通路．
请补全树状图；
求出使电路形成通路的概率．
4.假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌与为雄的概率相同，若3枚卵全部成功孵化，则3只雏鸟中恰有3只雌鸟的概率是多少？
5.如图，有三张卡片形状、大小、质地都相同，正面分别写上整式，x，3，将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张卡片，再从剩下的卡片中随机抽取另一张，第一张抽取的卡片上的整式作为分子，第二张抽取的卡片上的整式作为分母．
请写出抽取两张卡片的所有等可能结果；用画树状图法或列表法求解
试求他抽取的两张卡片结果能组成分式的概率．
6.如图，地面上有一个不规则的封闭图形ABCD，为求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个半径为2米的圆后，在附近随机向封闭图形内掷小石子可把小石子近似地看成点，记录如表：
掷小石子落在不规则图形内的总次数 50 150 300 …
小石子落在圆内含圆上的次数m 21 59 124 …
小石子落在圆外的阴影部分含外缘的次数n 29 91 176 …
当投掷的次数很大时，则的值越来越接近 结果精确到
若以小石子所落的有效区域为总数即，则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内含圆上的频率值稳定在 附近．结果精确到
请你利用中所得频率的值，估计整个封闭图形ABCD的面积是多少平方米？结果保留
7.在一个不透明的口袋里装有三个分别标有1，2，3的小球，它们的形状、大小等完全相同．小明先从口袋里随机取出一个小球，记下数字为x后不放回；小红再从中随机取出一个小球，记下数字为y，记
画树状图或列表，写出点Q的所有坐标；
计算由x，y确定的点在函数图象上的概率．
8.甲、乙两个不透明的袋子中分别装有大小材质完全相同的小球，其中甲口袋中小球编号分别是1，2，3，4，乙口袋中小球编号分别2，3，先从甲口袋中任意摸出一个小球，记下编号为m，再从乙袋中摸出一个小球，记下编号为
请用画树状图或列表的方法表示所有可能情况．
规定：若m，n都是方程的解时，小明获胜；m，n都不是方程的解时，小刚获胜．请说明此游戏规则是否公平？
9.随机抛掷图1中均匀的正四面体正四面体的各面依次标有1，2，3，4四个数字，并且自由转动如图2所示的转盘转盘被分成面积相等的五个扇形区域
求正四面体着地的数字与转盘指针所指区域的数字之积为4的概率；
设正四面体着地的数字为a，转盘指针所指区域内的数字为b，求关于x的方程有实数根的概率．
10.实际问题：某学校共有18个教学班，每班的学生数都是40人，为了解学生课余时间上网情况，学校打算做一次抽样调查，如果要确保全校抽取出来的学生中至少有10人在同一班级，那么全校最少需抽取多少名学生？
建立模型：为解答上面的“实际问题”，我们先建立并研究下面从口袋中摸球的数学模型：
在不透明的口袋中装有红、黄、白三种颜色的小球各20个除颜色外完全相同，现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有10个是同色的，则最少需摸出多少个小球？
为了找到解答问题的办法，我们可把上述问题简单化：
我们首先考虑最简单的情况，即要确保从口袋中摸出的小球至少有2个是同色的，则最少需摸出多少个小球？
假如从口袋中随机摸出3个小球，它们的颜色可能会出现多种情况，其中最不利的情况就是它们的颜色各不相同，那么只需再从袋中摸出1个小球就可确保至少有2个小球同色，即最少需摸出小球的个数是如图；
若要确保从口袋中摸出的小球至少有3个是同色的呢？
我们只需在的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有3个小球同色，即最少需摸出小球的个数是如图；
若要确保从口袋中摸出的小球至少有4个是同色的呢？
我们只需在的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有4个小球同色，即最少需摸出小球的个数是如图；…
若要确保从口袋中摸出的小球至少有10个是同色的呢？
我们只需在至少9个小球同色的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有10个小球同色，即最少需摸出小球的个数是如图
模型拓展一：在不透明的口袋中装有红、黄、白、蓝、绿五种颜色的小球各20个除颜色外完全相同，现从袋中随机摸球：
若要确保摸出的小球至少有2个同色，则最少需摸出小球的个数是 ；
若要确保摸出的小球至少有10个同色，则最少需摸出小球的个数是 ；
若要确保摸出的小球至少有n个同色，则最少需摸出小球的个数是 .
模型拓展二：在不透明口袋中装有m种颜色的小球各20个除颜色外完全相同，现从袋中随机摸球：
若要确保摸出的小球至少有2个同色，则最少需摸出小球的个数是 ；
若要确保摸出的小球至少有n个同色，则最少需摸出小球的个数是 .
问题解决：请把本题中的“实际问题”转化为一个从口袋中摸球的数学模型；根据中建立的数学模型，求出全校最少需抽取多少名学生．
答案和解析
1.【答案】【小题1】
【小题2】
画树状图如图：
共有12种等可能的结果，其中抽出的两张卡片的图形是中心对称图形的结果有2种，
抽出的两张卡片的图形是中心对称图形

【解析】 略
略
2.【答案】【小题1】
解：实心小球在碰到菱形挡块时向左或向右下落是等可能性的，
经过一个菱形挡块后向左或向右下落的概率各是原概率的一半，画树状图如图1所示，落到A位置的概率为
【小题2】
同理可画树状图如图2所示，落到B位置的概率为；
同理可画树状图如图3所示，落到C位置的概率为

【解析】 略
略
3.【答案】【小题1】
解：补全树状图如图所示．
【小题2】
共有20种等可能的结果，其中使电路形成通路的结果有12种，
电路形成通路

【解析】 略
略
4.【答案】解：设3枚卵分别为甲、乙、丙，它们孵化后的可能结果如图：
共有8种等可能的结果，其中3只雏鸟中恰有3只雌鸟的结果有1种，
只雏鸟中恰有3只雌鸟

【解析】略
5.【答案】【小题1】
解：画树状图如图：
【小题2】
由可知，共有6种等可能的结果，其中能组成分式的结果有4种，
能组成分式

【解析】 略
略
6.【答案】【小题1】
【小题2】
【小题3】
设封闭图形ABCD的面积为a平方米．
依题意，得，解得
答：整个封闭图形ABCD的面积是平方米．

【解析】
解：；
；
，…
当投掷的次数很大时，则的值越来越接近
故答案为
略
略
7.【答案】【小题1】
解：画树状图如图：
点Q的所有坐标为，，，，，
【小题2】
由可知，共有6种等可能的结果，其中点在函数图象上的结果有2种，
点在函数图象上的概率为

【解析】 略
略
8.【答案】【小题1】
解：画树状图如图：
由图知共有12种等可能结果；
所有可能情况为，，，，，，，，，，，
【小题2】
解方程，得，，
小明获胜，
小刚获胜
，游戏公平．

【解析】 略
略
9.【答案】【小题1】
解：画树状图如图：
共有20种等可能的结果，其中正四面体着地的数字与转盘指针所指区域的数字之积为4的结果有3种，
正四面体着地的数字与转盘指针所指区域的数字之积为4的概率为
【小题2】
方程有实数根的条件为，
满足的结果共有14种：，，，，，，，，，，，，，
关于x的方程有实数根的概率为

【解析】 略
略
10.【答案】【小题1】
6
46
【小题2】
【小题3】
在不透明口袋中放入18种颜色的小球小球除颜色外完全相同各40个，现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有10个是同色的，则最少需摸出多少个小球？
名
答：全校最少需抽取163名学生．

【解析】 略
略
略
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