四川省德阳市2025-2026学年高二上学期期中考试 数学试题（含答案）

德阳市高中2024级高二上期期中教学质量监测考试
数学试卷
命题人：
说明：
1.本试卷分第I卷和第II卷，共4页。考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效。考试结束后，将答题卡交回．
2.本试卷满分150分，120分钟完卷.
第I卷 选择题（58分）
单项选择题，本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设向量，，若，则
A.-2 B. -1 C. 1 D. 2
2.以为圆心，直径为4的圆的方程为
A． B．
C． D．
3.已知直线，且，则实数的值为
A.2 B.-1 C.2或-1 D.
4.一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体玩具两次，并记录每次正四面体玩具朝下的面上的数字，记事件为“第一次向下的数字为1或2”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是
A. B. 事件与事件互斥
C.事件与事件相互独立 D.
5.如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，，且，则向量的模长为
A. B. C. D.
6.已知点，，若直线与线段有公共点，则实数的取值范围
A． B．或
C．或 D．
7.国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中，把底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．今有“阳马”，平面，，，，，分别为棱，，D的中点，则点到平面的距离为
A. B. C. D.
8.瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点，，，则的欧拉线方程为
A. B.
C. D.
多项选择题，本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有几项是符合题目要求的.
9.某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”不互为对立的是
A.至多一次中靶 B.两次都中靶 C.只有一次中靶 D.两次都没有中靶
10.下列说法正确的是
A．已知直线过点，且在轴上截距相等，则直线的方程为.
B．直线的倾斜角的取值范围是.
C．，“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件.
D．若直线沿轴向左平移2个单位长度，再沿轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为.
11.国内某创意展馆展出的“中式几何方砖”，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案。现取三片该方砖拼接成几何图形，把这个组合再转换成空间几何体．若图中每个正方体的棱长为1，则下列结论正确的是
A. B.
C. 点到直线的距离是 D. 异面直线与所成角的正切值为4
第II卷 非选择题（92分）
三．填空题，本题共4小题，每小题5分，共15分.
12.直线的倾斜角是 ．
13.德阳市举办作文比赛，共个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为 ．
14.已知是棱长为6的正方体的内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，则的最大值为 ．
四．解答题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15(13分)
已知的三个顶点分别为，求：
(1)边所在直线的方程；
(2)边上的垂直平分线所在直线的方程；
(3)的面积．
16（15分）
如图，在三棱锥中，点为棱上一点，且，点为线段的中点．
（1）以为一组基底表示向量；
（2）若，，，求．
17（15分）
2025年全国计算机三级考试分上机考试与笔试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机三级考试“合格”，并颁发计算机三级证书，甲、乙、丙三人在上机考试中“合格”的概率依次为，在笔试中“合格”的概率依次为，所有考试是否合格互不影响．
（1）求甲没有获得计算机三级证书的概率；
（2）这三人进行上机考试与笔试两项考试后，求恰有两人获得计算机三级证书的概率．
18（17分）
已知动点与两个定点的距离的比值为，记动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)过点的直线与曲线交于两点，若，求直线的方程．
(3)若为直线：上一动点，过做曲线的切线，切点为.求面积的最小值.
19（17分）
如图，在四面体ABCD中，，分别是线段，的中点，点在线段AC上，且.
（1）求证：；
（2）当，时，求平面与平面夹角的余弦值；
（3）在（2）的条件下，若为内的动点，，且与平面所成角的正切值最大，试确定点的位置.
德阳市高中2024级高二上期期中教学质量监测考试
数学参考答案及评分标准
单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1-4：DCBC 5-8:ABBD
多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有几项是符合题目要求的）
ABC 10.BCD 11.ABC
填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
0（或0°） 13. 14. 18
填空题（共77分）
15.解（1）由两点式得边AB所在直线方程为，即...........4分
（2）因为，AC的中点,.................................................................7分
所以AC边上的垂直平分线所在直线方程为，即．....9分
（3）点C到边AB的距离为，，......................11分
．.....................................13分
16.解（1）∵为线段的中点，∴，
∵，∴，.............................................2分
∴
.....................................4分
............................................6分
；..............................................7分
（2）...................................9分
..............11分
..................................................................13分
．.............................................15分
17.解（1）记甲，乙，丙三人在计算机三级上机考试中合格依次为事件，，
在笔试考试中合格依次为，，....................................................................................2分
设甲没有获得执业医师证书的概率为
...............................................6分
（2）甲、乙、丙获得计算机三级证书依次为，，
并且与，与，与相互独立........................................8分
则，，..................................11分
由于事件，，彼此相互独立
“恰有两人获得计算机三级证书”即为事件：
..................13分
概率为.....................................15分
18.解：（1）设，则，...........................................................................1分
即...............................................................................................................3分
化简得；
所以曲线的方程为：...............................................................................5分
（2）由（1）知曲线的轨迹为圆，其圆心坐标为，半径
当直线斜率不存在时，的方程为，圆心到直线的距离为1，所以，故满足题意.......................................................................................................................7分
当直线斜率存在时，设的方程为，即，........................8分
圆心到直线的距离为
所以....................................................................10分
解得
所以的方程为，
即的方程为......................................................................................................11分
综上所述，直线的方程为和...................................................................12分
，..............................14分
故最短时，有最小值，此时为圆心到直线的距离,最小值为2.................................................................................................................................17分
19.证明：（1）取BD中点，连接PO，
是BM的中点，，且，.....2分
在线段CD上取点，使，连接OF，QF，
，，且，
，四边形POFQ为平行四边形，，..............................................................4分
又平面平面，平面...............................................5分
（2），则，，
取BD中点，则，又平面，平面BCD，
以为原点，OB，OC，OP所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，.................................7分
则，故，
则，，，
，所以，
故，
易知平面的一个法向量为，...................................9分
设平面的一个法向量为，
则，即，
取，则，，.....................................10分
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为..........................................................11分
(3)由（2）知为BD中点，为AD中点，连接OM，
，
点为内动点且平面QGM，
又平面ABD，平面平面，
，故点在OM上，..............................................12分
设，又，，，
则，
，...............................13分
易知平面的一个法向量为，...................................14分
设QG与平面所成角为，则最大时，最大，
，.............................16分
所以当时，最大，此时最大，
即当点位于中位线靠近的八等分点的第3个点处时，QG与平面所成角最大....................................................................................................................................17分
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