八年级数学上册期末专练浙教版2024
专题8 压轴大题20道 【浙江期末真题汇编】
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
1．(1)
(2)
(3)点坐标为
（1）过点C作轴与N，过点B作，交的延长线于M，可证得，从而得出，，进一步得出结果；
（2）可表示出平移后坐标为，坐标为，将点代入，求得m的值，进一步得出结果；
（3）作轴于S，作，交于T，可推出，从而得出，进而得出T点坐标，从而求得的解析式，进一步得出结果；延长至，使，连接，可推出，从而得出，进一步得出结果．
（1）解：如图1，
过点C作轴与N，过点B作，交的延长线于M，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点B坐标为，点C坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：点C坐标为，向右平移m个单位，坐标为，坐标为，
∵过，
∴，
∴，
∴坐标为，坐标为，
设的解析式为，
∴可得，解得，
∴直线的解析式：；
（3）解：如图，
作轴于S，作，交于T，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理（1）得，，
∴，
∴，
∴，
由（2）可知：，
设直线的解析式为，则有：
，解得，
∴直线的解析式为，
由，可得，
∴，
延长至，使，连接，
∴，
∴，
∵，，
∴根据中点坐标公式可得：，
∴，
综上所述：点坐标为．
本题考查了求一次函数的解析式，函数图像的交点与方程组之间的关系，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是具备较强的计算能力．
2．（1）；（2）；（3）
本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）由勾股定理即可求解；
（2）先确定出是中垂线（三线合一），则，那么由等边对等角以及三角形内角和定可求；
（3）先证明 ，则，继而可得，则，设，由勾股定理得：，解得：（舍负），则，那么在中， ，过点E作于点，求出高，即可求解面积．
解：（1）在中，
正方形的面积为，正方形的面积为．
；
（2）等腰和等腰，
是中垂线（三线合一）
；
；
；
（3）解：和是等边三角形
，
，
∴，
设，
由勾股定理得：，
解得：（舍负）
∴在中，，
，
在中， ，
过点E作于点，
∵等边，
∴，
∴，
等边三角形的面积：．
3．（1）；②；（2），理由见解析；（3）或．
（1）①证明，可得，从而证明,
②根据可得，即可证明；
（2）取中点G，连接，利用证明，得到，可得；
（3）分两种情况：当点E在线段上时或当点E在延长线上时，取的中点H，连接，同（2）证明，得到，从而求解．
解：（1）①如图1，∵，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴,
故答案为：．
②∵，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）．理由是：
取中点G，连接，如图2，
∵点G是斜边中点，
∴，
∵，，点D为的中点，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）当点E在线段上时，如图3，取的中点H，连接，
当，，时，
，此时F在的延长线上，
同（2）可得：，
∴，
∵，，
∴，
当点E在延长线上时，如图4，
同理可得：；
综上：的长为或．
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半．
4．（1）是．
（2）或．
（3）或．
（4）．
（1）根据等垂点的定义，进行判断即可；
（2）分点在点上方和下方，两种情况进行讨论求解即可；
（3）分点在轴上方和下方，两种情况进行讨论求解即可；
（4）特殊点法求一次函数解析式，面积桥求的高，面积公式写出表达式即可．
（1）∵点，
∴，
∵，
∴，
所以，
则是2的“等垂点”，
故答案 ：是．
（2）∵点，，且点是4的“等垂点”，
∴如图所示过点分别作轴轴的垂线，垂足分别为点，易证，
∴，
∴，
∴．
∵点，，且点是4的“等垂点”，
∴如图所示易证，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案 ：或．
（3）设
当时，如图过作于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴
即
∵点，
∴或，
解得或(舍)，
∴．
当时，如图过作于点，
同理可得
∵点，
∴或，
解得或(舍)，
∴．
综上所述：或．
（4）∵直线上存在无数个5的“等垂点”，
易求得与x轴交于点，与y轴交于点，
∴直线为，
如图过点分别作，
∵，，，
∴根据勾股定理逆定理得为直角三角形，
∴
∴，
∴，
即，
，
所以．
本题主要考查一线三等角构造全等、面积桥、直角三角形斜边上的高、勾股定理及其逆定理等；解题过程中重点运用数形结合思想以及分类讨论思想，综合考查学生画图和全面思考问题的能力和解决问题的能力．
5．(1)
(2)k的取值范围为
(3)存在，点Q的坐标为或
（1）分别把代入函数解析式，解方程，进一步得出结果；
（2）求出，根据恰好落在的内部得出不等式组，求解即可；
（3）可推出，，进而得出，从而得出轴，从而得出，求得直线的解析式后，代入求得的值，进而得出结果；当点在轴上时，可求得点，，求得直线直线的解析式后，与直线的解析式联立成方程组，进一步得出结果．
（1）解：当时，
，，
，，
，，
故答案为：，；
（2）解：∵点与点关于y轴对称，
∴，
∵，恰好落在△的内部，直线与直线相交于点E．
∴
解得：．
（3）解：如图1，
当点落在轴上时，设，
关于直线的对称点为，
，，
当时，，
，
点是的中点，
，
，，
，
，
，
轴，
，，
，
轴，
，
过，
，
，
，
由得，
，
，
如图2，
当点在轴上时，
，，
，
，
，
，
，即，
设直线的解析式为：，
，
，
，
由得，
，
，
综上所述：或．
本题考查了求一次函数的解析式，等腰三角形的性质，二元一次方程组的解法，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论．
6．(1)，
(2)点P的坐标为：或
(3)B′或，
本题考查的是一次函数综合运用，涉及到直角三角形的性质、一次函数的图象和性质、图形的翻折等，分类求解是解题的关键．
（1）由，得出，利用含角的直角三角形的性质可得，则，可得点，利用待定系数法即可求解；
（2）设点，根据两点间距离公式可得，，，当为斜边时，利用勾股定理列出等式即可求解；当或为斜边时，同理可解；
（3）当点P的坐标为时，作轴于，根据折叠性质得出，，根据三角形内角和定理及平角的定义得出，利用含角的直角三角形的性质即可求出坐标，当点P的坐标为时，可求出直线解析式为，利用面积法可得，设，利用两点间距离公式可求出，可得点坐标，利用中点坐标公式即可求出坐标，综上即可得答案．
（1），
解：∵，则，，
∴，
∴，则点，
设直线的表达式为，
∴，
解得：
∴直线的表达式为：，
故答案为：，；
（2）设点，
由点A、B、P的坐标得，，，，
当为斜边时，则，
解得：（舍去）或，
∴点；
当为斜边时，,
解得，
∴点P，
当为斜边时，
解得：（舍去），
综上，点P的坐标为：或；
（3）当点P的坐标为时，如图，作轴于，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
由折叠性质可知：，，
∴，
∴，，
∴，
如图，当点P的坐标为时，则，
设直线解析式为，与交于点，
∴，
解得：，直线解析式为，
由折叠性质可知：垂直平分，
∵，
∴，
解得：，
设，
∴，
解得：，
∴点，
由中点坐标公式得：点，
综上，B′或．
7．(1)
(2)详见解析
(3)
因式分解结合非负性，得到，结合，进行求解即可；
如图2中，连接只要证明，即可解决问题；
结论：如图3中，作交于点，则只要证明即可．
（1）解：∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
解得，
故答案为：；
（2）证明：如图2中，连接
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，，
，，
，
；
（3）解：结论：
理由：如图3中，作交OB于点，
，
，
，
，
同理，
，
由（2）知：，
即
本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，因式分解，平行线的判定和性质等知识，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题.
8．(1)①；②或或
(2)
（1）①分别令，求得，，勾股定理求得，进而根据，即可求解；
②设，则，则，勾股定理建立方程得出，进而分类讨论，即可求解；
（2）过点作交轴于点，在上截取，过点作轴于点，证明得出，进而可得当在上时，取得最小值；设，根据勾股定理求得，进而求得的解析式为，设，则，，根据得出，则，再求得的解析式为，令，即可求解．
（1）解：①∵直线与轴，轴分别交于，两点，
当时，，当时，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴
②如图所示，过点作轴于点，
设，则，则，
在中，，
∴ ，
解得：（负值舍去），
∴，
∴，
设，则，，
∵是等腰三角形，
当时，则，
当时，则，
解得：（舍去）或 ，
当时，则，
解得：，
∴或或；
（2）解：如图所示，过点作交轴于点，在上截取，过点作轴于点，
∵，，
∴即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴当在上时，取得最小值；
设，则，
在中，，
在中，，
∴，
∴，则，
∴，
∴，
设的解析式为，代入，
∴，
解得：，
∴的解析式为，
设，则，，
∵，
∴，
解得：（负值舍去），
∴，
∴，
设直线的解析式为代入，
∴，
解得：，
∴的解析式为，
当时，，
解得：，
∴当最小时，点的坐标为．
本题考查了一次函数，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，两点之间线段最短；熟练掌握以上知识是解题的关键．
9．(1)
(2)
(3)
由等边三角形的性质可得，，，利用可证得，由全等三角形的性质可得，再利用三角形外角的性质即可求出的度数；
过点作于点，由含度角的直角三角形的性质可得，利用勾股定理可求得，由等腰直角三角形的性质可得，然后利用勾股定理即可求出的长度；
过点作于点，构造，设，利用可证得，利用勾股定理可建立关于的方程，解方程即可求得的长，进而可求得的长．
（1）解：是等边三角形，
，，，
在和中，
，
，
，
；
（2）解：如图，过点作于点，
，
，
，，
，，
，
；
（3）解：如图，过点作于点，
设，
在中，，
，
，
在等边三角形中，，，
又，
，
又，，
在和中，
，
，
，
，
在中，，
，
解得：，
，
，
．
本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，一元二次方程的解法，三角形外角的性质等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
10．
先利用等腰直角三角形的性质得到，再根据折叠的性质得到，，得到是的垂直平分线；设，在中利用勾股定理建立方程，解出的值，再利用勾股定理可得到的长；过作交于点，先证明是等腰直角三角形，得到，设，在中利用勾股定理建立方程，解出的值，再利用勾股定理可得到的长；最后利用即可得出答案．
解：等腰中，，，
，，
点恰好落在的中点处，
，
，
由折叠的性质可得，，，
是的垂直平分线，
，，
；
设，则，
在中，，即，
解得：，
；
如图，过作交于点，则，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
设，则，
在中，，即，
解得：，
；
．
折痕的长度为．
本题考查了等腰直角三角形的性质与判定、折叠的性质、勾股定理、二次根式的计算，熟练掌握以上知识点，学会添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键．本题属于几何压轴题，需要较强的几何知识储备，适合有能力解决几何难题的学生．
11．(1)
(2)①见解析，②见解析．
本题主要考查了列代数式，能根据，，，，之间的关系进行巧妙的化简转换是解题的关键．（1）将，的值代入，再用含的式子表示即可．
（2）①将进行变形，结合即可解决问题．
②先对不等式进行化简，再结合前面的结论求出的取值范围即可．
（1）解：当，时，
，，
所以，
整理得，，
所以．
（2）①证明：由得，
，．
因为，
所以，
整理得，．
因为为正数，
所以，
所以，
即，
所以．
②解：由得，
．
又因为，，
所以，
即，
整理得，．
因为为正数，
所以．
又因为，
所以．
12．(1)
(2)
(3)
（1）由等边对等角可得，由三角形的内角和定理可得，由此即可求出的度数；
（2）由三角形的内角和定理可得，由邻补角互补可得，，进而可得，由三角形的内角和定理可得，由平角的定义可得，进而可得，再结合，利用可证得，于是可得，，由线段之间的和差关系可得，再利用等量代换即可得出结论；
（3）①由已知条件可得为等边三角形，由轴对称的性质可得为等边三角形，于是可得，，由（2）得，，则，进而可得，利用可证得，于是可得，，则，即，于是可得为等边三角形，则，进而可得四边形的周长，于是得解；②连接，由（2）得，因而设，可得，，于是可得为等边三角形，则，进而可得，于是可得四边形是菱形，则，由全等三角形的性质可得，进而可得，即，由轴对称的性质可得，于是可得，解方程即可求出的值，进而可得的面积．
（1）解：，，
，
，
故答案为：；
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，，
，
即：；
（3）解：①，，
为等边三角形，
与关于直线对称，
为等边三角形，
，，
由（2）得：，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
为等边三角形，
，，
四边形的周长
；
②如图，连接，
由（2）得：，
设，
，，
，
又，
，
为等边三角形，
，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
与关于直线对称，
，
，
解得：，
的面积为．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质（、），等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，轴对称的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，列代数式，解一元一次方程，利用邻补角互补求角度，线段的和与差等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定与性质是解题的关键．
13．(1)详见解析
(2)；存在，
本题考查一次函数综合应用，涉及新定义，三角形面积等知识，解题的关键是读懂题意，理解“中根三角形”和的“中根线”的定义．
（1）作的中线，由是等边三角形，可求出，，故，从而为“中根三角形”；
（2）①过B作于K，根据为的“中根线”， ，可得，，又，，知，故，可求出，从而；
②当时，设直线与x轴交于点M，与y轴交于点N，则，，过点D作于点H，由的面积可得．根据垂线段最短可得，而当有且只有一个点C落在直线上时，，得到，即可求解．当时，同理可求解．
（1）证明：作的中线，如图：
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴为“中根三角形”；
（2）解：①过B作于K，如图：
∵为的“中根线”，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵为的中线，
∴，
∴的面积为；
②存在，理由如下：
当时，如图：
设直线与x轴交于点M，与y轴交于点N，
令，则，解得，
∴，
令，则，
∴，
∴，，，
过点D作于点H，
∴，
即，
∴．
∵为的“中根线”，，
∴，
∵点C落在直线上，
∴由垂线段最短可得，
∴当有且只有一个点C落在直线上时，，
∴，
∴．
当时，如图：
同理可得．
综上所述，当时，有且只有一个点落在直线上．
14．（1）见解析；（2）①；②
（1）根据平行线性质得，由，可得，得,可得，可得
（2）①过点D作，交于点G，可得是等边三角形，证明，得,可得，可得；②连接并延长，交于点H，根据“和合”三角形定义知，得，得，可得垂直平分，可得，得，得，根据，得．
（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）①∵是等边三角形，
∴，
过点D作，交于点G，
则，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②连接并延长，交于点H，
当与是“和合”三角形时，，
∵，
∴，
∴，
由①知，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即当的值为时，与是“和合”三角形．
本题考查了新定义——“和合”三角形．熟练掌握新定义，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，含30度的直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线性质，是解题有关键．
15．(1)
(2)见解析
(3)
本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键．
根据等腰三角形的性质得到，得到，于是得到；
根据平行线的性质得到，求得，根据全等三角形的判定和性质定理得到；
作交于点，连接，由，得到，，求得，得到，根据全等三角形的判定和性质定理得到，，根据勾股定理即可得到结论．
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴≌，
∴；
（3）解：作交于点，连接，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴≌，
∴，，
∴，
由（2）可知，
∴，
∴．
16．（1）见解析；（2）见解析；（3）
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
（1）作，交于，可证得，从而，
（2）过点分别作的垂线，垂足分别为，证明，得出，得出，在中，，进而得出，当重合时，取得最小值，即可得出结论；
（3）过点作于点，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，，过点作，交的延长线于点，作关于的对称点，连接，可得，当取得最小值时，取得最小值，由（2）可得时，取得最小值，是等边三角形，进而求得，，即可求解．
（1）证明：如图1，
作，交于，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即是的中点；
（2）证明：如图2，过点分别作的垂线，垂足分别为，
∴，
又∵，
∴
∴，
∵，
∴
∴，
又∵，
∴
∴
∴
在中，，
∴，即
当重合时，取得最小值， 即当绳子两端到角顶点距离相等时，绳子两端距离最小．
（3）解：如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点，
∵中，，，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则
∴
∴
∴
∴
∴
作关于的对称点，连接，
∴，
∴
∴当取得最小值时，取得最小值，
由（2）可得时，取得最小值，
又∵
∴是等边三角形，
∴
∵
∴
设
∴
解得：
∴
的最小值为：．
17．(1)见解析
(2)的长为3；
(3)线段的长为．
（1）延长至D，使，连接．求得，利用勾股定理求得，利用边边边即可证明，从而得到；
（2）先证，得出，再由等腰直角三角形的性质得，，则，然后由勾股定理求出，即可得出答案；
（3）以为直角边在的下面作等腰直角三角形，使，，连接交于点，，先求出，，则，再证，得出，然后证，由等腰三角形的性质得出，最后由含角的直角三角形性质和勾股定理计算，即可得出答案．
（1）证明：如图，延长至D，使，连接．
∵（已知），，
∴
∴（全等三角形的对应边相等）．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
所以；
（2）解：和都是等腰直角三角形，，
，，，
即，
在和中，
，
，
，
是等腰直角三角形，，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
∴的长为3；
（3）解：如图，以为直角边在的下面作等腰直角三角形，使，，连接交于点，
，，
，，
，，
，
，
，
即，
同理，
，，
，
，
，
又，
，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
线段的长为．
本题全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、含角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质和勾股定理是解题的关键．
18．(1)①证明见解析；②
(2)
(3)
（）①由等边三角形的性质可得，，进而即可求证；②由全等三角形的性质得，进而可得，即可得，再根据直角三角形的性质即可求解；
（）证明可得，进而由（）可得，即得点为的中点，据此即可求解；
（）过作交的延长线于，过作于，由直角三角形的性质可得，再证明，得到，进而可得，设，，可得，，即可得，最后代入计算即可求解；
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）①证明：∵是等边三角形，
∴，，
在和中，
，
∴；
②解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
∵为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
由（）知，
∴，
∴点为的中点，
∴，
∴；
（3）解：过作交的延长线于，过作于，
∵，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
19．（1）①证明见解析；②；（2）
本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．
（1）①由可证，可得；
②由全等三角形的性质可得，，由可证，可得，即可求解；
（2）先证是等边三角形，可得，，由直角三角形的性质可得，可得，，即可求解．
（1）①证明：，
，
，
，
．
在和中，
②，
．
由①得，，
．
，
．
．
，
；
（2）解：延长，交于点，过点作于，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
．
20．(1)见详解
(2)
（1）首先根据角平分线的定义求得，进而可得，再证明，即可证明结论；
（2）过点C作于点，于点H，证明四边形是正方形，结合角平分的性质定理可得，设，证明，易得，进而可得；由（1）可知，是直角三角形，由勾股定理解得；在中，由勾股定理得，易知；证明，易得，故，在中，由勾股定理解得的值，即可获得答案．
（1）证明：在中，，
，
和的角平分线相交于点C，
，，
，
，
平分，
，
，
，
，
即，
是直角三角形，
又，
∴，
∴，
是等腰直角三角形；
（2）解：过点C作于点E，于点H，如图所示，
，
四边形是矩形，
平分，，，，
，
矩形是正方形，且，
设，
在和中，
，
，
，
，
由（1）可知，是直角三角形，且，
∵，
由勾股定理得：，
，
在中，，，
由勾股定理得，
，
在和中，
，
，
，
，
在中，，，，
由勾股定理得：，
，
解得：，
．
本题主要考查了角平分线的性质定理、正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质和角平分线的性质定理并正确作出辅助线是解题关键．(共4张PPT)
浙教版2024 八年级上册
专题8压轴大题20道【浙江期末真题汇编】
试题分析
知识点分布
1 0.4 一次函数与几何综合；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；等腰三角形的性质和判定
2 0.4 等边三角形的性质；用勾股定理解三角形；全等的性质和SAS综合（SAS）；含30度角的直角三角形
3 0.4 全等三角形综合问题；等边三角形的判定和性质；等腰三角形的性质和判定；斜边的中线等于斜边的一半
4 0.4 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；一次函数与几何综合；全等三角形综合问题；用勾股定理解三角形
5 0.4 两直线的交点与二元一次方程组的解；坐标与图形变化——轴对称；求一次函数解析式；根据等边对等角证明
6 0.4 一次函数与几何综合；已知两点坐标求两点距离；折叠问题
7 0.4 全等的性质和SAS综合（SAS）；等腰三角形的性质和判定；完全平方公式分解因式；三角形内角和定理的应用
8 0.4 一次函数与几何综合；用勾股定理解三角形；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；等腰三角形的定义
9 0.4 全等三角形综合问题；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形；用勾股定理解三角形
10 0.4 用勾股定理解三角形；折叠问题；二次根式的应用；等腰三角形的性质和判定
知识点分布
11 0.4 分式加减乘除混合运算；求一元一次不等式的解集；完全平方公式分解因式；代入消元法
12 0.15 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；等边三角形的判定和性质；根据菱形的性质与判定求面积；根据成轴对称图形的特征进行求解
13 0.4 一次函数与几何综合；用勾股定理解三角形；等边三角形的性质
14 0.4 全等三角形综合问题；等边三角形的判定和性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质和判定
15 0.4 全等三角形综合问题；用勾股定理解三角形；等腰三角形的性质和判定
16 0.4 全等三角形综合问题；用勾股定理解三角形；等边三角形的判定和性质；含30度角的直角三角形
17 0.4 等腰三角形的性质和判定；用勾股定理解三角形；全等的性质和SAS综合（SAS）；含30度角的直角三角形
18 0.4 全等的性质和SAS综合（SAS）；等边三角形的性质；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；含30度角的直角三角形
19 0.4 全等三角形综合问题；等边三角形的判定和性质；等腰三角形的性质和判定；含30度角的直角三角形
20 0.4 全等的性质和HL综合（HL）；角平分线的性质定理；等腰三角形的性质和判定；根据正方形的性质与判定求线段长
八年级数学上册期末专练浙教版2024
专题8 压轴大题20道 【浙江期末真题汇编】
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A在轴的正半轴上，点坐标为，以线段为底边向右作等腰直角，点坐标为，点为的中点，连接．
(1)求点A的坐标；
(2)如图2，将四边形向右平移个单位，记平移后的四边形为，点恰好在直线上，求直线的解析式；
(3)在（2）的条件下，若点为直线上的动点，使，直接写出点的坐标．
2．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下研究：已知在中，．
【基础】（1）如图1，分别以为边向外作正方形和正方形，若正方形的面积为9，正方形的面积为16，求的长；
【变式】（2）如图2，分别以为边向外作等腰和等腰，连结．若，求的度数；
【拓展】（3）如图3，以为边向形外作等边三角形，以为边向上作等边三角形，连结．若，求等边三角形的面积．
3．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）【探究发现】
（1）如图1，中，，，点为的中点，、分别是边、上的两点，若满足，，那么．
①的度数为________；
②线段、、之间满足的数量关系为________．
【应用类比】
（2）如图2，中，，，点为的中点，、分别是边、上的两点，若满足，试探究线段、、之间满足的数量关系，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图3，中，，，点为的中点，、分别是直线、上的两点，若满足，，请求出的长．
4．（浙江省宁波市余姚市2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题）【定义理解】在平面直角坐标系中，有，两点，若存在点C使得，且，则称点为m的“等垂点”．
例如：在，，三点中，因为，且，所以点C为1的“等垂点”．
【探究应用】
（1）点，，则____________2的“等垂点”（填“是”或“不是”）．
（2）如图1，若点，，则点是4的“等垂点”，则点 的坐标为____________．
（3）如图2，若一次函数上存在5的“等垂点”，求5的“等垂点”C 的坐标．
【拓展提升】
（4）若在直线上存在无数个5的“等垂点”，且直线与x轴交于点E，与y轴交于点F，点M在线段上，点在内，，，连接，设，直接写出面积关于a的表达式．
5．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图1，直线分别与x轴，y轴相交于A，B两点，直线分别与x轴，y轴相交于C，D两点，两条直线相交于点E．
(1)点C的坐标为______，点A的坐标为_______（点A用含k的代数式表示）．
(2)若点A关于y轴的对称点恰好落在的内部，求k的取值范围．
(3)如图2，若点D为的中点，点Q为直线上一点，连接，记点E关于直线的对称点为．请问：是否存在点Q，使得点恰好落在直线上方的坐标轴上？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，直线与轴交于点，，为直线上一动点．
(1)填空：线段_______；直线AC的函数表达式为_______．
(2)当点P运动到某一位置时，是直角三角形，求点的坐标．
(3)当是直角三角形时，作直线，将沿直线翻折，翻折后点的对应点为．请直接写出点的坐标．
7．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，直线相交于点O，直线l分别交射线，射线于A，B两点，平分，交于点D，点G是直线l上一动点，过G作的垂线，交于E，交于F，垂足为H，设，，且
(1)直接写出，的值，______，______；
(2)若G与A重合（如图2），求证：；
(3)若G是直线上任意一点（如图3），试判断之间的数量关系．
8．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，直线与轴，轴分别交于，两点，，分别是线段，上的点．
(1)若．
①求的长．
②若是等腰三角形，求点的坐标．
(2)连接，若，当最小时，求点的坐标．
9．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在等边三角形的，边上分别取点，，使，连结，相交于点．
(1)求的度数．
(2)若，，求的长．
(3)如图，连结，若，，求的长．
10．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在等腰中，，，点D和E分别是和上的两点，连接，将沿折叠得到，点恰好落在的中点处，与交于点F，求折痕的长度．
11．（24-25八年级上·浙江台州·期末）已知正数，，，，满足，．
(1)当，时，请用含的式子表示；
(2)已知，，满足；
①求证：；
②若，求的取值范围．
12．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，为上方一个点，且，过点作直线交线段于点，交线段于点，且使得．
(1)的度数为______；
(2)探究线段，，的数量关系；
(3)如图2，画出关于直线的对称图形，得到，连接，．
①若长为、长为，求四边形的周长（用含，的式子表示）；
②若，，请直接写出的面积（用含，的式子表示）．
13．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）定义：在一个三角形中，一边上的中线等于该边的倍，则称该三角形为“中根三角形”，该中线为三角形的“中根线”．
(1)如图1，为等边三角形，且，证明：为“中根三角形”．
(2)已知为的“中根线”，．
如图2，若，求的面积；
如图3，以点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．问：当为何值，有且只有一个点落在直线上？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
14．（24-25八年级上·浙江台州·期末）【概念呈现】
有一组角互补，另一组角相等，且相等两个角的对边也相等的两个三角形称为“和合”三角形．如图1，在与中，若，，，则与是“和合”三角形．
【性质探究】
（1）如图2，线段交于点，，，容易知道与是“和合”三角形．爱思考的小涛发现，在该组“和合”三角形中可构造出全等三角形，他的作法如下：过点作，交于点．
请证明；
【拓展应用】
（2）如图3，是等边三角形的边上的一动点，在的延长线上，，连接交于点，连接．
①若，求的度数；
②当的值为多少时，与是“和合”三角形．
15．（24-25八年级上·浙江衢州·期末）如图1，在中，，，点在边上，点在边的延长线上，且．
(1)设，求的度数（用含的代数式表示）．
(2)如图2，过点作，交于点，求证：．
(3)如图3，在边上取点，使，作交的延长线于点，若，，求的长．
16．（24-25八年级上·浙江台州·期末）综合实践
【活动交流】数学活动课上，周老师让学生用一段绳子(无弹性)沿着三角板的两直角边边缘拉直滑动．
如图1，第一次拉成折线，且，第二次拉成折线，探究绳子两个端点之间距离的变化情况．
周老师和同学们在探究时，有如下交流：
小明：两种不同位置，绳子的两个端点的距离不一样，即．
小聪：我发现问题可抽象为：如图，在中，，在和延长线上分别取点，，若，则．
小颖：小聪，在探究你的问题的过程中，我发现点是中点．
周老师：小聪发现的结论是正确的，当绳子两端到角顶点距离相等时，绳子两端距离最小．
结合上述师生的交流完成下面任务：
【探究论证】
（1）如图2，请你证明小颖发现的结论；
（2）如图2，请你证明小聪发现的结论；
【创新应用】
（3）如图3，中，，，，点，，分别在边，，上，若，求的最小值．
17．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）综合与实践：小嵊与小州两个同学在学习了“直角三角形全等的判定”后，对数学中重要的学习方法“构造法”，展开了课后探究．
【情景再现】
已知，如图1，在和中，，，．
下面是用“构造法”证明两个直角三角形全等的部分过程．
证明：如图1，延长至D，使，连接．
因为（已知），，
所以
所以（全等三角形的对应边相等）．
…
所以
所以
【实践解决】
(1)请结合“情景再现”的证明过程，把“…”的部分补充完整；
(2)小嵊进行了如下的思考：如图2，和都是等腰直角三角形，且．连接，若，，，求的长；
(3)小州结合“构造法“进行进一步探究：如图3，是等腰直角三角形，，P是外一点，，，，求线段的长．
18．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在等边中，点在边、上，且，连接、交于点．
(1)①求证：≌；
②过点作，请直接写出线段与的数量关系_______．
(2)如图，连接，当时，请求出线段与的数量关系．
(3)如图，延长到点，当，时，则______．
19．（24-25八年级上·浙江金华·期末）【问题探究】
（1）如图1，已知和均为等腰三角形且，
①连接，求证：．
②如图2，线段交线段于点E，交线段于点F，且．若，，求线段的长．
【学以致用】
（2）如图3，已知点C在的右侧，连接．若，，且，求线段的长．
20．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，在中，和的角平分线相交于点，延长，与外角的角平分线相交于点D，交于点
(1)求证：是等腰直角三角形．
(2)若，，求的长．
