2025—2026学年九年级数学上学期期末检测卷02
（测试范围：浙教版，九上全册+九下1-2章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．二次函数图象的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，点在上，点在的内部，若，则是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，是的弦，于点，若，，则弦的长为（ ）
A． B． C． D．
4．一个布袋里放有红色、黄色、黑色三种球，它们除颜色外其余都相同．红球、黄球、黑球的个数之比为．从布袋里任意摸出1个球为红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤有两个不相等的实数根．其中正确的是（ ）
A．②④⑤ B．③④⑤ C．②③④⑤ D．①③④⑤
6．如图，过上一点的切线与直径的延长线交于点，点是圆上一点，且，则的度数为（ ）
A．29 B．31 C．39 D．58
7．如图，两束光线从成像图层的点处发射，经过平面镜的反射后在成像图层上形成光点和，若入射角，，平面镜与成像图层平行，它们之间的距离为，则，两点之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，直线，直线，分别与，，相交于点，，和点，，．若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知点和点分别是的边和边的延长线上的点，连接，则添加下列条件：①；②；③；④；能够判定的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在平面直角坐标系中，边长为的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点．将绕点顺时针旋转，每次旋转，已知起始点的坐标为，则第次旋转结束时，点的坐标为（）
A． B． C． D．
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11． ．
12．在消防救援锦标赛攀登冲锋梯项目中，消防员需沿冲锋梯攀爬训练塔．已知冲锋梯所在斜坡的坡度为，消防员沿此冲锋梯攀爬的路程为10米，那么消防员攀爬的垂直上升的高度为 米
13．如图，是的直径，是的弦，于点E，连接．若，，则的半径的长为 ．
14．物理老师在复习《物质的形态及其变化》这一章内容时，将写有“汽化”“液化”“熔化”“升华”字样的卡片背面朝上吸附在黑板上（背面完全一样），小明和小颖先后抽取一张卡片（不放回），则抽到的卡片内容对应的物态变化过程都是要吸热的概率是 ．
15．如图，拋物线与轴的正半轴交于点，其顶点为，点在该拋物线上且位于、两点之间，过点作轴于点轴于点，与抛物线的另一交点为，连接，当点关于的对称点恰好落在轴上时，点的横坐标为 ．
16．如图，的内切圆（圆心为）与各边分别相切于点，连接．以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交于两点；分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线．有下列结论：①垂直平分；②；③．其中正确结论的序号是 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．计算：
(1)
(2)
18．如图，抛物线与直线都经过点和．
(1)求抛物线的解析式；
(2)直接写出关于的不等式的解集．
19．已知在直角坐标平面中，抛物线经过点、两点，抛物线与x轴交于A、B两点．
(1)求该抛物线的表达式并写出B点坐标；
(2)点P是抛物线上的动点，点P的横坐标为m．
①当时，求P点坐标；
②当点P是抛物线在第一象限内的动点，且是以为斜边的直角三角形，求m的值．
20．如图，在四边形中，．点E在线段上，交于点F，交于点G，交于点H，连接．
(1)试判断与的位置关系，并说明理由．
(2)求的值．
(3)若E为的中点，，求的长．
21．已知：中，，以为直径的交于点．
(1)如图1，当为锐角时，与交于点，连接，则与的数量关系是___________；
(2)如图2，若不动，绕点逆时针旋转，当为钝角时，的延长线与交于点，连接，（1）中与的数量关系是否依然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
22．在边长为1的正方形方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的三个顶点都在格点上，点的坐标为．
(1)画出向左平移4个单位后得到的，并写出点的坐标______；
(2)画出绕点逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标______；
(3)在（2）的条件下，求点在旋转过程中所经过的路径长（结果保留）．
23．学校组织综合实践活动，有10名同学参加，其中男生6人，女生4人．
(1)若从这10人中随机选取一人作为领队，求选到女生的概率．
(2)若某项实践活动只在甲、乙两人中选一人，准备以游戏的方式决定由谁参加，规则如下：将四张牌面数字分别为2，3，4，5的扑克牌洗匀后，数字朝下放于桌面，从中任取2张，若牌面数字之和为偶数，则甲参加，否则乙参加．试问这个游戏公平吗？请说明理由．
24．在平面直角坐标系中，已知点，．
(1)如图1，为线段上横坐标为2的一点，是外接圆，求圆心点的坐标；
(2)如图2，是的切线交于点，求的度数
(3)如图3，连接，为线段上任意一点（不与、重合）经过、、三点的圆交直线于点，当的面积取得最大值时，点的坐标．2025—2026学年九年级数学上学期期末检测卷02
（测试范围：浙教版，九上全册+九下1-2章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B C B A D B C D
1．A
此题考查二次函数顶点式的顶点坐标求法，熟记公式是解题关键．
根据二次函数的顶点式 的顶点坐标为 ，直接读出即可．
∵ 二次函数是顶点式，
∴ 对比，得, ，
∴ 顶点坐标为 ．
故选：A．
2．C
本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，四边形内角和，由圆周角定理得，即得，进而由圆内接四边形的性质得，即得到，，最后根据四边形内角和定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
解：由圆周角定理得，，
∵，
∴，
又由圆内接四边形的性质得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
3．B
本题考查了垂径定理以及解直角三角形，难度不大，掌握相关性质定理是解题关键．在中，由，解直角三角形求得，然后利用垂径定理解答即可．
解：∵于点，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
4．C
本题主要考查概率公式，根据题意假设球数是解题的关键．
根据概率公式，红球概率等于红球数量与总球数之比，给定比例，总份数为9，红球占2份即可求解．
设红球、黄球、黑球的数量分别为（k为正整数），则总球数为，．
故选：C．
5．B
本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，掌握抛物线与轴的交点个数确定△的符号，并利用对称性是解题的关键．根据图象判断二次函数与各项系数符号的关系．
解：图象与轴的负半轴相交，
，故①不正确；
当时，，
即，
，
，
，
解得，故②不正确；
对称轴为直线，，
，即，故③正确；
图象与轴有两个交点，
，即，
，故④正确；
二次函数与直线有两个交点，
一元二次方程有两个不相等的实数根，即有两个不相等的实数根，故⑤正确；
综上，正确的有：③④⑤，
故选：B．
6．A
本题考查切线的性质、圆周角定理、三角形内角和定理．连接，由圆周角定理得出，再由切线的性质得，即可由三角形内角和定理求解．
解：如图，连接，
，
∵是的切线，
，
，
，
，
故选：A．
7．D
本题考查了光的反射定律与解直角三角形的综合应用，解题的关键是通过作垂线构建直角三角形，利用三角函数求线段长度．
分别过反射点作成像图层的垂线，构建直角三角形，利用三角函数求出和的长度，再通过计算出两点间距离．
解：如图，分别过反射点作成像图层的垂线，设平面镜上两个反射点为、，过作于，过作于．
由题意知，平面镜与成像图层平行，且距离为，
．
对于的光线：
根据反射定律，入射角等于反射角，
是等腰直角三角形（）．
在中，，即，
解得．
又垂直平分（反射对称性），
．
对于的光线：
在中，，即，
解得．
同理，垂直平分，
．
．
故选D
8．B
本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得，然后代入求出，再通过线段和差即可求解，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
9．C
本题考查相似三角形的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．根据相似三角形的判定方法逐项判断即可．
解：，，
，
故①符合题意；
，，
，
故②符合题意；
由③不能判定，
，，
，
故④符合题意；
其中能够判定的条件有3个，
故选：C．
10．D
本题主要考查了坐标与图形的旋转以及正多边形的性质，熟练掌握旋转的性质以及正六边形的性质是解题的关键．先确定旋转周期，再计算第次旋转后点的位置，进而求出其坐标．
解：∵每次旋转，正六边形的中心角为，
∴旋转次为一个周期，即旋转后回到原位置．
∴第次旋转，旋转角度为，相当于从起始位置顺时针旋转，也可看作逆时针旋转．
连接，
∵点是正六边形的中心，
∴，
∴将绕点顺时针旋转，第次旋转结束时，点与点重合，
∵轴，轴轴，
∴轴，
∵
∴点关于轴对称的点为点，
∵起始点的坐标为，
∴，即第次旋转结束时，点的坐标为，
故选：．
11．
本题考查了含特殊角的三角函数值的计算，正确记忆特殊角的三角函数值是解题的关键．
根据，再代入进行二次根式的乘法计算即可．
解：，
故答案为：．
12．5
本题考查了解直角三角形的应用---坡度坡角问题，根据坡角设出直角边的长并利用勾股定理是解题的关键．
根据坡度定义，垂直高度与水平距离的比为，结合勾股定理建立方程求解垂直高度．
解：如图，设垂直上升的高度为米，水平距离为米．
由坡度比为，得，即．
∵在中，，即
∴，
解得（舍去负值）．
∴消防员攀爬的垂直上升的高度为5米．
故答案为：5．
13．
本题考查圆的性质（垂径定理）、等腰直角三角形的性质，解题的关键是连接，利用垂径定理和圆周角定理求出相关角度，进而结合等腰直角三角形的性质求解半径．
连接，根据垂径定理求出的长度，再由圆周角定理得出的度数，最后利用等腰直角三角形的性质求出半径．
解：连接，
是的直径，，
，
，
，
，
，
又，
是等腰直角三角形，
，即的半径长为．
故答案为：．
14．
本题主要考查了列举法和概率公式，熟练掌握列举法是解题的关键．首先确定吸热的物态变化过程为汽化、熔化和升华，共3张卡片，放热的为液化，1张卡片；再列举小明和小颖先后抽取不放回时，两人抽到卡片的所有情况，利用概率公式计算即可；
解：总共有4张卡片，小明先抽一张，小颖再抽一张，不放回，因此总共有种可能的结果：汽化和熔化，汽化和升华，汽化和液化，熔化和汽化，熔化和升华，熔化和液化，升华和汽化，升华和熔化，升华和液化，液化和汽化，液化和熔化，液化和升华；
∵吸热的物态变化过程有汽化、熔化和升华，共3张卡片，
∴两人都抽到吸热卡片的情况有种，
∴两人都抽到吸热卡片的概率为．
故答案为：．
15．/
本题考查了抛物线的图象与性质，轴对称的性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．作点关于的对称点，连接，由题意可知，，，接着证明,设点，表示出点，然后根据关于抛物线的对称轴对称，求得答案．
解：作点关于的对称点，连接，由题意可知，，，如图所示：
，
，其对称轴为，
点关于的对称点恰好落在轴上，
，,
∵，
，
∴，
设点，
，
，
则点，
，
拋物线与轴的正半轴交于点，其顶点为，点在该拋物线上且位于、两点之间，
，
故答案为：．
16．①③
本题主要考查了尺规作角平分线，内心的性质，切线长定理，正方形的判定与性质．
延长交于点H，连接，根据尺规作图的过程可知平分，再根据的内切圆（圆心为）与各边分别相切于点，可得，由等腰三角形三线合一可判断①③；由直角三角形的性质可得，结合可判断②．
解：延长交于点H，连接，
由作图过程可知平分，则，
∵的内切圆（圆心为）与各边分别相切于点，
∴，，
∴是等腰三角形，
∴垂直平分，即垂直平分，故①正确；
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，故③正确；
∵，，
∴，故②错误；
则正确的结论有①③．
故答案为：①③．
17．(1)
(2)
本题考查了零次幂，含特殊角的三角函数的混合运算，负整数指数幂，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先算零次幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，再运算加减，即可作答．
（2）先化简绝对值，特殊角的三角函数值，乘方，再运算加减，即可作答．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．(1)
(2)
本题考查的知识点是二次函数和一次函数的解析式求解及不等式解集的确定，解题的关键是利用待定系数法求出抛物线解析式，再结合函数图象的位置关系确定不等式的解集．
（1）把点和代入抛物线解析式，通过解方程组求出、的值，从而得到抛物线解析式；
（2）结合函数图象，根据抛物线与直线的交点、，直接确定抛物线图象在直线图象下方时的取值范围，即不等式的解集．
（1）解：把和分别代入，
得，
解得，
抛物线的解析式为
（2）抛物线和直线都经过和，
由图象得：
当时，抛物线在直线下方，
故不等式的解集为：．
19．(1)
(2)①或；②
本题考查的是全等三角形的判定与性质，利用待定系数法求解二次函数的解析式，旋转的性质，锐角三角函数的应用，作出符合题意的图形是解本题的关键．
（1）运用待定系数法直接解答即可；
（2）①过点作轴于，利用可知是等腰直角三角形，即．设，分在轴上方和下方两种情况，分别列方程求解，得到点坐标；②作轴，垂足为．由题意可得，证明，再建立方程求解即可；
（1）解： 经过点、两点，
，
解方程组得：
抛物线的表达式为：
（2）解：① 过点作轴于点，则．
∵，
∴是等腰直角三角形，．
设，则，．
当在轴上方时，，即，
解得或（与点重合，舍去）．
此时，
∴．
当在轴下方时，，即，
解得或（舍去）．
此时，
∴．
②作轴，垂足为．
点在抛物线的图象上，横坐标为，
，
，
，
，
，
，
，
即，
解得，经检验符合题意；
20．(1)，理由见解析
(2)
(3)
本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等知识．熟练掌握平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）由，可得，由，可得，则，证明，则，进而可证；
（2）证明，则，证明，则，可得，可求，证明，，则，计算求解即可；
（3）由（1）知，，由E为的中点，可得，由（1）可知，则，即，计算求解即可．
（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
同理，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由（1）知，，
∵E为的中点，
∴，
由（1）可知，
∴，即，
解得，，
∴的长为6．
21．(1)2
(2)成立，证明见解析
此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质以及圆的内接四边形的性质．此题难度不大，解题的关键是准确作出辅助线，掌握数形结合思想的应用．
（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角，得，再得到，根据等腰三角形的三线合一，得平分，结合圆周角定理，即可得；
（2）连接．根据等腰三角形的三线合一和圆内接四边形的性质，即可证明．
（1）解：如图，连接，
是直径，
，
即．
，
，
．
又，
．
故答案为：2．
（2）解：成立．
理由如下：如图，连接．
为直径，
，
，
，
，
，，
，
．
22．(1)图见解析；
(2)图见解析；
(3)
本题考查了图形的平移、旋转以及弧长的计算，解题的关键是掌握平移和旋转的性质以及弧长公式．
（1）根据平移的性质，将三角形的各顶点向左平移4个单位得到新三角形，进而确定点坐标；
（2）依据旋转的性质，将绕点逆时针旋转得到新三角形，从而得到点坐标；
（3）利用弧长公式，结合旋转角度和半径计算点旋转经过的路径长．
（1）解：如图：即为所画，；
故答案为：；
（2）解：如图：即为所画，；
故答案为：；
（3）解：∵，
∴点在旋转过程中所经过的路径长．
23．(1)
(2)不公平，理由见解析
本题考查简单公式求概率，列表法计算概率等．
（1）由题意列式约分即可得到本题答案；
（2）由题意列出表格，分别计算出偶数和奇数概率，再进行比较即可得到本题答案．
（1）解：∵有10名同学参加，其中男生6人，女生4人，
∴选到女生的概率为；
（2）解：列表如下：
第二张第一张 2 3 4 5
2 5 6 7
3 5 7 8
4 6 7 9
5 7 8 9
任取2张，牌面数字之和的所有可能结果为：5，6，7，5，7，8，6，7，9，7，8，9，共12种，其中和为偶数的有：6，8，6，8，
故甲参加的概率为，而乙参加的概率为．
∵，
∴游戏不公平．
24．(1)
(2)
(3)
（1）作于点H，连接．由垂径定理得，设，求出直线的解析式为，可得，然后根据列方程求解即可；
（2）连接并延长交于点B，求出，根据圆内接四边形的对角互补得，理由切线的性质得，进而可求出的度数；
（3）连接，作于点N，作于点M， 就出与坐标轴的交点可知，进而可证，证明得，设，则，然后根据列出函数解析式，根据二次函数的性质即可求解．
（1）作于点H，连接．
∵，
∴，
∴．
设，
∵，
∴直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）连接并延长交于点B，
∵是直径，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵是的切线，
∴，
∴；
（3）连接，作于点N，作于点M，
∵，
∴，
对于，当时，，∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴（全等三角形对应边上的高相等）．
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴
，
∴当时，的面积取得最大值，
∴．
本题考查了垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质，切线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，以及二次函数的性质，难度较大，属中考压轴题．(共5张PPT)
浙教版 九年级上册
九年级数学上册期末检测卷02
试卷分析
知识点分布
一、单选题 1 0.94 y=a（x-h） +k的图象和性质
2 0.85 由平行截线求相关线段的长或比值
3 0.84 垂径定理的推论；同弧或等弧所对的圆周角相等
4 0.75 已知概率求数量；由频率估计概率
5 0.75 因式分解法解一元二次方程；抛物线与x轴的交点问题
6 0.74 投球问题(实际问题与二次函数)
7 0.65 三角形内心有关应用；重心的概念； 三角形外接圆的概念辨析
8 0.64 根据平行线的性质探究角的关系；切线的性质定理；直角三角形的两个锐角互余；等边对等角
9 0.65 坡度坡比问题(解直角三角形的应用）；用勾股定理解三角形
10 0.64 根据特殊角三角函数值求角的度数；三角形内角和定理的应用
二、知识点分布
二、填空题 11 0.75 抛物线与x轴的交点问题
12 0.74 圆周角定理；已知圆内接四边形求角度
13 0.65 用勾股定理解三角形；相似三角形的判定与性质综合；等边对等角
14 0.65 已知角度比较三角函数值的大小；根据特殊角三角函数值求角的度数
15 0.64 半圆（直径）所对的圆周角是直角；含30度角的直角三角形；解直角三角形的相关计算；四点共圆
16 0.64 圆周角定理；切线的性质定理
二、知识点分布
三、解答题 17 0.65 实数的混合运算；特殊角三角函数值的混合运算；负整数指数幂；分母有理化
18 0.84 把y=ax +bx+c化成顶点式；y=ax +bx+c的图象与性质
19 0.75 相似三角形的判定与性质综合；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；用勾股定理解三角形
20 0.65 圆周角定理；已知圆内接四边形求角度；用勾股定理解三角形；半圆（直径）所对的圆周角是直角
21 0.65 利用垂径定理求值；圆周角定理；用勾股定理解三角形
22 0.64 列表法或树状图法求概率；根据概率公式计算概率
23 0.4 已知两点坐标求两点距离；切线的性质定理；其他问题(二次函数综合)；坐标与图形综合
24 0.4 用勾股定理解三角形；相似三角形的判定与性质综合；解直角三角形的相关计算
