2025—2026学年九年级数学上学期期末模拟卷03
（测试范围：浙教版，九上全册+九下1-2章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．关于二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．图象的开口向下 B．图象的对称轴为直线
C．图象顶点坐标为 D．当时， 随的增大而减小
2．如图，在中，点、分别是、上两点，且，若，则的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．
3．如图，为的直径，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．一个不透明的盒子里有个除颜色外完全相同的小球，其中有10个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子中小球的个数为（ ）
A．35 B．30 C．25 D．20
5．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．体育老师对小明某次投实心球训练的录像进行技术分析，发现实心球在行进过程中的高度与水平距离之间的关系为，当实心球的飞行高度为时，实心球的水平距离为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕．再将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕．若与的交点为，则点是（ ）
A．的外心 B．的内心 C．的重心 D．的中心
8．如图，与相切于点A，的延长线交于点C．，且为的弦，连接．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为50米，若这个滑雪道坡度（即），则滑雪道长为（ ）米
A．150 B． C． D．
10．在锐角中，，则（ ）
A． B． C． D．
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若抛物线（m是常数）与x轴只有一个交点A，则点A的坐标为 ．
12．如图，点A，B，C，D，E在上，，则所对的圆心角度数为 ．
13．布洛卡点定义：已知中，是内部一点，当时，点为的布洛卡点．如图，在中，，点为的布洛卡点，，那么 ．
14．若，，，则由小到大的顺序为 ．
15．如图，为半圆O的直径，C为半圆上一点，，点P在的延长线上，且．连接交半圆于点D，过P作交的延长线于点E，则 ．
16．如图，是的切线，切点为A，的延长线交于点B，若，则的度数为 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．计算：．
18．已知二次函数．
(1)求该函数图象的顶点坐标．
(2)若点在该函数图象上，试比较与的大小，并说明理由．
19．如图，在中，，于点D，且，为上一点，连接并延长交于点．
(1)求证：；
(2)若E为的中点，，求的长．
20．如图，四边形内接于，连接交于点M，延长至点E．
(1)若，猜想和的数量关系，并说明理由；
(2)若．求的直径．
21．如图，A，B，C是上三点，且，过点B作于点D．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
22．已知教室的粉笔盒里现有1支白色粉笔，1支红色粉笔，1支黄色粉笔，每支粉笔除颜色外均相同．
(1)现从中任取一支粉笔，则取出黄色粉笔的概率是多少？
(2)老师先拿出一支粉笔，放回后，再拿出一支粉笔，用画树状图或列表的方法，求拿出的两支粉笔颜色相同的概率．
23．在平面直角坐标系内，的三个顶点为，，，以及其内部区域记为．若点落在图形上，则称点为“好点”．
(1)下列两点，中是“好点”的为点________；
(2)如图1，点坐标为，若以为圆心为半径的圆上存在唯一点是“好点”，求的值；
(3)如图2，点M、N是抛物线的两个端点，（点在点左边），连接MN，由抛物线和线段MN围成的封闭图形及其内部区域记为．若图形上存在唯一一个“好点”时，求此时的值．
24．【探究】如图①，在矩形中，点E在边上，连接，过点D作于点G，交边于点F．若，求的值．
【应用】（1）如图②，在中，，点F为边的中点，连结，过点B作于点E，交边于点D．若，的值为______．
（2）如图③，在中，，点D为的中点，连接，过点A作于点E，交边于点F．若，的值为______．2025—2026学年九年级数学上学期期末模拟卷03
（测试范围：浙教版，九上全册+九下1-2章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C C B C B B C D
1．D
本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．当时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；当时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．
根据二次函数顶点式性质逐项分析即可．
解：∵关于二次函数，，
∴图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而减小，
故A，B，C错误，D正确．
故选：D．
2．D
本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握该定理是解题的关键．
利用平行线分线段成比例定理，通过已知线段的长度求出的长度．
解：∵ ，
∴ ，
∵ ，，，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
3．C
本题考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据为的直径，，则，再根据，即，代入进行计算，即可作答．
解：∵为的直径，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
4．C
本题考查了频率估计概率，概率公式．根据频率估计概率，摸到黄球的概率稳定在，利用概率公式计算n的值，
解：∵一个不透明的盒子里有个除颜色外完全相同的小球，其中有10个黄球，且摸到黄球的频率稳定在附近，
∴
解得，
经检验：是原方程的解，
∴估计盒子中小球的个数n为25，
故选：C．
5．B
本题考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系；理解函数与方程的联系是解题的关键．由图知，抛物线与轴交于点，代入求出m的值，再解方程即可．
解：由图知，抛物线与轴交于点，
将，代入，则，
，
∴原方程为
解得：或；
故选：B．
6．C
本题考查了二次函数的应用，将代入函数解析式，解方程得到或，根据实际意义，水平距离为非负数，故取．
解：代入，
得，
解得或，
∵水平距离为非负数，
∴，
∴实心球的水平距离为．
故选：C．
7．B
本题考查了翻折变换以及角平分线的性质，三角形的内心的性质．根据折叠的性质可知点为角平分线的交点，根据角平分线的性质可知点到三边的距离相等．
解：如图：过点作，，，
由题意得：，，
为角平分线的交点，
，
点到三边的距离相等．
点是的内心．
故选：B．
8．B
本题主要考查了圆的切线的性质定理，平行线的性质，等边对等角，直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质．
连接，根据圆的切线的性质定理得出直角三角形，利用直角三角形的性质求出，然后再利用平行线的性质和等边对等角进行求解即可．
解：如图，连接，
∵与相切于点A，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
9．C
本题考查的是直角三角形的应用-坡度坡比问题，熟记坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．
根据坡度的概念求出，再根据勾股定理求出．
解：∵滑雪道的坡度为，即，
米，
米，
由勾股定理得：米，
故选：C．
10．D
本题考查了特殊角的三角函数，非负数的性质，三角形内角和等知识，根据非负数的性质、特殊角三角函数求得是解题的关键；由非负数的性质及特殊角三角函数求得，再由三角形内角和即可求解．
解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
11．
本题考查抛物线与x轴的交点，由抛物线与x轴只有一个交点，可知判别式为零，从而求出m的值，再代入抛物线方程得到顶点坐标，即为交点坐标．
解：抛物线与x轴只有一个交点，
∴．
解得．
代入得．
当时，，
解得．
∴点A的坐标为．
故答案为：．
12．
本题考查圆内接四边形性质，圆周角定理，解题的关键是掌握圆的相关性质．连接，，，由，，可得，故，即所对的圆心角为．
解：连接，，，如图，
点，，，，在上，
，
，
，即，
，
，
即所对的圆心角为；
故答案为：．
13．2
本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质，先证明，再由布洛卡点的定义推出，则可证明得到，利用勾股定理得到，据此可得答案．
解：∵在中，，
∴，
∵点为的布洛卡点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：2．
14．
本题考查锐角三角函数的应用，熟练掌握锐角三角函数的性质及特殊的锐角三角函数值是解题关键．根据锐角三角函数的性质及正弦值与余弦值的关系解答即可．
解：，，
．
故答案为：．
15．/厘米
此题考查了圆内接四边形的判定方法，圆周角定理，解直角三角形等，解题的关键是掌握以上知识点．
连接，，根据直径所对的圆周角是直角，得，确定，则P、E、D、B四点共圆，求出，在中利用三角函数即可求出．
解：如图，连接，，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
则P、E、D、B四点共圆，
∴，
∵，
∴中，，
故答案为：．
16．
本题考查了切线的性质和圆周角的性质．连接，如图，根据切线的性质得，求得，根据圆周角的性质求得，进一步计算即可求出的度数．
解：连接，如图，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
17．
本题考查了实数的混合运算，涉及分母有理化、特殊角的三角函数、负整数指数等知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键；
先分母有理化、代入特殊角的三角函数、再计算负整数指数、去绝对值，最后计算加减．
解：
．
18．(1)
(2)
本题主要考查了二次函数的顶点式转化以及函数值的计算，熟练掌握配方法将一般式转化为顶点式、代入法求函数值是解题的关键．
（1）对于求二次函数顶点坐标，可通过配方法将一般式转化为顶点式来求解．
（2）比较两点函数值大小，可分别代入函数解析式求出函数值再比较，或根据二次函数的单调性来判断．
（1）解：
，
∴该函数图像的顶点坐标为．
（2）解：把代入，得，
把代入，得，
∵，
∴．
19．(1)见解析
(2)
本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由题意可得，再由得出，即可得证；
（2）求出，由勾股定理可得，过点D作，交于点G，则，，易证G为中点，得出，再证明得出，即可得解．
（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解： 点为的中点，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
过点D作，交于点G，则，，
由（1）可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即G为中点，
，
点为的中点，
∴，
∵，
∴，
，
∴．
20．(1)，理由见解析
(2)
此题考查了圆内接四边形的性质、勾股定理、圆周角定理，熟记有关定理是解题的关键．
（1）根据圆内接四边形的性质及等腰三角形的性质求解即可；
（2）连接并延长，交于点，连接，根据圆周角定理求出，根据三角形内角和定理求出，则，再根据勾股定理求解即可．
（1）解：，理由如下：
∵四边形内接于，
∴，
∴，
，
∴，
，
∴；
（2）解：如图，连接并延长，交于点，连接，
∵是直径，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
在中，由勾股定理得，
∴的直径为．
21．(1)见解析
(2)
本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
（1）如图，延长交于E，根据垂径定理得到，，求得，于是得到结论；
（2）如图，连接，设的半径为r，根据勾股定理列方程得到，从而得出结果．
（1）证明：如图，延长交于E，
，
，，
，
，
，
；
（2）解：如图，连接，
设的半径为r，
，，
，
在中，，
解得：
．
22．(1)
(2)
本题主要考查了概率的计算，熟练掌握概率公式以及列表法（不同形式列表）求概率是解题的关键．
（1）根据概率公式，用黄色粉笔的数量除以粉笔的总数量即可求解．
（2）通过调整列表形式（第一次在列、第二次在行）列出所有可能的结果，再找出两支粉笔颜色相同的结果数，最后根据概率公式计算概率．
（1）解：粉笔总数量为（支），黄色粉笔有支．
∴(取出黄色粉笔)；
（2）解：列表如下（第一次在列，第二次在行）：
第二次第一次 白 红 黄
白 白-白 红-白 黄-白
红 白-红 红-红 黄-红
黄 白-黄 红-黄 黄-黄
总共有种等可能的结果，其中两支粉笔颜色相同的结果有种（白-白、红-红、黄-黄）．
∴(取出两支粉笔颜色相同)．
23．(1)E
(2)或
(3)或
（1）在坐标系中描出点D和点E，再根据定义判断即可；
（2）分两种情况，当与相切于点G时和当恰好经过点B时，分别求出此时的半径即可得到答案；
（3）根据题意可得图形U与图形W有且只有一个交点，那么可分为两种情况：当直线恰好经过点B时和当抛物线恰好与直线只有一个交点时，分别求解即可得到答案．
（1）解：在坐标系中描出点D和点E如下所示，
∴点是“好点”，点不是“好点”
（2）解：如图2-1所示，当与相切于点G时，连接，，则，
∵，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵此时与图形有且只有一个交点，
∴此时上存在唯一点是“好点”，即此时；
如图2-2所示，当恰好经过点B时，此时与图形有且只有一个交点，
∴此时上存在唯一点是“好点”，
∵，，
∴，
∴；
综上所述，或；
（3）解：在中，当时，，当时，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为；
∵图形上存在唯一一个“好点”，
∴图形U与图形W有且只有一个交点；
如图3-1所示，当直线恰好经过点B时，此时图形U与图形W有且只有一个交点，
∴，
∴；
如图3-2所示，当抛物线恰好与直线只有一个交点时，此时图形U与图形W有且只有一个交点，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为；
联立得，
∵抛物线恰好与直线只有一个交点，
∴，
解得，
∴，
解得，满足，符合题意；
综上所述，或．
本题主要考查了坐标与图形，二次函数综合，切线的性质，两点间距离计算公式，正确理解定义和利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
24．【探究】；（1）；（2）
【探究】根据题意 ， ，则，即可求解；
（1）根据题意证，得，则 ，则 ，即可求解；
（2）如图，作于G，设，则，则， 由， 得 ，设，可知，可得，即可求解.
解：【探究】∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴ ；
【应用】解：（1）∵，
∴设，
∵，
∴，
∵点F是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）如图，作于G，
设，则 ，
∵，
∴，
由（1）知：，
∴
∴ ，
设，
∴，
∵，
∴，
由得，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．(共5张PPT)
浙教版 九年级上册
九年级数学上册期末检测卷03
试卷分析
知识点分布
一、单选题 1 0.94 根据旋转的性质求解
2 0.94 二次函数图象的平移；y=ax 的图象和性质
3 0.84 二次函数的识别
4 0.75 已知圆内接四边形求角度；根据旋转的性质求解；含30度角的直角三角形；用勾股定理解三角形
5 0.74 列表法或树状图法求概率
6 0.65 与三角形中位线有关的证明；相似三角形的判定与性质综合
7 0.65 三角形外接圆的概念辨析；三角形内心有关应用；三角形内角和定理的应用；圆周角定理
8 0.65 切线的性质定理；根据旋转的性质求解；几何图形中角度计算问题
9 0.64 利用垂径定理求值；求弧长；根据特殊角三角函数值求角的度数
10 0.64 根据正方形的性质证明；解直角三角形的相关计算；等腰三角形的性质和判定；用勾股定理解三角形
二、知识点分布
二、填空题 11 0.85 三角形的外角的定义及性质；切线的性质定理
12 0.75 根据图形面积求比例系数（解析式）；切线的性质定理；反比例函数与几何综合
13 0.74 已知正切值求边长
14 0.65 圆周角定理；半圆（直径）所对的圆周角是直角；含30度角的直角三角形
15 0.65 列表法或树状图法求概率
16 0.64 y=ax +bx+c的图象与性质；二次函数图象与各项系数符号；根据二次函数的图象判断式子符号
二、知识点分布
三、解答题 17 0.85 特殊角三角函数值的混合运算
18 0.75 利用垂径定理求值；求其他不规则图形的面积；圆周角定理
19 0.75 相似三角形的判定与性质综合；相似三角形实际应用；利用平行四边形的判定与性质求解
20 0.65 根据等角对等边证明边相等；同弧或等弧所对的圆周角相等；角平分线的有关计算；三角形的外角的定义及性质
21 0.65 根据概率公式计算概率；列表法或树状图法求概率；添一条件使四边形是矩形；添一个条件使四边形是菱形
22 0.64 待定系数法求二次函数解析式；线段周长问题(二次函数综合)；一次函数图象与坐标轴的交点问题
23 0.64 全等三角形综合问题；根据旋转的性质求解；等腰三角形的性质和判定；根据特殊角三角函数值求角的度数
24 0.4 切线的性质定理；相似三角形的判定与性质综合；用勾股定理解三角形；根据成轴对称图形的特征进行求解
