2025—2026学年九年级数学上学期期末模拟卷02
（测试范围：九年级上册人教版2024，第21-25章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B A C C A D D C C
1．A
本题考查了概率公式，解答本题的关键是熟练掌握概率公式．
由甲布袋装有个红球和个白球，直接利用概率公式求解即可求得答案．
解：甲布袋装有个红球和个白球，
随机从甲袋中摸出一个球，摸出红球的概率是：，
故选：A．
2．B
此题考查了一元二次方程根的概念．根据一元二次方程根的概念，将代入方程，求解即可．
解：将代入方程，得，
解得，
故选：B．
3．A
本题考查了正多边形与圆，圆周角定理；连接，先求得中心角，进而根据圆周角定理，即可求解．
解：如图所示，连接，
∵正五边形内接于，
∴,
∴，
故选：A．
4．C
本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，
连接，根据切线的性质及直角三角形的性质求出，再根据圆周角定理求出
，然后根据圆内接四边形对角互补得出答案.
解：连接，
∵是的切线，
∴，
即.
∵，
∴，
∴
在圆内接四边形中，，
∴.
故选：C.
5．C
本题考查二次函数图象的平移规律，原函数为，需先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，最终确定新顶点的位置，从而得到解析式．
A．，是将向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，不符合题意；
B．，是将向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，不符合题意；
C．，是将向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，符合题意；
D．，是将向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到，不符合题意．
故选：C．
6．A
本题主要考查一元二次方程根的判别式，理解掌握一元二次方程根的判别式的判别情况是解题的关键．
方程有实根，则有，由此即可求解．
解：∵关于的一元二次方程有实数根，且，，，
∴，
∴，
故选：．
7．D
本题考查了一元二次方程的应用，设平均每月的增长率为，依题意列出方程即可，掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
解：设平均每月的增长率为，依题意得：
，
故选：D．
8．D
本题考查了扇形的面积，几何概率的计算；熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．先利用扇形的面积公式求出扇形和扇形的面积，再减去的面积即可得阴影部分的面积，再进一步利用概率公式计算即可．
解：是等腰直角三角形，
，
，
∴，
∴图中阴影部分的面积是
，
∴一个小球在等腰内自由滚动，则小球停在图中阴影部分的概率是：
，
故选：D．
9．C
本题考查了菱形的性质、图形旋转的性质及勾股定理，解题的关键是利用菱形对角线互相垂直且平分的性质求出相关线段长度，结合旋转的性质确定直角三角形的直角边，再用勾股定理计算的长．
先根据菱形性质得，且、，求出、；再由旋转180°的性质得、、，计算；最后在中，用勾股定理求出的长．
解：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∵绕着点C旋转得到，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
10．C
本题主要考查了二次函数的图像与性质，正确利用数形结合的思想是解题的关键．
开口向下得到；对称轴在轴的右侧得到a、b异号，则；抛物线与轴的交点在轴的上方得到0，所以；当时，得到，即；对称轴为直线，可得时，即；利用对称轴得到，而，则，所以；开口向下，当有最大值，得到，即．
解：开口向下，，
对称轴在轴的右侧，、异号，则，
抛物线与轴的交点在轴的上方，，
∴，所以①正确；
当时，，即，
即，所以②不正确；
因为抛物线与轴的一个交点在和之间，对称轴为直线，
所以抛物线与轴的另一个交点在和之间，
则时，，
即，所以③正确；
因为对称轴为直线，则，而，
则，，所以④正确；
开口向下，当，有最大值；
当时，，
则，
即，所以⑤错误．
故①③④正确，共3个．
故选：C．
11．50
本题考查了概率公式，利用概率公式求出球的总个数即可解题．
解：，
故答案为：50．
12．2
本题考查了勾股定理和垂径定理，能根据垂径定理求出的长是解此题的关键．根据垂径定理即可求得的长，然后利用勾股定理即可求得的长，即可得出答案．
解：，
，
在中，，
，
故答案为：2．
13．
本题考查代数式求值，一元二次方程根与系数的关系，将变形为，结合，可知实数，可以看作方程的两个根，再根据一元二次方程根与系数的关系求解，即可解题．
解：，
，
，
，
，
实数，可以看作方程的两个根，
；
故答案为：．
14．
本题考查了二次函数的一般式化为顶点式，利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可，掌握相关知识是解题的关键．
解：，
故答案为：．
15．5
先求出，由，，得到，又由，得到，由，得到 ，在中，由勾股定理即可得到答案．
如图所示，
由题意得，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，．
故答案为：5．
本题主要考查的是旋转的性质、三角形的外角性质、直角三角形的性质及判定、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质和勾股定理是解题的关键．
16．/
本题考查了圆的相关知识，涉及勾股定理，同弧所对的圆心角与圆周角的2倍关系，以及弧长的计算．解题的关键是求出圆的半径与所对的圆心角．根据，延长到圆心E，在设未知数求出半径的长，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的两倍，即可求出圆心角，利用弧长公式即可求解．
解：∵，，
∴，
∵轴，
∴圆心在y轴上，
设圆心为点E，连接、、，
，
∵在坐标系中：，，，
∴可知：，，
此时由于半径相等：，
∴设，则，
∵由题可知：，
∴在中有勾股定理：，
∴，解得：，
∴半径为：5，
∵同弧所对的圆心角等于圆周角的两倍，，
∴，
∴的长为：．
故答案为：．
17．(1)，
(2)，
本题主要考查了解一元二次方程．
（1）利用因式分解法解方程即可．
（2）利用因式分解法解方程即可．
（1）解：
或，
解得：，
（2）解：
或
，
18．(1)
(2)在，理由见详解
(3)
本题考查了二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，一次函数与二次函数的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先得出二次函数的图象与直线交于点，再代入，进行计算，即可作答．
（2）先求出二次函数的顶点坐标，再把代入，得，即可作答．
（3）结合二次函数的图象与直线相交于和，且二次函数的开口向上，即可作答．
（1）解：∵二次函数的图象与直线经过轴上的同一点．
∴令，则，
解得，
即把代入，
得，
解得；
∴；
（2）解：在，理由如下：
∵二次函数，
∴令，则，
∴
∴对称轴是直线，
把代入，
顶点坐标为，
把代入，
得，
∴二次函数图象的顶点在直线上，
（3）解：由（2）得二次函数的图象与直线相交于和，且二次函数的开口向上，
∴当时，则．
19．(1)
(2)
本题主要考查概率公式，列表或画树状图求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
（1）根据概率公式进行计算即可；
（2）画出树状图，由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中他们恰好选到同一实验的结果有4种，即可得到概率．
（1）解：，
故答案为：．
（2）解：画树状图如下：
由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中他们恰好选到同一实验的结果有4种，
他们恰好选到同一个实验的概率．
20．(1)
(2)
（1）先证是等边三角形，得出，再由垂径定理得出，最后根据弧长公式即可求解；
（2）由圆周角定理可得，，结合，即可求解．
（1）解：如图，连接，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵弦，是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴的长为：
（2）解：∵，，
∵，
∴，
∴，
∴．
本题考查弧长的计算，垂径定理，圆周角定理，等边三角形的判定和性质等，掌握圆周角定理及垂径定理是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)4
本题考查等边三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等，是解题的关键：
（1）根据旋转的性质，等边三角形的性质，证明，即可得证；
（2）连接，易得是等边三角形，推出，利用勾股定理进行求解即可．
（1）证明：由旋转可知，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：连接，如图，
∵，由（1）可知，
∴；
由旋转可知：，，
∴是等边三角形
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴
∴．
22．(1)该品牌头盔销售量的月增长率为
(2)要使销售该品牌头盔每月获得的利润最大，则该品牌头盔每个的售价应为65元
本题考查了一元二次方程的应用，根据题意得到各数量间的关系是解题的关键．
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔3月份销售375个，5月份销售540个建立方程求解即可；
（2）设该品牌头盔每个的售价为y元，获得的利润为W元，根据利润（售价进价）销售量建立关于y的关系式，利用配方法求解即可．
（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
由题意得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为．
（2）解：设该品牌头盔每个的售价为y元，获得的利润为W元，
由题意得：，
整理得：，
∵，
∴当，即时，W取得最大值．
答：要使销售该品牌头盔每月获得的利润最大，则该品牌头盔每个的售价应为65元．
23．(1)①；②的最大值为，；
(2)存在，．
本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求解析式等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）①当时，，利用待定系数法即可求解；
②由题意得，当最大时，取最大值，求出直线的解析式为，设点，则，，则，即可求解．
（2）由题意得到，当时，，当时，，则二次函数图象一定经过，设经过这两个点的直线表达式为，利用待定系数法即可求解．
（1）解：①当时，，
把代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
②当时，，
∴，
∵，
∴，，
要使面积的最大，则最大，
设直线的解析式为：，
把代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
设点，则，，
∴，
∴当时，取最大值，
∴，
∴的最大值为；
（2）解：当时，，
∵，
∴，
∴，
当时，，当时，，
∴二次函数图象一定经过，
设经过这两个点的直线表达式为，
把代入得：
，
解得：，
∴直线表达式为，始终与二次函数交于两点．
24．(1)
(2)的最小值为3
(3)存在，的最小值为
（1）过A作交于点H，根据等边三角形的性质可求出，，进而可求出；
（2）过O作交于点M，交于点N，根据圆与位置的关系，可知即为的最小值，再结合勾股定理即可求得答案；
（3）根据直径所对的圆周角是直角可得出点F在以为直径的圆上，从而得出为定值4，由勾股定理可得出最小时，可取最小值，再根据菱形的性质、等边三角形的性质与判定，可得即为的最小值，以为直径做圆，交于点，，再根据切线的性质，当，且皆与相切，有最小值，再结合点F在菱形内，即为的最小值，最后再利用勾股定理计算即可．
（1）解：如图，过A作交于点H，
∵是等边三角形，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）如图，过O作交于点M，交于点N，
此时即为的最小值，
∵，，
∴，
由勾股定理得，
，
∵，
∴，
∴的最小值为3；
（3）∵，
∴点F在以为直径的圆上，
∵E为中点，
∴以E为圆心，为半径，作，
∵，
∴为的切线，连接，在中，为半径，
∴，
在中，
∵为定值4，
∴当最小时，由勾股定理可得，可取最小值，
∵四边形为菱形，且，
∴连接， ，为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
已知点P为直线上一动点，而E为边中点，
此时即为的最小值，
在中，
，
但题中要求，若F点位于线段上，则不符合要求，
再以为直径做圆，交于点，，
此时，且皆与相切，为的最小值，
∵点F在菱形内，
连接，得，
在中，由勾股定理得，
∴的最小值为．
本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定，含的直角三角形，菱形的性质，直线与圆的位置关系，勾股定理，点与圆上一点的最值问题，切线的性质，直径所对的圆周角是直角等知识点， 熟练掌握相关知识点是解题的关键．(共5张PPT)
人教版 九年级上册
九年级数学上册期末模拟卷02
试卷分析
知识点分布
一、单选题 1 0.94 根据概率公式计算概率
2 0.94 由一元二次方程的解求参数
3 0.85 圆周角定理；正多边形和圆的综合
4 0.84 圆周角定理；切线的性质定理；已知圆内接四边形求角度
5 0.75 二次函数图象的平移
6 0.74 根据一元二次方程根的情况求参数
7 0.65 增长率问题(一元二次方程的应用)
8 0.65 求其他不规则图形的面积；几何概率；求扇形面积
9 0.65 用勾股定理解三角形；利用菱形的性质求线段长；根据旋转的性质求解
10 0.64 二次函数图象与各项系数符号；根据二次函数的图象判断式子符号；y=ax +bx+c的图象与性质；抛物线与x轴的交点问题
二、知识点分布
二、填空题 11 0.94 已知概率求数量；由频率估计概率
12 0.85 用勾股定理解三角形；利用垂径定理求值
13 0.75 一元二次方程的根与系数的关系；已知式子的值，求代数式的值
14 0.65 把y=ax +bx+c化成顶点式
15 0.65 根据旋转的性质求解；三角形的外角的定义及性质；用勾股定理解三角形；斜边的中线等于斜边的一半
16 0.64 圆周角定理；求弧长；用勾股定理解三角形
二、知识点分布
三、解答题 17 0.85 因式分解法解一元二次方程
18 0.84 待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点问题；y=ax +bx+c的图象与性质
19 0.75 根据概率公式计算概率；列表法或树状图法求概率
20 0.65 圆周角定理；求弧长；等边三角形的判定和性质；利用垂径定理求值
21 0.65 全等的性质和SAS综合（SAS）；等边三角形的判定和性质；用勾股定理解三角形；根据旋转的性质求解
22 0.65 增长率问题(一元二次方程的应用)
23 0.64 y=ax +bx+c的图象与性质；待定系数法求二次函数解析式
24 0.4 用勾股定理解三角形；半圆（直径）所对的圆周角是直角；等边三角形的判定和性质；切线的性质定理2025—2026学年九年级数学上学期期末模拟卷02
（测试范围：九年级上册人教版2024，第21-25章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．甲布袋装有个红球和个白球，随机从甲袋中摸出一个球，摸出红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．一元二次方程的一个根是，则m的值为（ ）
A．2 B．4 C． D．5
3．如图，正五边形内接于，为弧上的一点（点不与点重合），则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，是的直径，P是延长线上一点，过P作的切线，切点为点C，点D是劣弧上一点，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
6．关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．某经济技术开发区今年一月份工业产值达30亿元，且第一季度的总产值为99.3亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在等腰中，，，以点为圆心，为半径画弧，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点．若一个小球在等腰内自由滚动，则小球停在图中阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，菱形的对角线、交于点，将绕着点C旋转得到，连接，则的长是( )
A．3 B．4 C．5 D．7
10．已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，（的实数）．其中正确结论个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．一个不透明的袋子里装有红球和白球共m个，它们除颜色外完全相同，每次搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再放回袋中，经过大量重复实验，发现摸到白球的频率稳定在0.40左右，已知袋子里白球有20个，根据此信息，可估计m的值为 ．
12．如图，已知为的直径，为的弦，且．若，，则的长是 ．
13．若实数，满足，，，且，则 ．
14．将二次函数化成的形式是 ．
15．把一副三角板如图甲放置，其中，，，斜边，，把三角板绕着点C顺时针旋转得到（如图乙），此时与交于点 O，则线段的长度为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，且点B，C在上．若，则的长为 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．解方程：
(1)；
(2)．
18．已知二次函数的图象与直线经过轴上的同一点．
(1)求二次函数的表达式．
(2)判断二次函数图象的顶点是否在直线上，并说明理由．
(3)若，请直接写出的取值范围．
19．科学实验是获取经验事实和检验科学假说、理论真理性的重要途径．某校为进一步培养学生实践创新能力，提高学生科学素养，营造爱科学、学科学、用科学的浓厚氛围，将开展“崇尚科学科技月”主题教育活动，并演示了以下四个科学小实验：．铅笔让水沸腾；．不会湿的纸；C．漂浮的硬币；D．生气的瓶子．校团委组织了实验原理讲述的活动．
(1)若从中随机抽取一个实验讲述原理，则抽到“．不会湿的纸”的概率是______；
(2)若小敏和小东两人各从四个实验中随机选取一个实验进行原理讲述，请你用列表或画树状图的方法，求他们恰好选到同一个实验的概率．
20．已知：如图，是的直径，弦于点E，G是上一动点，，的延长线交于点F，连结．
(1)若，，求的长；
(2)设， ，求关于的函数表达式．
21．如图，在四边形中，是对角线，是等边三角形．线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
22．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔3月份到5月份的销量，该品牌头盔3月份销售375个，5月份销售540个，且从3月份到5月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，要使销售该品牌头盔每月获得的利润最大，则该品牌头盔每个的售价应为多少元？
23．已知二次函数
(1)当时，如图，此抛物线与x轴交于两点，
①求抛物线的解析式．
②若点P在线段AO上运动（点P与点A、点O不重合），轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．求面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
(2)当时，若，对于任意不为零的实数a，是否存在一条直线，始终与二次函数图象交于不同的两点？若存在，求出该直线的表达式；若不存在，请说明理由．
24．问题提出
(1)如图1，在等边三角形中，已知，则边上的高为 ；
问题探究
(2)如图2，在中，已知，，半径为1，为上一动点，为线段上一动点．求的最小值；
问题解决
(3)如图3，某游乐园中有一块菱形场地，现要在菱形空地内确定一点，在点处立一根电杆，以便工作人员拉设四根装饰用的彩色灯带，，和，已知是边的中点，边有一条用来供电的电线，电线长度足够，可视为一条直线，为直线上任意一点，随着点和点位置的移动，，，和四条彩色灯带的长度也随之变化，为了更好保证最佳的观赏效果，要求，且．已知荾形场地中，，米，请问灯带的长度是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由．
