2025—2026学年九年级数学上学期期末模拟卷
（测试范围：九年级上册人教版2024，第21-25章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D B A B B C A A C
1．A
本题考查了概率的意义，概率公式．根据概率的意义，即可解答．
解：概率试验活动环节，数学老师连续随机掷一枚质地均匀的硬币，前4次的结果都是正面朝上，则第5次的结果是正面朝上的概率是，
故选：A．
2．D
本题考查了二次函数的性质．
根据二次函数的顶点坐标是作答即可．
二次函数的图像的顶点坐标是，
故选：D．
3．B
此题重点考查正多边形和圆、正多边形的中心角的定义、圆周角定理等知识，连接、，则，由圆周角定理得，于是得到问题的答案．
解：连接、，
∵正五边形内接于，
∴，
∵P为上一点，
∴，
故选：B．
4．A
根据向下平移的原则，结合顶点恰好落在x轴上，令纵坐标为0，计算即可．
本题考查了二次函数的平移计算，熟练掌握平移规律是解题的关键．
解：抛物线向下平移a个单位长度，所得到的抛物线解析式为，
抛物线的顶点恰好落在x轴上，
故，
解得．
故选：A．
5．B
本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，根据二次函数的图象与性质可得，，，即可判断①；根据二次函数与坐标轴的交点个数可判断②；根据时可判断③；根据对称轴可判断④；根据二次函数与一元二次方程的关系可判断⑤，综上即可求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
解：①∵抛物线的开口向下，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，
∵抛物线与轴交于正半轴上，
∴，
∴，故①错误；
②∵抛物线与轴有两个交点，
∴，故②正确；
③由图象可知，当时，，
∴，
∵，
∴，
即，故③错误；
④∵对称轴为直线，
∴，
∴，故④错误；
⑤∵抛物线的顶点坐标为，
∴当且仅当时，，
∴方程有两个相等的实数根，故⑤正确；
综上，正确的有②⑤，共个，
故选：．
6．B
抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点，连结交对称轴于D点，如图，先证明四边形为平行四边形得到，则，利用等线段代换得到四边形的周长，根据两点之间线段最短可判断此时四边形的周长最小，再解方程得，从而确定抛物线的对称性为直线，，接着确定，然后利用待定系数法求出直线的解析式为，于是解方程组得到D点坐标．
解：抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点，如图，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴此时四边形的周长最小，
令，则，
解得，，
∴，，
∴，
令，则，
∴，
设过点，的直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
∵抛物线的对称轴为，
∴解方程组得，
∴．
故选：B．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和最短路线问题．
7．C
本题主要考查了一元二次方程的应用．根据题意可得，令得到关于t的方程，求出t的值，即可求解．
解：∵，
∴，，，
∴，
∴，
当时，，
整理得：，
解得：（舍去），
此时，
即此时飞机的滑行速度．
故选：C
8．A
本题考查根与系数的关系以及根的判别式，由根与系数的关系结合，可得出关于m的分式方程，解之即可得出m的值，再根据根的判别式，即可得出m的值，此题得解．
解：∵是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，
∴，，
∴，
解得：或，
经检验，或均为原分式方程的解．
∵是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
9．A
本题考查了一元二次方程的解，将方程整理为：，通过变量替换，转化为原方程的形式，从而确定新方程的根．
解：将方程整理为：，
令，则方程变为，与原方程形式相同，
∵是关于y的方程的一个根，
∴，
∴，
∴关于x的方程必有一个根为2024，
故选：A．
10．C
本题主要考查旋转的性质、扇形的面积、勾股定理等知识点，掌握扇形的面积公式是解题的关键．
利用勾股定理求出，利用旋转的性质可得，进而求出和，再结合图形即可解答．
解：，
，
将绕点A逆时针旋转后得到，
，
，
．
故选：C．
11．
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
先确定抛物线的对称轴方程，再根据抛物线的图象性质可得出结论．
解：根据函数的图象可得抛物线的对称轴方程为：，
∵函数的开口向下，
∴在时，足球到达最高点，
即足球到达最高点所需的时间是
故答案为：
12．2
根据原方程的两个根互为相反数，利用根与系数的关系，可得出，解之即可得出的值．
本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
解：关于的一元二次方程的两个根互为相反数，
，
解得：，
的值为．
故答案为：．
13．
本题主要考查二次函数与一次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数与一次函数的图象及性质是解题的关键；因此此题可根据图象直接进行求解．
解：由图象可知：当时，自变量的取值范围是；
故答案为．
14．7
本题考查概率的计算，解题关键是根据概率公式列出关于的方程，然后求解方程得到的值．放入个红球后，红球的总数为个，球的总数为个，已知抽到红球的概率为，则可列出方程，求解即可．
解：向盒子里放入一模一样的个红球，摇匀后从中随机抽取一个，
抽到红球的概率为：
，
解得：
故答案为：7．
15．
本题主要考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理．根据旋转的性质可得，可得，再由含30度角的直角三角形的性质，可得，再由勾股定理，可得，即可求解．
解：∵将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16．
本题考查了等腰三角形的判定及性质，圆的定义，勾股定理．由等腰三角形的性质及三角形内角和定理得，再根据，得到，进而求出，根据题意得到，即，可求 ，得到，再由勾股定理得，即可求解．
解：，，
，
∵，
∴，
∴，
，
，
∴，
∴，
在中，，
∴．
故答案为：．
17．(1)
(2)
本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是：
（1）把方程化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可；
（2）把方程化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可．
（1）解：，
则或，
解得；
（2）解：，
则或，
解得．
18．(1)；
(2)在，计算见解析．
（1）将点坐标代入解析式，求解参数得解析式；
（2）将横坐标值代入解析式，验证函数值是否与纵坐标相等；
（1）（1）过
∴
∴
∴
（2）当时
∴在抛物线上
本题考查待定系数法确定函数解析式，方程与函数的关系；理解方程和函数的关系是解题的关键．
19．(1)20元；70元
(2)
（1）根据题意，最少可获得元，最多可获得：元，解答即可．
（2）利用画树状图法计算概率．
本题考查了画树状图求概率，熟练运用画树状图法求概率是解题的关键．
（1）解：根据题意，最少可获得元，最多可获得：元．
（2）解：根据题意，画树状图如下：
共有20元，30元，40元，20元，50元，60元，30元，50元，70元，40元，60元，70元12种等可能的结果，其中不低于50元的可能性有6种，
所以不低于50元的概率是．
20．(1)见解析
(2)或，理由见解析
(3)
本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质和圆周角定理，熟练掌握各知识点是解题的关键．
（1）根据正方形的性质和圆周角定理，利用证明两三角形全等即可；
（2）当点E在弧上时，过点作于点，证明，即可得到四边形是正方形，然后根据线段的和差解答；当点E在弧上时，在上取点，使，连接，根据全等三角形的对应边相等得到，，，然后证明是等腰直角三角形，即可得到结论；
（3）将绕点C顺时针旋转得到，连接，可以得到，即可得到点N在以为直径的圆F上，然后根据弧长公式计算解答即可．
（1）证明：在正方形中，，
与都对应弧，
，
在和中，
；
（2）解：满足或，理由如下：
如图，当点在弧上,过点作于点，
∵是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴是矩形，
又∵，
∴，
∴，，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，即；
当点在弧上时，在上取点，使，连接，
由（1），
，，，
在正方形中，，
，
，
，
是等腰直角三角形三角形，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，将绕点C顺时针旋转得到，连接，则，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，，
∴点N在以为直径的圆F上，
∵最大为，
∴最大为，即最大圆心角为，
∴点N的运动路径为．
21．(1)见解析
(2)见解析
(3)
本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）由等腰三角形的性质可得，由平行线的性质可得，可得结论；
（2）由旋转的性质可得，由“”可证，可得；
（3）由全等三角形的性质可得，由勾股定理可列方程组，可求的长，由三角形的面积公式可求解．
（1）证明：∵，
∴，
∵直线，
∴，
∴，
∴平分；
（2）证明：如图，以D为圆心，长为半径画弧，交于点H，连接，
则，
∴，
∴，
∵将射线绕点D顺时针旋转交直线l于点E，
∴，
，
∴，
∴；
（3）解：如图，过点D作于N，
∵，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴的面积．
22．(1)每件售价应定为50元；
(2)该款小商品的日平均增长率为．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设每件降价x元，则每件售价应为元，日销售量为件，每件盈利为元，根据日获利1000元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（2）设该款小商品的日平均增长率为m，根据第一日的销售量为64件，第三日的销售量为81件，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
（1）解：设每件降价x元，则每件售价应为元，日销售量为件，每件盈利为元，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，日销售量为件；
当时，日销售量为件，
因为商家想尽快销售完该款商品，所以应选择日销售量较大的方案，故取，
∴，
答：每件售价应定为50元；
（2）解：设该款小商品的日平均增长率为m，
由题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：该款小商品的日平均增长率为．
23．(1)，顶点坐标为
(2)
(3)
(4)或
（1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式，把解析式化为顶点式，即可求得顶点坐标；
（2）求得的坐标，然后根据三角形面积公式即可求解；
（3）根据二次函数的性质即可求解；
（4）求得和时的函数值以及顶点坐标，即可求得的取值范围．
（1）解：把，代入得：
，
解得：，
抛物线的表达式为，
，
抛物线的顶点坐标为；
（2）解：当时，，
解得：，，
则，
当时，，
则，
；
（3）解：，
当时，有最小值，
当时，，当时，，
当时，的取值范围为；
（4）解：当时，，当时，，
抛物线与轴的交点为，顶点坐标为，
当或时，直线与抛物线在部分有一个交点．
本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与轴的交点，二次函数的图象与直线的交点问题，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
24．(1)抛物线的解析式为；
(2)
(3)或或
本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．涉及抛物线与坐标轴的交点坐标，二次函数的图象与性质，利用待定系数法求解一次函数解析式，二次函数与面积的问题，二次函数与特殊三角形问题等知识，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．
（1）利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；再联立即可求出点D的坐标；
（2）根据面积一定，知需令得的面积最大即可，过点P作轴的垂线交于点K，设点，则，求出，由，列出关于p的关系式，利用二次函数的性质即可求解；
（3）利用（1）中二次函数解析式求出点C的坐标，设，分和两种情况，利用两点间距离公式建立方程，求解即可．
（1）解：抛物线（）与x轴交于，两点，
则，
解得，
抛物线的解析式为：；
联立，则，
解得或，
当时，，
；
（2）为定值，且，
当的面积最大时，四边形的面积最大，
过点P作轴的垂线交于点K，
设点，则，
，
，
，
当时，有最大值，最大值为，
此时，
四边形的面积的最大值为；
（3）解：抛物线的解析式为：，
令，则，
，
设，
，，，
是以为腰的等腰三角形，
当时，即，
，
解得：或（舍去）；
；
当时，即，
，
解得：或，
或；
综上，是以为腰的等腰三角形时，点Q的坐标为或或．2025—2026学年九年级数学上学期期末模拟卷
（测试范围：九年级上册人教版2024，第21-25章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．概率试验活动环节，数学老师连续随机掷一枚质地均匀的硬币，前4次的结果都是正面朝上，则第5次的结果是正面朝上的概率是（ ）
A． B． C． D．1
2．二次函数的图像的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，正五边形内接于，P为上一点，连接，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．将抛物线向下平移a个单位长度，此时抛物线的顶点恰好落在x轴上，则a的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．已知二次函数的图象如图所示，直线是它的对称轴，下列结论：①；②；③；④；⑤方程有两个相等的实数根．其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
6．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．已知一架飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度v（单位：）与滑行时间t（单位：）之间满足一次函数关系．而滑行距离，，其中是初始速度，是t秒时的速度，当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，则此时飞机的滑行速度（ ）．
A．10 B．20 C．30 D．10或30
8．已知是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是（ ）
A．3 B． C．3或1 D．或1
9．若是关于x的方程的一个根，则关于x的方程必有一个根为（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
10．如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转后得到，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（ ）．
A． B． C． D．
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度（单位：）与足球飞行的时间（单位：）之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，则足球到达最高点所需的时间是 ．
12．若关于的一元二次方程的两个根互为相反数，则的值为 ．
13．如图所示，二次函数的图象与一次函数的图象交于，两点，当时，自变量的取值范围是 ．
14．在一个不透明的盒子里装有5个红球，8个黄球，这些球除了颜色外没有其他任何区别．现在向盒子里放入一模一样的个红球，摇匀后从中随机抽取一个，若抽到红球的概率为，则的值是 ．
15．如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接，若，则的长度为 ．
16．如图，是半圆O的直径，，，，则O到的距离 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．解方程：
(1)；
(2)．
18．在平面直角坐标系中，抛物线的图象恰好经过两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)通过计算说明点是否在抛物线上．
19．一商场设计了一种摸奖促销活动：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“20元”、“30元”和“40元”的字样．摸奖规则：顾客在本商场同一日内，每消费满300元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回），商场根据两小球所标金额的和返现金，某顾客刚好消费300元．
(1)该顾客至少可得到多少现金？至多可得到多少现金？
(2)请你用画树状图的方法，求出该顾客所获得现金的金额不低于50元的概率．
20．已知正方形的四个顶点在上
(1)如图1，若点在劣弧上，连接、、，若在上取一点，使得，连接，求证：
(2)若点在弧上（不与点、、重合），过点作于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图2，若正方形的边长为4，点是线段上的动点，过点作于点，将线段为边，在右侧作等边，求出点的运动轨迹长．
21．已知中，，过点C作直线，D是边上一点，连接，将射线绕点D顺时针旋转交直线l于点E，T为线段延长线上一点．
(1)求证：平分；
(2)求证：；
(3)若，，求的面积．
22．直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在某平台上对一款成本价为30元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出30件，通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．
(1)若日获利1000元，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
(2)经统计，促销活动后第一日的销售量为64件，第三日的销售量为81件．如果第二日、第三日销售的增长率相同，求该款小商品的日平均增长率．
23．已知抛物线经过，．
(1)求抛物线的表达式和顶点坐标
(2)已知点，抛物线与轴另一个交点为，求的面积；
(3)当时，的取值范围；
(4)过轴上的点作轴的垂线，若直线与抛物线在部分有一个交点，求的取值范围（不用书写过程）．
24．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线与抛物线交于A，D两点．点P为直线上方抛物线上的一点（不与A、D重合），连接．
(1)求抛物线的解析式和点D的坐标；
(2)请求出四边形的面积的最大值；
(3)点Q是直线上的任意一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出点Q的坐标．(共5张PPT)
人教版 九年级上册
九年级数学上册期末模拟卷
试卷分析
知识点分布
一、单选题 1 0.94 概率的意义理解
2 0.94 y=a（x-h） +k的图象和性质
3 0.85 圆周角定理；正多边形和圆的综合
4 0.84 二次函数图象的平移；抛物线与x轴的交点问题
5 0.75 根据二次函数的图象判断式子符号；根据二次函数图象确定相应方程根的情况；y=ax +bx+c的图象与性质
6 0.74 y=ax +bx+c的图象与性质；线段周长问题(二次函数综合)；坐标系中的平移
7 0.65 行程问题(一元二次方程的应用)；其他问题(一次函数的实际应用)
8 0.65 根据一元二次方程根的情况求参数；一元二次方程的根与系数的关系；解分式方程（化为一元二次）
9 0.64 由一元二次方程的解求参数
10 0.4 求图形旋转后扫过的面积；根据旋转的性质求解；用勾股定理解三角形
二、知识点分布
二、填空题 11 0.85 已知抛物线上对称的两点求对称轴；投球问题(实际问题与二次函数)；从函数的图象获取信息
12 0.84 一元二次方程的根与系数的关系
13 0.75 根据交点确定不等式的解集
14 0.85 已知概率求数量
15 0.65 含30度角的直角三角形；用勾股定理解三角形；根据旋转的性质求解
16 0.64 等边对等角；用勾股定理解三角形；圆的基本概念辨析
二、知识点分布
三、解答题 17 0.85 因式分解法解一元二次方程
18 0.84 求自变量的值或函数值；待定系数法求二次函数解析式
19 0.75 列表法或树状图法求概率
20 0.74 全等的性质和SAS综合（SAS）；根据正方形的性质证明；圆周角定理；求某点的弧形运动路径长度
21 0.65 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；用勾股定理解三角形；等腰三角形的性质和判定；根据旋转的性质求解
22 0.65 增长率问题(一元二次方程的应用)；营销问题(一元二次方程的应用)
23 0.64 y=ax +bx+c的图象与性质；y=ax +bx+c的最值；待定系数法求二次函数解析式；求抛物线与x轴的交点坐标
24 0.4 面积问题(二次函数综合)；特殊三角形问题(二次函数综合)；待定系数法求二次函数解析式；已知两点坐标求两点距离
