1.2.1单项式与单项式相乘 课件(共30张PPT)--新2024北师大版七年级数学下册课件

(共30张PPT)
1.2.1单项式与单项式相乘
第一章 整式的乘除
新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
买合苏迪古丽·买买提
托克逊县第二中学
15909954880
1.2.1 单项式与单项式相乘
学习目标
理解单项式与单项式相乘的运算法则，掌握其推导过程所依据的数学原理。
能够熟练运用单项式与单项式相乘的法则，准确无误地进行相关乘法运算。
通过对运算法则的探究过程，培养自身的观察能力、分析归纳能力，深刻体会从具体实例到抽象数学结论的思维方法。
情境引入
在之前的学习中，我们已经了解了同底数幂的乘法、幂的乘方以及积的乘方等幂运算规则，也认识了单项式的概念。现在，思考这样一个实际问题：为了扩大绿地面积，要把街心花园一块长为\(p\)米、宽为\(m\)米的长方形绿地，向两边分别加宽\(a\)米和\(b\)米，你能用几种方法表示扩大后的绿地面积呢？
从这个实际情境出发，我们进一步聚焦到数学运算上，比如计算\(3x^{2}y\)与\(2xy^{3}\)的乘积，这就涉及到单项式与单项式相乘的运算。如何进行这类运算呢？是否存在简便的运算规律？接下来，我们就一起探究单项式与单项式相乘的法则。
知识回顾
同底数幂的乘法法则：\(a^{m} a^{n}=a^{m + n}\)（\(m\)、\(n\)为正整数）。例如\(x^{2} ·x^{3}=x^{2 + 3}=x^{5}\)，它表示\(m\)个\(a\)相乘再乘以\(n\)个\(a\)相乘，结果是\((m + n)\)个\(a\)相乘。
幂的乘方法则：\((a^{m})^{n}=a^{mn}\)（\(m\)、\(n\)为正整数）。比如\((y^{3})^{2}=y^{3 2}=y^{6}\)，即\(n\)个\(a^{m}\)相乘，底数不变，指数相乘。
积的乘方法则：\((ab)^{n}=a^{n} b^{n}\)（\(n\)为正整数）。像\((2z)^{4}=2^{4} z^{4}=16z^{4}\)，表示\(n\)个\(ab\)相乘，等于\(n\)个\(a\)相乘再乘以\(n\)个\(b\)相乘。
单项式的概念：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。例如\(5\)，\(-3x\)，\(\frac{2}{3}xy^{2}\)等都是单项式。
单项式与单项式相乘法则的推导
实例计算
计算\(3x^{2}y ·2xy^{3}\)：
根据乘法交换律和结合律，将数字与数字结合，相同字母与相同字母结合，得到\(3x^{2}y ·2xy^{3}=(3 2) ·(x^{2} ·x) ·(y ·y^{3})\)。
利用同底数幂的乘法法则，\(x^{2} ·x=x^{2 + 1}=x^{3}\)，\(y ·y^{3}=y^{1 + 3}=y^{4}\)。
所以\(3x^{2}y ·2xy^{3}=6x^{3}y^{4}\)。
计算\(4a^{2}x^{5} ·(-3a^{3}bx)\)：
同样依据乘法交换律和结合律，\(4a^{2}x^{5} ·(-3a^{3}bx)=(4 (-3)) ·(a^{2} ·a^{3}) ·b ·(x^{5} ·x)\)。
由同底数幂的乘法法则可得\(a^{2} ·a^{3}=a^{2 + 3}=a^{5}\)，\(x^{5} ·x=x^{5 + 1}=x^{6}\)。
则\(4a^{2}x^{5} ·(-3a^{3}bx)= - 12a^{5}bx^{6}\)。
法则总结
通过以上具体例子，我们可以归纳出单项式与单项式相乘的法则：
单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
法则要点说明
系数相乘：将两个单项式的系数（包括系数的符号）相乘，所得结果作为积的系数。在计算时要特别注意符号的确定，例如\(3 (-2)= - 6\)，\((-3) (-2)=6\)。这一步容易出现的错误是将系数相乘与指数相加混淆，一定要明确这是系数的乘法运算。
同底数幂相乘：依据同底数幂的乘法法则进行运算，即底数不变，指数相加。如\(a^{m} ·a^{n}=a^{m + n}\)，这是基于乘方的本质含义，即相同因数的连乘。
单独字母处理：只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数照搬，作为积的因式。例如在\(4a^{2}x^{5} ·(-3a^{3}bx)\)中，\(b\)只在\(-3a^{3}bx\)中出现，所以在计算乘积时，\(b\)连同它的指数\(1\)直接作为积\(-12a^{5}bx^{6}\)的一个因式。
法则的应用
类型 1：简单单项式相乘
例 1：计算\(4xy^{2} ·(-\frac{1}{2}x^{2}y)\)
解：
系数相乘：\(4 (-\frac{1}{2})=-2\)。
同底数幂相乘：
\(x ·x^{2}=x^{1 + 2}=x^{3}\)。
\(y^{2} ·y=y^{2 + 1}=y^{3}\)。
所以\(4xy^{2} ·(-\frac{1}{2}x^{2}y)=-2x^{3}y^{3}\)。
例 2：计算\((-3a^{2}b^{3}) ·(-2ab^{3}c^{2})\)
解：
系数相乘：\((-3) (-2)=6\)。
同底数幂相乘：
\(a^{2} ·a=a^{2 + 1}=a^{3}\)。
\(b^{3} ·b^{3}=b^{3 + 3}=b^{6}\)。
单独字母处理：\(c^{2}\)只在\(-2ab^{3}c^{2}\)中出现，直接作为积的因式。
所以\((-3a^{2}b^{3}) ·(-2ab^{3}c^{2})=6a^{3}b^{6}c^{2}\)。
类型 2：单项式相乘与其他幂运算的混合运算
例 3：计算\((2x^{2}y)^{3} ·(-3xy^{2})\)
解：
先算幂的乘方\((2x^{2}y)^{3}\)：
根据积的乘方\((ab)^{n}=a^{n}b^{n}\)，\((2x^{2}y)^{3}=2^{3} ·(x^{2})^{3} ·y^{3}=8x^{6}y^{3}\)。
再算单项式相乘\(8x^{6}y^{3} ·(-3xy^{2})\)：
系数相乘：\(8 (-3)= - 24\)。
同底数幂相乘：
\(x^{6} ·x=x^{6 + 1}=x^{7}\)。
\(y^{3} ·y^{2}=y^{3 + 2}=y^{5}\)。
所以\((2x^{2}y)^{3} ·(-3xy^{2})=-24x^{7}y^{5}\)。
类型 3：法则的逆应用
单项式与单项式相乘法则也可逆用，有时根据具体题目条件，通过逆用法则可以简化计算。
例 4：已知\(a^{m}=2\)，\(a^{n}=3\)，求\(a^{m + n + 2}\)的值。
解：
对\(a^{m + n + 2}\)进行变形，\(a^{m + n + 2}=a^{m} ·a^{n} ·a^{2}\)。
已知\(a^{m}=2\)，\(a^{n}=3\)，而\(a^{2}\)可看作系数为\(1\)的单项式\(1 ·a^{2}\)。
所以\(a^{m + n + 2}=2 3 a^{2}=6a^{2}\)。这里如果知道\(a\)的值，就能进一步求出具体数值。
易错点警示
符号错误：在系数相乘时，容易忽略符号。例如计算\((-5x^{2}y) ·(3xy^{3})\)，若只计算\(5 3 = 15\)，而忽略了\(-5\)的负号，就会得到错误结果\(15x^{3}y^{4}\)，正确结果应该是\(-15x^{3}y^{4}\)。
指数运算错误：将同底数幂相乘的指数相加规则与其他运算混淆。比如计算\(x^{3} ·x^{4}\)时，错误地认为是指数相乘得\(x^{12}\)，正确结果是\(x^{3 + 4}=x^{7}\)。
单独字母遗漏：在处理只在一个单项式中出现的字母时，容易遗漏。如计算\(3x^{2} ·( - 2xy^{3}z)\)，如果忘记把\(z\)作为积的因式，得到\(-6x^{3}y^{3}\)就是错误的，正确结果是\(-6x^{3}y^{3}z\)。
运算顺序错误：在进行单项式相乘与其他幂运算的混合运算时，没有按照先乘方，再乘法的顺序进行。例如计算\((3a^{2})^{2} ·( - 2a^{3})\)，若先计算乘法得到\((3 (-2))a^{2 + 3}=-6a^{5}\)，再算乘方\((-6a^{5})^{2}=36a^{10}\)就是错误的。正确顺序是先算乘方\((3a^{2})^{2}=9a^{4}\)，再算乘法\(9a^{4} ·(-2a^{3})=-18a^{7}\)。
课堂练习
计算下列各题：
\((1) - 5a^{2}b ·3ab^{3}\)
\((2) 2x^{2}y^{3} ·(-3xy^{2})\)
\((3) (\frac{1}{2}m^{2}n)^{3} ·(-4mn^{2})\)
已知\(x^{m}=4\)，\(x^{n}=5\)，求\(x^{m + n + 1}\)的值。
计算\(( - 3a^{3})^{2} ·a^{3}+(-4a)^{2} ·a^{7}-(5a^{3})^{3}\)。
判断下列计算是否正确，若不正确，请改正：
\((1) 3a^{2} ·2a^{3}=6a^{6}\)
\((2) (-2x^{2}y^{3}) ·(4xy)= - 8x^{3}y^{3}\)
\((3) (a^{2})^{3} ·( - a^{3})^{2}= - a^{12}\)
方法总结
单项式与单项式相乘法则：把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
计算步骤：
第一步，系数相乘，确定积的系数，注意符号。
第二步，同底数幂相乘，按照同底数幂乘法法则进行运算。
第三步，处理只在一个单项式中含有的字母，连同其指数作为积的因式。
在混合运算中，严格遵循先乘方，再乘法的运算顺序。
善于观察题目，灵活运用法则，包括法则的逆应用，以简化计算过程。
通过本节课的学习，我们掌握了单项式与单项式相乘的法则，理解了法则的推导过程，并能运用法则进行各种类型的计算。这一法则是整式乘法的重要基础，后续学习单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘等知识都将以此为依托，需要同学们熟练掌握并能准确运用。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
考试考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1. 经历探索整式乘法运算法则的过程，进一步体会类比方法的作用，以及乘法交换律、结合律在整式乘法运算中的作用；
2. 能借助图形解释整式乘法的法则，发展几何直观；
3. 能进行简单的整式乘法运算，发展运算能力.
重点：复习幂的运算性质，探究并掌握单项式乘以单项式
的运算法则.
难点：能够熟练运用单项式乘以单项式的运算法则进行计
算并解决实际问题.
学习目标
1.什么是单项式
知识链接
由数和字母的积组成的代数式叫作单项式，单独的一个数或一个字母也叫作单项式.
2. 前面学习了哪些幂的运算 运算法则分别是什么
am÷an = am-n
(am)n = amn
(ab)n = anbn
am×an = am+n
问题：天安门广场位于北京市中心，呈南北向为长，东西向为宽的长方形，其面积之大在世界上首屈可指，小王想估计天安门广场的面积，先从南走到北，记下所走的步数为 1100 步，再从东走到西，
记下所走的步数为 625 步.
单项式与单项式相乘
1100 步
625 步
(1)如果小王的步长用 a (m) 表示，你能用含 a 的代数式表示广场的面积吗
1100a×625a
(2) 假设小王的步长为 0.8 m，怎么表示并计算出广场的面积
1100 步
625 步
方法一：原式 = 880×500
= 440000 (m2)
思考：类比上述方法计算 1100a·625a.
方法二：原式 = (1100×625)×0.8 ×0.8
= 440000 (m )
议一议
1100a·625a＝
(1100×625)×(a×a)
＝687500a2
单项式×单项式
系数相乘
同底数幂相乘
通过以上经验，你能总结出单项式乘单项式的运算法则吗 小组讨论得出结果.
单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘.
追问：计算(－2abc)·，如何处理字母 c
字母 c 的字母及指数不变，作为积的因式.
(－2abc)·
=×(a·a)×(b·b2)·c
=－a2b3c
请某同学将单项式乘单项式的乘法法则补充完整.
注意：(1) 系数相乘；
(2) 相同字母的幂相乘；
(3) 其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.
知识要点
单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.
单项式与单项式的乘法法则
例 计算：
(1) 2xy2 xy； (2) －2a2b3 (－3a)；
(3) 7xy2z (2xyz)2. (4) (－3ab) a2c (－2abc3)
解：(1) 原式 = (2× ) ( x x ) ( y2 y ) =
(2) 原式 = [(－2)×(－3)] ( a2 a) b3 = 6a3b3.
典例精析
(3) 原式 = 7xy2z 4x2y2z2
= (7×4) (x x2) (y2 y2) (z z2)
= 28x3y4z3.
(4) (－3ab) a2c (－2abc3)
原式 =
追问 1：当系数为负数时应当注意什么
追问 2：运算中有乘方和乘除的混合运算时，运算顺序如何
先确定符号.
先乘方，后乘除.
方法总结
有乘方运算的要先算乘方；
单×单＝(系数×系数) ×(同底数幂相乘) ×(单独的幂)
单项式乘单项式中的“一、二、三”：
一个不变：单项式与单项式相乘时，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数不变，作为积的因式.
二个相乘：把各个单项式中的系数、相同字母的幂分别相乘.
三个检验：单项式乘单项式的结果是否正确，可从三个方面检验：
①结果仍是单项式；
②若无零次幂出现，则结果含有原式中的所有字母；③结果中每一个字母的指数都等于前面单项式中同一字母的指数和.
注意：有乘方运算，先算乘方，再算单项式相乘.
1.计算：
(1) (－3x)2 · 4x2； (2) (－2a)3(－3a)2；
解：原式 = 9x2 · 4x2
= (9×4)(x2 · x2)
= 36x4.
解：原式 = －8a3 · 9a2
= [(－8)×9](a3 · a2)
= －72a5.
解：原式 =
练一练
观察思考
如图，一幅边长为 a m 的正方形风景画，上下各留有 a m 的空白区域做装饰，中间画面的面积是多少平方米
a
a
a
a
解：中间画面的宽为：a－a－a = a.
中间画面的面积为：a·a =a2.
方法总结：掌握长方形的面积公式和单项式乘单项式的法则是解题的关键．
2.有一块长为 x m，宽为 y m 的长方形空地，现在
要在这块地中规划一块长 x m，宽 y m 的长方形
空地用于绿化，求绿化的面积和剩下的面积．
解：长方形的面积是 xy m2，绿化的面积是
x× y＝ xy(m2)，则剩下的面积
是 xy－ xy ＝ xy(m2)．
练一练
3. 已知 －2x3m＋1y2n 与 7x5m－3y5n－4 的积与 x4y 是同类项，求 m2＋n 的值．
解：因为 －2x3m＋1y2n 与 7x5m－3y5n－4 的积与 x4y 是同类项，
所以 2n＋5n－4＝1，3m＋1＋5m－3＝4.
所以 m2＋n＝ .
解得
练一练
一、选择题
1. 计算 2a3·a2b 的结果是（　B　）
A. 2ab B. 2a5b C. 2a6b D. 2a9b
2. 计算2x2·(－3x3) 的结果是（　A　）
A. －6x5 B. 6x5 C. 5x5 D. －5x5
B
A
3. 一种计算机每秒可做 4×108 次运算，它工作
3×103 秒运算的次数为（　B　）
A. 12×1024 B. 1.2×1012
C. 12×1012 D. 12×108
B
二、填空题
4. 计算：
(1) 4x3· x2y＝ ；
(2) 2xy·(－3xy3)＝ .
5. 若mx4·4xk＝12x12，则m＝ ，k＝ .
6. 某三角形的一边长为 4ab，此边上的高为 a2，则
它的面积为 .
10x5y　
－6x2y4　
3　
8　
a3b　
三、解答题
7. 计算：(1) x2y ·(－6x2y2)；(2) 2m3n·(－3mn2)2；
(3) －8a2b·(－a3b2)· b2； (4) (2xy)2·(－3x)3·y.：原式＝2m3n·9m2n4＝18m5n5.
解：(1)原式＝－3x4y3.
(2)原式＝2m3n·9m2n4＝18m5n5.
(3)原式＝8a5b3· b2＝2a5b5.
(4)原式＝4x2y2·(－27x3)·y＝－108x5y3.
1. [2024益阳模拟] 化简 的结果是( )
A
A. B. C. D.
2. 如果，那么 内应填的代数式是( )
C
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
4. 化简： 的结果是( )
C
A. 0 B. C. D.
5. [2024青岛模拟] 已知单项式与的积为 ,
那么 ( )
C
A. 11 B. 5 C. 1 D.
6. 已知两个单项式的积是 ，则这
两个单项式可以是_____________________________.
（写出一对即可）
和（答案不唯一）
返回
7.计算：
（1） ;
【解】原式 .
（2） ；
原式 .
（3） .
原式 .
返回
8. 某市环保局欲将一个长为 ，宽为
，高为 的长方体废水池中的满池废水注入正方
体贮水池净化.
（1）这些废水能否刚好装满一个正方体贮水池？____.
（请填“能”或“不能”）
（2）若能，则该正方体贮水池的棱长为_____ .
能
返回
9. 已知单项式与
的积与是同类项，求， 的值.
【解】 .
因为与 是同类项，
所以，，解得， .
返回
10.若 ，求
的值.
【解】因为 ，
所以 .
返回
11.小明计算一道整式乘法题： 由于小
明将第一个单项式中的抄成了 ，将第二个单项
式中的抄成了，结果得到 .
（1）根据上述信息，分别计算出， 的值；
【解】因为，所以， .
解得, .
（2）请你计算出这道整式乘法题的正确答案.
【解】因为, ,所以
.
返回
单项式与单项式相乘
单项式乘单项式
实质上是转化为同底数幂的运算
注意
（1）不要出现漏乘现象；
（2）有乘方运算，先算乘方，再将单项式相乘.
谢谢观看！
阿木提江·塔西吐木尔
托克逊县第一中学
13899326086