1.3.1平方差公式 课件（共27张PPT）--新2024北师大版七年级数学下册课件

(共27张PPT)
1.3.1平方差公式
第一章 整式的乘除
新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
买合苏迪古丽·买买提
托克逊县第二中学
15909954880
1.3.1 平方差公式
学习目标
理解平方差公式的推导过程，能准确表述平方差公式的内容。
熟练运用平方差公式进行整式乘法运算、多项式因式分解以及简化复杂的数学表达式，提升运算能力。
通过对平方差公式的探究，体会从特殊到一般的数学归纳思想，培养观察、分析和归纳总结的能力。
情境引入
在前面学习多项式与多项式相乘时，我们掌握了一般的计算方法。但在一些特殊形式的多项式乘法中，存在更简便的运算规律。比如，我们来计算这样两组式子：
(1) \((3 + 2)(3 - 2)\)，根据多项式乘法法则，\((3 + 2)(3 - 2)=3 3 - 3 2 + 2 3 - 2 2 = 9 - 4 = 5\)；
(2) \((5 + 1)(5 - 1)\)，同样按法则计算，\((5 + 1)(5 - 1)=5 5 - 5 1 + 1 5 - 1 1 = 25 - 1 = 24\)。
观察这两个式子的计算过程和结果，你能发现什么规律吗？如果把式子中的数字换成字母，是否也有类似规律呢？这就是我们本节课要学方差公式。
平方差公式推导
从多项式乘法到平方差公式
我们以\((a + b)(a - b)\)为例进行推导。根据多项式与多项式相乘的法则，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
那么\((a + b)(a - b)=a a - a b + b a - b b\)。
而\(-a b + b a = 0\)（乘法交换律），所以\((a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}\)。
由此，我们得到了平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，用符号表示为\((a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}\) 。这里的\(a\)和\(b\)不仅可以代表具体的数字，还可以是单项式、多项式等代数式。
平方差公式的几何解释
从几何图形的角度，我们也能直观地理解平方差公式。假设有一个边长为\(a\)的大正方形，在它的一角剪去一个边长为\(b\)的小正方形（\(a>b\)），如图所示：
[此处可插入一个大正方形一角去掉小正方形的简单示意图]
那么剩余部分（阴影部分）的面积有两种计算方法：
用大正方形的面积减去小正方形的面积，大正方形面积为\(a^{2}\)，小正方形面积为\(b^{2}\)，所以阴影部分面积\(S=a^{2}-b^{2}\)。
我们把阴影部分进行拼接，将它转化为一个长方形。这个长方形的长为\((a + b)\)，宽为\((a - b)\)，那么根据长方形面积公式，其面积\(S=(a + b)(a - b)\)。
因为这两种方法计算的是同一部分图形的面积，所以\((a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}\)，这就从几何角度验证了平方差公式。
平方差公式的应用
直接运用平方差公式计算
例 1：利用平方差公式计算
(1) \((2x + 3)(2x - 3)\)
(2) \((-5m + n)(-5m - n)\)
(3) \((a^{2}+b^{3})(a^{2}-b^{3})\)
解：
(1) 对于\((2x + 3)(2x - 3)\)，这里\(a = 2x\)，\(b = 3\)，根据平方差公式\((a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}\)，可得\((2x + 3)(2x - 3)=(2x)^{2}-3^{2}=4x^{2}-9\)。
(2) 对于\((-5m + n)(-5m - n)\)，此时\(a = -5m\)，\(b = n\)，所以\((-5m + n)(-5m - n)=(-5m)^{2}-n^{2}=25m^{2}-n^{2}\)。
(3) 对于\((a^{2}+b^{3})(a^{2}-b^{3})\)，这里\(a = a^{2}\)，\(b = b^{3}\)，则\((a^{2}+b^{3})(a^{2}-b^{3})=(a^{2})^{2}-(b^{3})^{2}=a^{4}-b^{6}\)。
方法总结：应用平方差公式计算时，要先确定式子中的\(a\)和\(b\)。左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同（此为\(a\)），另一项互为相反数（此为\(b\)）；右边是相同项的平方减去相反项的平方。
利用平方差公式进行简便运算
例 2：计算
(1) \(102 98\)
(2) \(49.8 50.2\)
解：
(1) \(102 98=(100 + 2)(100 - 2)\)，这里把\(100\)看作\(a\)，\(2\)看作\(b\)，根据平方差公式\((a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}\)，则\((100 + 2)(100 - 2)=100^{2}-2^{2}=10000 - 4 = 9996\)。
(2) \(49.8 50.2=(50 - 0.2)(50 + 0.2)\)，把\(50\)看作\(a\)，\(0.2\)看作\(b\)，所以\((50 - 0.2)(50 + 0.2)=50^{2}-0.2^{2}=2500 - 0.04 = 2499.96\)。
方法总结：对于两个数相乘，如果这两个数可以写成一个数与另一个数的和与差的形式，就可以利用平方差公式进行简便运算，关键是找到合适的\(a\)和\(b\)，使计算简化。
利用平方差公式化简求值
例 3：先化简，再求值：\((3x - y)(y + 3x)-(2y + x)(2y - x)\)，其中\(x = 1\)，\(y = 2\)。
解：
利用平方差公式对原式进行化简：
对于\((3x - y)(y + 3x)\)，\(a = 3x\)，\(b = y\)，则\((3x - y)(y + 3x)=(3x)^{2}-y^{2}=9x^{2}-y^{2}\)。
对于\((2y + x)(2y - x)\)，\(a = 2y\)，\(b = x\)，所以\((2y + x)(2y - x)=(2y)^{2}-x^{2}=4y^{2}-x^{2}\)。
那么原式\((3x - y)(y + 3x)-(2y + x)(2y - x)=9x^{2}-y^{2}-(4y^{2}-x^{2})\)。
去括号得：\(9x^{2}-y^{2}-4y^{2}+x^{2}\)。
合并同类项得：\(10x^{2}-5y^{2}\)。
把\(x = 1\)，\(y = 2\)代入化简后的式子：
当\(x = 1\)，\(y = 2\)时，\(10x^{2}-5y^{2}=10 1^{2}-5 2^{2}=10 - 5 4 = 10 - 20 = -10\)。
方法总结：在化简求值的题目中，先利用平方差公式将式子化简，再代入数值计算，这样可以避免直接代入复杂式子计算时容易出现的错误，使计算过程更简便。
利用平方差公式进行因式分解
平方差公式从右到左也成立，即\(a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)\)，可以用于对多项式进行因式分解。例如对\(x^{2}-25\)进行因式分解，因为\(x^{2}-25=x^{2}-5^{2}\)，这里\(a = x\)，\(b = 5\)，所以\(x^{2}-25=(x + 5)(x - 5)\)。
例 4：因式分解
(1) \(9m^{2}-16n^{2}\)
(2) \(a^{4}-b^{4}\)
解：
(1) 对于\(9m^{2}-16n^{2}\)，可变形为\((3m)^{2}-(4n)^{2}\)，这里\(a = 3m\)，\(b = 4n\)，根据\(a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)\)，则\(9m^{2}-16n^{2}=(3m + 4n)(3m - 4n)\)。
(2) 对于\(a^{4}-b^{4}\)，可先变形为\((a^{2})^{2}-(b^{2})^{2}\)，这里\(a = a^{2}\)，\(b = b^{2}\)，则\((a^{2})^{2}-(b^{2})^{2}=(a^{2}+b^{2})(a^{2}-b^{2})\)，而\(a^{2}-b^{2}\)还可以继续利用平方差公式分解为\((a + b)(a - b)\)，所以\(a^{4}-b^{4}=(a^{2}+b^{2})(a + b)(a - b)\)。
方法总结：利用平方差公式进行因式分解时，要把多项式化为两个数（或式子）的平方差的形式，然后套用公式进行分解。对于一些复杂的多项式，可能需要多次运用平方差公式或其他因式分解方法。
平方差公式的变形
位置变化
\((b + a)( -b + a)=a^{2}-b^{2}\)，此时虽然两个因式中\(a\)和\(b\)的位置与标准平方差公式\((a + b)(a - b)\)有所不同，但依然满足平方差公式的结构特征，同样可以利用公式计算。
符号变化
\((-a - b)(a - b)=(-b)^{2}-a^{2}=b^{2}-a^{2}\)，在这个式子中，通过对式子进行变形，把\(-a - b\)看作\([(-b)-a]\)，\(a - b\)看作\((-b)+a\)，就可以利用平方差公式，注意结果的符号。
系数变化
\((3a + 2b)(3a - 2b)=(3a)^{2}-(2b)^{2}=9a^{2}-4b^{2}\)，当式子中各项系数不为\(1\)时，把系数看作整体，只要满足平方差公式的结构，即两项和与两项差相乘，且相同项和相反项明确，就可以利用公式计算。
指数变化
\((a^{3}+b^{2})(a^{3}-b^{2})=(a^{3})^{2}-(b^{2})^{2}=a^{6}-b^{4}\)，当式子中字母的指数不是\(1\)时，同样可以利用平方差公式，只是在计算平方时，要根据幂的乘方法则，底数不变，指数相乘。
方法总结：对于平方差公式的各种变形，关键是要准确识别式子中哪部分相当于公式中的\(a\)，哪部分相当于\(b\)，无论形式如何变化，只要符合平方差公式的本质特征，即两个数（或式子）的和与差的积的形式，都可以运用平方差公式进行运算或因式分解。
易错点警示
公式结构识别错误：在运用平方差公式时，没有准确判断式子是否符合公式结构。例如\((x + 2)(x + 3)\)，它不符合平方差公式，不能用平方差公式计算，而应按照多项式乘法法则进行运算。有些同学可能误将其当作平方差公式计算，导致错误。
符号处理不当：在式子中出现负号时，容易出现符号错误。比如计算\((-2x - 3y)(2x - 3y)\)，有些同学可能错误地写成\((-3y)^{2}-(2x)^{2}\)，正确的应该是把\((-2x - 3y)\)变形为\([(-3y)-2x]\)，\((2x - 3y)\)变形为\((-3y)+2x\)，则\((-2x - 3y)(2x - 3y)=(-3y)^{2}-(2x)^{2}=9y^{2}-4x^{2}\)。
系数和指数运算错误：当式子中各项系数不为\(1\)或指数不为\(1\)时，在计算平方时容易出错。例如计算\((4m^{2}+5n^{3})(4m^{2}-5n^{3})\)，如果计算\((4m^{2})^{2}\)时错误地得到\(4m^{4}\)（正确应为\(16m^{4}\)），就会导致整个计算错误。
课堂练习
利用平方差公式计算：
\((1)(4x + 5)(4x - 5)\)
\((2)(-3a + 2b)(-3a - 2b)\)
\((3)(m^{2}+n)(m^{2}-n)\)
\((4)(0.5x - 0.3y)(0.5x + 0.3y)\)
用平方差公式进行简便运算：
\((1)101 99\)
\((2)29.9 30.1\)
先化简，再求值：\((x + 2y)(x - 2y)-(3x - y)(3x + y)\)，其中\(x = 2\)，\(y = 1\)。
因式分解：
\((1)16a^{2}-9b^{2}\)
\((2)x^{4}-1\)
判断下列式子能否用平方差公式计算，如果能，计算结果；如果不能，说明理由：
\((1)(2x + 3y)(3y - 2x)\)
\((2)(a - b)(a + c)\)
\((3)(-m - n)(m - n)\)
\((4)(2x^{2}+y^{2})(2x^{2}+y^{2})\)
方法总结
平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，表达式为\((a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}\)。
应用要点：
整式乘法：准确判断式子中哪部分是\(a\)（相同项），哪部分是\(b\)（相反项），然后代入公式计算。
简便运算：将相乘的两个数转化为一个数与另一个数的和与差的形式，利用平方差公式简化计算。
化简求值：先利用平方差公式化简式子，再代入数值计算。
因式分解：把多项式化为两个数（或式子）的平方差的形式，然后套用公式\(a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)\)进行分解。
注意事项：
正确识别公式结构，不符合结构的式子不能用平方差公式。
注意符号处理，尤其是式子中出现负号时。
对于系数和指数不为\(1\)的情况，要准确进行平方
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
考试考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
知识链接
计算：
(x＋1)(y－5)＝ ；
(x＋1)(x－5)＝ ；
(x＋1)(x－1)＝ .
xy－5x＋y－5
x －5x＋x－5＝x2－4x－5
x －x＋x－1＝x2－1
思考：积为何从四项变成三项又变为两项
(a + 4)(a 4)
绘画课上，灵灵向新新借了一张边长为 a cm 的正方形彩纸.几天后还了一张宽为 (a - 4) cm，
长为 (a + 4) cm 的长方形彩纸. 两张彩纸面积相等吗？
(a + 4)
(a - 4)
还的彩纸面积：
= a2 4a + 4a 42
= a2 42
答： 两张彩纸面积不相等.
4
解：原正方形彩纸面积为 a2
有什么特点？
＜a2
① (x＋ 2)( x－ 2)；
② (1＋3a)(1－3a)；
③ (x＋5y)(x－5y)；
④ (2y＋z)(2y－z).
平方差公式的认识
算一算：
＝ x2－ 22
＝ 12－(3a)2
＝ x2－(5y)2
x2－4
1－9a2
x2－25y2
4y2－z2
＝(2y)2－z2
两数的___
两数的___
和
差
两数____的差
平方
1
观察相乘的两个多项式有什么特点
最终结果又有什么特点
前一项相同项，后一项互为相反数(也可从加减法的角度理解). 最终结果有两项，是乘式中两项的平方差，即 (相同项) －(互为相反数的数) .
合作探究
追问 1：为什么具备这些特点的两个二项式相乘，
积会是二项式
有的积相加为 0.
文字语言：
两个数的和×两个数的差＝这两个数的平方差.
符号语言： (a＋b)( a－b)＝a －b .
追问 2：能否描述你们发现的规律 (分别从文字语言和符号语言角度引导)
平方差公式：
证一证：代数验证
(a + b)(a b)＝ ＝ .
a2 b2
a2 ab + ab b2
知识要点
例1 利用平方差公式计算：
(1) (5＋6x)(5－6x)； (2) (x－2y)(x＋2y)；
(3) (－m＋n)(－m－n).
解：(1) (5＋6x)(5－6x)
典例精析
相同看作 a
相反看作 b
＝52－(6x)2
＝25－36x2.
(2) 原式＝x2－(2y)2＝x2－4y2.
(3) 原式＝(－m)2－n2＝m2－n2.
例2 利用平方差公式计算：
(1) ； (2) (ab + 8)(ab－8).
解：(1) 原式 =
(2) 原式 = (ab)2－82 = a2b2－64.
典例精析
(1) (－7m＋8n)(－8n－7m)；
(2) (x－2)(x＋2)(x2＋4)．
解：(1) 原式＝(－7m)2－(8n)2
＝49m2－64n2.
(2) 原式＝(x2－4)(x2＋4)
＝x4－16.
利用平方差公式计算：
练一练
回答下列各题：
(l) (－a + b)(a + b) =_________.
(2) (a－b)(b + a) = __________.
(3) (－a－b)(－a + b) = ________.
(4) (a－b)(－a－b) = _________.
a2－b2
a2－b2
b2－a2
b2－a2
想一想
例3 先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，
其中 x＝1，y＝2.
解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)
＝4x2－y2－(4y2－x2)
＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.
当 x＝1，y＝2 时，原式＝5×12－5×22＝－15.
典例精析
平方差公式的几何验证
2
如图①，边长为 a 的大正方形中有一个边长为 b 的小正方形.
(1) 请表示图① 中阴影部分的面积.
a
b
图①
a2 b2
(2) 小颖将阴影部分拼成了一个长方形 (如图② )，这个长方形的长和宽分别是多少
你能表示出它的面积吗
a
b
图② 中长：a + b，
宽：a b，
面积：(a + b)(a b).
证一证：
经过以上求面积的过程，你能验证平方差公式吗
(a＋b)( a－b)＝a －b
图②
还有其他的几何方法解释吗？
a
b
a+b
a-b
a
a-b
b
a
a
b
b
a-b
算一算！
合作探究
例1 用平方差公式进行计算：
(1) 103×97； (2) 118×122.
解：103×97
= (100＋3)(100－3)
= 1002－32
= 10000 － 9
= 9991.
解：118×122
= (120－2)(120＋2)
= 1202－22
= 14400－4
= 14396.
注意：不能直接应用公式的，要经过变形才可以应用.
典例精析
例2 计算：
(1) a2(a + b)(a－b) + a2b2；
(2) (2x－5)(2x + 5)－2x(2x－3).
解：(1) 原式 = a2(a2－b2) + a2b2
= a4－ a2b2 + a2b2
= a4.
(2) 原式 = (2x)2－25－(4x2－6x)
= 4x2－25－4x2+6x
= 6x－25.
典例精析
例3 王大伯家把一块边长为 a 米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少 4 米，另外一边增加 4 米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
解：李大妈吃亏了．理由如下：原正方形的面积为 a2，
改变边长后面积为 (a＋4)(a－4)＝a2－16.
因为 a2＞a2－16，所以 李大妈吃亏了.
典例精析
1. [2024济南莱芜区期中] 下列各式中，不能用平方差公式计
算的是( )
B
A. B.
C. D.
2. 若，则， 的值为
( )
B
A. ， B. ，
C. ， D. ，
返回
3. 教材P25习题 若
，则 等于( )
B
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【点拨】因为
，
所以，所以 .
故选B.
返回
4.填空：
（1） ____________;
（2） _________;
（3）_________ .
5.已知，且，则 等于___.
6
返回
6.计算：
（1） ；
【解】
.
（2） .
.
返回
7. 化简 的结果为( )
A
A. B. C. D.
【点拨】
.
故选A.
返回
8. 如果一个正整数能表示为两个连续奇
数的平方差，那么称这个正整数为“凤凰数”，如 ,
，所以8,16都是“凤凰数”，下列整数是“凤凰数”
的为( )
B
A. 22 B. 24 C. 30 D. 34
9. 如果 ，
则 _______.
2或
【点拨】因为 ,
所以,所以 .
所以.所以或 .
返回
谢谢观看！
阿木提江·塔西吐木尔
托克逊县第一中学
13899326086