1.3.2完全平方公式 课件（共30张PPT）--新2024北师大版七年级数学下册课件

(共30张PPT)
1.3.2完全平方公式
第一章 整式的乘除
新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
买合苏迪古丽·买买提
托克逊县第二中学
15909954880
1.3.2 完全平方公式
学习目标
理解完全平方公式的推导过程，能准确表述完全平方公式的内容及结构特征。
熟练运用完全平方公式进行整式乘法运算、多项式因式分解以及化简求值，提升运算的准确性和效率。
通过探究完全平方公式的几何意义和变形应用，体会数形结合思想和转化思想，培养数学思维能力。
情境引入
在学习平方差公式后，我们知道特殊形式的多项式乘法可以用简便公式计算。那么，对于两个相同的二项式相乘，比如\((a + b)^2\)、\((a - b)^2\)，是否也有简便的运算规律呢？我们先来计算两组式子：
(1) \((3 + 2)^2\)，按照乘方的意义，\((3 + 2)^2=(3 + 2)(3 + 2)=3 3 + 3 2 + 2 3 + 2 2=9 + 6 + 6 + 4=25\)；
(2) \((5 - 1)^2\)，同理\((5 - 1)^2=(5 - 1)(5 - 1)=5 5 + 5 (-1)+(-1) 5 + (-1) (-1)=25 - 5 - 5 + 1=16\)。
观察计算结果，\((3 + 2)^2=3^2 + 2 3 2 + 2^2=25\)，\((5 - 1)^2=5^2 + 2 5 (-1)+(-1)^2=16\)。这其中是否存在普遍规律？本节课我们就来学习完全平方公式。
完全平方公式推导
从多项式乘法到完全平方公式
我们以\((a + b)^2\)和\((a - b)^2\)为例推导公式。
计算\((a + b)^2\)：根据乘方的意义，\((a + b)^2=(a + b)(a + b)\)。按照多项式乘法法则展开，得到\(a a + a b + b a + b b\)。合并同类项后，\(a b + b a = 2ab\)，所以\((a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2\)。
计算\((a - b)^2\)：同理\((a - b)^2=(a - b)(a - b)=a a + a (-b)+(-b) a + (-b) (-b)\)。合并同类项，\(a (-b)+(-b) a=-2ab\)，因此\((a - b)^2=a^2 - 2ab + b^2\)。
由此，我们得到完全平方公式：
两数和的完全平方公式：两个数的和的平方，等于这两个数的平方和加上这两个数积的 2 倍，用符号表示为\((a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2\)。
两数差的完全平方公式：两个数的差的平方，等于这两个数的平方和减去这两个数积的 2 倍，用符号表示为\((a - b)^2=a^2 - 2ab + b^2\)。
这里的\(a\)和\(b\)可以是具体数字、单项式或多项式。
完全平方公式的几何解释
我们可以通过几何图形直观理解完全平方公式。
对于\((a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2\)：假设有一个边长为\((a + b)\)的正方形，它可以分割成一个边长为\(a\)的正方形、一个边长为\(b\)的正方形，以及两个长为\(a\)、宽为\(b\)的长方形，如图所示：
[此处可插入边长为 (a+b) 的正方形分割示意图]
大正方形的面积为\((a + b)^2\)，三个部分的面积分别为\(a^2\)、\(b^2\)和\(ab\)（两个长方形面积和为\(2ab\)），因此\((a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2\)。
对于\((a - b)^2=a^2 - 2ab + b^2\)：边长为\(a\)的正方形中，减去一个长为\(a\)、宽为\(b\)的长方形后，剩余部分再减去一个同样的长方形，会多减一个边长为\(b\)的正方形，需要补回来，如图所示：
[此处可插入边长为 a 的正方形分割示意图]
最终得到的小正方形面积为\((a - b)^2\)，其面积等于大正方形面积\(a^2\)减去两个长方形面积\(2ab\)，再加上补回的小正方形面积\(b^2\)，即\((a - b)^2=a^2 - 2ab + b^2\)。
完全平方公式的应用
直接运用完全平方公式计算
例 1：利用完全平方公式计算
(1) \((2x + 3y)^2\)
(2) \((4m - 5n)^2\)
(3) \((-a + 2b)^2\)
解：
(1) 对于\((2x + 3y)^2\)，这里\(a = 2x\)，\(b = 3y\)，根据\((a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2\)，可得：\((2x + 3y)^2=(2x)^2 + 2 2x 3y + (3y)^2=4x^2 + 12xy + 9y^2\)。
(2) 对于\((4m - 5n)^2\)，\(a = 4m\)，\(b = 5n\)，根据\((a - b)^2=a^2 - 2ab + b^2\)，则：\((4m - 5n)^2=(4m)^2 - 2 4m 5n + (5n)^2=16m^2 - 40mn + 25n^2\)。
(3) 对于\((-a + 2b)^2\)，可变形为\((2b - a)^2\)（加法交换律），\(a = 2b\)，\(b = a\)，所以：\((-a + 2b)^2=(2b)^2 - 2 2b a + a^2=4b^2 - 4ab + a^2\)（或直接用\((a + b)^2\)公式，\(a=-a\)，\(b=2b\)，结果一致）。
方法总结：应用完全平方公式时，先确定式子中的\(a\)和\(b\)，再代入公式展开。展开后包括三项：\(a^2\)、\(2ab\)（或\(-2ab\)）、\(b^2\)，注意中间项的系数和符号。
利用完全平方公式进行简便运算
例 2：计算
(1) \(102^2\)
(2) \(99.5^2\)
解：
(1) \(102^2=(100 + 2)^2\)，这里\(a = 100\)，\(b = 2\)，根据\((a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2\)，则：\((100 + 2)^2=100^2 + 2 100 2 + 2^2=10000 + 400 + 4=10404\)。
(2) \(99.5^2=(100 - 0.5)^2\)，\(a = 100\)，\(b = 0.5\)，所以：\((100 - 0.5)^2=100^2 - 2 100 0.5 + 0.5^2=10000 - 100 + 0.25=9900.25\)。
方法总结：对于接近整十、整百的数的平方，可将其转化为一个整十、整百数与另一个数的和或差的形式，再利用完全平方公式简便计算。
利用完全平方公式化简求值
例 3：先化简，再求值：\((3x + 2y)^2 - (3x - 2y)^2\)，其中\(x = \frac{1}{3}\)，\(y = -\frac{1}{2}\)。
解：
利用完全平方公式展开式子：
\((3x + 2y)^2=9x^2 + 12xy + 4y^2\)
\((3x - 2y)^2=9x^2 - 12xy + 4y^2\)
进行减法运算：
原式\(=9x^2 + 12xy + 4y^2-(9x^2 - 12xy + 4y^2)\)
去括号得：\(9x^2 + 12xy + 4y^2 - 9x^2 + 12xy - 4y^2\)
合并同类项得：\(24xy\)
代入数值计算：
当\(x = \frac{1}{3}\)，\(y = -\frac{1}{2}\)时，\(24xy=24 \frac{1}{3} (-\frac{1}{2})=8 (-\frac{1}{2})=-4\)。
利用完全平方公式进行因式分解
完全平方公式可逆用，即\(a^2 + 2ab + b^2=(a + b)^2\)，\(a^2 - 2ab + b^2=(a - b)^2\)，可用于因式分解（这类多项式称为完全平方式）。
例 4：因式分解
(1) \(x^2 + 6x + 9\)
(2) \(4a^2 - 12ab + 9b^2\)
解：
(1) \(x^2 + 6x + 9=x^2 + 2 x 3 + 3^2\)，符合\(a^2 + 2ab + b^2\)的形式（\(a = x\)，\(b = 3\)），所以\(x^2 + 6x + 9=(x + 3)^2\)。
(2) \(4a^2 - 12ab + 9b^2=(2a)^2 - 2 2a 3b + (3b)^2\)，符合\(a^2 - 2ab + b^2\)的形式（\(a = 2a\)，\(b = 3b\)），因此\(4a^2 - 12ab + 9b^2=(2a - 3b)^2\)。
完全平方公式的变形
符号变形
\((-a - b)^2=(a + b)^2\)，因为\((-a - b)^2=[-(a + b)]^2=(a + b)^2\)（负数的平方等于正数的平方），展开后为\(a^2 + 2ab + b^2\)。
系数变形
\((2a + 3b)^2=(2a)^2 + 2 2a 3b + (3b)^2=4a^2 + 12ab + 9b^2\)，当系数不为\(1\)时，需将系数纳入\(a\)或\(b\)中，平方后系数也要平方。
多项式变形
\((a + b + c)^2\)可先将\((a + b)\)看作整体，再用完全平方公式展开：\((a + b + c)^2=(a + b)^2 + 2(a + b)c + c^2=a^2 + 2ab + b^2 + 2ac + 2bc + c^2\)，即三数和的平方等于三数平方和加上两两积的 2 倍。
常用恒等式变形
\(a^2 + b^2=(a + b)^2 - 2ab\)
\(a^2 + b^2=(a - b)^2 + 2ab\)
\((a + b)^2 + (a - b)^2=2(a^2 + b^2)\)
\((a + b)^2 - (a - b)^2=4ab\)
例 5：已知\(a + b = 5\)，\(ab = 3\)，求\(a^2 + b^2\)和\((a - b)^2\)的值。
解：
根据\(a^2 + b^2=(a + b)^2 - 2ab\)，代入得\(a^2 + b^2=5^2 - 2 3=25 - 6=19\)。
根据\((a - b)^2=a^2 - 2ab + b^2=(a^2 + b^2)-2ab\)，代入得\((a - b)^2=19 - 2 3=19 - 6=13\)。
易错点警示
漏写中间项：这是最常见的错误，例如将\((a + b)^2\)误算为\(a^2 + b^2\)，遗漏中间项\(2ab\)；或将\((a - b)^2\)误算为\(a^2 - b^2\)，正确结果应为\(a^2 - 2ab + b^2\)。
符号错误：在\((a - b)^2\)中，中间项符号错误，例如写成\(a^2 + 2ab + b^2\)，正确应为\(a^2 - 2ab + b^2\)；对于\((-a + b)^2\)，误算为\(a^2 + 2ab + b^2\)，正确结果应为\(a^2 - 2ab + b^2\)（或\(b^2 - 2ab + a^2\)）。
系数平方错误：当\(a\)或\(b\)带有系数时，平方时漏乘系数，例如\((2x + 3y)^2\)误算为\(2x^2 + 12xy + 3y^2\)，正确应为\(4x^2 + 12xy + 9y^2\)（系数\(2\)和\(3\)需平方）。
混淆公式结构：将完全平方公式与平方差公式混淆，例如计算\((a + b)^2\)时用平方差公式计算，导致结果错误。
课堂练习
利用完全平方公式计算：
\((1)(3x - 2)^2\)
\((2)(-2m + 5n)^2\)
\((3)(a + b - c)^2\)
用完全平方公式进行简便运算：
\((1)99^2\)
\((2)101.1^2\)
先化简，再求值：\((x - 2y)^2 + (x + 2y)(x - 2y)\)，其中\(x = 2\)，\(y = -1\)。
因式分解：
\((1)m^2 - 8m + 16\)
\((2)25a^2 + 30ab + 9b^2\)
已知\(x - y = 4\)，\(x^2 + y^2 = 20\)，求\(xy\)和\((x + y)^2\)的值。
方法总结
完全平方公式：
两数和：\((a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2\)
两数差：\((a - b)^2=a^2 - 2ab + b^2\)
公式特征：左边是二项式的平方，右边是三项式，包括首项平方、尾
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
考试考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
知识链接
1. 多项式的乘法法则是什么
(a + b)(m + n)＝ ；
2. 多项式乘法法则的几何意义是什么
m
n
a
b
am + bm + an + bn
明明订购了一个 6 寸的大披萨，不久店员打电话告知 6 寸的披萨卖完了，问能否换购一个 4 寸和一个 2 寸的小披萨(披萨近似看作圆).你认为明明应该同意吗？
大披萨的面积：S = π·32 = 9π .
小披萨的面积之和：S = π·22 + π·12 = 5π .
你发现了什么？
(2 + 1)2 ≠ 22 + 12.
所以不应该同意.
完全平方公式
1
算一算：
(1) (1 - p)2
解：原式 = ( 1 - p )( 1 - p )
= 1 - p - p + p2
= 1 - 2p + p2.
(2) (m + 3)2
解：原式 = (m + 3)(m + 3)
= m2 + 3m + 3m + 9
= m2 + 2×3m + 9
= m2 + 6m + 9.
解：原式= (2 + 3x)(2 + 3x)
= 22 + 2×3x + 2×3x + 9x2
= 4 + 2×2×3x + 9x2
= 4 + 12x + 9x2.
(3) (2 + 3x)2
追问 1：上述式子的左边有什么共同特征 计算的结果都是几次几项式
左式都是两项和或差的平方，结果都是二次三项式.
追问 2：计算结果的每一项分别与括号里的每一项有什么关系
结果的首尾项分别是左边括号里每项的平方，结果的中间项是括号里两项乘积的 2 倍.
(1) (1 - p)2 = 1 - 2p + p2.
(2) (m + 3)2= m2 + 6m + 9
(3) (2 + 3x)2 = 4 + 12x + 9x2.
比一比：
根据发现的特征，写出下面式子的答案：
(1) (a＋b)2 = ；
(2) (a－b)2 = .
a2＋2ab＋b2
a2－2ab + b2
观察并比较(1)(2)两个式子，等式左边(右边)相同的项.
(1) (a＋b)2
= (a＋b)(a＋b)
= a2＋ab＋ab＋b2
= a2＋2ab＋b2
(2) (a－b)2
= [a＋(－b)]2
= a2＋a(－b)＋a(－b)＋(－b)2
= a2＋2a(－b)＋(－b)2
= a2－2ab＋b2
推导 过程验证：
议一议
追问 1：(1)(2)两个式子等式右边不同的是哪一项
它的符号与什么有关
＋2ab 和－2ab. 与两数中间的符号有关.
(1) (a＋b)2 = a2＋2ab＋b2
(2) (a－b)2 = a2－2ab＋b2
追问 2：能否描述你们发现的规律 (分别从文字语言和符号语言角度引导)
文字语言：两个数的和(差)的平方，等于这两个数的平方和，加上(减去)它们积的 2 倍.
符号语言：(a±b) = a ±2ab＋b .
(a + b)2 = .
a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = .
a2 - 2ab + b2
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍.这两个公式叫作完全平方公式.
简记为：
“首平方，尾平方，
积的 2 倍放中间”
知识要点
完全平方公式
例1 利用完全平方公式计算：
解：(2x－3)2 =
=4x2
(1) (2x－3)2；
( a－b )2 = a2 － 2ab + b2
(2x)2
－ 2 (2x) 3
+ 32
－12x
+ 9；
典例精析
(2) (4x＋5y)2；
解： (4x＋5y)2 =
(4x)2
＋2 (4x) 5y
＋(5y)2
( a＋b )2 = a2 ＋ 2ab ＋ b2
= 16x2＋40xy＋25y2；
(3) (mn－a)2.
解： (mn－a)2 = (mn)2－ 2 mn a＋a2
= m2n2－2amn＋a2.
完全平方公式的几何验证
2
问题：一块边长为 a 米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图).
(1) 四块实验田面积分别为：
， ，
， .
a
a
b
b
a2
ab
b2
ab
(2)两种形式表示实验田的总面积：
a
a
b
b
①从整体看：
边长为 的大正方形，
S大正方形＝ ；
(a+b)
(a+b)2
②从部分看：
四块面积的和S＝ .
a +2ab+b
思考：怎样计算 1022，1972 更简便呢？
(1) 1022； (2) 1972.
解：原式 = (100 + 2)2
= 10 000 + 400 + 4
= 10 404.
解：原式 = (200－3)2
= 40 000－1200 + 9
= 38 809.
= 1002－2×100×2 + 22
= 2002－2×200×3 + 32
想一想
方法总结：用平方差公式进行计算，需要分组.分组方法是“符号相同的为一组，符号相反的为另一组”.
例2 运用乘法公式计算：(1) (x + 2y - 3)(x - 2y + 3)；
= x2 – (2y – 3)2
= x2 – (4y2 – 12y + 9)
= x2 – 4y2 + 12y – 9.
解：原式 = [x + (2y – 3)][x – (2y – 3)]
同号
异号
a
b
平方差公式
整体
典例精析
(2) ( a + b + c )2.
解：原式 = [(a + b) + c]2
方法总结：要把其中两项看成一个整体，再按照完全平方公式进行计算.
= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac.
= a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2
= (a + b)2 + 2(a + b)c + c2
完全平方公式
都同号
例2 计算：
(1) (x + 3)2 – x2；
解：原式 = x2 + 6x + 9 – x2
= 6x + 9；
或原式 = (x + 3 + x) (x + 3 – x)
= (2x + 3)×3
= 6x + 9.
还有其他的方法吗？
典例精析
(2) ( a + b + 3 )( a + b - 3 )；
解： 原式 = [(a + b) + 3][(a + b) - 3]
= (a + b)2 - 32
= a2 + 2ab + b2 - 9.
(3) (x + 5)2 – (x - 2)(x - 3).
解： 原式 = x2 + 10x + 25 - (x2 - 5x + 6)
= x2 + 10x + 25 - x2 + 5x - 6
= 15x + 19.
(4) [( a + b) ( a - b)]2.
解： 原式 = ( a2 - b2 )2
= a4 - 2a2b2 + b4.
1. [2024扬州模拟] 计算 的结果是( )
D
A. B.
C. D.
2. [2024无锡期中] 下列各式中计算正确的是( )
A
A.
B.
C.
D.
返回
3. 教材P20思考·交流 如图是利用割补法求图形面积
的示意图，下列等式中与之相对应的是( )
A
A.
B.
C. D.
返回
4.[2024合肥模拟] 若，则 的
值为____.
返回
5.计算：
（1） ；
【解】
.
（2） ；
.
（3） ；
.
（4） .
.
返回
6.已知，，求， 的值.
【解】因为， ，
所以， ，
所以两式相加，可得 ，
两式相减，可得 .
返回
7. 已知 ,则
的值是( )
D
A. 6 B. C. D. 4
返回
8. 如图，长方形 的周长是10，以
，为边向外作正方形 和正方
形，若正方形和正方形
的面积之和为17，那么长方形 的面
积是( )
B
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
9. 若满足 ,则
( )
B
A. 0.25 B. 0.5 C. 1 D.
【点拨】 .
返回
10. 若将多项式 加上一个单项式
成为一个多项式的平方，则这个单项式可以是____________
________.（只要写出符合条件的一个即可）
（答案不唯一）
返回
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阿木提江·塔西吐木尔
托克逊县第一中学
13899326086