2.1.1对顶角、余角和补角 课件（共34张PPT）--新2024北师大版七年级数学下册课件

(共34张PPT)
2.1.1对顶角、余角和补角
第二章 相交线与平行线
新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
买合苏迪古丽·买买提
托克逊县第二中学
15909954880
2.1.1 对顶角、余角和补角
学习目标
理解对顶角、余角和补角的概念，能准确识别图形中的对顶角、互余和互补的角。
掌握对顶角的性质、余角和补角的性质，并能运用这些性质解决实际问题和进行简单推理。
通过观察、操作、推理等数学活动，培养空间观念和逻辑推理能力，体会数形结合的思想。
情境引入
在我们的生活中，随处可见相交的直线，比如窗户的边框、十字路口的道路等。当两条直线相交时，会形成几个角？这些角之间存在着怎样的关系呢？例如，当你打开剪刀时，刀刃之间的角会随着剪刀的开合而变化，在这个过程中，哪些角的大小始终保持相等？又如，在直角三角板中，两个锐角的和是多少度？在平角的一半处，两个角的和又有什么特点？带着这些问题，我们来学习本节课的内容 —— 对顶角、余角和补角。
对顶角
定义
两条直线相交组成的四个角中，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角。
如图 1 所示，直线\(AB\)与直线\(CD\)相交于点\(O\)，则\(\angle AOC\)与\(\angle BOD\)是对顶角，\(\angle AOD\)与\(\angle BOC\)是对顶角。
[此处可插入图 1：两条直线相交形成四个角，标注出对顶角]
性质推导
通过观察和测量可以发现，对顶角的大小相等。我们可以通过推理来证明这一性质：
因为直线\(AB\)与直线\(CD\)相交于点\(O\)，所以\(\angle AOC + \angle AOD=180^{\circ}\)（平角的定义），\(\angle BOD + \angle AOD = 180^{\circ}\)（平角的定义）。
根据同角的补角相等，可得\(\angle AOC=\angle BOD\)。同理可证\(\angle AOD=\angle BOC\)。
因此，对顶角相等。
实例解析
例 1：如图 2，直线\(a\)、\(b\)相交于点\(O\)，若\(\angle 1 = 50^{\circ}\)，求\(\angle 2\)、\(\angle 3\)、\(\angle 4\)的度数。
[此处可插入图 2：直线 a、b 相交于点 O，标注出∠1、∠2、∠3、∠4，其中∠1 与∠3 是对顶角，∠2 与∠4 是对顶角]
解：
因为直线\(a\)、\(b\)相交于点\(O\)，所以\(\angle 1\)与\(\angle 3\)是对顶角，\(\angle 2\)与\(\angle 4\)是对顶角，\(\angle 1\)与\(\angle 2\)互为邻补角。
根据对顶角相等，可得\(\angle 3=\angle 1 = 50^{\circ}\)。
因为\(\angle 1 + \angle 2=180^{\circ}\)（邻补角互补），所以\(\angle 2=180^{\circ}-\angle 1=180^{\circ}-50^{\circ}=130^{\circ}\)。
又因为对顶角相等，所以\(\angle 4=\angle 2 = 130^{\circ}\)。
余角
定义
如果两个角的和是\(90^{\circ}\)（直角），那么这两个角互为余角，简称互余。其中一个角叫做另一个角的余角。
例如，若\(\angle\alpha + \angle\beta=90^{\circ}\)，则\(\angle\alpha\)是\(\angle\beta\)的余角，\(\angle\beta\)也是\(\angle\alpha\)的余角。
性质
同角或等角的余角相等。
推理证明：
同角的余角相等：若\(\angle 1 + \angle 2=90^{\circ}\)，\(\angle 1 + \angle 3 = 90^{\circ}\)，则\(\angle 2=\angle 3\)（等式的性质）。
等角的余角相等：若\(\angle 1 + \angle 2=90^{\circ}\)，\(\angle 3 + \angle 4 = 90^{\circ}\)，且\(\angle 1=\angle 3\)，则\(\angle 2=\angle 4\)（等式的性质）。
实例解析
例 2：已知\(\angle A = 35^{\circ}\)，则\(\angle A\)的余角的度数是多少？
解：因为互为余角的两个角的和是\(90^{\circ}\)，所以\(\angle A\)的余角的度数为\(90^{\circ}-\angle A=90^{\circ}-35^{\circ}=55^{\circ}\)。
例 3：如图 3，点\(O\)在直线\(AB\)上，\(OD\)平分\(\angle AOC\)，\(OE\)平分\(\angle BOC\)，则\(\angle DOE\)的余角是哪些角？
[此处可插入图 3：点 O 在直线 AB 上，OC 为一条射线，OD 平分∠AOC，OE 平分∠BOC]
解：因为点\(O\)在直线\(AB\)上，所以\(\angle AOC+\angle BOC = 180^{\circ}\)。
因为\(OD\)平分\(\angle AOC\)，\(OE\)平分\(\angle BOC\)，所以\(\angle DOC=\frac{1}{2}\angle AOC\)，\(\angle EOC=\frac{1}{2}\angle BOC\)。
则\(\angle DOE=\angle DOC+\angle EOC=\frac{1}{2}(\angle AOC+\angle BOC)=\frac{1}{2}\times180^{\circ}=90^{\circ}\)。
所以与\(\angle DOE\)互余的角是和它相加等于\(90^{\circ}\)的角，但由于\(\angle DOE = 90^{\circ}\)，所以没有角与它互余（或说不存在这样的角）。
补角
定义
如果两个角的和是\(180^{\circ}\)（平角），那么这两个角互为补角，简称互补。其中一个角叫做另一个角的补角。
例如，若\(\angle\gamma+\angle\delta = 180^{\circ}\)，则\(\angle\gamma\)是\(\angle\delta\)的补角，\(\angle\delta\)也是\(\angle\gamma\)的补角。
性质
同角或等角的补角相等。
推理证明：
同角的补角相等：若\(\angle 1 + \angle 2=180^{\circ}\)，\(\angle 1 + \angle 3 = 180^{\circ}\)，则\(\angle 2=\angle 3\)（等式的性质）。
等角的补角相等：若\(\angle 1 + \angle 2=180^{\circ}\)，\(\angle 3 + \angle 4 = 180^{\circ}\)，且\(\angle 1=\angle 3\)，则\(\angle 2=\angle 4\)（等式的性质）。
实例解析
例 4：已知一个角的补角是它的\(3\)倍，求这个角的度数。
解：设这个角的度数为\(x\)，则它的补角的度数为\(180^{\circ}-x\)。
根据题意可得：\(180^{\circ}-x = 3x\)。
移项得：\(3x + x=180^{\circ}\)，即\(4x = 180^{\circ}\)。
解得：\(x = 45^{\circ}\)。
所以这个角的度数是\(45^{\circ}\)。
例 5：如图 4，\(\angle AOB\)与\(\angle COD\)都是直角，试说明\(\angle AOC=\angle BOD\)。
[此处可插入图 4：两个直角∠AOB 和∠COD 有公共顶点 O，OB 和 OC 有重叠部分]
解：因为\(\angle AOB\)与\(\angle COD\)都是直角，所以\(\angle AOB=\angle COD = 90^{\circ}\)。
即\(\angle AOC+\angle COB=90^{\circ}\)，\(\angle BOD+\angle COB = 90^{\circ}\)。
根据同角的余角相等，可得\(\angle AOC=\angle BOD\)。
知识辨析
对顶角与邻补角的区别
名称
定义
性质
图形特征
对顶角
两条直线相交组成的四个角中，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角
对顶角相等
有公共顶点，两边互为反向延长线，没有公共边
邻补角
两条直线相交组成的四个角中，有公共顶点和一条公共边，且另一边互为反向延长线的两个角
邻补角互补（和为\(180^{\circ}\)）
有公共顶点和一条公共边，另一边互为反向延长线
余角与补角的区别与联系
名称
定义
性质
联系
余角
两个角的和是\(90^{\circ}\)
同角或等角的余角相等
若两个角互为余角，则它们一定都是锐角；同一个角的补角比它的余角大\(90^{\circ}\)
补角
两个角的和是\(180^{\circ}\)
同角或等角的补角相等
若两个角互为补角，则它们可能都是直角，也可能一个是锐角一个是钝角
易错点警示
对顶角的识别错误：误认为只要有公共顶点的角就是对顶角，忽略了两边互为反向延长线这一条件。例如，如图 5 中\(\angle 1\)和\(\angle 2\)有公共顶点，但不是对顶角。
[此处可插入图 5：两个角有公共顶点，但两边不是反向延长线]
余角和补角的概念混淆：混淆余角和补角的度数关系，将余角的和记为\(180^{\circ}\)，补角的和记为\(90^{\circ}\)。
性质应用错误：在运用 “同角或等角的余角相等”“同角或等角的补角相等” 时，忽略 “同角” 或 “等角” 的条件。
图形分析错误：在复杂图形中不能准确找出互余、互补的角和对顶角，导致解题错误。
课堂练习
如图 6，直线\(AB\)、\(CD\)相交于点\(O\)，\(\angle AOE=90^{\circ}\)，若\(\angle COE = 35^{\circ}\)，求\(\angle BOD\)的度数。
[此处可插入图 6：直线 AB、CD 相交于点 O，OE 为一条射线，∠AOE=90°]
一个角的余角比它的补角的\(\frac{1}{3}\)还小\(10^{\circ}\)，求这个角的度数。
如图 7，已知\(\angle 1+\angle 2 = 180^{\circ}\)，\(\angle 3+\angle 2 = 180^{\circ}\)，试说明\(\angle 1=\angle 3\)。
[此处可插入图 7：∠1、∠2、∠3 的位置关系图，体现∠1 与∠2 互补，∠3 与∠2 互补]
判断下列说法是否正确：
（1）对顶角相等，相等的角是对顶角。
（2）若两个角互补，则它们一定是邻补角。
（3）一个角的补角一定大于这个角。
（4）锐角的补角是钝角，钝角的补角是锐角。
方法总结
概念辨析法：准确理解对顶角、余角和补角的定义，通过对比概念的异同来加深理解，避免混淆。
图形分析法：在解决与角相关的问题时，要结合图形进行分析，准确识别图形中的对顶角、互余和互补的角。
性质应用法：熟练运用对顶角相等、同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等这些性质进行推理和计算。
方程思想：在求角的度数时，若已知角之间的数量关系，可通过设未知数，列方程求解。
通过本节课的学习，我们掌握了对顶角、余角和补角的概念和性质，这些知识是研究图形性质的基础。在后续的学习中，我们还会遇到更多与角相关的问题，希望同学们能灵活运用所学知识，解决实际问题，提高自己的数学素养。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
考试考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
观察下列图片，说一说直线与直线的位置关系.
象棋
围棋
我们知道，在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种.
若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线.
在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线.
观察与交流：(1) 如图，直线 AB、CD 相交于点 O，∠1 和∠2 有什么位置关系
2
1
A
B
C
D
O
1. 有公共顶点，
2. 两边互为反向延长线.
(2) 它们的大小有什么关系
∠1 = ∠2
1
对顶角的概念及其性质
对顶角的性质：
如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O，∠1 和∠2 有公共顶点 O，它们的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫作对顶角.
知识要点
对顶角的概念
对顶角相等.
例1 下列各图中，∠1 与∠2 是对顶角的是（ ）
D
典例精析
1
2
C
1
2
D
1
2
A
1
2
B
例2 如图，直线 AB、CD、EF 相交于点 O，∠1＝40°，
∠BOC＝110°，求∠2 的度数.
解：因为∠1＝40°，∠BOC＝110°(已知)，
所以∠BOF＝∠BOC－∠1
＝110°－40°＝70°.
因为∠BOF＝∠2 (对顶角相等)，
所以∠2＝70° (等量代换).
注意：隐含条件“对顶角相等”.
活动1：
画一画：
1. 请画出两个角，使他们的和为 90°.
2. 请画出两个角，使它们的和为 180°.
3. 小组交流画法，相互点评.
4. 用自己的语言描述补角、余角的定义.
补角和余角的概念
2
想一想 如图，∠1 与∠3 有什么数量关系？
2
1
A
B
C
D
O
3
∠1 + ∠3 = 180°
补角的概念
如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角.
余角的概念
如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角.
类似地：
图①
如图①，打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1=∠2，将图 1 简化成图②，ON 与 DC 交于点 O，∠DON = ∠CON = 90°，∠1 = ∠2.
补角和余角的性质
N
2
D
C
O
1
3
4
A
B
图②
3
活动 2：小组合作交流，解决下列问题：在图② 中，
(1) 哪些角互为补角？哪些角互为余角？
(2) ∠3 与∠4 有什么关系？为什么？
(3) ∠AOC 与∠BOD 有什么关系？为什么？
N
2
D
C
O
1
3
4
A
B
图②
解：(1) 互为补角：
∠1 与∠AOC，∠2与∠BOD，
∠DON 与∠CON；
互为余角：∠1 与 ∠3，∠2 与∠3，
∠2 与∠4，∠1与∠4.
同角(等角)的余角相等.
(2) ∠3 与∠4 有什么关系？为什么？
因为∠1 =∠2，
N
2
D
C
O
1
3
4
A
B
图②
∠1 +∠3 = 90°， ∠ 2 +∠4 = 90°，
所以∠3 =∠4.
同角(等角)的补角相等.
同角(或等角)的补角相等，同角(或等角)的余角相等.
N
2
D
C
O
1
3
4
A
B
图②
因为∠1 =∠2，
∠1 +∠AOC = 180°，
∠2 +∠BOD = 180°，
所以∠AOC =∠BOD.
(3) ∠AOC 与∠BOD 有什么关系？为什么？
1. 下列说法正确的是( )
D
A. 不相交的两条直线是平行线
B. 在同一平面内，不相交的两条射线叫作平行线
C. 在同一平面内，两条直线不相交就重合
D. 在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线
2. 下列选项中，和 是对顶角的是( )
D
A. B. C. D.
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（第3题）
3. [2024保定期中] 如图，四条线段 ，
，，中的一条与挡板另一侧的线段
平行，请借助直尺，判断该线段是( )
C
A. B. C. D.
返回
4. 如图，直线,相交， ，则 的度数是
( )
A
（第4题）
A. B. C. D.
5. 若的补角是 ，则 的余角为( )
D
A. B. C. D.
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6. 将一副三角尺按下列位置摆放，使与 互为余角的摆
放方式是( )
D
A. B. C. D.
【点拨】A.因为同角的余角相等，所以,但与 不
一定互余，故此选项不符合题意；
B.因为 ，所以 ，
即与 不互为余角，故此选项不符合题意；
C.因为 ，
所以与 不互为余角，故此选项不符合题意；
D.因为 ，
所以与 互为余角，故此选项符合题意.
故选D.
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7.[2024驻马店期中] 泰勒斯被誉为古希腊及西方第一位自然
科学家和哲学家，据说“两条直线相交，对顶角相等”就是泰
勒斯首次发现并论证的.论证“对顶角相等”使用的依据是
________________.
同角的补角相等
【点拨】如图，
因为 ， ，
所以 .
所以论证“对顶角相等”使用的依据是同角的补角相等.
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8.[2024赣州期中] 如图，直线与 相
交于点，则 的度数是______.
【点拨】由对顶角相等可知
，
所以 ，解得 .所以
.
又因为 ，
所以 .
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9.[2024泰州高港区期末] 如图，直线
，相交于点，平分 .
（1）若 ，求 的度
数；
【解】因为 ， ,
所以 .
又因为平分，所以 .
（2）在图中画的反向延长线 ，
是 的平分线吗？并说明理由；
【解】如图， 即为所求.
是 的平分线.
理由如下：
由（1）知 ，
又因为， ，
所以 ，
所以是 的平分线.
（3）在（2）画得的图形中，与 互
补的角有___个.
4
【点拨】因为 ，
所以是 的补角.
由（2）易知 ，
所以，，，都是 的补角，
共有4个.
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（第10题）
10. 当光线从空气射入水
中时，光线的传播方向发生了变化，这种现
象叫作光的折射.如图，直线与 相交于
点，一束光线沿射入水面，在点 处发
生折射，沿射入水中，如果 ，
C
A. B. C. D.
，那么光的传播方向改变了 ( )
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11. [2024哈尔滨期末] 如果与互补，与 互余，那
么与 的数量关系是( )
A
A. B.
C. D.
【点拨】因为与互补,与 互余,
所以, .
所以 ,
即 .故选A.
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（第12题）
12. [2024咸阳期中] 如图，直线与
相交于点， ， ，
则图中互补的角有( )
D
A. 6对 B. 3对 C. 4对 D. 5对
【点拨】因为,所以 .
所以 .
所以互补的角有5对.故选D.
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13. [2024聊城期末] 若 和 互余，且 ，则下
列表示 的补角的式子中：
； ； ；
； .
正确的有( )
C
A. ①② B. ③④ C. ①②⑤ D. ②③④
互余 互补
两角间的数量关系
对应图形
性质
同角（或等角）的
余角相等
同角（或等角）的
补角相等
对顶角的性质：
两个角的和是90°
两个角的和是180°
对顶角相等.
谢谢观看！
阿木提江·塔西吐木尔
托克逊县第一中学
13899326086