2.1.2垂线 课件（共37张PPT）--新2024北师大版七年级数学下册课件

(共37张PPT)
2.1.2垂线
第二章 相交线与平行线
新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
买合苏迪古丽·买买提
托克逊县第二中学
15909954880
2.1.2 垂线
一、学习目标
深入理解垂线的概念，能够准确判断两条直线是否垂直。
熟练掌握垂线的性质，包括 “过一点有且只有一条直线与已知直线垂直” 以及 “垂线段最短”，并能运用这些性质解决实际问题。
学会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线，培养动手操作能力和空间观念。
理解点到直线的距离的概念，能正确度量点到直线的距离。
二、情境引入
在日常生活中，我们经常能看到一些垂直的现象。比如，建筑工人在砌墙时，为了保证墙体的竖直，会使用铅垂线；教室里的墙角，相邻的两面墙与地面形成的三条棱两两垂直；电线杆与地面也是垂直的关系。这些垂直现象都蕴含着丰富的数学知识。那么，从数学的角度来看，什么样的两条直线才是互相垂直的呢？它们又具有哪些独特的性质呢？带着这些疑问，让我们一起走进本节课对垂线的学习。
三、垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
例如，在图 1 中，直线\(AB\)与直线\(CD\)相交于点\(O\)，若\(\angle AOC = 90^{\circ}\)，则直线\(AB\perp CD\)（“\(\perp\)” 表示垂直，读作 “垂直于”），此时直线\(AB\)是直线\(CD\)的垂线，直线\(CD\)也是直线\(AB\)的垂线，点\(O\)就是垂足。
[此处插入图 1：两条直线相交，形成一个直角，并标注出各部分名称]
需要注意的是，垂线是相交线的一种特殊情况。只要两条直线相交的四个角中有一个角为直角，根据对顶角相等以及邻补角互补的性质，其余三个角必然也都是直角。而且，当我们说两条线段垂直、射线与线段垂直或者两条射线垂直时，实际上都是指它们所在的直线互相垂直。
四、垂线的性质
性质 1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（这里的 “一点”，既可以是直线外的一点，也可以是直线上的一点）
例如，在图 2 中，过直线\(l\)上一点\(A\)，只能画出一条直线\(AB\)与直线\(l\)垂直；过直线\(l\)外一点\(P\)，同样只能画出一条直线\(PQ\)与直线\(l\)垂直。这就像在一个平面内，你站在某条道路（可看作已知直线）上的某个位置（直线上一点），或者站在道路旁边（直线外一点），都只能找到唯一一条与该道路垂直的方向。
[此处插入图 2：分别展示过直线上一点和直线外一点作已知直线垂线的图形]
性质 2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（简单说成：垂线段最短）
如图 3，点\(P\)是直线\(l\)外一点，\(PA\)、\(PB\)、\(PC\)、\(PD\)是点\(P\)与直线\(l\)上各点连接的线段，其中\(PC\perp l\)，线段\(PC\)就是垂线段。通过测量可以发现，在这些线段中，垂线段\(PC\)的长度是最短的。在实际生活中，比如你要从教室的一角走到黑板所在的直线（可看作已知直线），沿着与黑板所在直线垂直的路径走，路程是最短的，这就是垂线段最短性质的应用。
[此处插入图 3：直线外一点与直线上各点连接的线段图，标注出垂线段]
五、点到直线的距离
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
在图 3 中，垂线段\(PC\)的长度就是点\(P\)到直线\(l\)的距离。这里要特别注意，点到直线的距离指的是垂线段的长度，是一个数量，而垂线段是一条线段，是一个几何图形，两者概念不同，不能混淆。例如，我们说点\(A\)到直线\(m\)的距离是\(5\)厘米，指的是从点\(A\)向直线\(m\)所作垂线段的长度为\(5\)厘米，而不是垂线段本身。
六、垂线的画法
过直线上一点画已知直线的垂线
准备工具：一把三角尺。
具体步骤：
第一步：将三角尺的一条直角边与已知直线重合（例如图 4 中，将三角尺的直角边\(a\)与直线\(l\)重合）。
第二步：沿着直线平移三角尺，使三角尺的直角顶点与直线上的已知点重合（如将三角尺平移，使直角顶点\(O\)与直线\(l\)上的点\(A\)重合）。
第三步：从三角尺的直角顶点起，沿着三角尺的另一条直角边画一条直线（沿着直角边\(b\)画直线\(AB\)），这条直线就是已知直线的垂线。
第四步：在两条直线相交的地方标出直角符号 “\(\angle\)”，表示这两条直线互相垂直。
[此处插入图 4：过直线上一点画已知直线垂线的步骤分解图]
过直线外一点画已知直线的垂线
同样使用三角尺，步骤与过直线上一点画垂线类似：
将三角尺的一条直角边与已知直线重合（如图 5，三角尺直角边\(a\)与直线\(l\)重合）。
沿着直线平移三角尺，使三角尺的另一条直角边经过直线外的已知点（平移三角尺，使另一直角边\(b\)经过直线外的点\(P\)）。
沿着三角尺经过已知点的这条直角边画一条直线（画直线\(PQ\)），该直线即为已知直线的垂线。
标上直角符号 “\(\angle\)”。
[此处插入图 5：过直线外一点画已知直线垂线的步骤分解图]
通过对比可以发现，过直线上一点和过直线外一点画已知直线的垂线，方法本质上是一样的，都是先让三角尺的一条直角边与已知直线重合，然后平移三角尺，使另一条直角边经过已知点，最后沿着这条直角边画直线并标上直角符号。
七、实例解析
例 1：如图 6，直线\(AB\)与直线\(CD\)相交于点\(O\)，\(OE\perp AB\)，\(\angle COE = 50^{\circ}\)，求\(\angle BOD\)的度数。
[此处插入图 6：直线 AB 与 CD 相交，OE 垂直于 AB，标注出∠COE]
解：因为\(OE\perp AB\)，所以\(\angle AOE = 90^{\circ}\)（垂直的定义）。
又因为\(\angle COE = 50^{\circ}\)，且\(\angle AOC = \angle AOE - \angle COE\)，所以\(\angle AOC = 90^{\circ} - 50^{\circ} = 40^{\circ}\)。
而\(\angle BOD\)与\(\angle AOC\)是对顶角（对顶角的定义），根据对顶角相等，可得\(\angle BOD = \angle AOC = 40^{\circ}\)。
例 2：如图 7，\(P\)是\(\angle AOB\)内一点，过点\(P\)分别作\(OA\)、\(OB\)的垂线。
[此处插入图 7：∠AOB 内有一点 P]
解：
过点\(P\)作\(OA\)的垂线：
把三角尺的一条直角边与\(OA\)重合。
平移三角尺，使另一条直角边经过点\(P\)。
沿着经过点\(P\)的这条直角边画直线，与\(OA\)相交于点\(M\)，则\(PM\perp OA\)。
过点\(P\)作\(OB\)的垂线：
用同样的方法，将三角尺的一条直角边与\(OB\)重合。
平移三角尺，使另一条直角边经过点\(P\)。
沿着这条直角边画直线，与\(OB\)相交于点\(N\)，则\(PN\perp OB\)。
[此处插入画出垂线后的图 8：显示过点 P 分别向 OA、OB 作垂线后的图形，标注出垂足 M、N]
例 3：如图 9，在铁路旁边有一个村庄\(A\)，现要建一个火车站，为了使村庄\(A\)到火车站的距离最短，火车站应建在什么位置？请在图中画出来，并说明理由。
[此处插入图 9：一条铁路，旁边有村庄 A]
解：过点\(A\)作铁路所在直线\(l\)的垂线，垂足为\(B\)，火车站应建在点\(B\)处。
理由：根据垂线段最短的性质，从村庄\(A\)到铁路上各点连接的所有线段中，垂线段\(AB\)最短，所以火车站建在点\(B\)处，能使村庄\(A\)到火车站的距离最短。
[此处插入画出垂线段后的图 10：显示过点 A 向铁路所在直线作垂线，标注出垂足 B]
八、知识辨析
垂线与垂线段的区别
名称
定义
图形特征
性质
垂线
两条直线互相垂直时，其中一条直线叫做另一条直线的垂线
是一条直线，向两端无限延伸
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
垂线段
从直线外一点向这条直线作垂线，这点和垂足之间的线段
是一条线段，有两个端点
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
垂直与相交的关系
相交是两条直线的一种位置关系，当两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。所以垂直是相交的特殊情况，所有互相垂直的直线一定相交，但相交的直线不一定垂直。例如，两条直线相交形成\(40^{\circ}\)和\(140^{\circ}\)的角，它们相交但不垂直；而当两条直线相交形成\(90^{\circ}\)角时，它们既相交又垂直。
九、易错点警示
对垂线定义的理解错误：误以为只要两条直线看起来接近垂直，就认为它们互相垂直。一定要根据定义，判断两条直线相交所成的角是否有一个是直角，只有角度为直角时，两条直线才互相垂直。例如，在一些不标准的图形中，不能仅凭直观感觉判断两条直线是否垂直，而要通过测量角度来确定。
垂线性质应用错误：在运用 “过一点有且只有一条直线与已知直线垂直” 时，忽略 “在同一平面内” 这个前提条件。在空间中，过一点与已知直线垂直的直线有无数条。例如，在一个正方体中，过一个顶点的三条棱都与过该顶点的一条面对角线垂直。另外，在使用 “垂线段最短” 时，不能正确找出垂线段，导致在解决实际问题时出错。比如在复杂的图形中，要准确判断从某点到已知直线的垂线段，不能将其他不垂直的线段误认为是垂线段。
点到直线距离概念混淆：把点到直线的距离错误地理解为点到直线的垂线段，距离是一个长度数值，而垂线段是一个几何图形。例如，说点\(C\)到直线\(m\)的距离是垂线段\(CD\)就是错误的，应该说点\(C\)到直线\(m\)的距离是垂线段\(CD\)的长度。
垂线画法错误：在画垂线时，没有正确使用三角尺，导致画出的直线与已知直线不垂直。比如，三角尺的直角边没有与已知直线完全重合，或者在平移三角尺的过程中没有保持直角边与已知直线的重合状态，从而使画出的线不符合垂线的要求。
十、课堂练习
如图 11，直线\(AB\)、\(CD\)相交于点\(O\)，\(OF\perp CD\)，\(\angle 1 = 30^{\circ}\)，求\(\angle AOF\)的度数。
[此处插入图 11：直线 AB、CD 相交，OF 垂直于 CD，标注出∠1]
如图 12，\(A\)、\(B\)、\(C\)三点在同一条直线上，\(CD\perp CE\)，\(\angle 1 = 53^{\circ}\)，求\(\angle 2\)的度数。
[此处插入图 12：A、B、C 三点共线，CD 垂直于 CE，标注出∠1、∠2]
如图 13，过点\(P\)分别作\(OA\)、\(OB\)的垂线，并量出点\(P\)到\(OA\)、\(OB\)的距离（精确到\(1\)毫米）。
[此处插入图 13：∠AOB，点 P 在∠AOB 内]
如图 14，要把河中的水引到农田\(P\)处，如何挖渠能使渠道最短？请在图中画出，并说明理由。
[此处插入图 14：一条河，旁边有农田 P]
判断下列说法是否正确：
（1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
（2）垂线段就是点到直线的距离。
（3）若两条直线相交，其中一个角是\(90^{\circ}\)，则这两条直线互相垂直。
（4）两条直线不相交就一定垂直。
（5）从直线外一点到这条直线所画的线段中，垂线段最短。
十一、方法总结
概念理解法：深刻理解垂线、垂线段、点到直线的距离等概念的内涵和外延，通过对比相似概念（如垂线与垂线段），准确把握它们之间的区别与联系，避免概念混淆。
性质运用法：熟练掌握垂线的两个重要性质，在解决几何问题和实际应用问题时，能够迅速准确地运用性质进行推理和计算。例如，在求角度问题中，利用垂直得到直角，再结合其他角的关系求解；在求最短路径问题中，依据垂线段最短的性质确定最佳方案。
图形分析法：对于涉及垂线的几何图形，要仔细观察图形的特征，准确找出垂直关系、垂线段等关键要素。通过分析图形中各元素之间的位置关系和数量关系，找到解决问题的思路。例如，在复杂图形中，通过观察交点、角度等信息，判断哪些直线互相垂直，从而为解题提供依据。
操作实践法：在学习垂线的画法时，要多动手操作，通过实际使用三角尺或量角器画垂线，加深对画法步骤的理解和掌握。同时，在操作过程中，要注意总结经验，发现容易出错的地方，提高画图的准确性和规范性。例如，通过多次练习过直线上一点和直线外一点画垂线，熟练掌握平移三角尺的技巧和确定垂足位置的方法。
通过本节课对垂线的学习，我们掌握了垂线的定义、性质、画法以及点到直线距离的相关知识。这些知识不仅是进一步学习几何图形的基础，在实际生活中也有广泛的应用。希望同学们在今后的学习中，能够灵活运用这些知识，解决更多的数学问题和实际问题，不断提高自己的数学素养和综合能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
考试考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特殊的位置关系？
日常生活里，有图中位置关系的两条直线很常见，你能再举出其他例子吗？
垂直的概念
取两根木条 a、b，将它们钉在一起，固定木条 a ，转动木条 b，a、b 所成的夹角 为α .
转动木条的同时观察其夹角的变化.
）
α
a
b
b
b
b
）
α
）
α
）
α
）
α
）
α
）
α
）
α
1
合作探究
(2) 当 ∠α 为 90° 的位置关系有几个？此时，木条 a 和木条 b 所在的直线有什么样的位置关系？
α
b
）
a
α
b
）
a
(1) 当 ∠α 分别为 35°、90° 时，其余的角分别是多少？
解：145°，35°，145°；90°，90°，90°.
当∠a 为 90° 的位置关系只有一个；
此时两根木条的位置关系—— a 与 b 垂直，记作a丄b.
两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直.
归纳总结
垂直的定义
记作：AB⊥CD（或 CD⊥AB ）
A
B
C
D
O
l
m
垂足
或可记作：l⊥m（或 m⊥l ）.
通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直.
(1) 如图，O 为直线 AB 上一点，∠AOC = ∠BOC，
那么 O C 与 AB 垂直吗 为什么
(2) 以下是小颖的思考过程，她的想法正确吗
你知道她每一步的依据吗 与同伴进行交流。
A
B
C
O
我的思考过程如下：
由∠AOC = ∠BOC，且∠AOC +∠BOC = 180°，
可得∠AOC = ∠BOC = 90°，所以 OC⊥AB.
→ 平角的性质
→ 等角替换
→ 垂直的定义
思考·交流
(3) 如果 OC⊥AB，那么∠AOC = ∠BOC 吗
为什么 与同伴进行交流.
如果 OC⊥AB，
那么∠AOC = ∠BOC.
理由如下：
因为 OC⊥AB，根据垂直的定义可知∠AOC 和∠BOC 都是直角，
即∠AOC = 90°，∠BOC = 90°，
所以∠AOC = ∠BOC.
A
B
C
O
折一折，试一试
你能用纸折出两条互相垂直的直线吗
如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？
做一做
典例精析
例1 如图，已知点 O 在直线 AB 上，CO⊥DO 于点 O，若∠1 = 145°，则∠3 的度数为( )
C
A. 35° B. 45°
C. 55° D. 65°
(1) 画已知直线 l 的垂线能画几条
(2) 点 A 在直线 l 上，过点 A 画直线 l 的垂线，你能画出多少条
(3) 如果点 A 在直线 l 外呢
合作探究
垂线的画法及基本事实
2
问题1：这样画 l 的垂线可以画几条？
1.放
l
O
如图，已知直线 l，画 l 的垂线.
A
无数条
2.靠
3.画
…
问题2：如图，点 A 在直线 l 上，过点 A 画直线 l 的垂线，你能画出多少条
A
l
.
A
l
.
如果点 A 在直线 l 外呢
1.放
2.靠
3.画
O
同理：
都只能画一条垂线
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问题3：如图，点 P 是直线 l 外一点，PO⊥ l ，点 O 是垂足. 点 A，B，C 在直线 l 上，比较线段 PO，PA，PB，PC 的长短，你发现了什么
B
O
C
A
l
P
垂线段最短.
线段 PO 的长度叫作点 P 到直线 l 的距离.
O
l
P
归纳总结
同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
垂线的性质
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．
典例精析
例2 如图，AC⊥BC，AC = 3，BC = 4，AB = 5.
(1) 试说出点 A 到直线 BC 的距离；
点 B 到直线 AC 的距离；
解析：点 A 到直线 BC 的距离就是线段 AC 的长；点 B 到直线 AC 的距离就是线段 BC 的长；
A
B
C
解：点 A 到直线 BC 的距离是 3；
点 B 到直线 AC 的距离是 4.
典例精析
例2 如图，AC⊥BC，AC = 3，BC = 4，AB = 5.
(2) 点 C 到直线 AB 的距离是多少
解析：过点 C 作 CD⊥ AB，垂足为 D. 点 C 到直线 AB 的距离就是线段 CD 的长，可利用面积求得.
A
B
C
D
解：过点 C 作 CD⊥AB，垂足为 D.
所以点 C 到直线 AB 的距离为 .
因为 S△ABC = BC·AC = AB·CD，
所以 5CD = 3×4，解得 CD = .
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1. 如图，直线与相交于点 .下列说法不正确的是
( )
D
（第1题）
A. 若 ，则
B. 若，垂足为，则
C. 当 时，称直线与直线
互相垂直
D. 与相交于点，点 为垂足
返回
（第2题）
2. 教材P38随堂练习T1 如图，
若过点画直线 的垂线，则垂线经
过的点是( )
C
A. 点 B. 点
C. 点 D. 点
返回
（第3题）
3. [2024福州期中] 如图， ，
，垂足为，则点到直线 的距
离是( )
C
A. 线段的长度 B. 线段 的长度
C. 线段的长度 D. 线段 的长度
返回
（第4题）
4. [2024西安雁塔区期中] 如图，要把
供暖输水管道 中的水引到居民小区
，点，，都在 上，且
，则沿线段( )铺设管道
可使费用最低.
C
A. B. C. D. 无法确定
返回
5. [2024雅安] 如图，直线， 交于点
，于点，若 ，则
的度数是( )
A
A. B. C. D.
返回
6.如图所示，若,,则直线与 ______,其
理由是______________________________________________
_______.
重合
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
（第6题）
返回
7. 作图并回答：
（第7题）
（1）如图，点在的边 上.
①过点作的垂线交于点 .
【解】如图所示， 即为所求.
②作点到的垂线段 .
【解】如图所示， 即为所求.
（第7题）
（2）上述作图中，线段____的长度表
示点到 的距离；
（3）线段，与 的大小关系是
_______________（用“ ”连接），判
断依据是__________________________
_________________________.
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短
返回
8. [2024天津期中] 如图，点表示一个村庄， 表示一条河道.某测绘
队沿河道上的点进行测量，测量角度 与线段 的长度如下
表所示：
的度数
的长度/ 693 587 549 550 570 620
则下面说法正确的是( )
A. 村庄到河道的距离等于
B. 村庄到河道的距离小于
C. 村庄到河道的距离大于
D. 村庄到河道的距离等于
B
【点拨】当时，的长为村庄到河道 的距离.
因为 ，所以村庄到河道的距离小于 .
故选B.
返回
9. 如图， ， ，垂
足为，则下列说法：与 互相
垂直;与互相垂直;③点到
的垂线段是线段;④点到 的距离
B
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
是线段的长度;⑤线段的长度是点到 的距离;⑥线段
是点到 的距离.
其中正确的有( )
10. 在直线上任取一点，过点
作射线，，使.如果 ，那么
的度数为___________.
或
垂线
垂线的定义
垂线的性质
在同一平面内，过一点
______________直线与已知直线垂直
垂线段____
垂线的画法
一放二靠三画
最短
点到直线的距离
有且只有一条
谢谢观看！
阿木提江·塔西吐木尔
托克逊县第一中学
13899326086