2.3.1平行线的性质 课件（共29张PPT）--新2024北师大版七年级数学下册课件

(共29张PPT)
2.3.1平行线的性质
第二章 相交线与平行线
新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
买合苏迪古丽·买买提
托克逊县第二中学
15909954880
2.3.1 平行线的性质
一、学习目标
理解并掌握平行线的三个性质，即两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。
能够熟练运用平行线的性质解决几何计算和推理问题，准确区分平行线的性质与判定定理。
通过观察、操作、推理等数学活动，体会数形结合和转化的思想，培养逻辑推理能力和空间观念。
能够将平行线的性质应用到实际生活中，解释生活中的相关现象，提升运用数学知识解决实际问题的能力。
二、情境引入
在之前的学习中，我们已经掌握了如何利用同位角、内错角和同旁内角来判定两条直线是否平行。那么，当两条直线平行时，被第三条直线所截形成的同位角、内错角和同旁内角之间又存在着怎样的关系呢？比如，在我们熟悉的铁轨中，两条平行的铁轨被枕木（可看作截线）所截，形成的同位角大小是否相等？内错角和同旁内角又有什么特点？带着这些问题，我们来探索平行线的性质。
三、平行线的性质探究
性质 1：两直线平行，同位角相等
我们可以通过实验来探究。如图 1，已知直线\(a\parallel b\)，被直线\(c\)所截，形成同位角\(\angle1\)和\(\angle2\)。用量角器分别测量\(\angle1\)和\(\angle2\)的度数，会发现\(\angle1 = \angle2\)。
[此处插入图 1：直线\(a\parallel b\)被直线\(c\)所截，标注出同位角\(\angle1\)和\(\angle2\)]
经过多次实验和推理验证，我们得出：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简单说成：两直线平行，同位角相等。
用几何语言表述为：
∵ \(a\parallel b\)（已知）
∴ \(\angle1 = \angle2\)（两直线平行，同位角相等）
性质 2：两直线平行，内错角相等
基于性质 1，我们可以推导出内错角的关系。如图 2，直线\(a\parallel b\)被直线\(c\)所截，\(\angle3\)和\(\angle4\)是内错角。
[此处插入图 2：直线\(a\parallel b\)被直线\(c\)所截，标注出内错角\(\angle3\)和\(\angle4\)]
∵ \(a\parallel b\)（已知）
∴ \(\angle1 = \angle2\)（两直线平行，同位角相等）
又∵ \(\angle1 = \angle3\)（对顶角相等）
∴ \(\angle2 = \angle3\)（等量代换）
即两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简单说成：两直线平行，内错角相等。
用几何语言表述为：
∵ \(a\parallel b\)（已知）
∴ \(\angle2 = \angle3\)（两直线平行，内错角相等）
性质 3：两直线平行，同旁内角互补
同样基于性质 1，我们来探究同旁内角的关系。如图 3，直线\(a\parallel b\)被直线\(c\)所截，\(\angle5\)和\(\angle6\)是同旁内角。
[此处插入图 3：直线\(a\parallel b\)被直线\(c\)所截，标注出同旁内角\(\angle5\)和\(\angle6\)]
∵ \(a\parallel b\)（已知）
∴ \(\angle1 = \angle2\)（两直线平行，同位角相等）
又∵ \(\angle1 + \angle5 = 180^{\circ}\)（邻补角定义）
∴ \(\angle2 + \angle5 = 180^{\circ}\)（等量代换）
即两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简单说成：两直线平行，同旁内角互补。
用几何语言表述为：
∵ \(a\parallel b\)（已知）
∴ \(\angle2 + \angle5 = 180^{\circ}\)（两直线平行，同旁内角互补）
四、平行线的性质与判定定理的区别
类别
条件
结论
用途
平行线的判定
同位角相等、内错角相等、同旁内角互补
两直线平行
判断两条直线是否平行
平行线的性质
两直线平行
同位角相等、内错角相等、同旁内角互补
由平行线得出角的关系，用于计算或推理
例如，“同位角相等，两直线平行” 是判定定理，用于由角的关系推出直线平行；而 “两直线平行，同位角相等” 是性质，用于由直线平行推出角的关系。
五、实例解析
例 1：如图 4，直线\(a\parallel b\)，\(\angle1 = 50^{\circ}\)，求\(\angle2\)、\(\angle3\)、\(\angle4\)的度数。
[此处插入图 4：直线\(a\parallel b\)被直线\(c\)所截，标注出\(\angle1\)、\(\angle2\)、\(\angle3\)、\(\angle4\)]
解：
∵ \(a\parallel b\)，\(\angle1 = 50^{\circ}\)（已知）
∴ \(\angle2 = \angle1 = 50^{\circ}\)（两直线平行，同位角相等）\(\angle3 = \angle1 = 50^{\circ}\)（两直线平行，内错角相等）
∵ \(\angle1 + \angle4 = 180^{\circ}\)（邻补角定义）
∴ \(\angle4 = 180^{\circ}-\angle1 = 180^{\circ}-50^{\circ}=130^{\circ}\)
（或根据两直线平行，同旁内角互补：\(\angle4 + \angle3 = 180^{\circ}\)，\(\angle4 = 180^{\circ}-\angle3 = 130^{\circ}\)）
例 2：如图 5，在四边形\(ABCD\)中，\(AB\parallel CD\)，\(AD\parallel BC\)，\(\angle A = 60^{\circ}\)，求其他三个角的度数。
[此处插入图 5：四边形\(ABCD\)，\(AB\parallel CD\)，\(AD\parallel BC\)，标注出\(\angle A\)]
解：
∵ \(AB\parallel CD\)（已知）
∴ \(\angle A + \angle D = 180^{\circ}\)（两直线平行，同旁内角互补）
∵ \(\angle A = 60^{\circ}\)（已知）
∴ \(\angle D = 180^{\circ}-\angle A = 180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}\)
∵ \(AD\parallel BC\)（已知）
∴ \(\angle A + \angle B = 180^{\circ}\)（两直线平行，同旁内角互补）\(\angle B = 180^{\circ}-\angle A = 120^{\circ}\)
又∵ \(AB\parallel CD\)（已知）
∴ \(\angle B + \angle C = 180^{\circ}\)（两直线平行，同旁内角互补）\(\angle C = 180^{\circ}-\angle B = 180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}\)
例 3：如图 6，已知\(AB\parallel DE\)，\(\angle B = 130^{\circ}\)，\(\angle D = 140^{\circ}\)，求\(\angle BCD\)的度数。
[此处插入图 6：\(AB\parallel DE\)，点\(C\)在中间，形成\(\angle B\)、\(\angle BCD\)、\(\angle D\)]
解：过点\(C\)作\(CF\parallel AB\)
∵ \(AB\parallel DE\)，\(CF\parallel AB\)（已知）
∴ \(CF\parallel DE\)（平行于同一条直线的两条直线互相平行）
∵ \(CF\parallel AB\)（所作）
∴ \(\angle B + \angle BCF = 180^{\circ}\)（两直线平行，同旁内角互补）
∵ \(\angle B = 130^{\circ}\)（已知）
∴ \(\angle BCF = 180^{\circ}-\angle B = 180^{\circ}-130^{\circ}=50^{\circ}\)
∵ \(CF\parallel DE\)（已证）
∴ \(\angle D + \angle DCF = 180^{\circ}\)（两直线平行，同旁内角互补）
∵ \(\angle D = 140^{\circ}\)（已知）
∴ \(\angle DCF = 180^{\circ}-\angle D = 180^{\circ}-140^{\circ}=40^{\circ}\)
∴ \(\angle BCD = \angle BCF + \angle DCF = 50^{\circ}+40^{\circ}=90^{\circ}\)
六、知识辨析
平行线性质的应用条件
平行线的性质只有在两条直线平行的前提下才能成立。如果两条直线不平行，那么同位角不一定相等，内错角不一定相等，同旁内角也不一定互补。例如，两条相交直线被第三条直线所截，形成的同位角大小就不相等。
辅助线的添加技巧
当图形中平行线之间存在折线时，通常需要添加辅助线，构造 “三线八角” 的基本结构，以便运用平行线的性质。常见的辅助线是过折点作已知平行线的平行线，利用 “平行于同一条直线的两条直线互相平行” 的性质，将复杂图形转化为简单的平行线间角的关系问题，如例 3 中添加辅助线\(CF\)。
七、易错点警示
混淆性质与判定：在解题时，容易将平行线的性质与判定定理混淆，例如由同位角相等得出两直线平行是判定，而由两直线平行得出同位角相等是性质，要注意区分条件和结论的不同。
忽略平行线条件：在运用平行线的性质时，忘记前提条件是 “两直线平行”，直接得出角的关系。例如，看到同位角就认为相等，而不考虑两条被截直线是否平行。
辅助线添加错误：在需要添加辅助线的题目中，添加的辅助线不符合要求，导致无法正确运用平行线的性质。例如，在例 3 中，如果没有过点\(C\)作平行线，就很难建立\(\angle B\)、\(\angle D\)与\(\angle BCD\)之间的关系。
角的对应关系错误：在复杂图形中，不能准确找出与平行线对应的同位角、内错角或同旁内角，导致角的关系判断错误。例如，在多条直线相交的图形中，误把不是同位角的两个角当作同位角来运用性质。
八、课堂练习
如图 7，直线\(l_1\parallel l_2\)，\(\angle\alpha = 55^{\circ}\)，\(\angle\beta = 65^{\circ}\)，求\(\angle\gamma\)的度数。
[此处插入图 7：直线\(l_1\parallel l_2\)，有截线形成\(\angle\alpha\)、\(\angle\beta\)、\(\angle\gamma\)]
如图 8，已知\(AB\parallel CD\)，\(EF\)分别交\(AB\)、\(CD\)于点\(E\)、\(F\)，\(\angle1 = 50^{\circ}\)，则\(\angle2 = \)______度，\(\angle3 = \)______度。
[此处插入图 8：\(AB\parallel CD\)被\(EF\)所截，标注出\(\angle1\)、\(\angle2\)、\(\angle3\)]
如图 9，在三角形\(ABC\)中，\(DE\parallel BC\)，\(\angle ADE = 50^{\circ}\)，\(\angle C = 70^{\circ}\)，求\(\angle AED\)的度数。
[此处插入图 9：三角形\(ABC\)中\(DE\parallel BC\)，标注出\(\angle ADE\)、\(\angle C\)、\(\angle AED\)]
如图 10，\(AB\parallel CD\)，\(\angle B = 70^{\circ}\)，\(\angle D = 30^{\circ}\)，求\(\angle BED\)的度数（提示：过点\(E\)作辅助线）。
[此处插入图 10：\(AB\parallel CD\)，点\(E\)在中间形成\(\angle B\)、\(\angle BED\)、\(\angle D\)]
判断下列说法是否正确：
（1）两直线平行，同旁内角相等。
（2）同位角相等，两直线平行和两直线平行，同位角相等是互逆的关系。
（3）如果两条直线被第三条直线所截，内错角相等，那么这两条直线平行，且同旁内角互补。
（4）不平行的两条直线被第三条直线所截，同位角一定不相等。
九、方法总结
条件识别法：在解题时，首先要识别题目中是否给出了平行线的条件，如果有，则考虑运用平行线的性质来得出角的关系；如果需要判断直线是否平行，则运用判定定理。
图形分解法：对于复杂的几何图形，要将其分解为基本的 “三线八角” 结构，准确找出同位角、内错角和同旁内角，结合平行线的性质进行分析。例如，在例 2 中，将四边形分解为两组平行线被截的结构，分别运用同旁内角互补的性质。
辅助线构造法：当图形中存在折线或角的关系不明显时，通过添加辅助线（如作平行线）构造平行线间的角的关系，将未知角转化为已知角的关系来求解，如例 3 和课堂练习第 4 题。
性质与判定综合运用法：在一些综合性题目中，需要交替运用平行线的性质和判定定理，先由角的关系判定直线平行，再由直线平行得出其他角的关系，或反之。例如，先根据同位角相等判定两直线平行，再利用平行线的性质得出内错角相等。
通过本节课的学习，我们掌握了平行线的三个性质，明确了性质与判定定理的区别，并能运用这些知识解决几何问题。平行线的性质是几何推理的重要基础，在后续的学习中会经常用到，希望同学们能够熟练掌握，灵活运用。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
问题 借助截线判定两条直线平行的方法有哪些？
两直线平行
1. 同位角相等
2. 内错角相等
3. 同旁内角互补
思考 反过来，如果已知两条平行线被第三条直线所截，那么同位角、内错角、同旁内角各有什么等量关系呢
活动1：画两条平行线 a，b，然后画一条截线 c 与 a、b 相交，标出如图所示的角. 任选一组同位角度量，把结果填入下表，由此猜想两条平行线被第三条直线所截的同位角有什么关系：
角 ∠1 ∠2 ∠3 ∠4
度数
角 ∠5 ∠6 ∠7 ∠8
度数
b
2
1
a
c
6
5
7
8
3
4
两直线平行,同位角相等
1
活动 2：将画出的同位角，选取任一组剪下后，进行叠合，并观察.
猜想：根据以上活动得出的数据与操作得出的结果
可猜想： .
追问：在刚刚的图上，再画出一条截线 d，重复操作，看你的猜想结论是否仍然成立
两直线平行，同位角相等
←点击几何画板查看
b
2
1
a
c
6
5
7
8
3
4
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
简述为：两直线平行，同位角相等.
性质1
想一想
例1 如图，a∥b，∠1 = 60°，则∠2 的度数为 ( )
A.90° B.100° C.110° D.120°
分析：
a∥b
∠1 = ∠3
∠2 = 120°
∠2+∠3 = 180°
D
典例精析
2
两直线平行,内错角相等;两直线平行,同旁内角互补
问题 1：如图，如果 a∥b，直线 c 与 a，b 相交，那么∠4 与∠5，∠3 与∠5在数量上有什么关系
说一说，猜一猜.
b
2
1
a
c
6
5
7
8
3
4
分析：
两直线平行得同位角相等，进行角的转化，即可证明.
a∥b
∠1 = ∠4(对顶角相等)
∠1 = ∠5
∠4 = ∠5
能否利用两条直线平行来证明内错角、同旁内角之间的数量关系呢？
如图，如果 a∥b ，能得出∠4 = ∠5 吗？
合作探究
b
a
c
6
5
3
4
1
如图，如果 a∥b ，能得出 ∠3 +∠5 = 180° 吗？
解：如果 a∥b，
那么 ∠1 = ∠5.
因为∠1+∠3 = 180°
(平角的定义)，
所以∠3+∠5 = 180°.
b
a
c
6
5
3
4
1
知识要点
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.
简称为：两直线平行，内错角相等.
简称为：两直线平行，同旁内角互补.
性质2
性质3
做一做
如图，一束平行光线 AB 与 DE 射向一个水平镜面后被反射，此时∠1 =∠2，∠3 =∠4.
(1)∠1 与∠3 的大小有什么关系
∠2 与∠4 呢
B
A
F
D
C
E
解： 由 AB∥DE，可以得到
∠1 =∠3，
由∠1=∠2，∠3 =∠4，可以得到 ∠2 =∠4.
(两直线平行，同位角相等)
由∠2 =∠4，可以得到 BC∥EF.
(同位角相等，两直线平行)
(2)反射光线 BC 与 EF 也平行吗
做一做
B
A
F
D
C
E
例2 光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射. 由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的. 如图，当∠1 = 45°，∠2 = 122° 时，求∠3 和∠4 的度数.
F
C
E
B
A
D
解：由题意得，AE∥BF，
∴∠1 = ∠3 = 45°.
因为 AB∥CD，
∴∠2 +∠5 = 180°，即∠5 = 58°.
又因为 AC∥BD，
∴∠5 = ∠4 = 58°.
典例精析
例3 如图，已知平行线 AB、CD 被直线 AE 所截.
(1) 从∠1 = 110° 可以知道∠2 是多少度吗？为什么？
(2) 从∠1 = 110° 可以知道∠3 是多少度吗？为什么？
(3) 从∠1 = 110° 可以知道∠4 是多少度吗？为什么？
2
3
E
1
4
A
B
D
C
解：(1) ∠2 = 110°.
两直线平行，内错角相等.
（2）∠3 = 110°.
两直线平行，同位角相等.
（3）∠4 = 70°.
两直线平行，同旁内角互补.
典例精析
图形
已知
结果
依据
同位角
内错角
2
3
）
）
a
b
1
2
）
）
a
b
c
c
a∥b
两直线平行，
同位角相等
a∥b
两直线平行，
内错角相等
同旁内角互补
a∥b
两直线平行，
平行线的性质
∠1 =∠2
∠3 =∠2
∠2 +∠4 = 180°
同旁
内角
2
4
）
）
a
b
c
（第1题）
1. [2024佛山一模] 如图，直线， 被直
线所截，, ，则 的度数
为( )
B
A. B. C. D.
返回
（第2题）
2. [2024湖北] 如图，一条公路的
两侧铺设了， 两条平行管
道，并有纵向管道 连通.若
，则 的度数是
( )
B
A. B. C. D.
返回
（第3题）
3. 如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的
一边，如果 ，那么 ( )
B
A. B. C. D.
返回
（第4题）
4. 如图，水面
与底面平行，光线 从空气射入水
里时发生了折射，折射光线 射到水
底处，点在 的延长线上，若
， ，则 的度
数为( )
B
A. B. C. D.
返回
5. 教材P53习题T6 补充完成下面的
推理过程.
如图，已知点,,分别是三角形 的边
,,上的点，， .试说
两直线平行，内错角相等
明： .
解：因为 ，（已知）
所以 _______（________________________）.
因为 ，
所以 _______（_____________________
____）.
所以 _______（__________）.
两直线平行，同位角相等
等量代换
返回
（第6题）
6. [2024陕西] 如图， ，
， ，则 的度数为
( )
B
A. B. C. D.
【点拨】因为，所以 .
因为，所以.所以 .
又因为 ，所以 .
返回
（第7题）
7. 如图，直线，直线 分别交
，于点，，的平分线
交于点， ，则
( )
B
A. B. C. D.
【点拨】因为，所以 ,
.因为 ，所以
.又因为平分，所以 .
所以 .
返回
（第8题）
8. 一种路灯的示意图如图所示，
其底部支架与吊线平行，灯杆 与底部支
架所成锐角 .顶部支架与灯杆 所
成锐角 ，则与 所成锐角的度数为
( )
A
A. B. C. D.
（第9题）
9.[2024广州期中] 如图，直线 ，
点在的上方，且 ，
，则 的度数是____.
（第10题）
10.如图，将一条对边互相平行的纸带进
行两次折叠，折痕分别为， ，若
，且 ，则 的度数是
____.
谢谢观看！
阿木提江·塔西吐木尔
托克逊县第一中学
13899326086