2.3.2平行线性质与判定的综合运用 课件（共27张PPT）--新2024北师大版七年级数学下册课件

(共27张PPT)
2.3.2平行线性质与判定的综合运用
第二章 相交线与平行线
新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
买合苏迪古丽·买买提
托克逊县第二中学
15909954880
2.3.2 平行线性质与判定的综合运用
一、学习目标
进一步巩固平行线的性质与判定定理，明确两者之间的逻辑关系，能准确区分何时使用性质、何时使用判定。
学会综合运用平行线的性质与判定解决几何推理、角度计算等复杂问题，提高逻辑推理能力和解题能力。
掌握几何证明的基本步骤和书写规范，体会数形结合、转化与化归的数学思想在解题中的应用。
通过综合运用知识解决实际问题，培养分析问题、解决问题的能力，增强对几何学习的兴趣和信心。
二、知识回顾与联系
核心知识梳理
内容
核心要点
几何语言示例
平行线的判定
同位角相等，两直线平行
∵∠1=∠2∴a∥b
内错角相等，两直线平行
∵∠3=∠4∴a∥b
同旁内角互补，两直线平行
∵∠5+∠6=180°∴a∥b
平行线的性质
两直线平行，同位角相等
∵a∥b∴∠1=∠2
两直线平行，内错角相等
∵a∥b∴∠3=∠4
两直线平行，同旁内角互补
∵a∥b∴∠5+∠6=180°
逻辑关系分析
平行线的判定与性质是 “互逆” 的关系：
判定是由角的关系推导出直线平行（条件是角的关系，结论是直线平行）。
性质是由直线平行推导出角的关系（条件是直线平行，结论是角的关系）。
在综合问题中，往往需要先通过判定定理证明两条直线平行，再利用性质定理得出角的关系；或者先由性质定理根据平行关系得到角的关系，再通过判定定理证明其他直线平行。
三、综合运用例题解析
类型一：先判定平行，再运用性质计算角度
例 1：如图 1，已知∠1=∠2，∠3=105°，求∠4 的度数。
[此处插入图 1：直线 a、b 被直线 c、d 所截，∠1 与∠2 是同位角，∠3 与∠4 是同旁内角]
解：
∵∠1=∠2（已知）
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）
∵a∥b（已证）
∴∠3+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠3=105°（已知）
∴∠4=180°-∠3=180°-105°=75°
类型二：先运用性质得到角的关系，再判定平行
例 2：如图 2，已知 AB∥CD，∠A=∠C，求证：AD∥BC。
[此处插入图 2：四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠A 与∠D 是同旁内角，∠C 与∠D 是同旁内角]
证明：
∵AB∥CD（已知）
∴∠A+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠A=∠C（已知）
∴∠C+∠D=180°（等量代换）
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）
类型三：多次交替使用判定与性质
例 3：如图 3，已知 EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70°，求∠AGD 的度数。
[此处插入图 3：EF∥AD，∠1 与∠BAD 是同位角，∠2 与∠3 是内错角，∠BAC 与∠AGD 是同旁内角]
解：
∵EF∥AD（已知）
∴∠1=∠BAD（两直线平行，同位角相等）
∵∠1=∠2（已知）
∴∠2=∠BAD（等量代换）
∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行）
∵AB∥DG（已证）
∴∠BAC+∠AGD=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠BAC=70°（已知）
∴∠AGD=180°-∠BAC=180°-70°=110°
类型四：含辅助线的综合问题
例 4：如图 4，已知 AB∥CD，∠B=120°，∠D=130°，求∠BED 的度数。
[此处插入图 4：AB∥CD，点 E 在 AB、CD 之间，形成∠B、∠BED、∠D]
解：过点 E 作 EF∥AB
∵AB∥CD，EF∥AB（已知）
∴EF∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）
∵EF∥AB（所作）
∴∠B+∠BEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠B=120°（已知）
∴∠BEF=180°-∠B=180°-120°=60°
∵EF∥CD（已证）
∴∠D+∠DEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠D=130°（已知）
∴∠DEF=180°-∠D=180°-130°=50°
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=60°+50°=110°
四、解题步骤与技巧总结
基本解题步骤
分析图形：识别图形中的平行线、截线，找出同位角、内错角、同旁内角，明确已知条件和所求问题。
确定思路：判断是需要先判定平行还是先运用性质。若已知角的关系，优先考虑判定直线平行；若已知直线平行，优先考虑运用性质得到角的关系。
推理计算：根据判定定理或性质定理进行逻辑推理，逐步推导得出结论。若遇复杂图形，可通过添加辅助线（如作平行线）转化为基本图形。
规范书写：按照 “∵条件∴结论（依据）” 的格式书写推理过程，注明每一步的依据（如已知、平行线的判定定理、性质定理等）。
关键技巧
“线角互推” 技巧：在推理中，要灵活进行 “角的关系→直线平行→新的角的关系→新的直线平行” 的转化，明确每一步的因果关系。
辅助线添加技巧：当平行线间存在折线（如 “凸” 型、“凹” 型）时，通常过折点作已知平行线的平行线，利用平行线的传递性构造多个平行关系，将折线问题转化为 “三线八角” 问题。
等量代换运用：在角的关系推导中，常利用对顶角相等、邻补角互补、已知角相等进行等量代换，建立未知角与已知角的联系。
五、易错点警示
逻辑顺序混淆：在推理中混淆判定与性质的逻辑顺序，例如由 “两直线平行” 得出 “同位角相等” 是正确的（性质），但由 “同位角相等” 直接得出 “同旁内角互补” 则需要先判定平行，再用性质，不能跳过中间步骤。
辅助线表述不规范：添加辅助线时未说明辅助线的作法（如 “过点 × 作 ××∥××”），或未利用辅助线的性质（如平行线的传递性）进行推理。
依据标注错误：推理过程中未注明依据，或依据标注错误（如将 “内错角相等，两直线平行” 标注为 “两直线平行，内错角相等”）。
图形分析错误：在复杂图形中误认同位角、内错角或同旁内角，导致选用错误的判定或性质定理。例如，将不是由两条平行线被截形成的角当作同位角来运用性质。
六、课堂练习
如图 5，已知∠1=∠2，∠A=∠F，求证：∠C=∠D。
[此处插入图 5：直线 AC、DF 被直线 BF、EC 所截，形成∠1、∠2、∠A、∠F 等角]
如图 6，AB∥CD，∠B=65°，∠E=20°，求∠D 的度数。
[此处插入图 6：AB∥CD，直线 BE 交 AB 于 B，交 CD 于 D，E 为线段 BD 上一点]
如图 7，已知 AD∥BC，∠BAD=∠BCD，求证：AB∥CD。
[此处插入图 7：四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠BAD 与∠ABC 是同旁内角，∠BCD 与∠ABC 是同旁内角]
如图 8，AB∥CD，∠BAE=30°，∠DCE=45°，求∠AEC 的度数（提示：过点 E 作辅助线）。
[此处插入图 8：AB∥CD，点 E 在 AB 上方、CD 上方，形成∠BAE、∠DCE、∠AEC]
如图 9，已知∠B+∠BCD=180°，∠B=∠D，求证：∠E=∠DFE。
[此处插入图 9：直线 AB、DE 被直线 BC、EF 所截，形成∠B、∠BCD、∠D、∠E、∠DFE 等角]
七、综合拓展与实际应用
实际应用问题
如图 10，一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，行驶方向与原来相同。已知第一次拐弯的角度是 110°，求第二次拐弯的角度是多少？
[此处插入图 10：汽车行驶路线图，两次拐弯后与原方向平行]
解：设汽车原来的行驶方向为 AB，第一次拐弯后方向为 BC，第二次拐弯后方向为 CD，且 AB∥CD。
∵AB∥CD（已知）
∴∠ABC=∠BCD（两直线平行，内错角相等）
∵∠ABC=110°（已知）
∴∠BCD=110°
即第二次拐弯的角度是 110°（拐弯方向与第一次相反）。
拓展探究
在同一平面内，有三条直线 a、b、c，若 a∥b，b∥c，则 a 与 c 的位置关系是______；若 a⊥b，b⊥c，则 a 与 c 的位置关系是______。（提示：结合平行线的判定与性质推导）
八、总结与提升
平行线的性质与判定的综合运用是几何学习的重要内容，其核心是 “线角关系的相互转化”。通过本节课的学习，我们要掌握 “由角定线、由线定角” 的推理方法，明确每一步推理的依据，规范书写过程。在解决复杂问题时，要善于分解图形、添加辅助线，将未知问题转化为已知模型。
几何推理能力的培养需要通过大量练习积累经验，在练习中要注意总结规律，例如：看到 “平行” 想 “角的关系”（性质），看到 “角相等 / 互补” 想 “直线平行”（判定）。只有熟练掌握这种转化思想，才能灵活应对各类综合问题，为后续学习更复杂的几何知识打下坚实基础。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
思考：平行线的判定与性质之间的关系.
内错角____
同位角____
两条直线平行
同旁内角____
相等
相等
互补
判定
性质
问题1：平行线的判定有哪些方法 你还知道平行线的其他判定方法吗
除 3 种常用的判定方法，还有有关平行线基本事实的推论.
a
b
c
如果 a∥b，b∥c，那么 a∥c.
平行线的性质与判定的综合应用
1
问题 2：完成下表中平行线性质的填空.
图形
已知
结果
依据
同位角
内错角
2
3
）
）
a
b
1
2
）
）
a
b
c
c
a∥b
两直线平行，
同位角相等
a∥b
两直线平行，
内错角相等
同旁内角互补
a∥b
两直线平行，
∠1 =∠2
∠3 =∠2
∠2 +∠4 = 180°
同旁
内角
2
4
）
）
a
b
c
例1 根据如图所示回答下列问题：
（1）若∠1 =∠2，可以判定哪两条直线平行？根据
是什么？
解：∠1 与∠2 是内错角，若∠1 =∠2，
根据“内错角相等，两直线平行”，
可得 BF // CE ；
(2) 若∠2 = ∠M，可以判定哪两条直线平行？根据是
什么？
(3) 若 ∠2 +∠3 = 180°，可以判定哪两条直线平行？
根据是什么？
∠2 与∠M 是同位角，若∠2 =∠M，
∠2与∠3是同旁内角，若∠2+∠3=180°，
根据“同位角相等，两直线平行”，可得 AM∥BF；
根据“同旁内角互补，两直线平行”，
可得 AC∥MD .
例2 如图，AB∥CD，如果∠1 = ∠2，那么 EF 与 AB
平行吗？说说你的理由．
解：平行，理由：因为∠1 =∠2，
根据“内错角相等，两直线平行”，
所以 EF∥CD.
又因为 AB∥CD，
根据“平行于同一条直线的两条直线平行”，
所以 EF∥AB.
典例精析
例3 如图，已知直线 a∥b，直线 c∥d，∠1 = 107°，求∠2，∠3 的度数.
解：因为 a∥b，
所以 ∠1+∠3 = 180°，所以∠3 = 73°.
根据“两直线平行，内错角相等”，
所以 ∠2 =∠1 = 107°.
因为 c∥d，
根据“两直线平行，同旁内角互补”，
典例精析
解： 因为 AB∥DE ( )，
所以∠A =_______ ( ).
因为 AC∥DF ( ) ，
所以∠D =______ ( ).
所以∠A =∠D ( ).
1. (1)如图1，若 AB∥DE，AC∥DF，试说明∠A =∠D. 请补全下面的解答过程，括号内填写依据.
P
F
C
E
B
A
D
图 1
已知
∠CPE
两直线平行，同位角相等
已知
∠CPE
两直线平行，同位角相等
等量代换
练一练
解：因为 AB∥DE ( )，
所以 ∠A = ______ ( ).
因为 AC∥DF ( ) ，
所以∠D + _______ = 180°
( ).
所以∠A +∠D = 180° ( ).
(2) 如图 2，若 AB∥DE，AC∥DF， 试说明∠A +∠D = 180°. 请补全下面的解答过程，括号内填写依据.
图2
F
C
E
B
A
D
P
已知
∠CPD
两直线平行，同位角相等
已知
∠CPD
两直线平行，同旁内角互补
等量代换
2. 如图，∠1 + ∠2 = 180°，∠4 = 35° ，则∠3 等于______°.
35
总结
角之间的关系
平行
角之间的关系
性质
判定
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
两直线平行
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
判定
性质
角的数量关系
直线的位置关系
角的数量关系
判定：证平行，用判定.
性质：知平行，用性质.
归纳总结
有关平行线的性质与判定的“拐点”问题
2
例4 如图，AB∥CD，∠A = 100°，∠C = 110°，求∠AEC 的度数. 请补全下列解答过程.
解：过点 E 向右作 EF∥AB.
∵AB∥CD(已知)，
∴ ∥ .(平行于同一直线的两直线平行).
∴∠A +∠ =180°，
∠C +∠ =180°，(两直线平行，同旁内角互补).
又∵∠A=100°，∠C=110°(已知)，
∴∠ = °，∠ = °.
∴∠AEC =∠1 +∠2 = ° + °= °.
CD
EF
1
2
1
80
2
70
80
70
150
1. 如图，下列推理不正确的是( )
C
（第1题）
A. 因为 ，所以
B. 因为，所以
C. 因为，所以
D. 因为 ，所
以
返回
（第2题）
2. [2024北京西城区期中] 如图，直线
，与 相等的角是( )
A
A. B. C. D.
返回
（第3题）
3. 如图，已知 ， ，
则 的度数是( )
C
A. B. C. D.
返回
（第4题）
4. [2024锦州期中] 如图，把长方形
沿折叠，点的对应点为点 ，若
，则 等于( )
D
A. B. C. D.
【点拨】因为长方形中 ，
所以 ，
根据折叠的性质，得 .
因为 ，所以 .
所以 .故选D.
返回
（第5题）
5.[2024厦门期中] 如图，，
平分，若 ，则
____.
【点拨】因为 ，所以
，
又因为，所以 .
又因为平分 ，所以
.
返回
（第6题）
6. 教材P54定乡要修建一
条灌溉水渠，如图，水渠从 村沿北偏东
方向到村，从村沿北偏西 方向
到村，若水渠从村保持与 的方向一
致修建，则的度数为____ .
90
返回
7.如图，， ，
.试说明： 平分
.
【解】因为，所以 .
又因为，所以 .
所以.所以.
又因为 ，
所以.所以平分 .
返回
8. 如图，,平分, 平
分,且 ,下列结论：
平分 ;
;
.
其中正确的个数为( )
D
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
;
返回
（第9题）
9.如图，若直线, , ,
则 的度数为______.
（第10题）
10. 如图，一束
平行于主光轴的光线 经凸透镜
折射后，其折射光线与一束经过光
心的光线相交于点，点 为焦点，
若 ， ，则 的度数为____.
11. 已知 ，点在 的边
上， ，且的一边与平行，则
的度数为_________________.
或 或
同位角______
内错角______
同旁内角_____
相等
相等
互补
两直线平行
判定
性质
求角的度数，说明角相等或互补
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阿木提江·塔西吐木尔
托克逊县第一中学
13899326086