4.1.1三角形的内角和 课件（共29张PPT）--新2024北师大版七年级数学下册课件

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4.1.1三角形的内角和
第四章 三角形
新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
买合苏迪古丽·买买提
托克逊县第二中学
15909954880
4.1.1 三角形的内角和
一、学习目标
通过实验操作和推理证明，理解并掌握三角形内角和定理，明确三角形三个内角的和为\(180^{\circ}\)。
能运用三角形内角和定理解决角度计算、角的关系证明等问题，提高几何推理能力。
经历 “猜想 — 实验 — 证明 — 应用” 的过程，体会转化思想在几何证明中的应用，培养严谨的数学思维。
在探究三角形内角和的过程中，感受数学的逻辑性和趣味性，激发学习几何的兴趣。
二、情境引入
在我们的生活中，三角形无处不在，如屋顶的框架、自行车的车架、三角尺等。这些三角形的形状各异，有的三个角都是锐角，有的有一个角是直角，有的有一个角是钝角。那么，无论三角形的形状如何变化，它的三个内角之间是否存在某种固定的数量关系呢？例如，我们常用的直角三角尺，一个是\(30^{\circ}\)、\(60^{\circ}\)、\(90^{\circ}\)，三个角的和是\(180^{\circ}\)；另一个是\(45^{\circ}\)、\(45^{\circ}\)、\(90^{\circ}\)，三个角的和也是\(180^{\circ}\)。是不是所有三角形的内角和都是\(180^{\circ}\)呢？本节课我们就来探究三角形内角和的奥秘。
三、探究活动：三角形内角和的实验验证
（一）度量法
任意画一个锐角三角形、一个直角三角形和一个钝角三角形。
分别用量角器测量这三个三角形的三个内角的度数。
计算每个三角形三个内角的度数之和，记录测量结果。
示例：测量一个锐角三角形的三个内角分别为\(50^{\circ}\)、\(60^{\circ}\)、\(70^{\circ}\)，内角和为\(50^{\circ}+60^{\circ}+70^{\circ}=180^{\circ}\)；测量一个直角三角形的三个内角分别为\(30^{\circ}\)、\(60^{\circ}\)、\(90^{\circ}\)，内角和为\(30^{\circ}+60^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ}\)。
结论：通过度量发现，所画三角形的内角和都接近\(180^{\circ}\)。由于测量存在误差，我们需要更严谨的方法验证。
（二）剪拼法
任意画一个三角形，标记三个内角为\(\angle A\)、\(\angle B\)、\(\angle C\)。
用剪刀将三角形的三个内角剪下来。
将三个内角的顶点拼在一起，使它们的一边重合，观察三个角的另一边是否在同一条直线上（如图 1）。
现象：三个内角拼在一起后，恰好组成一个平角（\(180^{\circ}\)）。
结论：通过剪拼实验，直观感受到三角形的三个内角和为\(180^{\circ}\)。
[此处插入图 1：三角形三个内角剪拼为平角的示意图]
四、三角形内角和定理的证明
（一）定理内容
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于\(180^{\circ}\)。
即：在\(\triangle ABC\)中，\(\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}\)。
（二）证明过程
证法一：利用平角定义
已知：\(\triangle ABC\)。
求证：\(\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}\)。
证明：
如图 2，过点\(A\)作直线\(DE \parallel BC\)。
∵\(DE \parallel BC\)（所作）
∴\(\angle B = \angle DAB\)（两直线平行，内错角相等）\(\angle C = \angle EAC\)（两直线平行，内错角相等）
∵点\(D\)、\(A\)、\(E\)在同一条直线上
∴\(\angle DAB + \angle BAC + \angle EAC = 180^{\circ}\)（平角的定义）
∴\(\angle B + \angle BAC + \angle C = 180^{\circ}\)（等量代换）
即\(\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}\)。
[此处插入图 2：过 A 作 DE∥BC 的证明示意图]
证法二：利用平行线同旁内角互补
已知：\(\triangle ABC\)。
求证：\(\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}\)。
证明：
如图 3，延长\(BC\)至点\(D\)，过点\(C\)作\(CE \parallel AB\)。
∵\(CE \parallel AB\)（所作）
∴\(\angle A = \angle ACE\)（两直线平行，内错角相等）\(\angle B = \angle ECD\)（两直线平行，同位角相等）
∵\(\angle ACB + \angle ACE + \angle ECD = 180^{\circ}\)（平角的定义）
∴\(\angle ACB + \angle A + \angle B = 180^{\circ}\)（等量代换）
即\(\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}\)。
[此处插入图 3：延长 BC 作 CE∥AB 的证明示意图]
（三）证明思路总结
两种证明方法都运用了转化思想，通过添加辅助线（作平行线）将三角形的三个内角转化为一个平角或一组同旁内角，利用平行线的性质将分散的角集中起来，从而证明内角和为\(180^{\circ}\)。添加辅助线是几何证明中常用的方法，其目的是构造已知条件与求证结论之间的桥梁。
五、三角形内角和定理的应用
（一）角度计算
例 1：在\(\triangle ABC\)中，已知\(\angle A = 60^{\circ}\)，\(\angle B = 70^{\circ}\)，求\(\angle C\)的度数。
解：
根据三角形内角和定理，\(\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}\)。
已知\(\angle A = 60^{\circ}\)，\(\angle B = 70^{\circ}\)，则：\(\angle C = 180^{\circ} - \angle A - \angle B = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 70^{\circ} = 50^{\circ}\)。
例 2：在\(\triangle ABC\)中，\(\angle A : \angle B : \angle C = 2 : 3 : 4\)，求三个内角的度数。
解：
设\(\angle A = 2x\)，\(\angle B = 3x\)，\(\angle C = 4x\)（\(x > 0\)）。
根据三角形内角和定理：\(2x + 3x + 4x = 180^{\circ}\)\(9x = 180^{\circ}\)
解得\(x = 20^{\circ}\)。
所以，\(\angle A = 2x = 40^{\circ}\)，\(\angle B = 3x = 60^{\circ}\)，\(\angle C = 4x = 80^{\circ}\)。
例 3：在\(Rt\triangle ABC\)中，一个锐角为\(35^{\circ}\)，求另一个锐角的度数。
解：
在直角三角形中，有一个角是\(90^{\circ}\)，设另一个锐角为\(\angle B\)。
根据三角形内角和定理：\(90^{\circ} + 35^{\circ} + \angle B = 180^{\circ}\)\(\angle B = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 35^{\circ} = 55^{\circ}\)。
结论：直角三角形的两个锐角互余（和为\(90^{\circ}\)）。
（二）角的关系证明
例 4：如图 4，在\(\triangle ABC\)中，\(AD\)是角平分线，\(\angle B = 50^{\circ}\)，\(\angle C = 70^{\circ}\)，求\(\angle BAD\)的度数。
[此处插入图 4：△ABC 中 AD 为角平分线]
解：
在\(\triangle ABC\)中，根据三角形内角和定理：\(\angle BAC = 180^{\circ} - \angle B - \angle C = 180^{\circ} - 50^{\circ} - 70^{\circ} = 60^{\circ}\)。
∵\(AD\)是\(\angle BAC\)的平分线（已知）
∴\(\angle BAD = \frac{1}{2}\angle BAC = \frac{1}{2} \times 60^{\circ} = 30^{\circ}\)（角平分线的定义）。
例 5：如图 5，\(AB \parallel CD\)，\(AE\)交\(CD\)于点\(C\)，\(DE \perp AE\)于点\(E\)，若\(\angle A = 40^{\circ}\)，求\(\angle D\)的度数。
[此处插入图 5：AB∥CD，DE⊥AE]
解：
∵\(AB \parallel CD\)（已知）
∴\(\angle A = \angle ECD\)（两直线平行，同位角相等）
∵\(\angle A = 40^{\circ}\)（已知）
∴\(\angle ECD = 40^{\circ}\)（等量代换）
∵\(DE \perp AE\)（已知）
∴\(\angle DEC = 90^{\circ}\)（垂直的定义）
在\(\triangle DEC\)中，根据三角形内角和定理：\(\angle D = 180^{\circ} - \angle DEC - \angle ECD = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ}\)。
六、知识辨析
三角形内角和定理的理解
三角形内角和定理是三角形的一个基本性质，适用于任意三角形，无论三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，其内角和都是\(180^{\circ}\)。
定理的结论是一个固定值\(180^{\circ}\)，与三角形的形状、大小无关。例如，一个边长为\(1cm\)的等边三角形和一个边长为\(10cm\)的等边三角形，它们的内角和都是\(180^{\circ}\)（每个角都是\(60^{\circ}\)）。
三角形内角和定理是进行角度计算和角关系证明的重要依据，在几何推理中经常与平行线的性质、角平分线的定义、垂直的定义等结合使用。
与三角形相关的角的性质
直角三角形的两个锐角互余（由内角和定理推导得出：\(90^{\circ} + \angle A + \angle B = 180^{\circ}\)，所以\(\angle A + \angle B = 90^{\circ}\)）。
等边三角形的三个内角都相等，且每个内角都等于\(60^{\circ}\)（由内角和定理：\(3\angle A = 180^{\circ}\)，所以\(\angle A = 60^{\circ}\)）。
等腰三角形的两个底角相等，结合内角和定理可求出顶角或底角的度数（如等腰三角形顶角为\(100^{\circ}\)，则底角为\((180^{\circ} - 100^{\circ}) \div 2 = 40^{\circ}\)）。
七、易错点警示
忽略定理适用范围：错误地认为三角形内角和定理只适用于特定类型的三角形（如锐角三角形），而实际上它适用于所有三角形。
计算角度时出错：在运用内角和定理计算角度时，出现加减法错误或方程求解错误。例如，在例 2 中，将\(2x + 3x + 4x = 180^{\circ}\)错误计算为\(8x = 180^{\circ}\)。
辅助线添加不当：在证明内角和定理时，不知道如何添加辅助线，或添加辅助线后无法正确运用平行线的性质进行推理。
几何语言不规范：在推理过程中，步骤不完整或依据标注错误。例如，在证明中引用 “两直线平行，内错角相等” 时，未说明哪两条直线平行、哪一对角是内错角。
与外角性质混淆：将三角形内角和定理与三角形外角的性质（外角等于不相邻两个内角的和）混淆，导致角度关系判断错误。
八、课堂练习
在\(\triangle ABC\)中，\(\angle A = 55^{\circ}\)，\(\angle B = 35^{\circ}\)，则\(\angle C = \)______，该三角形是______三角形（填 “锐角”“直角” 或 “钝角”）。
一个三角形的三个内角中，最多有______个直角，最多有______个钝角。
在\(\triangle ABC\)中，\(\angle A = \angle B = 2\angle C\)，求\(\angle C\)的度数。
如图 6，在\(\triangle ABC\)中，\(BD\)平分\(\angle ABC\)，\(\angle A = 80^{\circ}\)，\(\angle C = 40^{\circ}\)，求\(\angle BDC\)的度数。
[此处插入图 6：△ABC 中 BD 为角平分线]
求证：等边三角形的每个内角都等于\(60^{\circ}\)。
九、方法总结
角度计算方法：
直接运用公式：已知三角形两个内角的度数，求第三个角时，用\(180^{\circ}\)减去已知两个角的度数之和。
方程法：当已知三角形内角的比例关系或倍数关系时，设未知数表示各角的度数，根据内角和定理列方程求解。
证明思路：
利用辅助线转化角：证明与三角形内角相关的问题时，常通过作平行线将角进行转化，利用平行线的性质建立角之间的关系。
结合其他性质：将三角形内角和定理与角平分线、垂线、平行线等性质结合，综合运用进行推理证明。
注意事项：
计算角度时要注意单位统一，确保结果的准确性。
推理过程中要规范几何语言，每一步都要有明确的依据（如定理、定义、已知条件等）。
通过本节课的学习，我们不仅掌握了三角形内角和定理的内容和证明方法，还学会了运用定理解决角度计算和证明问题。三角形内角和定理是几何中的重要基础知识，在后续学习四边形、多边形等内容时也会经常用到。希望同学们能熟练掌握并灵活运用这一定理，为几何学习打下坚实的基础。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
从古埃及的金字塔到现代的飞机，从宏伟的建筑物到微小的分子结构，都有什么相同的形状？
观察屋顶框架图：
(1) 你能从图中找出几个不同的三角形吗？
(2) 这些三角形有什么共同的特点？
活动：观察下面图形的形成过程，说一说什么叫三角形.
定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形.
问题1：三角形中有几条线段？几个角？几个顶点？
A
B
C
有三条线段，三个角，三个顶点
三角形的概念
1
三角形组成元素 三角形 ABC
边
顶点
角(内角)
边 AB，边 BC，边 AC
或 边 c，边 a， 边 b
∠A，∠B，∠C
点 A，点 B，点 C
记作△ABC
要点归纳
例1 (1)图中有几个三角形？用符号表示出这些三角形．
A
B
C
D
E
5 个，分别是△ABE，△ABC，△BCE，△BCD，△ECD.
(2) 以 AB 为边的三角形有哪些？
△ABC，△ABE.
(3) 以 E 为顶点的三角形有哪些？
△ABE，△BCE，△CDE.
(4) 以∠D 为顶角的三角形有哪些？
△BCD，△DEC.
典例精析
(5) 说出△BCD 的三个角和三个顶点所对的边.
△BCD 的三个角是∠BCD，∠D 和∠CBD.
A
B
C
D
E
顶点 B 所对的边为 DC，
顶点 C 所对的边为 BD，
顶点 D 所对的边为 BC.
三角形的内角和
2
合作探究：如何探索、验证三角形的内角和等于 180° ？说一说理由.
画一画：在准备的三角形硬纸板上画出△ABC，并标出三个内角.
A
B
C
1
2
3
量一量：每个角各是多少度 三个内角的和是多少
动动手：撕下三角形的三个角，拼在一起.
总结：三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.
撕拼法：撕下三角形的一个角，拼在一起.
1
3
2
1
a
b
4
此时∠1的另一条边 b 与∠3 的一条边 a 平行吗？为什么？
a∥b
(内错角相等，两直线平行)
∠3与∠4的大小有什么关系？为什么？
∠3 = ∠4
(两直线平行，同位角相等)
自己剪一个三角形纸片，重复上面的过程，你得到同样的结论了吗？与同伴进行交流.
现在，你能够确定这个三角形的内角的和了吗？
C
B
A
E
D
F
三角形三个的内角和等于 180°
动手操作
议一议：猜猜图中三角形被遮住的两个内角是什么角？试着说明理由.
三角形按角分类
3
直角三角形
锐角三角形
钝角三角形
三角形按角的大小分类
三个角都是锐角
有一个角是钝角
有一个角是直角
Rt△ABC
A
B
C
直角边
直角边
斜边
→ 直角三角形的两个锐角互余
三角形的内角和为 180°
观察图中的三角形，你能够按角将它们的形状分类吗？
锐角三角形：
钝角三角形：
直角三角形：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(1)、(5)
(2)、(4)
(3)
想一想
例2 一个三角形的三个内角的度数之比为 1∶2∶3，这个三角形一定是 (　　)
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．无法判定形状
解析：设这个三角形的三个内角的度数分别是 x，2x，3x，根据三角形的内角和为 180°，得 x＋2x＋3x＝180°，解得 x＝30°，所以这个三角形的三个内角的度数分别是30°，60°，90°，即这个三角形是直角三角形．
A
典例精析
1.（1）在△ABC 中，∠A = 35°，∠B = 43°，则
∠C =______°；
（2）在△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 50°，则
∠A = ______°；
（3）在△ABC 中，∠A = 40°，∠A = 2∠B，则
∠C = ______°.
102
40
120
练一练
1. [2024九江月考] 下面是一名同学用三根木棒拼成的图形，
其中是三角形的是( )
D
A. B. C. D.
（第2题）
2. [2024广州海珠区期末] 如图，在
中， ， ， 平分
，交于点，则 的大小是
( )
C
A. B. C. D.
返回
（第3题）
3. 如图，，交于点 ，
于点，若 ，则 的
度数为( )
C
A. B. C. D.
返回
4. 在中， ，则
的形状是( )
A
A. 直角三角形 B. 锐角三角形
C. 钝角三角形 D. 任意三角形
【点拨】设 ，则 ，根据题意，得
，解得，所以 .
所以 的形状是直角三角形.
返回
5. 如果直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍，那么这
个直角三角形中较小的锐角的度数是( )
B
A. B. C. D.
（第6题）
6.图中共有___个三角形,其中以 为内
角的三角形有_______________，以线段
为边的三角形有_______________.
8
，
，
返回
（第7题）
7. 如图，考古学家发
现在地下 处有一座古墓，古墓上方
是管道，为了不影响管道，准备在
，处开工挖出“ ”字形通道，若
， ，则
的度数是____.
返回
8.如图所示，于点, 于
点,与相交于点 .仔细观察图形，
回答以下问题：
（1）图中有几个直角三角形？
【解】因为， ，
所以 , .
所以,,, 都是直角三角形.
所以图中有4个直角三角形.
（2）和 是什么关系？为什么？
,理由如下：
由（1）知, 是直角三角形，
所以 .所
以 .
（3）若 ，那么和 各
是多少度？
【解】因为 ， ，所
以 .
因为, ，所以
.
返回
9. [2024台州模拟] 一副三角尺如图摆放，
, , ，点 恰好在
上，且，则 ( )
B
（第9题）
A. B. C. D.
（第10题）
10. [2024广安月考] 如图，把三角形纸片
沿所在直线折叠，当点 落在四边
形的外部时，点是点 的对应点，
则与， 之间的数量关系是( )
A
A. B.
C. D.
三角形
三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形
三角形按角分类
直角三角形
锐角三角形
钝角三角形
三角形的内角和等于180°
直角三角形的两个锐角互余
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阿木提江·塔西吐木尔
托克逊县第一中学
13899326086