4.1.2三角形的三边关系 课件（共31张PPT）--新2024北师大版七年级数学下册课件
文档属性
| 名称 | 4.1.2三角形的三边关系 课件（共31张PPT）--新2024北师大版七年级数学下册课件 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 7.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-24 00:00:00 | ||
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文档简介
(共31张PPT)
4.1.2三角形的三边关系
第四章 三角形
新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
买合苏迪古丽·买买提
托克逊县第二中学
15909954880
4.1.2 三角形的三边关系
一、学习目标
通过实验操作和推理分析，理解并掌握三角形三边关系定理，明确三角形任意两边之和与第三边的大小关系。
能运用三角形三边关系判断三条线段能否组成三角形，解决与三角形边长相关的计算和推理问题。
经历 “猜想 — 实验 — 验证 — 应用” 的探究过程，体会数形结合思想在几何中的应用，培养动手操作和逻辑推理能力。
在探究三角形三边关系的过程中，感受几何知识的严谨性和实用性，激发对几何学习的兴趣。
二、情境引入
在生活中，我们见过各种各样的三角形框架，比如自行车的车架、篮球架的支架等。这些三角形框架之所以结构稳定，不仅与它们的内角有关，还与它们的边长密切相关。是不是任意长度的三条线段都能首尾顺次连接组成三角形呢？例如，用长度为 3cm、4cm、5cm 的三条线段可以组成一个三角形；而用长度为 1cm、2cm、4cm 的三条线段却无法组成三角形。这说明三角形的三条边之间存在着某种特定的数量关系。本节课我们就来探究三角形三边之间的这种关系。
三、探究活动：三角形三边关系的实验验证
（一）拼摆实验
准备几组不同长度的小木棒（或纸条），每组三根，具体长度如下：
第一组：3cm、4cm、5cm
第二组：2cm、3cm、5cm
第三组：1cm、2cm、4cm
第四组：5cm、5cm、8cm
第五组：4cm、6cm、6cm
尝试用每组的三根小木棒首尾顺次连接，观察能否组成三角形，并记录实验结果：
第一组：能组成三角形。
第二组：不能组成三角形（较短两根之和等于第三根，拼摆后成一条直线）。
第三组：不能组成三角形（较短两根之和小于第三根，无法首尾连接）。
第四组：能组成三角形。
第五组：能组成三角形。
（二）数据对比与分析
将每组三根小木棒的长度分别记为\(a\)、\(b\)、\(c\)（假设\(a \leq b \leq c\)），计算并对比\(a + b\)与\(c\)的大小关系：
组别
小木棒长度（cm）
\(a + b\)（cm）
\(c\)（cm）
\(a + b\)与\(c\)的关系
能否组成三角形
1
3、4、5
7
5
\(a + b > c\)
能
2
2、3、5
5
5
\(a + b = c\)
不能
3
1、2、4
3
4
\(a + b < c\)
不能
4
5、5、8
10
8
\(a + b > c\)
能
5
4、6、6
10
6
\(a + b > c\)
能
（三）实验结论
通过实验发现：当较短的两条线段长度之和大于最长的线段长度时，这三条线段能组成三角形；当较短的两条线段长度之和等于或小于最长的线段长度时，这三条线段不能组成三角形。
四、三角形三边关系定理
（一）定理内容
三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边。
即：在\(\triangle ABC\)中，\(AB + BC > AC\)，\(AB + AC > BC\)，\(BC + AC > AB\)。
（二）定理的几何解释
从几何直观上看，三角形的三条边首尾相接形成封闭图形，若其中两条边的和不大于第三条边，则无法形成封闭的三角形。例如，若\(AB + BC \leq AC\)，则点\(B\)会落在\(AC\)线段上或线段\(AC\)的延长线上，无法构成三角形（如图 1）。
[此处插入图 1：两边之和小于或等于第三边无法构成三角形的示意图]
（三）定理的推论
根据三角形三边关系定理，可推出：三角形任意两边之差小于第三边。
即：在\(\triangle ABC\)中，\(AB - BC < AC\)，\(AB - AC < BC\)，\(BC - AC < AB\)。
推导过程：由\(AB + BC > AC\)可得\(AC - BC < AB\)；同理可推出其他两个不等式。
五、三角形三边关系的应用
（一）判断三条线段能否组成三角形
例 1：下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？
（1）3cm、4cm、5cm （2）2cm、2cm、5cm （3）5cm、6cm、10cm
解：
（1）因为\(3 + 4 > 5\)，\(3 + 5 > 4\)，\(4 + 5 > 3\)（满足任意两边之和大于第三边），所以能组成三角形。
（2）因为\(2 + 2 = 4 < 5\)（较短两边之和小于第三边），所以不能组成三角形。
（3）因为\(5 + 6 > 10\)，\(5 + 10 > 6\)，\(6 + 10 > 5\)（满足任意两边之和大于第三边），所以能组成三角形。
简便方法：判断三条线段能否组成三角形时，只需验证较短的两条线段之和是否大于最长的线段即可，无需逐一验证三个不等式。
（二）求三角形第三边的取值范围
例 2：已知三角形的两条边长分别为 5cm 和 8cm，求第三条边的取值范围。
解：
设第三条边的长度为\(x\)cm。
根据三角形三边关系定理：\(8 - 5 < x < 8 + 5\)（两边之差小于第三边，两边之和大于第三边）
即\(3 < x < 13\)。
所以，第三条边的取值范围是大于 3cm 且小于 13cm。
例 3：一个三角形的两边长分别为 4 和 7，第三边长为奇数，求第三边的长。
解：
设第三边的长为\(x\)，根据三角形三边关系定理：\(7 - 4 < x < 7 + 4\)，即\(3 < x < 11\)。
因为第三边长为奇数，所以\(x\)可以取 5、7、9。
因此，第三边的长为 5、7 或 9。
（三）解决实际问题
例 4：有两根长度分别为 5m 和 8m 的木棒，现要再找一根木棒与它们组成一个三角形木架，求第三根木棒长度的取值范围。若第三根木棒的长度为偶数，有几种可能的长度？
解：
设第三根木棒的长度为\(x\)m。
根据三角形三边关系定理：\(8 - 5 < x < 8 + 5\)，即\(3 < x < 13\)。
所以，第三根木棒长度的取值范围是大于 3m 且小于 13m。
若第三根木棒的长度为偶数，则\(x\)可以取 4m、6m、8m、10m、12m，共 5 种可能的长度。
例 5：如图 2，在\(\triangle ABC\)中，\(AB = 6\)，\(BC = 8\)，\(AC = 10\)，点\(D\)是\(AB\)边上的一点，且\(AD = 2\)，求\(CD\)的取值范围。
[此处插入图 2：△ABC 及 AB 边上的点 D]
解：
在\(\triangle ABC\)中，\(AB = 6\)，\(AD = 2\)，所以\(DB = AB - AD = 6 - 2 = 4\)。
在\(\triangle ACD\)中，\(AC = 10\)，\(AD = 2\)，根据三角形三边关系定理：\(AC - AD < CD < AC + AD\)，即\(10 - 2 < CD < 10 + 2\)，\(8 < CD < 12\)。
在\(\triangle BCD\)中，\(BC = 8\)，\(DB = 4\)，根据三角形三边关系定理：\(BC - DB < CD < BC + DB\)，即\(8 - 4 < CD < 8 + 4\)，\(4 < CD < 12\)。
综合两个不等式，\(CD\)的取值范围是\(8 < CD < 12\)。
六、知识辨析
三角形三边关系的理解
三角形三边关系定理中的 “任意两边之和大于第三边” 是指三角形中每两条边的和都要大于第三条边，不能遗漏任何一组边的关系。但在实际判断时，由于最长边已经大于或等于其他两边，所以只需验证较短两边之和是否大于最长边即可，这样可以简化判断过程。
三角形三边关系定理与推论（两边之差小于第三边）是等价的，它们从不同角度描述了三角形三边之间的关系。在解决问题时，可根据具体情况选择使用定理或推论，例如求第三边的取值范围时，通常同时用到定理和推论，即 “两边之差 < 第三边 < 两边之和”。
若三条线段的长度满足 “较短两边之和等于最长边”，则这三条线段只能组成一条直线，无法构成三角形；若 “较短两边之和小于最长边”，则三条线段无法首尾相接形成封闭图形，也不能构成三角形。
与三角形边长相关的特殊三角形
等腰三角形：有两条边相等的三角形。在等腰三角形中，若已知两边长，需分情况讨论这两边是腰还是底边，并结合三边关系验证是否能构成三角形。例如，已知等腰三角形的两边长为 3 和 7，则腰长只能是 7（若腰长为 3，则 3 + 3 < 7，无法构成三角形）。
等边三角形：三条边都相等的三角形。等边三角形一定满足三边关系（任意两边之和大于第三边），因为\(a + a > a\)（\(a > 0\)）恒成立。
七、易错点警示
判断时遗漏验证：在判断三条线段能否组成三角形时，只验证一组两边之和与第三边的关系，而忽略其他组，导致判断错误。例如，认为 3cm、5cm、8cm 能组成三角形，忽略了\(3 + 5 = 8\)不满足两边之和大于第三边。
取值范围端点错误：在求第三边的取值范围时，错误地包含端点值，即写成 “\(\leq\)” 或 “\(\geq\)”，而实际上第三边的长度必须严格大于两边之差且严格小于两边之和。
等腰三角形分类不当：在解决等腰三角形边长问题时，未分情况讨论腰和底边，或讨论后未验证三边关系，导致结果错误。例如，已知等腰三角形两边长为 2 和 5，错误地认为腰长可以是 2（此时 2 + 2 < 5，无法构成三角形）。
实际问题转化错误：将实际问题转化为三角形边长问题时，对题意理解不清，导致线段长度关系分析错误。例如，在例 5 中，未考虑点\(D\)在\(AB\)边上，需要同时满足两个三角形的三边关系。
八、课堂练习
下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A. 1cm、2cm、3cm B. 3cm、4cm、7cm C. 5cm、6cm、10cm D. 5cm、5cm、11cm
已知三角形的两边长分别为 3 和 6，则第三边的取值范围是______。
一个三角形的三边长都是整数，其中两边长分别为 5 和 1，求第三边的长。
等腰三角形的周长为 18，其中一边长为 4，求其他两边的长。
如图 3，在\(\triangle ABC\)中，\(AB = 5\)，\(BC = 7\)，\(AC = 6\)，点\(P\)是\(AC\)边上的任意一点，求\(BP\)的取值范围。
[此处插入图 3：△ABC 及 AC 边上的点 P]
九、方法总结
三条线段组成三角形的判断方法：
找出三条线段中最长的线段。
验证较短的两条线段之和是否大于最长的线段，若大于则能组成三角形，否则不能。
第三边取值范围的求法：
设已知两边的长度为\(a\)、\(b\)（\(a \geq b\)），第三边的长度为\(c\)。
根据三边关系定理和推论，得出\(a - b < c < a + b\)。
等腰三角形边长问题的解法：
分情况讨论：已知边为腰或已知边为底边。
每种情况都需验证三边关系，确保能构成三角形。
舍去不符合三边关系的情况，保留合理结果。
实际问题的解决思路：
将实际问题转化为三角形边长问题，明确已知条件和所求线段。
结合图形，分析线段之间的关系，运用三边关系定理列出不等式。
求解不等式，得出线段长度的取值范围或具体值。
通过本节课的学习，我们掌握了三角形三边关系定理及其应用，能够判断三条线段能否组成三角形，解决与三角形边长相关的计算和实际问题。三角形三边关系是三角形的重要性质，在几何图形的构造、长度计算等方面有着广泛的应用。希望同学们能熟练掌握并灵活运用这一性质，为后续几何知识的学习奠定基础。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
三角形按角的大小关系，可分为：
直角三角形
锐角三角形
钝角三角形
三角形
三角形若按边来分类，可分为哪几类？
活动1：观察图中的三角形你能发现它们各自的边长之间有什么关系吗
三角形按边分类
有两条边相等
三边都相等
三边各不相等
1
腰
底边
顶角
底角
有两条边相等的三角形叫作等腰三角形．
三边都相等的三角形叫作等边三角形.
（正三角形）
等边三角形是特殊的等腰三角形.
三角形
等腰三角形
等边三角形
要点归纳
议一议：元宵节的晚上，房梁上亮起了彩灯，装有黄色彩灯的电线与装有红色彩灯的电线哪根长呢？说明你的理由.
三角形的三边关系
请你动手量一量，比一比吧！
2
活动2：准备 4 根长分别为 3 cm，4 cm，5 cm，7 cm的木棒，任意取出 3 根首尾相接搭三角形，并填表:
选择木棒的长度 能否搭出三角形 示意图
能 不能 3 cm,4 cm,5 cm
A
B
C
3
4
5
√
问题：在一个三角形中，任意两边之和与第三边的长度有怎样的关系 为什么
猜想
AC + CB＞AB
证明
方法二：几何推导
因为两点之间，线段最短.
所以 AC + CB＞AB.
同理： AC + AB＞BC,
AB + BC＞AC.
方法一：测量法
画不同类别的三角形，用直尺分别测量三条线段的长度.
结论1 三角形的任意两边之和大于第三边.
A
B
C
合作探究
a
b
c
活动3：任意画一个三角形，分别量出三个三角形的三边长度，并填人表格内.
a
b
c
a
b
c
a
b
c
计算每个三角形的任意两边之差，并与第三边比较，你能得到什么结论？再画一些三角形试一试.
2. 如图，在△ABC 中，以点 B 为圆心，以 BA 的长为半径作弧，与边 BC 交于点D，图中是否有线段长度等于 BC - AB 呢
A
B
C
D
如图，BC - AB = CD.
改变三角形的形状再试试看，你能得到什么结论
能用圆规直观说明 BC -AB 与 AC 之间的大小关系吗
结论2 三角形的任意两边之差小于第三边.
如图，BC -AB < AC
E
例1 有两根长度分别为 5 cm 和 8 cm 的木棒，用长度为 2 cm 的木棒与它们首尾相接能拼成三角形吗？
不能拼成三角形.
分析：
5 + 2＜8，5 - 2＜8； 8 + 5＞2，8 - 5＞2；
8 + 2＞5，8 - 2＞5.
典例精析
解：取长度为 2 cm 的木棒时，由于 2 + 5 = 7 < 8，出现了两边之和小于第三边的情况，所以它们不能摆成三角形.
判断三条线段是否可以组成三角形，只要将较短的两边相加，或将最长的边与最短的边相减，再与第三边比较大小即可.
取长度为 13 cm 的木棒时，由于 5 + 8 = 13，出现了两边之和等于第三边的情况，所以它们也不能摆成三角形.
追问：用长度为 13 cm 的木棒呢？
总结
有两根长度分别为 5 cm 和 8 cm 的木棒；
如果第三根木棒能与这两根木棒摆成三角形，那么它的长度的取值范围是什么
总结
第三边取值范围：两边之差＜第三边长＜两边之和
较大的边－较小的边
3 cm＜木棒＜13 cm
想一想
1. 判断下列长度的三条线段能否拼成三角形？为什么？
（1）3 cm、8 cm、4 cm； （2）5 cm、6 cm、11 cm；
（3）5 cm、6 cm、10 cm.
解：（1）不能，因为 3 cm + 4 cm < 8 cm.
（2）不能，因为 5 cm + 6 cm = 11 cm.
（3）能，因为 5 cm + 6 cm > 10 cm.
判断三条线段是否可以组成三角形，只需验证两条较短线段之和是否大于第三条线段即可.
练一练
根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负.
例2 若 a，b，c 是△ABC 的三边长，
化简 |a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|.
解：根据三角形的三边关系，得
a－b－c＜0，b－c－a＜0，c＋a－b＞0，
所以 |a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|
＝b＋c－a＋c＋a－b＋c＋a－b
＝3c＋a－b.
典例精析
1. 以下列长度的线段为边，可以构成一个
三角形的是( )
A
A. 2，5，6 B. 3，4，8 C. 5，5，10 D. 3，5，9
返回
2. 如图，为了估计池塘岸
边， 两点之间的距离，小明在该池塘的一
侧选取一点，测得米， 米，
则， 两点之间的距离可能是( )
C
A. 26米 B. 19米 C. 6米 D. 5米
返回
3. 如图是三角形按边分类的关系图，则图中的 表示( )
D
（第3题）
A. 直角三角形 B. 锐角三角形
C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
返回
（第4题）
4. 如图，在中，，点在 上，
且 ，则图中的等腰三角形有
( )
D
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
返回
5. [2024驻马店期末] 已知三角形的三边长分别为,, .其中
,满足，且，则 的取值范
围是( ).
D
A. B. C. D.
【点拨】由题意得， ，由三角形的三边关系定理
得，即 .
因为，所以 .故选D.
返回
6.[2024德州月考] 已知,,为的三边长，且, 满足
，为奇数，则 的周长为___.
8
【点拨】因为
,所以
, ,
解得,,所以,即 .
因为为奇数，所以 .
所以的周长 .
返回
7. 一个等腰三角形的周长为 ，其中
一边长为 ，则这个三角形其余两边的长是多少？
小红是这样解的：由题知，底边长为.设腰长为 ，则
，解得 .
所以这个三角形其余两边的长均为 .
你认为小红的解法对吗？如果不对，请你给出正确的解法.
【解】小红的解法不对（或不全面），漏掉了当腰长是
时的情况.正确的解法如下：
分情况讨论：
（1）当底边长是时，设腰长为，则 ，
解得.此时三角形的三边长分别为， ，
，符合三角形的三边关系；
（2）当腰长为时，设底边长为，则 ，
解得 ，此时不符合三角形的三边关系，所以不能围成
腰长是 的等腰三角形.
综上，这个三角形的其余两边长分别为， .
返回
8. 木工师傅想做一个三角形的框架，他有两根长度分别为
和 的木条，需要将其中一根木条分为两段与另一
根组成一个三角形.如果不考虑损耗和接头部分，那么木工师
傅应该选择分为两段的木条是( )
B
A. 长为的木条 B. 长为 的木条
C. 两根都可以 D. 两根都不行
返回
9. 如图，用四个螺丝
将四根不可弯曲的木条围成一个木框，不
计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次
为2，3，4，6，且相邻两木条的夹角均可
C
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
调整.若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两螺丝之间
的距离最大为( )
10. 定义：一个三角形的一边长是另一边长的2
倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”.若等腰三角形 是
“倍长三角形”，底边的长为4，则腰 的长为___.
8
11.[2024上海浦东新区期中] 如图，在四边形中，是
与的交点，试说明：与的和小于四边形 的周长.
【解】因为在中， ，
在中， ，
在中， ，
在中， ，
所以 ，
整理，得 .
所以与的和小于四边形 的周长.
返回
三角形中边的关系
三角形
按边分类
三边各不相等的三角形
等腰三角形（包括等边三角形）
三角形的三边关系
任意两边之和大于第三边
任意两边之差小于第三边
谢谢观看！
阿木提江·塔西吐木尔
托克逊县第一中学
13899326086
4.1.2三角形的三边关系
第四章 三角形
新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
买合苏迪古丽·买买提
托克逊县第二中学
15909954880
4.1.2 三角形的三边关系
一、学习目标
通过实验操作和推理分析，理解并掌握三角形三边关系定理，明确三角形任意两边之和与第三边的大小关系。
能运用三角形三边关系判断三条线段能否组成三角形，解决与三角形边长相关的计算和推理问题。
经历 “猜想 — 实验 — 验证 — 应用” 的探究过程，体会数形结合思想在几何中的应用，培养动手操作和逻辑推理能力。
在探究三角形三边关系的过程中，感受几何知识的严谨性和实用性，激发对几何学习的兴趣。
二、情境引入
在生活中，我们见过各种各样的三角形框架，比如自行车的车架、篮球架的支架等。这些三角形框架之所以结构稳定，不仅与它们的内角有关，还与它们的边长密切相关。是不是任意长度的三条线段都能首尾顺次连接组成三角形呢？例如，用长度为 3cm、4cm、5cm 的三条线段可以组成一个三角形；而用长度为 1cm、2cm、4cm 的三条线段却无法组成三角形。这说明三角形的三条边之间存在着某种特定的数量关系。本节课我们就来探究三角形三边之间的这种关系。
三、探究活动：三角形三边关系的实验验证
（一）拼摆实验
准备几组不同长度的小木棒（或纸条），每组三根，具体长度如下：
第一组：3cm、4cm、5cm
第二组：2cm、3cm、5cm
第三组：1cm、2cm、4cm
第四组：5cm、5cm、8cm
第五组：4cm、6cm、6cm
尝试用每组的三根小木棒首尾顺次连接，观察能否组成三角形，并记录实验结果：
第一组：能组成三角形。
第二组：不能组成三角形（较短两根之和等于第三根，拼摆后成一条直线）。
第三组：不能组成三角形（较短两根之和小于第三根，无法首尾连接）。
第四组：能组成三角形。
第五组：能组成三角形。
（二）数据对比与分析
将每组三根小木棒的长度分别记为\(a\)、\(b\)、\(c\)（假设\(a \leq b \leq c\)），计算并对比\(a + b\)与\(c\)的大小关系：
组别
小木棒长度（cm）
\(a + b\)（cm）
\(c\)（cm）
\(a + b\)与\(c\)的关系
能否组成三角形
1
3、4、5
7
5
\(a + b > c\)
能
2
2、3、5
5
5
\(a + b = c\)
不能
3
1、2、4
3
4
\(a + b < c\)
不能
4
5、5、8
10
8
\(a + b > c\)
能
5
4、6、6
10
6
\(a + b > c\)
能
（三）实验结论
通过实验发现：当较短的两条线段长度之和大于最长的线段长度时，这三条线段能组成三角形；当较短的两条线段长度之和等于或小于最长的线段长度时，这三条线段不能组成三角形。
四、三角形三边关系定理
（一）定理内容
三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边。
即：在\(\triangle ABC\)中，\(AB + BC > AC\)，\(AB + AC > BC\)，\(BC + AC > AB\)。
（二）定理的几何解释
从几何直观上看，三角形的三条边首尾相接形成封闭图形，若其中两条边的和不大于第三条边，则无法形成封闭的三角形。例如，若\(AB + BC \leq AC\)，则点\(B\)会落在\(AC\)线段上或线段\(AC\)的延长线上，无法构成三角形（如图 1）。
[此处插入图 1：两边之和小于或等于第三边无法构成三角形的示意图]
（三）定理的推论
根据三角形三边关系定理，可推出：三角形任意两边之差小于第三边。
即：在\(\triangle ABC\)中，\(AB - BC < AC\)，\(AB - AC < BC\)，\(BC - AC < AB\)。
推导过程：由\(AB + BC > AC\)可得\(AC - BC < AB\)；同理可推出其他两个不等式。
五、三角形三边关系的应用
（一）判断三条线段能否组成三角形
例 1：下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？
（1）3cm、4cm、5cm （2）2cm、2cm、5cm （3）5cm、6cm、10cm
解：
（1）因为\(3 + 4 > 5\)，\(3 + 5 > 4\)，\(4 + 5 > 3\)（满足任意两边之和大于第三边），所以能组成三角形。
（2）因为\(2 + 2 = 4 < 5\)（较短两边之和小于第三边），所以不能组成三角形。
（3）因为\(5 + 6 > 10\)，\(5 + 10 > 6\)，\(6 + 10 > 5\)（满足任意两边之和大于第三边），所以能组成三角形。
简便方法：判断三条线段能否组成三角形时，只需验证较短的两条线段之和是否大于最长的线段即可，无需逐一验证三个不等式。
（二）求三角形第三边的取值范围
例 2：已知三角形的两条边长分别为 5cm 和 8cm，求第三条边的取值范围。
解：
设第三条边的长度为\(x\)cm。
根据三角形三边关系定理：\(8 - 5 < x < 8 + 5\)（两边之差小于第三边，两边之和大于第三边）
即\(3 < x < 13\)。
所以，第三条边的取值范围是大于 3cm 且小于 13cm。
例 3：一个三角形的两边长分别为 4 和 7，第三边长为奇数，求第三边的长。
解：
设第三边的长为\(x\)，根据三角形三边关系定理：\(7 - 4 < x < 7 + 4\)，即\(3 < x < 11\)。
因为第三边长为奇数，所以\(x\)可以取 5、7、9。
因此，第三边的长为 5、7 或 9。
（三）解决实际问题
例 4：有两根长度分别为 5m 和 8m 的木棒，现要再找一根木棒与它们组成一个三角形木架，求第三根木棒长度的取值范围。若第三根木棒的长度为偶数，有几种可能的长度？
解：
设第三根木棒的长度为\(x\)m。
根据三角形三边关系定理：\(8 - 5 < x < 8 + 5\)，即\(3 < x < 13\)。
所以，第三根木棒长度的取值范围是大于 3m 且小于 13m。
若第三根木棒的长度为偶数，则\(x\)可以取 4m、6m、8m、10m、12m，共 5 种可能的长度。
例 5：如图 2，在\(\triangle ABC\)中，\(AB = 6\)，\(BC = 8\)，\(AC = 10\)，点\(D\)是\(AB\)边上的一点，且\(AD = 2\)，求\(CD\)的取值范围。
[此处插入图 2：△ABC 及 AB 边上的点 D]
解：
在\(\triangle ABC\)中，\(AB = 6\)，\(AD = 2\)，所以\(DB = AB - AD = 6 - 2 = 4\)。
在\(\triangle ACD\)中，\(AC = 10\)，\(AD = 2\)，根据三角形三边关系定理：\(AC - AD < CD < AC + AD\)，即\(10 - 2 < CD < 10 + 2\)，\(8 < CD < 12\)。
在\(\triangle BCD\)中，\(BC = 8\)，\(DB = 4\)，根据三角形三边关系定理：\(BC - DB < CD < BC + DB\)，即\(8 - 4 < CD < 8 + 4\)，\(4 < CD < 12\)。
综合两个不等式，\(CD\)的取值范围是\(8 < CD < 12\)。
六、知识辨析
三角形三边关系的理解
三角形三边关系定理中的 “任意两边之和大于第三边” 是指三角形中每两条边的和都要大于第三条边，不能遗漏任何一组边的关系。但在实际判断时，由于最长边已经大于或等于其他两边，所以只需验证较短两边之和是否大于最长边即可，这样可以简化判断过程。
三角形三边关系定理与推论（两边之差小于第三边）是等价的，它们从不同角度描述了三角形三边之间的关系。在解决问题时，可根据具体情况选择使用定理或推论，例如求第三边的取值范围时，通常同时用到定理和推论，即 “两边之差 < 第三边 < 两边之和”。
若三条线段的长度满足 “较短两边之和等于最长边”，则这三条线段只能组成一条直线，无法构成三角形；若 “较短两边之和小于最长边”，则三条线段无法首尾相接形成封闭图形，也不能构成三角形。
与三角形边长相关的特殊三角形
等腰三角形：有两条边相等的三角形。在等腰三角形中，若已知两边长，需分情况讨论这两边是腰还是底边，并结合三边关系验证是否能构成三角形。例如，已知等腰三角形的两边长为 3 和 7，则腰长只能是 7（若腰长为 3，则 3 + 3 < 7，无法构成三角形）。
等边三角形：三条边都相等的三角形。等边三角形一定满足三边关系（任意两边之和大于第三边），因为\(a + a > a\)（\(a > 0\)）恒成立。
七、易错点警示
判断时遗漏验证：在判断三条线段能否组成三角形时，只验证一组两边之和与第三边的关系，而忽略其他组，导致判断错误。例如，认为 3cm、5cm、8cm 能组成三角形，忽略了\(3 + 5 = 8\)不满足两边之和大于第三边。
取值范围端点错误：在求第三边的取值范围时，错误地包含端点值，即写成 “\(\leq\)” 或 “\(\geq\)”，而实际上第三边的长度必须严格大于两边之差且严格小于两边之和。
等腰三角形分类不当：在解决等腰三角形边长问题时，未分情况讨论腰和底边，或讨论后未验证三边关系，导致结果错误。例如，已知等腰三角形两边长为 2 和 5，错误地认为腰长可以是 2（此时 2 + 2 < 5，无法构成三角形）。
实际问题转化错误：将实际问题转化为三角形边长问题时，对题意理解不清，导致线段长度关系分析错误。例如，在例 5 中，未考虑点\(D\)在\(AB\)边上，需要同时满足两个三角形的三边关系。
八、课堂练习
下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A. 1cm、2cm、3cm B. 3cm、4cm、7cm C. 5cm、6cm、10cm D. 5cm、5cm、11cm
已知三角形的两边长分别为 3 和 6，则第三边的取值范围是______。
一个三角形的三边长都是整数，其中两边长分别为 5 和 1，求第三边的长。
等腰三角形的周长为 18，其中一边长为 4，求其他两边的长。
如图 3，在\(\triangle ABC\)中，\(AB = 5\)，\(BC = 7\)，\(AC = 6\)，点\(P\)是\(AC\)边上的任意一点，求\(BP\)的取值范围。
[此处插入图 3：△ABC 及 AC 边上的点 P]
九、方法总结
三条线段组成三角形的判断方法：
找出三条线段中最长的线段。
验证较短的两条线段之和是否大于最长的线段，若大于则能组成三角形，否则不能。
第三边取值范围的求法：
设已知两边的长度为\(a\)、\(b\)（\(a \geq b\)），第三边的长度为\(c\)。
根据三边关系定理和推论，得出\(a - b < c < a + b\)。
等腰三角形边长问题的解法：
分情况讨论：已知边为腰或已知边为底边。
每种情况都需验证三边关系，确保能构成三角形。
舍去不符合三边关系的情况，保留合理结果。
实际问题的解决思路：
将实际问题转化为三角形边长问题，明确已知条件和所求线段。
结合图形，分析线段之间的关系，运用三边关系定理列出不等式。
求解不等式，得出线段长度的取值范围或具体值。
通过本节课的学习，我们掌握了三角形三边关系定理及其应用，能够判断三条线段能否组成三角形，解决与三角形边长相关的计算和实际问题。三角形三边关系是三角形的重要性质，在几何图形的构造、长度计算等方面有着广泛的应用。希望同学们能熟练掌握并灵活运用这一性质，为后续几何知识的学习奠定基础。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
三角形按角的大小关系，可分为：
直角三角形
锐角三角形
钝角三角形
三角形
三角形若按边来分类，可分为哪几类？
活动1：观察图中的三角形你能发现它们各自的边长之间有什么关系吗
三角形按边分类
有两条边相等
三边都相等
三边各不相等
1
腰
底边
顶角
底角
有两条边相等的三角形叫作等腰三角形．
三边都相等的三角形叫作等边三角形.
（正三角形）
等边三角形是特殊的等腰三角形.
三角形
等腰三角形
等边三角形
要点归纳
议一议：元宵节的晚上，房梁上亮起了彩灯，装有黄色彩灯的电线与装有红色彩灯的电线哪根长呢？说明你的理由.
三角形的三边关系
请你动手量一量，比一比吧！
2
活动2：准备 4 根长分别为 3 cm，4 cm，5 cm，7 cm的木棒，任意取出 3 根首尾相接搭三角形，并填表:
选择木棒的长度 能否搭出三角形 示意图
能 不能 3 cm,4 cm,5 cm
A
B
C
3
4
5
√
问题：在一个三角形中，任意两边之和与第三边的长度有怎样的关系 为什么
猜想
AC + CB＞AB
证明
方法二：几何推导
因为两点之间，线段最短.
所以 AC + CB＞AB.
同理： AC + AB＞BC,
AB + BC＞AC.
方法一：测量法
画不同类别的三角形，用直尺分别测量三条线段的长度.
结论1 三角形的任意两边之和大于第三边.
A
B
C
合作探究
a
b
c
活动3：任意画一个三角形，分别量出三个三角形的三边长度，并填人表格内.
a
b
c
a
b
c
a
b
c
计算每个三角形的任意两边之差，并与第三边比较，你能得到什么结论？再画一些三角形试一试.
2. 如图，在△ABC 中，以点 B 为圆心，以 BA 的长为半径作弧，与边 BC 交于点D，图中是否有线段长度等于 BC - AB 呢
A
B
C
D
如图，BC - AB = CD.
改变三角形的形状再试试看，你能得到什么结论
能用圆规直观说明 BC -AB 与 AC 之间的大小关系吗
结论2 三角形的任意两边之差小于第三边.
如图，BC -AB < AC
E
例1 有两根长度分别为 5 cm 和 8 cm 的木棒，用长度为 2 cm 的木棒与它们首尾相接能拼成三角形吗？
不能拼成三角形.
分析：
5 + 2＜8，5 - 2＜8； 8 + 5＞2，8 - 5＞2；
8 + 2＞5，8 - 2＞5.
典例精析
解：取长度为 2 cm 的木棒时，由于 2 + 5 = 7 < 8，出现了两边之和小于第三边的情况，所以它们不能摆成三角形.
判断三条线段是否可以组成三角形，只要将较短的两边相加，或将最长的边与最短的边相减，再与第三边比较大小即可.
取长度为 13 cm 的木棒时，由于 5 + 8 = 13，出现了两边之和等于第三边的情况，所以它们也不能摆成三角形.
追问：用长度为 13 cm 的木棒呢？
总结
有两根长度分别为 5 cm 和 8 cm 的木棒；
如果第三根木棒能与这两根木棒摆成三角形，那么它的长度的取值范围是什么
总结
第三边取值范围：两边之差＜第三边长＜两边之和
较大的边－较小的边
3 cm＜木棒＜13 cm
想一想
1. 判断下列长度的三条线段能否拼成三角形？为什么？
（1）3 cm、8 cm、4 cm； （2）5 cm、6 cm、11 cm；
（3）5 cm、6 cm、10 cm.
解：（1）不能，因为 3 cm + 4 cm < 8 cm.
（2）不能，因为 5 cm + 6 cm = 11 cm.
（3）能，因为 5 cm + 6 cm > 10 cm.
判断三条线段是否可以组成三角形，只需验证两条较短线段之和是否大于第三条线段即可.
练一练
根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负.
例2 若 a，b，c 是△ABC 的三边长，
化简 |a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|.
解：根据三角形的三边关系，得
a－b－c＜0，b－c－a＜0，c＋a－b＞0，
所以 |a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|
＝b＋c－a＋c＋a－b＋c＋a－b
＝3c＋a－b.
典例精析
1. 以下列长度的线段为边，可以构成一个
三角形的是( )
A
A. 2，5，6 B. 3，4，8 C. 5，5，10 D. 3，5，9
返回
2. 如图，为了估计池塘岸
边， 两点之间的距离，小明在该池塘的一
侧选取一点，测得米， 米，
则， 两点之间的距离可能是( )
C
A. 26米 B. 19米 C. 6米 D. 5米
返回
3. 如图是三角形按边分类的关系图，则图中的 表示( )
D
（第3题）
A. 直角三角形 B. 锐角三角形
C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
返回
（第4题）
4. 如图，在中，，点在 上，
且 ，则图中的等腰三角形有
( )
D
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
返回
5. [2024驻马店期末] 已知三角形的三边长分别为,, .其中
,满足，且，则 的取值范
围是( ).
D
A. B. C. D.
【点拨】由题意得， ，由三角形的三边关系定理
得，即 .
因为，所以 .故选D.
返回
6.[2024德州月考] 已知,,为的三边长，且, 满足
，为奇数，则 的周长为___.
8
【点拨】因为
,所以
, ,
解得,,所以,即 .
因为为奇数，所以 .
所以的周长 .
返回
7. 一个等腰三角形的周长为 ，其中
一边长为 ，则这个三角形其余两边的长是多少？
小红是这样解的：由题知，底边长为.设腰长为 ，则
，解得 .
所以这个三角形其余两边的长均为 .
你认为小红的解法对吗？如果不对，请你给出正确的解法.
【解】小红的解法不对（或不全面），漏掉了当腰长是
时的情况.正确的解法如下：
分情况讨论：
（1）当底边长是时，设腰长为，则 ，
解得.此时三角形的三边长分别为， ，
，符合三角形的三边关系；
（2）当腰长为时，设底边长为，则 ，
解得 ，此时不符合三角形的三边关系，所以不能围成
腰长是 的等腰三角形.
综上，这个三角形的其余两边长分别为， .
返回
8. 木工师傅想做一个三角形的框架，他有两根长度分别为
和 的木条，需要将其中一根木条分为两段与另一
根组成一个三角形.如果不考虑损耗和接头部分，那么木工师
傅应该选择分为两段的木条是( )
B
A. 长为的木条 B. 长为 的木条
C. 两根都可以 D. 两根都不行
返回
9. 如图，用四个螺丝
将四根不可弯曲的木条围成一个木框，不
计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次
为2，3，4，6，且相邻两木条的夹角均可
C
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
调整.若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两螺丝之间
的距离最大为( )
10. 定义：一个三角形的一边长是另一边长的2
倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”.若等腰三角形 是
“倍长三角形”，底边的长为4，则腰 的长为___.
8
11.[2024上海浦东新区期中] 如图，在四边形中，是
与的交点，试说明：与的和小于四边形 的周长.
【解】因为在中， ，
在中， ，
在中， ，
在中， ，
所以 ，
整理，得 .
所以与的和小于四边形 的周长.
返回
三角形中边的关系
三角形
按边分类
三边各不相等的三角形
等腰三角形（包括等边三角形）
三角形的三边关系
任意两边之和大于第三边
任意两边之差小于第三边
谢谢观看！
阿木提江·塔西吐木尔
托克逊县第一中学
13899326086
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