4.1.3三角形的中线、角平分线、高 课件（共41张PPT）--新2024北师大版七年级数学下册课件
文档属性
| 名称 | 4.1.3三角形的中线、角平分线、高 课件（共41张PPT）--新2024北师大版七年级数学下册课件 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 15.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-24 00:00:00 | ||
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文档简介
4.1.3三角形的中线、角平分线、高
第四章 三角形
新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
买合苏迪古丽·买买提
托克逊县第二中学
15909954880
4.1.3 三角形的中线、角平分线、高
一、学习目标
理解三角形的中线、角平分线、高的定义，能准确画出任意三角形的这三种线段。
掌握三角形中线、角平分线、高的基本性质，明确它们在三角形中的位置特点。
能运用三角形中线、角平分线、高的性质解决简单的几何问题，提高几何图形的分析能力。
在探究三角形三种线段的过程中，体会数形结合思想，培养严谨的几何作图和推理能力。
二、情境引入
在三角形的学习中，除了边和角的基本要素外，还有一些特殊的线段对三角形的性质和几何推理起着重要作用。例如，在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段能将三角形分成面积相等的两部分；从一个顶点出发平分这个角的线段能将角分成两个相等的角；从一个顶点向对边作垂线能形成直角。这些特殊的线段分别是三角形的中线、角平分线和高。本节课我们就来系统学习这三种线段的定义、性质和特点。
三、三角形的中线
（一）定义
在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
如图 1，在\(\triangle ABC\)中，点\(D\)是\(BC\)边的中点（即\(BD = DC\)），则线段\(AD\)是\(\triangle ABC\)的一条中线。
[此处插入图 1：△ABC 中 AD 为中线的示意图]
（二）性质
三角形的中线是一条线段，它的一个端点是三角形的顶点，另一个端点是该顶点对边的中点。
一个三角形有三条中线（分别从三个顶点向对边作中线），这三条中线相交于三角形内部的一点，这个点叫做三角形的重心。
三角形的一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形。例如，图 1 中\(AD\)是\(\triangle ABC\)的中线，则\(S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ADC}\)（等底等高的三角形面积相等）。
三角形重心的性质：重心到顶点的距离是它到对边中点距离的 2 倍。例如，若\(G\)是\(\triangle ABC\)的重心，则\(AG = 2GD\)（\(D\)为\(BC\)中点）。
（三）作图方法
画三角形中线的步骤：
确定三角形的一个顶点（如\(A\)）和它的对边（\(BC\)）。
找到对边\(BC\)的中点\(D\)（可用刻度尺测量或用尺规作图法找中点）。
用线段连接顶点\(A\)和中点\(D\)，线段\(AD\)即为\(\triangle ABC\)的一条中线。
四、三角形的角平分线
（一）定义
在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
如图 2，在\(\triangle ABC\)中，\(AD\)平分\(\angle BAC\)，且交\(BC\)于点\(D\)，则线段\(AD\)是\(\triangle ABC\)的一条角平分线。
[此处插入图 2：△ABC 中 AD 为角平分线的示意图]
（二）性质
三角形的角平分线是一条线段，它的一个端点是三角形的顶点，另一个端点在该顶点的对边上。
一个三角形有三条角平分线（分别平分三个内角），这三条角平分线相交于三角形内部的一点，这个点叫做三角形的内心。
三角形的角平分线将它所在的内角分成两个相等的角。例如，图 2 中\(AD\)是\(\triangle ABC\)的角平分线，则\(\angle BAD=\angle CAD=\frac{1}{2}\angle BAC\)。
三角形内心的性质：内心到三角形三边的距离相等（内心是三角形内切圆的圆心）。
（三）作图方法
画三角形角平分线的步骤：
确定三角形的一个内角（如\(\angle BAC\)）。
用圆规和直尺作这个角的平分线：以顶点\(A\)为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边于两点；分别以这两点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧相交于一点；过顶点\(A\)和这个交点画射线，交对边\(BC\)于点\(D\)。
线段\(AD\)即为\(\triangle ABC\)的一条角平分线。
五、三角形的高
（一）定义
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
如图 3，在\(\triangle ABC\)中，过点\(A\)作\(BC\)边的垂线，垂足为\(D\)（即\(AD \perp BC\)），则线段\(AD\)是\(\triangle ABC\)的一条高。
[此处插入图 3：△ABC 中 AD 为高的示意图]
（二）性质
三角形的高是一条线段，它的一个端点是三角形的顶点，另一个端点是垂足（在对边或对边的延长线上）。
一个三角形有三条高（分别从三个顶点向对边作高），这三条高所在的直线相交于一点，这个点叫做三角形的垂心。
三角形的高与它所垂直的边形成两个直角（\(90^{\circ}\)）。例如，图 3 中\(AD\)是\(\triangle ABC\)的高，则\(\angle ADB=\angle ADC = 90^{\circ}\)。
不同类型三角形的高的位置特点：
锐角三角形：三条高都在三角形内部，垂心也在三角形内部。
直角三角形：两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，垂心是直角顶点。
钝角三角形：两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，垂心也在三角形外部。
[此处插入图 4：锐角、直角、钝角三角形的高的位置对比图]
（三）作图方法
画三角形高的步骤：
确定三角形的一个顶点（如\(A\)）和它的对边（\(BC\)）。
用三角尺的一条直角边与对边\(BC\)重合，另一条直角边过顶点\(A\)，沿这条直角边画垂线，交\(BC\)（或\(BC\)的延长线）于点\(D\)。
线段\(AD\)即为\(\triangle ABC\)的一条高。
六、三种线段的对比与辨析
线段类型
定义核心
端点位置
交点名称
交点位置
主要性质
中线
连接顶点与对边中点
顶点和对边中点
重心
三角形内部
分三角形为等面积两部分；重心到顶点距离是到中点的 2 倍
角平分线
内角平分线与对边交点的连线
顶点和对边上的交点
内心
三角形内部
平分内角；内心到三边距离相等
高
从顶点向对边作的垂线
顶点和垂足（对边或延长线上）
垂心
锐角三角形内、直角顶点、钝角三角形外
与对边垂直；形成直角
注意事项
三角形的中线、角平分线、高都是线段，而非直线或射线。例如，角平分线是 “线段”，而角的平分线是 “射线”，二者需区分清楚。
三种线段的交点名称不同（重心、内心、垂心），且垂心的位置随三角形类型变化，而重心和内心始终在三角形内部。
一条线段可能同时具有多种身份，例如，等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（“三线合一”），但这是特殊情况，一般三角形中三种线段不重合。
七、实例解析
例 1：如图 5，在\(\triangle ABC\)中，\(AD\)是中线，已知\(AB = 5\)，\(AC = 7\)，\(BC = 8\)，求\(BD\)的长度。
[此处插入图 5：△ABC 中 AD 为中线]
解：
∵\(AD\)是\(\triangle ABC\)的中线（已知）
∴点\(D\)是\(BC\)的中点（中线的定义）
∵\(BC = 8\)（已知）
∴\(BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\times8 = 4\)。
例 2：如图 6，在\(\triangle ABC\)中，\(AD\)是角平分线，\(\angle BAC = 80^{\circ}\)，求\(\angle BAD\)和\(\angle CAD\)的度数。
[此处插入图 6：△ABC 中 AD 为角平分线]
解：
∵\(AD\)是\(\triangle ABC\)的角平分线（已知）
∴\(\angle BAD=\angle CAD=\frac{1}{2}\angle BAC\)（角平分线的性质）
∵\(\angle BAC = 80^{\circ}\)（已知）
∴\(\angle BAD=\angle CAD=\frac{1}{2}\times80^{\circ}=40^{\circ}\)。
例 3：如图 7，在\(Rt\triangle ABC\)中，\(\angle C = 90^{\circ}\)，指出该三角形的三条高，并说明垂心的位置。
[此处插入图 7：Rt△ABC]
解：
在\(Rt\triangle ABC\)中，\(\angle C = 90^{\circ}\)。
边\(AC\)上的高是\(BC\)（因为\(BC \perp AC\)）。
边\(BC\)上的高是\(AC\)（因为\(AC \perp BC\)）。
边\(AB\)上的高是从点\(C\)向\(AB\)作的垂线\(CD\)（\(D\)为垂足）。
该三角形的垂心是直角顶点\(C\)（三条高所在直线交于点\(C\)）。
例 4：如图 8，在\(\triangle ABC\)中，\(AD\)是中线，\(G\)是重心，若\(AG = 4\)，求\(GD\)的长度。
[此处插入图 8：△ABC 中 AD 为中线，G 为重心]
解：
∵\(G\)是\(\triangle ABC\)的重心（已知）
∴重心到顶点的距离是它到对边中点距离的 2 倍（重心的性质）
即\(AG = 2GD\)
∵\(AG = 4\)（已知）
∴\(4 = 2GD\)，解得\(GD = 2\)。
八、易错点警示
概念混淆：将三角形的角平分线与角的平分线混淆，错误地认为角平分线是射线；或将高与垂线混淆，忽略高是线段而垂线是直线。
作图错误：画钝角三角形的高时，错误地将高画在三角形内部，而未延长对边找到垂足；或画中线时未准确找到对边中点。
交点位置判断错误：认为所有三角形的高的交点（垂心）都在三角形内部，忽略直角三角形垂心是直角顶点、钝角三角形垂心在外部的情况。
“三线合一” 误用：在非等腰三角形中错误地应用 “三线合一” 性质，认为中线、角平分线、高重合。
性质应用错误：忽略重心到顶点距离是到中点距离的 2 倍这一性质，或错误地认为内心到顶点的距离相等（内心到三边距离相等，而非到顶点）。
九、课堂练习
填空题：
（1）三角形的三条中线相交于______，三条角平分线相交于______，三条高所在直线相交于______。
（2）在\(\triangle ABC\)中，\(AD\)是角平分线，\(\angle B = 50^{\circ}\)，\(\angle C = 70^{\circ}\)，则\(\angle BAD = \)。
（3）直角三角形的两条直角边分别是它的两条。
选择题：
（1）下列说法正确的是（ ）
A. 三角形的中线是射线 B. 三角形的高一定在三角形内部
C. 三角形的内心到三个顶点的距离相等 D. 三角形的重心到顶点的距离是到对边中点距离的 2 倍
（2）在钝角三角形中，高的条数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
作图题：
画一个锐角三角形\(ABC\)，并分别作出它的三条中线、三条角平分线和三条高，观察它们的交点位置。
解答题：
如图 9，在\(\triangle ABC\)中，\(AD\)是高，\(AE\)是角平分线，\(\angle B = 30^{\circ}\)，\(\angle C = 70^{\circ}\)，求\(\angle DAE\)的度数。
[此处插入图 9：△ABC 中 AD 为高，AE 为角平分线]
十、方法总结
概念辨析方法：通过对比三种线段的定义、端点、交点等特征，明确它们的区别与联系，避免概念混淆。
作图技巧：画中线时先找对边中点，画角平分线时用尺规作图法平分内角，画高时注意不同类型三角形的高的位置（尤其是钝角三角形需延长对边）。
性质应用思路：
中线：利用 “分三角形为等面积两部分” 和 “重心性质” 解决长度和面积问题。
角平分线：利用 “平分内角” 的性质计算角度，或利用 “内心到三边距离相等” 解决距离问题。
高：利用 “垂直形成直角” 的性质构造直角三角形，结合直角三角形的性质解决问题。
特殊三角形关注：在等腰三角形中注意 “三线合一” 的应用，在直角三角形中明确高与直角边的关系，在钝角三角形中准确判断高的位置。
通过本节课的学习，我们掌握了三角形中线、角平分线、高的定义、性质和作图方法，明确了它们在三角形中的位置特点和作用。这三种线段是三角形的重要组成部分，在后续学习三角形全等、相似等知识时会经常用到。希望同学们能熟练区分和运用这三种线段的性质，为几何学习打下坚实基础。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
如图，用铅笔可以支起一张均匀的三角形卡片.
你知道怎样确定这个点的位置吗？
三角形的高
如图，在△ABC 中，点 F 是 BC 边上的一个动点，连接 AF，在点 F 的运动过程中，观察点 F或线段 AF 有哪些特殊的位置. 说说你的想法，并与同伴进行交流.
A
B
C
F
1
点击视频观看→
观察 ∠AFB 或线段 AF 的大小有什么特殊的？
↑
点击几何画板操作
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高.
如图，线段 AF 是△ABC 的 BC 边上的高.
A
B
C
F
知识要点
AF?BC
活动1：每人准备一个锐角三角形纸片.
(1)你能画出这个三角形的三条高吗？你能用折纸的方法得到它们吗？
(2)这三条高之间有怎样的位置关系？将你的结果与同伴进行交流.
锐角三角形的三条高直线交于同一点，并且这个点在三角形内部.
如图所示.
合作探究
在纸上画出一个直角三角形和一个钝角三角形.
(1) 画出直角三角形的三条高，它们有怎样的位置关系？
(2) 你能折出钝角三角形的三条高吗？你能画出它们吗？
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
（1）如图，直角三角形的三条高所在的直线交于一点，这个点是直角三角形的直角顶点.
议一议
（2）只能折出
其中一条高，画出如图：
A
B
C
D
F
(3)钝角三角形的三条高交于一点吗？它们所在的直线交于一点吗？
将你的结果与同伴进行交流.
O
E
钝角三角形的三条高互不相交，它们所在的直线交于一点，并且这个点在三角形外部.
三角形的三条高所在的直线交于一点.
1. 分别指出图中 △ABC 的三条高.
直角边 BC 上的高是 ；
直角边 AB 上的高是 .
(1) 斜边 AC 上的高是 ；
AB
CB
BD
(2) AC 边上的高是 ；
AB 边上的高是 ；
BC 边上的高是 ；
BF
CE
AD
练一练
第(1)题图
第(2)题图
三角形的中线
点击视频观看→
↑
点击几何画板操作
观察 FB 与 CF 的长度有什么特殊的？
2
在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线.
如图，AE 是 △ABC 中 BC 边上的中线.
B
A
C
BE = EC
E
让我们先看看三角形的中线有什么特点.
知识要点
活动2：(1) 在纸上画出一个锐角三角形，确定它的中线.你有什么方法？它有多少条中线？它们有怎样的位置关系?
三条中线，
相交于一点
合作探究
(2) 钝角三角形和直角三角形的三条中线也有同样的位置关系吗？折一折，画一画，并与同伴进行交流.
三角形的三条中线交于一点，这个点称为三角形的重心.
归纳总结：
重心
(3) 如图，在△ABC 中，AD 是△ABC 的中线．试判断
△ABD 和△ACD 的面积有什么关系？为什么？
B
C
D
A
答：相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等.
(4) 通过题 (3) 你能发现什么规律？
三角形的中线能将三角形的面积平分.
例1 如图，在△ABC 中，AC＝5 cm，AD 是△ABC的中线，若△ABD 的周长比△ADC 的周长大 2 cm，则 AB＝____cm.
提示：将△ABD 与△ADC 的周长之差转化为边长之差.
7
B
A
C
D
典例精析
解析：因为 CE 是△ACD 的中线，
例2 如图，AD 是△ABC 的中线，CE 是△ACD 的中线，S△AEC = 3 cm2，则 S△ABC =______cm2.
12
所以 S△AEC = S△EDC = S△ADC，
即 S△ADC = 6 cm2.
又因为 AD 是△ABC 的中线，
所以 S△ABD = S△ADC = S△ABC，
即 S△ABC = 12 cm2.
三角形的角平分线
3
点击视频观看→
↑
点击几何画板操作
观察 ∠BAF 与 ∠CAF 的大小有什么特殊的？
三角形的角平分线的定义：
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
1
2
A
B
C
D
注意：“三角形的角平分线”是线段，不是射线.
∠1 =∠2
知识要点
每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸
片各一个.
(1) 你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗？
(2) 你能用折纸的办法得到它们吗？
(3) 在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的
位置关系？
合作探究
B
A
C
（1）用量角器画最简便，用圆规也能.
（2）在一张纸上画出一个一个三角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合.
折痕 AD 即为∠BAC 的平分线.
A
B
C
D
D
三角形的三条角平分线交于同一点.
三角形角平分线的特征
归纳总结
解：因为 AD 是△ABC 的角平分线，∠BAC＝68°，
例3 如图，在△ABC 中，∠BAC = 68°，∠B = 36°，AD 是△ABC 的一条角平分线，求∠ADB 的度数.
B
D
A
C
所以∠DAC＝∠BAD＝34°.
在△ABD中，∠B +∠ADB +∠BAD＝180°，
所以∠ADB＝180°－∠B－∠BAD
＝180°－36°－34°＝110°.
典例精析
2. 如图，在△ABC 中，∠1 =∠2，G 为 AD 中点，延长 BG 交 AC 于点 E，F 为 AB 上一点，CF 交 AD 于 H，判断下列说法的正误.
⌒
⌒
A
B
C
D
E
1
2
F
G
H
（1）AD 是△ABE 的角平分线. ( )
（2）BE 是△ABD 的边 AD 上的中线. ( )
（3）BE 是△ABC 的边 AC 上的中线. ( )
×
×
×
练一练
1. 下列图形中，△????????????的边???????? 上的
高线画法正确的是( )
?
B
A. B. C. D.
返回
（第2题）
2. 如图，在△????????????中，∠????=46? ，???????? 是
△????????????的角平分线，点????，????，???? 在同一条
直线上，????????//????????，∠????=42? ，则∠???? 的度
数为( )
?
C
A. 44? B. 48? C. 50? D. 60?
?
返回
3. [2024阳江期中] 下列说法中，正确的是( )
D
A. 三角形的中线就是过顶点平分对边的直线
B. 三角形的高就是顶点到对边的垂线
C. 三角形的角平分线就是三角形的内角平分线
D. 三角形的三条中线交于一点
返回
（第4题）
4. 如图，小敏在折扇的
扇骨上连接了????，????两点，与扇钉???? 构成
了△????????????，???????? 分别交中间两根扇骨于
????，????两点，已知∠1=∠2，则????????是△
_____的角平分线，若????????是△???????????? 的角
?
????????????
?
30?
?
平分线，∠????????????=90? ，则∠3 的度数为____.
?
返回
5.[2024宿迁月考] 在△????????????中，????是????????的中点，????????=12 ，
????????=8.用剪刀从点????入手进行裁剪，若沿???????? 剪成两个三角形，
它们周长的差为___.
?
4
【点拨】如图，
因为????是????????的中点，所以????????=???????? .
因为△????????????的周长=????????+????????+????????，△???????????? 的周长
=????????+????????+????????，????????=12，????????=8 ，
所以它们周长的差=?????????????????=4 .
?
返回
6.如图，已知点????是△???????????? 的重心，连接
????????，并延长交????????于点????.若△???????????? 的面
积为20，则△???????????? 的面积为____.
?
10
【点拨】因为????是△???????????? 的重心，
?
所以????????是△???????????? 的中线.
所以△????????????的面积等于△???????????? 面积的一半.
又因为△????????????的面积为20,所以△???????????? 的面积为10.
?
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7.如图，????????，????????分别是△???????????? 的高和角平分
线，∠????=40? ，∠????=60? ，求∠???????????? 的度
数.
?
【解】因为∠????=40? ，∠????=60? ，
所以∠????????????=180??∠?????∠????=80? .
因为????????是△???????????? 的角平分线，
所以∠????????????=?12?∠????????????=40? .
因为????????⊥????????，所以∠????????????=90??∠????=50? .
所以∠????????????=∠?????????????∠????????????=10? .
?
返回
（第8题）
8. 如图，网格中的小正方形的边长均为
1，△????????????和△???????????? 的顶点都在网格格点
上，则△????????????和△???????????? 的面积之比为
( )
?
B
A. 1:2 B. 2:3 C. 3:2 D. 3:4
?
返回
（第9题）
9. [2024荆州月考] 如图，在△???????????? 中，
????????⊥????????，????????⊥????????，垂足分别为????，???? ，
????????与????????交于点????，连接????????并延长交???????? 于点
????.若????????=5，????????=4，????????=6 ，则
????????:????????:????????= ( )
?
B
A. 5:4:6 B. 12:15:10 C. 15:10:12 D. 10:15:12
?
（第10题）
10. [2024咸阳月考] 如图，在△????????????
中，????为边????????的中点，连接????????，取???????? 的
中点????，连接????????，????????，????为???????? 的中点，
连接????????.若△????????????的面积为32，则△???????????? 的
面积为( )
?
A
A. 6 B. 4 C. 3 D. 2
（第11题）
11. 清初数学家梅文鼎在著作
《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶
提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给
出了一个完整的证明，证明过程中创造性
地设计直角三角形，得出了一个结论：如
1
图，????????是锐角三角形???????????? 的高，则
????????=12(????????+????????2?????????2????????).当????????=7,????????=6 ,
????????=5时，????????= ___.
?
返回
12.如图，在△????????????中，∠????????????=2∠???? ，
∠?????????????∠????????????=5? ，????????⊥????????，垂足为????，????????是∠???????????? 的
平分线，且交????????于点????，交????????于点???? .
?
（1）求∠????，∠????????????，∠???????????? 的度数；
?
【解】因为∠????????????=2∠????,∠?????????????∠????????????=5?,
所以∠????=12∠????????????,∠????????????=∠????????????+5? .因为
∠????+∠????????????+∠?????????????=180? ,所以
12∠????????????+∠?????????????+∠????????????+5?=180? ,解得
∠?????????????=70? .所以∠????=35? ,∠????????????=75? .
?
（2）求∠???????????? 的度数.
?
【解】因为????????是∠???????????? 的平分线，所以
∠????????????=12∠????????????=35? .易知∠????????????=90? ,所
以∠????????????=90??35?=55? .所以
∠????????????=180??∠????????????=125? .
?
返回
三角形中
几条重要线段
角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段
中线：连接三角形的一个顶点与对边中点的线段
高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段.
谢谢观看！
阿木提江·塔西吐木尔
托克逊县第一中学
13899326086
第四章 三角形
新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
买合苏迪古丽·买买提
托克逊县第二中学
15909954880
4.1.3 三角形的中线、角平分线、高
一、学习目标
理解三角形的中线、角平分线、高的定义，能准确画出任意三角形的这三种线段。
掌握三角形中线、角平分线、高的基本性质，明确它们在三角形中的位置特点。
能运用三角形中线、角平分线、高的性质解决简单的几何问题，提高几何图形的分析能力。
在探究三角形三种线段的过程中，体会数形结合思想，培养严谨的几何作图和推理能力。
二、情境引入
在三角形的学习中，除了边和角的基本要素外，还有一些特殊的线段对三角形的性质和几何推理起着重要作用。例如，在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段能将三角形分成面积相等的两部分；从一个顶点出发平分这个角的线段能将角分成两个相等的角；从一个顶点向对边作垂线能形成直角。这些特殊的线段分别是三角形的中线、角平分线和高。本节课我们就来系统学习这三种线段的定义、性质和特点。
三、三角形的中线
（一）定义
在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
如图 1，在\(\triangle ABC\)中，点\(D\)是\(BC\)边的中点（即\(BD = DC\)），则线段\(AD\)是\(\triangle ABC\)的一条中线。
[此处插入图 1：△ABC 中 AD 为中线的示意图]
（二）性质
三角形的中线是一条线段，它的一个端点是三角形的顶点，另一个端点是该顶点对边的中点。
一个三角形有三条中线（分别从三个顶点向对边作中线），这三条中线相交于三角形内部的一点，这个点叫做三角形的重心。
三角形的一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形。例如，图 1 中\(AD\)是\(\triangle ABC\)的中线，则\(S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ADC}\)（等底等高的三角形面积相等）。
三角形重心的性质：重心到顶点的距离是它到对边中点距离的 2 倍。例如，若\(G\)是\(\triangle ABC\)的重心，则\(AG = 2GD\)（\(D\)为\(BC\)中点）。
（三）作图方法
画三角形中线的步骤：
确定三角形的一个顶点（如\(A\)）和它的对边（\(BC\)）。
找到对边\(BC\)的中点\(D\)（可用刻度尺测量或用尺规作图法找中点）。
用线段连接顶点\(A\)和中点\(D\)，线段\(AD\)即为\(\triangle ABC\)的一条中线。
四、三角形的角平分线
（一）定义
在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
如图 2，在\(\triangle ABC\)中，\(AD\)平分\(\angle BAC\)，且交\(BC\)于点\(D\)，则线段\(AD\)是\(\triangle ABC\)的一条角平分线。
[此处插入图 2：△ABC 中 AD 为角平分线的示意图]
（二）性质
三角形的角平分线是一条线段，它的一个端点是三角形的顶点，另一个端点在该顶点的对边上。
一个三角形有三条角平分线（分别平分三个内角），这三条角平分线相交于三角形内部的一点，这个点叫做三角形的内心。
三角形的角平分线将它所在的内角分成两个相等的角。例如，图 2 中\(AD\)是\(\triangle ABC\)的角平分线，则\(\angle BAD=\angle CAD=\frac{1}{2}\angle BAC\)。
三角形内心的性质：内心到三角形三边的距离相等（内心是三角形内切圆的圆心）。
（三）作图方法
画三角形角平分线的步骤：
确定三角形的一个内角（如\(\angle BAC\)）。
用圆规和直尺作这个角的平分线：以顶点\(A\)为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边于两点；分别以这两点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧相交于一点；过顶点\(A\)和这个交点画射线，交对边\(BC\)于点\(D\)。
线段\(AD\)即为\(\triangle ABC\)的一条角平分线。
五、三角形的高
（一）定义
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
如图 3，在\(\triangle ABC\)中，过点\(A\)作\(BC\)边的垂线，垂足为\(D\)（即\(AD \perp BC\)），则线段\(AD\)是\(\triangle ABC\)的一条高。
[此处插入图 3：△ABC 中 AD 为高的示意图]
（二）性质
三角形的高是一条线段，它的一个端点是三角形的顶点，另一个端点是垂足（在对边或对边的延长线上）。
一个三角形有三条高（分别从三个顶点向对边作高），这三条高所在的直线相交于一点，这个点叫做三角形的垂心。
三角形的高与它所垂直的边形成两个直角（\(90^{\circ}\)）。例如，图 3 中\(AD\)是\(\triangle ABC\)的高，则\(\angle ADB=\angle ADC = 90^{\circ}\)。
不同类型三角形的高的位置特点：
锐角三角形：三条高都在三角形内部，垂心也在三角形内部。
直角三角形：两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，垂心是直角顶点。
钝角三角形：两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，垂心也在三角形外部。
[此处插入图 4：锐角、直角、钝角三角形的高的位置对比图]
（三）作图方法
画三角形高的步骤：
确定三角形的一个顶点（如\(A\)）和它的对边（\(BC\)）。
用三角尺的一条直角边与对边\(BC\)重合，另一条直角边过顶点\(A\)，沿这条直角边画垂线，交\(BC\)（或\(BC\)的延长线）于点\(D\)。
线段\(AD\)即为\(\triangle ABC\)的一条高。
六、三种线段的对比与辨析
线段类型
定义核心
端点位置
交点名称
交点位置
主要性质
中线
连接顶点与对边中点
顶点和对边中点
重心
三角形内部
分三角形为等面积两部分；重心到顶点距离是到中点的 2 倍
角平分线
内角平分线与对边交点的连线
顶点和对边上的交点
内心
三角形内部
平分内角；内心到三边距离相等
高
从顶点向对边作的垂线
顶点和垂足（对边或延长线上）
垂心
锐角三角形内、直角顶点、钝角三角形外
与对边垂直；形成直角
注意事项
三角形的中线、角平分线、高都是线段，而非直线或射线。例如，角平分线是 “线段”，而角的平分线是 “射线”，二者需区分清楚。
三种线段的交点名称不同（重心、内心、垂心），且垂心的位置随三角形类型变化，而重心和内心始终在三角形内部。
一条线段可能同时具有多种身份，例如，等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（“三线合一”），但这是特殊情况，一般三角形中三种线段不重合。
七、实例解析
例 1：如图 5，在\(\triangle ABC\)中，\(AD\)是中线，已知\(AB = 5\)，\(AC = 7\)，\(BC = 8\)，求\(BD\)的长度。
[此处插入图 5：△ABC 中 AD 为中线]
解：
∵\(AD\)是\(\triangle ABC\)的中线（已知）
∴点\(D\)是\(BC\)的中点（中线的定义）
∵\(BC = 8\)（已知）
∴\(BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\times8 = 4\)。
例 2：如图 6，在\(\triangle ABC\)中，\(AD\)是角平分线，\(\angle BAC = 80^{\circ}\)，求\(\angle BAD\)和\(\angle CAD\)的度数。
[此处插入图 6：△ABC 中 AD 为角平分线]
解：
∵\(AD\)是\(\triangle ABC\)的角平分线（已知）
∴\(\angle BAD=\angle CAD=\frac{1}{2}\angle BAC\)（角平分线的性质）
∵\(\angle BAC = 80^{\circ}\)（已知）
∴\(\angle BAD=\angle CAD=\frac{1}{2}\times80^{\circ}=40^{\circ}\)。
例 3：如图 7，在\(Rt\triangle ABC\)中，\(\angle C = 90^{\circ}\)，指出该三角形的三条高，并说明垂心的位置。
[此处插入图 7：Rt△ABC]
解：
在\(Rt\triangle ABC\)中，\(\angle C = 90^{\circ}\)。
边\(AC\)上的高是\(BC\)（因为\(BC \perp AC\)）。
边\(BC\)上的高是\(AC\)（因为\(AC \perp BC\)）。
边\(AB\)上的高是从点\(C\)向\(AB\)作的垂线\(CD\)（\(D\)为垂足）。
该三角形的垂心是直角顶点\(C\)（三条高所在直线交于点\(C\)）。
例 4：如图 8，在\(\triangle ABC\)中，\(AD\)是中线，\(G\)是重心，若\(AG = 4\)，求\(GD\)的长度。
[此处插入图 8：△ABC 中 AD 为中线，G 为重心]
解：
∵\(G\)是\(\triangle ABC\)的重心（已知）
∴重心到顶点的距离是它到对边中点距离的 2 倍（重心的性质）
即\(AG = 2GD\)
∵\(AG = 4\)（已知）
∴\(4 = 2GD\)，解得\(GD = 2\)。
八、易错点警示
概念混淆：将三角形的角平分线与角的平分线混淆，错误地认为角平分线是射线；或将高与垂线混淆，忽略高是线段而垂线是直线。
作图错误：画钝角三角形的高时，错误地将高画在三角形内部，而未延长对边找到垂足；或画中线时未准确找到对边中点。
交点位置判断错误：认为所有三角形的高的交点（垂心）都在三角形内部，忽略直角三角形垂心是直角顶点、钝角三角形垂心在外部的情况。
“三线合一” 误用：在非等腰三角形中错误地应用 “三线合一” 性质，认为中线、角平分线、高重合。
性质应用错误：忽略重心到顶点距离是到中点距离的 2 倍这一性质，或错误地认为内心到顶点的距离相等（内心到三边距离相等，而非到顶点）。
九、课堂练习
填空题：
（1）三角形的三条中线相交于______，三条角平分线相交于______，三条高所在直线相交于______。
（2）在\(\triangle ABC\)中，\(AD\)是角平分线，\(\angle B = 50^{\circ}\)，\(\angle C = 70^{\circ}\)，则\(\angle BAD = \)。
（3）直角三角形的两条直角边分别是它的两条。
选择题：
（1）下列说法正确的是（ ）
A. 三角形的中线是射线 B. 三角形的高一定在三角形内部
C. 三角形的内心到三个顶点的距离相等 D. 三角形的重心到顶点的距离是到对边中点距离的 2 倍
（2）在钝角三角形中，高的条数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
作图题：
画一个锐角三角形\(ABC\)，并分别作出它的三条中线、三条角平分线和三条高，观察它们的交点位置。
解答题：
如图 9，在\(\triangle ABC\)中，\(AD\)是高，\(AE\)是角平分线，\(\angle B = 30^{\circ}\)，\(\angle C = 70^{\circ}\)，求\(\angle DAE\)的度数。
[此处插入图 9：△ABC 中 AD 为高，AE 为角平分线]
十、方法总结
概念辨析方法：通过对比三种线段的定义、端点、交点等特征，明确它们的区别与联系，避免概念混淆。
作图技巧：画中线时先找对边中点，画角平分线时用尺规作图法平分内角，画高时注意不同类型三角形的高的位置（尤其是钝角三角形需延长对边）。
性质应用思路：
中线：利用 “分三角形为等面积两部分” 和 “重心性质” 解决长度和面积问题。
角平分线：利用 “平分内角” 的性质计算角度，或利用 “内心到三边距离相等” 解决距离问题。
高：利用 “垂直形成直角” 的性质构造直角三角形，结合直角三角形的性质解决问题。
特殊三角形关注：在等腰三角形中注意 “三线合一” 的应用，在直角三角形中明确高与直角边的关系，在钝角三角形中准确判断高的位置。
通过本节课的学习，我们掌握了三角形中线、角平分线、高的定义、性质和作图方法，明确了它们在三角形中的位置特点和作用。这三种线段是三角形的重要组成部分，在后续学习三角形全等、相似等知识时会经常用到。希望同学们能熟练区分和运用这三种线段的性质，为几何学习打下坚实基础。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
如图，用铅笔可以支起一张均匀的三角形卡片.
你知道怎样确定这个点的位置吗？
三角形的高
如图，在△ABC 中，点 F 是 BC 边上的一个动点，连接 AF，在点 F 的运动过程中，观察点 F或线段 AF 有哪些特殊的位置. 说说你的想法，并与同伴进行交流.
A
B
C
F
1
点击视频观看→
观察 ∠AFB 或线段 AF 的大小有什么特殊的？
↑
点击几何画板操作
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高.
如图，线段 AF 是△ABC 的 BC 边上的高.
A
B
C
F
知识要点
AF?BC
活动1：每人准备一个锐角三角形纸片.
(1)你能画出这个三角形的三条高吗？你能用折纸的方法得到它们吗？
(2)这三条高之间有怎样的位置关系？将你的结果与同伴进行交流.
锐角三角形的三条高直线交于同一点，并且这个点在三角形内部.
如图所示.
合作探究
在纸上画出一个直角三角形和一个钝角三角形.
(1) 画出直角三角形的三条高，它们有怎样的位置关系？
(2) 你能折出钝角三角形的三条高吗？你能画出它们吗？
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
（1）如图，直角三角形的三条高所在的直线交于一点，这个点是直角三角形的直角顶点.
议一议
（2）只能折出
其中一条高，画出如图：
A
B
C
D
F
(3)钝角三角形的三条高交于一点吗？它们所在的直线交于一点吗？
将你的结果与同伴进行交流.
O
E
钝角三角形的三条高互不相交，它们所在的直线交于一点，并且这个点在三角形外部.
三角形的三条高所在的直线交于一点.
1. 分别指出图中 △ABC 的三条高.
直角边 BC 上的高是 ；
直角边 AB 上的高是 .
(1) 斜边 AC 上的高是 ；
AB
CB
BD
(2) AC 边上的高是 ；
AB 边上的高是 ；
BC 边上的高是 ；
BF
CE
AD
练一练
第(1)题图
第(2)题图
三角形的中线
点击视频观看→
↑
点击几何画板操作
观察 FB 与 CF 的长度有什么特殊的？
2
在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线.
如图，AE 是 △ABC 中 BC 边上的中线.
B
A
C
BE = EC
E
让我们先看看三角形的中线有什么特点.
知识要点
活动2：(1) 在纸上画出一个锐角三角形，确定它的中线.你有什么方法？它有多少条中线？它们有怎样的位置关系?
三条中线，
相交于一点
合作探究
(2) 钝角三角形和直角三角形的三条中线也有同样的位置关系吗？折一折，画一画，并与同伴进行交流.
三角形的三条中线交于一点，这个点称为三角形的重心.
归纳总结：
重心
(3) 如图，在△ABC 中，AD 是△ABC 的中线．试判断
△ABD 和△ACD 的面积有什么关系？为什么？
B
C
D
A
答：相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等.
(4) 通过题 (3) 你能发现什么规律？
三角形的中线能将三角形的面积平分.
例1 如图，在△ABC 中，AC＝5 cm，AD 是△ABC的中线，若△ABD 的周长比△ADC 的周长大 2 cm，则 AB＝____cm.
提示：将△ABD 与△ADC 的周长之差转化为边长之差.
7
B
A
C
D
典例精析
解析：因为 CE 是△ACD 的中线，
例2 如图，AD 是△ABC 的中线，CE 是△ACD 的中线，S△AEC = 3 cm2，则 S△ABC =______cm2.
12
所以 S△AEC = S△EDC = S△ADC，
即 S△ADC = 6 cm2.
又因为 AD 是△ABC 的中线，
所以 S△ABD = S△ADC = S△ABC，
即 S△ABC = 12 cm2.
三角形的角平分线
3
点击视频观看→
↑
点击几何画板操作
观察 ∠BAF 与 ∠CAF 的大小有什么特殊的？
三角形的角平分线的定义：
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
1
2
A
B
C
D
注意：“三角形的角平分线”是线段，不是射线.
∠1 =∠2
知识要点
每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸
片各一个.
(1) 你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗？
(2) 你能用折纸的办法得到它们吗？
(3) 在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的
位置关系？
合作探究
B
A
C
（1）用量角器画最简便，用圆规也能.
（2）在一张纸上画出一个一个三角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合.
折痕 AD 即为∠BAC 的平分线.
A
B
C
D
D
三角形的三条角平分线交于同一点.
三角形角平分线的特征
归纳总结
解：因为 AD 是△ABC 的角平分线，∠BAC＝68°，
例3 如图，在△ABC 中，∠BAC = 68°，∠B = 36°，AD 是△ABC 的一条角平分线，求∠ADB 的度数.
B
D
A
C
所以∠DAC＝∠BAD＝34°.
在△ABD中，∠B +∠ADB +∠BAD＝180°，
所以∠ADB＝180°－∠B－∠BAD
＝180°－36°－34°＝110°.
典例精析
2. 如图，在△ABC 中，∠1 =∠2，G 为 AD 中点，延长 BG 交 AC 于点 E，F 为 AB 上一点，CF 交 AD 于 H，判断下列说法的正误.
⌒
⌒
A
B
C
D
E
1
2
F
G
H
（1）AD 是△ABE 的角平分线. ( )
（2）BE 是△ABD 的边 AD 上的中线. ( )
（3）BE 是△ABC 的边 AC 上的中线. ( )
×
×
×
练一练
1. 下列图形中，△????????????的边???????? 上的
高线画法正确的是( )
?
B
A. B. C. D.
返回
（第2题）
2. 如图，在△????????????中，∠????=46? ，???????? 是
△????????????的角平分线，点????，????，???? 在同一条
直线上，????????//????????，∠????=42? ，则∠???? 的度
数为( )
?
C
A. 44? B. 48? C. 50? D. 60?
?
返回
3. [2024阳江期中] 下列说法中，正确的是( )
D
A. 三角形的中线就是过顶点平分对边的直线
B. 三角形的高就是顶点到对边的垂线
C. 三角形的角平分线就是三角形的内角平分线
D. 三角形的三条中线交于一点
返回
（第4题）
4. 如图，小敏在折扇的
扇骨上连接了????，????两点，与扇钉???? 构成
了△????????????，???????? 分别交中间两根扇骨于
????，????两点，已知∠1=∠2，则????????是△
_____的角平分线，若????????是△???????????? 的角
?
????????????
?
30?
?
平分线，∠????????????=90? ，则∠3 的度数为____.
?
返回
5.[2024宿迁月考] 在△????????????中，????是????????的中点，????????=12 ，
????????=8.用剪刀从点????入手进行裁剪，若沿???????? 剪成两个三角形，
它们周长的差为___.
?
4
【点拨】如图，
因为????是????????的中点，所以????????=???????? .
因为△????????????的周长=????????+????????+????????，△???????????? 的周长
=????????+????????+????????，????????=12，????????=8 ，
所以它们周长的差=?????????????????=4 .
?
返回
6.如图，已知点????是△???????????? 的重心，连接
????????，并延长交????????于点????.若△???????????? 的面
积为20，则△???????????? 的面积为____.
?
10
【点拨】因为????是△???????????? 的重心，
?
所以????????是△???????????? 的中线.
所以△????????????的面积等于△???????????? 面积的一半.
又因为△????????????的面积为20,所以△???????????? 的面积为10.
?
返回
7.如图，????????，????????分别是△???????????? 的高和角平分
线，∠????=40? ，∠????=60? ，求∠???????????? 的度
数.
?
【解】因为∠????=40? ，∠????=60? ，
所以∠????????????=180??∠?????∠????=80? .
因为????????是△???????????? 的角平分线，
所以∠????????????=?12?∠????????????=40? .
因为????????⊥????????，所以∠????????????=90??∠????=50? .
所以∠????????????=∠?????????????∠????????????=10? .
?
返回
（第8题）
8. 如图，网格中的小正方形的边长均为
1，△????????????和△???????????? 的顶点都在网格格点
上，则△????????????和△???????????? 的面积之比为
( )
?
B
A. 1:2 B. 2:3 C. 3:2 D. 3:4
?
返回
（第9题）
9. [2024荆州月考] 如图，在△???????????? 中，
????????⊥????????，????????⊥????????，垂足分别为????，???? ，
????????与????????交于点????，连接????????并延长交???????? 于点
????.若????????=5，????????=4，????????=6 ，则
????????:????????:????????= ( )
?
B
A. 5:4:6 B. 12:15:10 C. 15:10:12 D. 10:15:12
?
（第10题）
10. [2024咸阳月考] 如图，在△????????????
中，????为边????????的中点，连接????????，取???????? 的
中点????，连接????????，????????，????为???????? 的中点，
连接????????.若△????????????的面积为32，则△???????????? 的
面积为( )
?
A
A. 6 B. 4 C. 3 D. 2
（第11题）
11. 清初数学家梅文鼎在著作
《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶
提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给
出了一个完整的证明，证明过程中创造性
地设计直角三角形，得出了一个结论：如
1
图，????????是锐角三角形???????????? 的高，则
????????=12(????????+????????2?????????2????????).当????????=7,????????=6 ,
????????=5时，????????= ___.
?
返回
12.如图，在△????????????中，∠????????????=2∠???? ，
∠?????????????∠????????????=5? ，????????⊥????????，垂足为????，????????是∠???????????? 的
平分线，且交????????于点????，交????????于点???? .
?
（1）求∠????，∠????????????，∠???????????? 的度数；
?
【解】因为∠????????????=2∠????,∠?????????????∠????????????=5?,
所以∠????=12∠????????????,∠????????????=∠????????????+5? .因为
∠????+∠????????????+∠?????????????=180? ,所以
12∠????????????+∠?????????????+∠????????????+5?=180? ,解得
∠?????????????=70? .所以∠????=35? ,∠????????????=75? .
?
（2）求∠???????????? 的度数.
?
【解】因为????????是∠???????????? 的平分线，所以
∠????????????=12∠????????????=35? .易知∠????????????=90? ,所
以∠????????????=90??35?=55? .所以
∠????????????=180??∠????????????=125? .
?
返回
三角形中
几条重要线段
角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段
中线：连接三角形的一个顶点与对边中点的线段
高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段.
谢谢观看！
阿木提江·塔西吐木尔
托克逊县第一中学
13899326086
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