4.3.2利用“角边角”“角角边”判定三角形全等 课件（共35张PPT）--新2024北师大版七年级数学下册课件

(共35张PPT)
4.3.2利用“角边角”“角角边”判定三角形全等
第四章 三角形
新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
买合苏迪古丽·买买提
托克逊县第二中学
15909954880
利用 “角边角”“角角边” 判定三角形全等
一、学习目标
理解 “角边角”（ASA）和 “角角边”（AAS）判定三角形全等的定理内容，明确两种判定方法的适用条件及联系。
能运用 “角边角” 和 “角角边” 定理准确判断两个三角形是否全等，规范书写几何推理过程。
经历定理的探究过程，体会从实验操作到理论验证的思维方法，培养几何直观和逻辑推理能力。
能结合具体图形识别公共角、对顶角等隐含条件，灵活选择判定方法解决几何问题。
二、情境引入
在之前的学习中，我们知道 “边边边”（SSS）定理可以判定两个三角形全等，即当三条边对应相等时，三角形的形状和大小就唯一确定。那么，如果已知两个三角形的角和边对应相等，是否也能判定它们全等呢？例如，一块三角形玻璃被打碎后，只剩下两个角和夹在中间的一条边完好，能否根据这部分碎片还原出与原来完全相同的三角形玻璃？这背后蕴含着三角形全等的另一种判定方法。本节课我们就来探究利用角和边的关系判定三角形全等的方法 ——“角边角” 和 “角角边”。
三、“角边角”（ASA）判定定理的探究
（一）实验操作
已知一个三角形的两个角分别为\(60^{\circ}\)和\(70^{\circ}\)，这两个角的夹边为 5cm，用尺规作图的方法画一个三角形，使它的两个角和夹边分别与已知条件相等。
步骤：
画一条线段 AB，使 AB = 5cm。
以点 A 为顶点，AB 为一边，用量角器画∠BAD = \(60^{\circ}\)。
以点 B 为顶点，AB 为一边，用量角器画∠ABE = \(70^{\circ}\)，AD 与 BE 交于点 C。
得到△ABC。
将画出的三角形剪下，与其他同学画出的三角形进行叠合，观察是否能够完全重合。
结论：所有满足条件的三角形都能完全重合，即当两个三角形的两个角及其夹边对应相等时，这两个三角形全等。
（二）定理内容
角边角（ASA）判定定理：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
简单记作：“角边角” 或 “ASA”。
（三）几何语言表达
在△ABC 和△DEF 中（如图 1）：\(
\begin{cases}
\angle A = \angle D \\
AB = DE \\
\angle B = \angle E
\end{cases}
\)
∴△ABC≌△DEF（ASA）
[此处插入图 1：△ABC 与△DEF 两角及夹边对应相等的示意图]
四、“角角边”（AAS）判定定理的探究
（一）定理推导
根据三角形内角和定理，三角形的三个内角和为\(180^{\circ}\)。如果两个三角形有两个角对应相等，那么第三个角也必然对应相等（因为\(\angle C = 180^{\circ}-\angle A-\angle B\)，\(\angle F = 180^{\circ}-\angle D-\angle E\)，若\(\angle A=\angle D\)且\(\angle B=\angle E\)，则\(\angle C=\angle F\)）。
由此可推出：
角角边（AAS）判定定理：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
简单记作：“角角边” 或 “AAS”。
（二）几何语言表达
在△ABC 和△DEF 中（如图 2）：\(
\begin{cases}ASA
两角 + 夹边对应相等
AAS 可由 ASA 和三角形内角和定理推导得出，两者都需要两个角和一条边对应相等
ASA 的边是两个角的夹边；AAS 的边是其中一个角的对边
AAS
两角 + 一角对边对应相等
——
——
五、定理的应用
（一）利用 ASA 判定全等
例 1：如图 3，已知 AB∥CD，AB = CD，求证：△ABC≌△CDA。
[此处插入图 3：AB∥CD，AC 为公共边的示意图]
证明：
∵AB∥CD（已知）
∴∠BAC = ∠DCA（两直线平行，内错角相等）
在△ABC 和△CDA 中：\(
\begin{cases}
\angle BAC = \angle DCA · è \\
AB = CD · \\
\angle ABC = \angle CDA ±è AC é °
\end{cases}
\)
修正证明：
∵AB∥CD（已知）
∴∠BAC = ∠DCA（两直线平行，内错角相等）
在△ABC 和△CDA 中：\(
\begin{cases}
\angle BAC = \angle DCA · è \\
AC = CA ±è \\
\angle ACB = \angle CAD ¤ è é è§
\end{cases}
\)
∴△ABC≌△CDA（ASA）
（二）利用 AAS 判定全等
例 2：如图 4，点 B、F、C、E 在同一条直线上，∠A = ∠D，∠B = ∠E，BF = EC。求证：△ABC≌△DEF。
[此处插入图 4：B、F、C、E 共线的示意图，标注 BF=EC]
证明：
∵BF = EC（已知）
∴BF + FC = EC + FC（等式性质），即 BC = EF
在△ABC 和△DEF 中：\(
\begin{cases}
\angle A = \angle D · \\
\angle B = \angle E · \\
BC = EF · è
\end{cases}
\)
∴△ABC≌△DEF（AAS）
（三）选择合适的判定方法
例 3：如图 5，∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求证：AB = AC。
[此处插入图 5：△ABC 中，∠1=∠2，∠3=∠4 的示意图]
证明：
在△ABD 和△ACD 中：\(
\begin{cases}
\angle 1 = \angle 2 · \\
\angle 3 = \angle 4 · \\
AD = AD ±è
\end{cases}
\)
∴△ABD≌△ACD（AAS）
∴AB = AC（全等三角形的对应边相等）
分析：本题中∠3 和∠4 是两个三角形的角，AD 是公共边，且 AD 是∠3 和∠4 的对边，因此选用 AAS 判定全等。
（四）利用全等解决实际问题
例 4：如图 6，某同学测量池塘两端 A、B 的距离，他在平地上取一个可直接到达 A 和 B 的点 C，测得 AC = 10m，∠ACB = 60°，∠CAB = 70°，然后在 AC 的延长线上取一点 D，使 CD = AC，测得∠CDB = 70°，求 AB 的距离。
[此处插入图 6：测量池塘距离的示意图]
解：
在△ABC 和△DBC 中：\(
\begin{cases}
\angle CAB = \angle CDB · 70 ° \\
AC = DC · CD = AC \\
\angle ACB = \angle DCB ±è§ 60 °
\end{cases}
\)
∴△ABC≌△DBC（ASA）
∴AB = DB（全等三角形的对应边相等）
通过测量 DB 的长度即可得到 AB 的距离。
六、知识辨析
（一）角角角（AAA）不能判定全等
三个角对应相等的两个三角形不一定全等。例如，边长为 2cm 的等边三角形和边长为 4cm 的等边三角形，三个角都为\(60^{\circ}\)，但它们的边长不相等，不能完全重合，因此 AAA 不是全等判定方法。
（二）边角角（SAA）与角角边（AAS）的关系
在 ASA 中，边是两个角的夹边；而 AAS 中，边是其中一个角的对边。但由于三角形内角和固定，AAS 可看作 ASA 的推论，两者本质上都需要两个角和一条边对应相等，只是边的位置不同。在实际应用中，可根据边的位置选择合适的表述方式。
（三）公共角与对顶角的应用
当两个三角形有公共角时，公共角是天然的对应角；当两个三角形有对顶角时，对顶角相等可作为角对应相等的条件。这些隐含条件在证明中需善于发现和利用，例如：
公共角：如图 3 中的∠BAC 和∠DCA 不是公共角，但 AC 是公共边，∠ACB 和∠CAD 是内错角。
对顶角：如图 7 中∠AOB 和∠COD 是对顶角，则∠AOB = ∠COD。
[此处插入图 7：对顶角示意图]
七、易错点警示
角与边的对应关系错误：在应用 ASA 或 AAS 时，未确保边是对应角的夹边或对边，导致条件不匹配。例如，将 ASA 中的 “夹边” 错误地当作其中一个角的对边。
遗漏隐含条件：忽略公共角、对顶角等隐含的角相等条件，导致无法找到足够的判定依据。例如，在例 3 中未发现 AD 是公共边，导致无法证明全等。
混淆 ASA 与 AAS：对两种判定方法的条件特征理解不清，在书写时将 ASA 写成 AAS，或反之。
推理步骤不完整：在证明过程中，未先证明角或边相等的条件，直接使用这些条件进行判定，导致推理不严谨。例如，在例 2 中未先证明 BC = EF，直接将 BF = EC 作为边相等的条件。
误用 AAA 判定全等：错误地认为三个角对应相等的两个三角形全等，忽略了边长可能不同的情况。
八、课堂练习
填空题：
（1）在△ABC 和△DEF 中，∠A = ∠D，∠B = ∠E，若要利用 ASA 判定全等，还需添加条件______。
（2）如图 8，∠B = ∠D，∠1 = ∠2，BC = DE，则△ABC≌△______，理由是______。
[此处插入图 8：△ABC 与△ADE 的示意图，标注∠B=∠D，∠1=∠2，BC=DE]
选择题：
（1）下列条件中，能判定△ABC≌△DEF 的是（ ）
A. ∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F B. ∠A = ∠D，AB = DE，∠C = ∠F
C. ∠A = ∠D，AB = DE，BC = EF D. AB = DE，BC = EF，∠B = ∠E
（2）在△ABC 和△DEF 中，已知∠A = ∠D，∠B = ∠E，AC = DF，则这两个三角形（ ）
A. 一定全等，依据是 ASA B. 一定全等，依据是 AAS
C. 一定全等，依据是 SSS D. 不一定全等
解答题：
（1）如图 9，AB∥DE，AC∥DF，BE = CF，求证：△ABC≌△DEF。
[此处插入图 9：AB∥DE，AC∥DF，B、E、C、F 共线的示意图]
（2）如图 10，∠ACB = ∠ADB = 90°，∠ABC = ∠BAD，求证：AC = BD。
[此处插入图 10：△ACB 与△ADB 均为直角三角形的示意图]
九、方法总结
ASA 和 AAS 的应用步骤：
观察图形，确定要证明全等的两个三角形。
找出两个三角形中角对应相等的条件（包括已知条件、公共角、对顶角、平行线的性质等）。
确定边对应相等的条件，判断边是角的夹边（用 ASA）还是对边（用 AAS）。
用大括号列出条件，按规范格式写出全等结论，并注明判定依据（ASA 或 AAS）。
如需进一步得出边或角的关系，利用全等三角形的性质继续推理。
隐含条件的挖掘技巧：
公共角：两个三角形共有的角，直接作为对应角相等的条件。
对顶角：两条直线相交形成的对顶角相等，可作为角相等的条件。
平行线：利用 “两直线平行，同位角相等”“两直线平行，内错角相等” 得出角相等。
等式性质：通过线段或角的和差关系推导边或角相等（如例 2 中 BC = EF 的推导）。
判定方法的选择策略：
当已知两个角和它们的夹边对应相等时，选用 ASA。
当已知两个角和其中一个角的对边对应相等时，选用 AAS。
若两个角对应相等，且有一条公共边或可推导出边相等时，根据边的位置选择 ASA 或 AAS。
通过本节课的学习，我们掌握了 “角边角” 和 “角角边” 两种判定三角形全等的方法，明确了它们的条件特征和应用场景。这两种方法与 “边边边” 共同构成了三角形全等的基本判定工具，在几何证明中有着广泛的应用。希望同学们能灵活运用这些方法，规范推理过程，提高几何问题的解决能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
如果给出三个条件画三角形，你能说出有哪几种可能的情况？
有四种可能：三条边、三个角、两边一角和两角一边.
由前面的讨论我们知道，如果给出一个三角形三条边的长度，那么由此得到的三角形都是全等的.
活动1: 如果已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能的情况呢？
A
B
C
A
B
C
图一
图二
“两角及夹边”
“两角和其中一角的对边”
每种情况下得到的三角形都全等吗
1
三角形全等的判定（“角边角”）
如果“两角及一边”条件中的边是两角所夹的边，比如三角形的两个内角分别是 60° 和 80°，它们所夹的边为 2 cm，你能作出这个三角形吗？你作的三角形与同伴作的一定全等吗？
60°
80°
2 cm
改变角度和边长，你能得到同样的结论吗？
尝试·思考
文字语言：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”.
几何语言：
因为 ∠A =∠A′， AB = A′B′，
∠B =∠B′，
在△ABC 和△A′B′C′ 中，
所以△ABC≌△A′B′C′（ASA）.
A
B
C
A′
B′
C′
“角边角”判定方法
知识要点
例1 如图，已知：∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC.
试说明：△ABC≌△DCB.
因为 ∠ABC＝∠DCB，
BC＝CB，
∠ACB＝∠DBC，
解：
在△ABC 和△DCB 中，
所以△ABC≌△DCB(ASA).
B
C
A
D
典例精析
1. 在△ABC 与△A′B′C′ 中，已知∠A＝44°，∠B＝67°，∠C′＝69°，∠A′＝44°，且 AC＝A′C′，那么这两个三角形（　 ）
A．一定不全等　 B．一定全等　 　
C．不一定全等　　 D．以上都不对
B
练一练
如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边，情况会怎样呢？你能将它转化为“尝试·思考” 中的条件吗？
活动2
60°
80°
2 cm
2
三角形全等的判定（“角角边”）
文字语言：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS”.
因为 ∠A =∠A′， ∠B =∠B′，
AC = A′C′，
在△ABC 和△A′B′C′ 中，
所以 △ABC≌△A′B′C′（AAS）.
A
B
C
A′
B′
C′
归纳总结
几何语言：
“角角边”判定方法
A
B
C
D
O
如图所示，AB 与 CD 相交于点 O，O 是 AB 的中点，∠A =∠B，△AOC 与 △BOD 全等吗？为什么？
想一想
我的思考过程如下：
因为点 O 是 AB 的中点，
所以 OA= OB.
又已知∠A=∠B，
且∠AOC =∠BOD，
所以△AOC≌△BOD.
你能理解他的意思吗？
学以致用：如图，小明不慎将一块三角形模具打碎为三块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具呢 如果可以，带哪块去合适 你能说明其中理由吗
3
2
1
答：带 1 去，因为两角及其夹边相等的两个三角形全等.
例2 如图，在△ABC 和△DEF 中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF. 试说明：AB = DE.
解：
因为 ∠A＝∠D，∠B＝∠E，
BC＝EF，
所以△ABC≌△DEF(AAS) .
在△ABC 和△DEF 中，
所以 AB = DE.
典例精析
2. 已知：如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠1 =∠2.
试说明：AB = AD.
A
C
D
B
1
2
解：因为 AB⊥BC，AD⊥DC，
所以∠B =∠D = 90°.
又因为 ∠1 =∠2，AC = AC，
所以△ABC≌△ADC(AAS).
所以 AB = AD.
练一练
求作：△ABC，使∠A = ∠α，∠B =∠β，AB = c.
已知：∠α，∠β，线段 c.
c
已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形.
3
已知三角形的两角及一边，利用尺规作三角形
请按照给出的作法作出相应的图形．
作法 图示
(1) 作 ；
A
F
(2) 在射线 AF上截取线段 AB = c；
C
D
B
A
D
F
A
B
D
F
(3) 以点 B 为顶点，以 BA 为一边，
作∠ABE = ∠β，BE 交 AD 于
C.△ABC 就是所求作的三角形.
E
例3 已知：如图，在△ABC 中，∠BAC = 90°，
AB = AC，直线 m 经过点 A，BD⊥m，CE⊥m，垂足分别为点 D，E.
试说明：(1) △BDA≌△AEC；(2) DE = BD + CE.
解：(1) 因为 BD丄m，CE⊥m，
所以∠ADB = ∠CEA = 90°.
所以∠ABD +∠BAD = 90°.
因为∠BAC = 90°，
所以∠CAE +∠BAD = 90°.
所以∠ABD =∠CAE.
所以∠ABD =∠CAE.
所以△BDA≌△AEC (AAS).
在△BDA 和△AEC 中，
∠ADB = ∠CEA = 90°，
∠ABD = ∠CAE，
AB = CA，
(2) 因为△BDA≌△AEC，
所以 BD = AE，AD = CE.
所以 DE = DA + AE = BD + CE.
（第1题）
1. [2024天津东丽区期中] 如图，
，，如果根据“ ”
直接判定 ，那么需要
补充的条件是( )
A
A. B.
C. D.
返回
（第2题）
2. 如图，在中，，为 的中
点，由点分别向， 作垂线段，则能够
直接说明 的理由是( )
B
A. B.
C. D. 以上都不对
返回
3. 已知两角及其夹边作三角形，所用的基本作图方法是
( )
C
A. 平分已知角
B. 作已知直线的垂线
C. 作一个角等于已知角及作一条线段等于已知线段
D. 作已知直线的平行线
返回
4. 如图，嘉淇家装饰窗格中的一块三角形形
状的玻璃坏了，需要重新配一块.嘉淇通过电话给玻璃店老板
提供相关数据,为了方便表述，将该三角形记为 ,提供下
列各组元素的数据,配出来的玻璃不一定符合要求的是( )
C
A. ,,
B. ,,
C. ,,
D. ,,
返回
5. 如图，点在 上，
点在上，且 ，要说明
.
（1）若以“ ”为依据，还须添加的一个
条件是_________；
（2）若以“ ”为依据，还须添加的一个条件是
______________________________.
（答案不唯一）
返回
6.如图，在中，点是的中点，是 边上一点，
过点作交的延长线于点 .试说明：
.
【解】因为 ，
所以， .
因为点是 的中点，所以
.
在和 中，
所以 .
返回
（第7题）
7. 如图，在中，于点 ，
于点，，交于点 ，若
，，则 的长为
( )
B
A. 1 B. 2 C. D. 3
（第7题）
【点拨】因为 ,所以
.所以
.所以 .
因为,所以 .又因
为,所以 .又因为
,所以 .所以
.所以 .
返回
（第8题）
8. 如图，是将长方形纸片 沿
折叠得到的，图中（包括实线、虚线
在内）共有全等三角形( )
C
A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对
返回
（第9题）
9. 如图，在锐角三角形 中，
，，为三角形 的角
平分线，，交于点，平分
交于点 .有下列四个结论：
； ；
； .其中
结论正确的序号为( )
B
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④
10.如图，在四边形中， ,
，，则的面积为___ .
8
（第10题）
11.[2024黄石模拟] 如图所示，在
中，于，于，与
交于点，且 .
（1）试说明： ；
【解】因为， ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
在和中，
所以 .
（2）已知，，求 的长.
【解】因为，所以 .
因为， ，
所以，所以 .
所以 .
返回
角边角
角角边
内容
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简写成 “ASA”)
应用
为说明线段和角相等提供了新的依据
注意
注意“角边角”和“角角边”中两角与边的区别
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简写成 “AAS”)
谢谢观看！
阿木提江·塔西吐木尔
托克逊县第一中学
13899326086