4.3.4全等三角形的性质与判定 课件（共32张PPT）--新2024北师大版七年级数学下册课件

(共32张PPT)
4.3.4全等三角形的性质与判定
第四章 三角形
新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
买合苏迪古丽·买买提
托克逊县第二中学
15909954880
4.3.4 全等三角形的性质与判定
一、学习目标
系统梳理全等三角形的性质，明确全等三角形对应边、对应角及相关线段（中线、角平分线、高）的关系。
整合三角形全等的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS），能根据不同已知条件选择合适的判定方法。
理解全等三角形性质与判定的区别和联系，能综合运用性质和判定解决几何证明和计算问题。
通过典型例题分析，培养几何推理的逻辑性和严谨性，提高综合运用知识解决问题的能力。
二、知识回顾
（一）全等三角形的定义（二）延伸性质
对应线段相等：全等三角形的对应中线、对应角平分线、对应高分别相等。
如图 1，若△ABC≌△DEF，AD 和 DG 分别是中线，则 AD = DG；AE 和 DH 分别是角平分线，则 AE = DH；AF 和 DI 分别是高，则 AF = DI。
周长和面积相等：全等三角形的周长相等（三边之和相等），面积相等（形状和大小完全相同）。
对应位置关系不变：全等三角形的对应边的位置关系（平行、垂直等）与原三角形保持一致。例如，若△ABC 中 AB⊥AC，且△ABC≌△DEF，则 DE⊥DF。
[此处插入图 1：全等三角形对应中线、角平分线、高相等的示意图]
四、性质与判定的区别和联系
（一）区别
类别
逻辑方向
作用
应用场景
性质
由 “全等” 推导出 “边 / 角相等”
已知全等时，求边或角的大小
全等判定之后，进一步解决线段或角度问题
判定
由 “边 / 角相等” 推导出 “全等”
已知边或角的关系时，判断三角形是否全等
证明两个三角形全等的过程
（二）联系
性质是判定的基础：全等三角形的性质源于其 “完全重合” 的定义，而判定方法是通过边或角的关系反推全等，本质上是性质的逆应用。
判定是性质的前提：只有先判定两个三角形全等，才能运用性质得出对应边或对应角相等。
综合应用：在几何问题中，往往先通过判定方法证明全等，再利用性质解决后续问题，形成 “判定→全等→性质→结论” 的推理链条。
五、全等三角形性质与判定的综合应用
（一）利用判定证明全等，再用性质求线段长度
例 1：如图 2，AB = CD，AE = DF，CE = BF。若 AF = 5cm，求 DE 的长度。
[此处插入图 2：△ABE 与△DCF 的示意图，标注 AB=CD，AE=DF，CE=BF]
解：
∵CE = BF（已知）
∴CE + EF = BF + EF（等式性质），即 CF = BE
在△ABE 和△DCF 中：\(
\begin{cases}
AB = CD · \\
AE = DF · \\
BE = CF · è
\end{cases}
\)
∴△ABE≌△DCF（SSS）
∴AE = DF（全等三角形对应边相等），且∠AEB = ∠DFC（全等三角形对应角相等）
在△AEF 和△DFE 中：\(
\begin{cases}
AE = DF · è \\
AEF = DFE è§ è è§ \\
EF = FE ±è
\end{cases}
\)
∴△AEF≌△DFE（SAS）
∴AF = DE（全等三角形对应边相等）
∵AF = 5cm（已知）
∴DE = 5cm。
（二）利用判定证明全等，再用性质求角度
例 2：如图 3，在△ABC 中，AB = AC，AD 是 BC 边上的高，BE 平分∠ABC 交 AD 于点 E。若∠BAC = 40°，求∠BED 的度数。
[此处插入图 3：△ABC 中 AB=AC，AD 为高，BE 为角平分线的示意图]
解：
∵AB = AC，AD 是 BC 边上的高（已知）
∴∠BAD = ∠CAD = \(\frac{1}{2}\)∠BAC（等腰三角形三线合一）
∵∠BAC = 40°（已知）
∴∠BAD = 20°
∵AB = AC（已知）
∴∠ABC = ∠ACB（等腰三角形两底角相等）
在△ABC 中，∠ABC = \(\frac{1}{2}\)（180° - ∠BAC）= 70°（三角形内角和定理）
∵BE 平分∠ABC（已知）
∴∠ABE = \(\frac{1}{2}\)∠ABC = 35°（角平分线定义）
在△ABD 中，AD 是高（已知）
∴∠ADB = 90°（高的定义）
在△ABE 和△CBE 中（辅助证明全等）：\(
\begin{cases}
AB = AC · \\
ABE = CBE · è \\
BE = BE ±è
\end{cases}
\)
∴△ABE≌△CBE（SAS）
∴∠BAE = ∠BCE = 20°（全等三角形对应角相等）
在△BED 中，∠BED = 180° - ∠EBD - ∠ADB = 180° - 35° - 90° = 55°（三角形内角和定理）。
（三）利用全等解决位置关系证明
例 3：如图 4，AC = BD，AD = BC，求证：AD∥BC。
[此处插入图 4：四边形 ABCD 中 AC=BD，AD=BC 的示意图]
证明：
连接 CD（辅助线）
在△ACD 和△BDC 中：\(
\begin{cases}
AC = BD · \\
AD = BC · \\
CD = DC ±è
\end{cases}
\)
∴△ACD≌△BDC（SSS）
∴∠ADC = ∠BCD（全等三角形对应角相等）
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）。
（四）开放型问题：补充条件使三角形全等
例 4：如图 5，已知 AB = AD，要使△ABC≌△ADC，还需添加一个条件是什么？并说明理由。
[此处插入图 5：△ABC 与△ADC 共享 AC 边，标注 AB=AD 的示意图]
解：
可添加的条件有：
BC = DC：在△ABC 和△ADC 中，AB = AD，AC = AC，BC = DC，根据 SSS 判定全等。
∠BAC = ∠DAC：在△ABC 和△ADC 中，AB = AD，∠BAC = ∠DAC，AC = AC，根据 SAS 判定全等。
六、知识辨析
（一）全等判定的条件组合误区
“AAA” 不能判定全等：三个角对应相等的三角形形状相同，但大小可能不同（如相似三角形），因此不能判定全等。
“SSA” 不能判定全等：两边及其中一边的对角对应相等时，三角形的形状不唯一（如图 6），因此不能作为判定方法。
[此处插入图 6：SSA 不能判定全等的示例图]
（二）对应关系的重要性
在应用性质和判定时，必须明确对应关系：
判定时，边和角的对应位置要准确（如 SAS 中的角必须是两边的夹角）。
性质应用时，对应边和对应角要与全等符号中的顶点顺序一致（如△ABC≌△DEF，则∠A 对应∠D，而非∠E）。
（三）辅助线的添加技巧
当图形中全等条件不明显时，可通过添加辅助线构造全等三角形，常见辅助线包括：
连接公共边（如例 3 中连接 CD）。
延长线段构造相等角或边。
作高或中线创造全等条件。
七、易错点警示
混淆性质与判定的逻辑：在推理中错误地用性质证明全等（如 “因为对应边相等，所以三角形全等”），或用判定得出性质结论（如 “因为三角形全等，所以三边对应相等” 是正确的，但反之不成立）。
对应关系错误：在书写全等条件时，边和角的对应顶点顺序混乱，导致条件不匹配（如将△ABC≌△DEF 写成△ABC≌△EDF，却仍按原对应关系应用性质）。
忽略隐含条件：未发现公共边、对顶角、平行线的内错角等隐含条件，导致无法完成判定（如例 2 中未利用等腰三角形三线合一得出角相等）。
辅助线添加不当：添加辅助线后未明确其作用，或辅助线导致图形关系更复杂，反而增加推理难度。
开放型问题漏解：在补充全等条件时，只考虑一种判定方法，忽略其他可能的条件（如例 4 中只想到 SSS，忽略 SAS 的情况）。
八、课堂练习
填空题：
（1）若△ABC≌△DEF，AB = 5cm，BC = 7cm，AC = 9cm，则△DEF 的周长为______cm。
（2）如图 7，∠1 = ∠2，要使△ABD≌△ACD，还需添加条件______（写出一个即可），依据是______。
[此处插入图 7：△ABD 与△ACD 共享 AD 边，标注∠1=∠2 的示意图]
选择题：
（1）下列说法正确的是（ ）
A. 全等三角形是指形状相同的两个三角形 B. 全等三角形的周长和面积分别相等
C. 所有等边三角形都全等 D. 两边和一角对应相等的两个三角形全等
（2）在△ABC 和△DEF 中，已知∠A = ∠D，∠B = ∠E，下列条件中不能判定全等的是（ ）
A. AB = DE B. BC = EF C. AC = DF D. ∠C = ∠F
解答题：
（1）如图 8，点 B、E、C、F 在同一直线上，AB∥DE，AB = DE，BE = CF，求证：AC = DF。
[此处插入图 8：B、E、C、F 共线，AB∥DE 的示意图，标注 AB=DE，BE=CF]
（2）如图 9，在△ABC 中，AD 是角平分线，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F，求证：AE = AF。
[此处插入图 9：△ABC 中 AD 为角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC 的示意图]
九、方法总结
全等三角形问题的解题步骤：
观察图形，确定目标：明确需证明全等还是利用全等求边 / 角。
分析条件：找出已知的边或角相等关系，挖掘公共边、对顶角等隐含条件。
选择方法：根据已知条件选择合适的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS）。
证明全等：按规范格式书写推理过程，得出全等结论。
应用性质：利用全等三角形的对应边或对应角相等解决问题。
判定方法的选择策略：
已知三边对应相等→选 SSS。
已知两边及夹角对应相等→选 SAS。
已知两角及夹边对应相等→选 ASA。
已知两角及一角对边对应相等→选 AAS。
已知一边和一角对应相等→需结合图形判断是否为夹角（SAS）或找另一角（ASA/AAS）。
综合问题的突破技巧：
复杂图形分解：将组合图形分解为基本三角形，分析它们的关系。
辅助线辅助：通过添加辅助线构造全等三角形，创造判定条件。
逆向推理：从结论出发，反向思考需要证明的全等三角形及所需条件。
通过本节课的学习，我们系统整合了全等三角形的性质与判定方法，明确了它们的区别和联系，并通过综合例题掌握了实际应用技巧。全等三角形是几何推理的重要工具，其性质和判定在后续学习四边形、圆等知识中有着广泛应用。希望同学们能熟练运用这些知识，提高几何问题的分析和解决能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
回忆前面研究过的全等三角形，如图，对这个三角形纸片，你能画一个三角形与它全等吗 怎样画
知识链接
问题1 判定两个三角形全等除了定义以外，我们还学习了哪些方法？
(2)“SAS”：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等；
(3)“ASA”：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等；
(1)“SSS”：三边对应相等的两个三角形全等；
(4)“AAS”：两角及其一角对边对应相等的两个三角形全等；
1
全等三角形的应用
活动1：已知在△ABC 中，BC = 5 cm，AC = 3 cm，
AB = 3.5 cm，∠B = 36°，∠C = 44°，请你选择适当
数据，画与△ABC 全等的三角形(用三种方法画图，不写作法，但要在所画的三角形中标出用到的数据).
图 ① 作法示例：
(1) 作线段 BC = 5 cm；
(2) 以点 C 为圆心，3 cm 为半径画弧；
(3) 以点 B 为圆心，3.5 cm为半径画弧，两弧相交于点 A；
(4) 连接 AB，AC，则△ABC 为所求作的三角形.
解：
A
B
C
3.5 cm
3 cm
5 cm
图①
A
B
C
3.5 cm
5 cm
图②
36°
A
B
C
5 cm
图③
36°
44°
要点归纳
三角形全等的条件及判定方法：
对应相等
的元素
两边及
其夹角
两角及
其夹边
两角及其中
一角的对边
三边
三角形
全等理由
SAS
ASA
AAS
SSS
2
三角形全等的判定和性质的综合应用
活动 2：如图，点 D，E 分别在线段 AB，AC 上，
AE = AD，不添加新的线段和字母，从下列条件：
①∠B =∠C；② BE = CD；③AB = AC；
④∠ADC = ∠AEB 中选择一个使得△ABE≌△ACD.
小组讨论：你能选择的条件有哪些，请写出证明过程.
解：选择①：在△ABE 和△ACD 中，
A
C
B
D
E
∠B = ∠C，
∠A = ∠A，
AE = AD，
∴△ABE≌△ACD(AAS).
选择②，不能判定△ABE≌△ACD.
A
C
B
D
E
AB = AC，
∠A = ∠A，
AE = AD，
选择③，在△ABE 和△ACD 中，
∴△ABE≌△ACD(SAS).
选择④，在△ABE 和△ACD 中，
∠AEB = ∠ADC，
AE = AD，
∠A = ∠A，
∴△ABE≌△ACD(ASA).
1. 三角形全等书写的三个步骤：
① 写出在哪两个三角形中；
② 摆出三个条件用大括号括起来；
③ 写出全等结论.
要点归纳
2. 怎样寻找已知条件：已知条件包含两部分，
一是已知中给出的，
二是图形中隐含的(如公共边、公共角等).
例1 如图，AB∥CD，并且 AB = CD，
那么△ABD 与△CDB 全等吗 请说明理由.
A
B
C
D
2
1
解：因为 AB∥CD，
根据“两直线平行，内错角相等”，
所以∠1=∠2.
在△ABD 和△CDB 中，
因为 AB = CD，∠1=∠2，BD = DB，
根据三角形全等的判定条件“SAS”，
所以 △ABD≌△CDB.
典例精析
典例精析
例2 如图，AC 与 BD 相交于点 O，且 OA = OB，OC = OD.
(1) △AOD 与△BOC 全等吗 请说明理由.
解： 因为∠AOD 与∠BOC 是对顶角，
根据“对顶角相等”，
所以 ∠AOD =∠BOC.
在△AOD 和△BOC 中，
因为OA = OB，∠AOD =∠BOC，OD = OC，
根据三角形全等的判定条件“SAS”，
所以△AOD≌ △BOC.
A
O
D
C
B
解：由 (1) 可知，△AOD≌△BOC，
根据“全等三角形的对应边相等”，
所以 AD = BC. 因为 OA = OB，OC = OD，
AC = OA + OC，BD = OB + OD，
所以AC = BD.
在△ACD 和△BDC 中，
因为 AD = BC，AC = BD，DC = CD，
根据三角形全等的判定条件“SSS”，
所以△ACD≌△BDC.
(2) △ACD 与△BDC 全等吗 为什么
你还能根据其他的判定条件，判断这两个三角形全等吗
A
O
D
C
B
例3 如图，△ADF 和△BCE 中，∠A =∠B，点 D，E，F，C 在同一直线上，有如下三个关系式：
①AD = BC；② DE = CF；③ BE∥AF.
(1) 请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出所有你认为正确的命题(用序号写出命题书写形式，如：如果①②，那么③)；
解：如果①③，那么②；
如果②③，那么①.
(2) 选择 (1) 中你写出的一个命题，说明它正确的理由.
解：对于“如果①③，那么②”理由如下：
∵ BE∥AF，∴∠AFD =∠BEC.
又∵AD = BC，∠A =∠B，
∴△ADF≌△BCE (AAS). ∴DF = CE.
∴DF－EF = CE－EF，即 DE = CF.
对于“如果②③，那么①”证明如下：
∵ BE∥AF，∴∠AFD =∠BEC.
∵ DE = CF，∴ DE + EF = CF + EF，即 DF = CE.
∴∠A =∠B，∴△ADF≌△BCE(AAS). ∴AD = BC.
1. [2024温州期末] 下列条件能判定 的是
( )
D
A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，
返回
（第2题）
2. 如图，在和中，点 ，
，，在同一条直线上， ，
，只添加一个条件，不能判定
的是( )
C
A. B.
C. D.
返回
（第3题）
3. [2024青岛月考] 如图，
，，与 相交
于 点，则图中的全等三角形有
( )
C
A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对
返回
4.[2024长沙期中] 如图，已知 ，
， .
（1）试说明： ；
【解】因为,所以 .
又因为 ，
所以 .
又因为， ，
所以 .
（2）若，，请求出 的长度.
【解】由（1）得，所以 .
所以 .
返回
5.[2024西安新城区期中] 如图，在 中，
，点在的延长线上，且.过点 作
，与的垂线交于点 .
（1）试说明： ；
【解】因为 ,所以易得
.
因为 ,所以
.
所以 .
因为，所以 .
在和中,
所以 .
（2）若，，求 的长.
【解】由（1）得,,所以 .
又因为, ,所以
.
因为, ,所以
.
返回
6. 两组邻边分别相等的四
边形叫作“筝形”.如图，四边形 是一个筝
形，其中，，， 交于
点 .某同学在探究筝形的性质时，得到如下结
论：； ；
C
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
；④四边形的面积 .其中正
确的结论有( )
7.[2024杭州一模] 如图，点在边上（不与点，点 重
合），在边上（不与点，点重合），连接， ，
与相交于点，， .
有以下四个结论： ；
；； .
（1）以上四个结论中正确的是________；（填序号）
①②③
（2）请从（1）中任选一个结论进行说明.
【解】选择①：
在和中，
所以.所以 ;
选择②：
在和中，
所以.所以 .
又因为，所以 ，即
.
在和中，
在和中，
所以.所以 .
返回
判定三角形全等的思路
已知两边
已知一边一角
已知两角
找夹角(SAS)
找另一边(SSS)
找任一角(AAS)
边为角的对边
边为角的一边
找夹角的另一边(SAS)
找边的对角(AAS)
找夹角的另一角(ASA)
找夹边(ASA)
找除夹边外的任意一边(AAS)
谢谢观看！
阿木提江·塔西吐木尔
托克逊县第一中学
13899326086