5.2.1 等腰三角形的性质 课件（共31张PPT）--新2024北师大版七年级数学下册课件
文档属性
| 名称 | 5.2.1 等腰三角形的性质 课件（共31张PPT）--新2024北师大版七年级数学下册课件 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 6.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-24 00:00:00 | ||
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文档简介
(共31张PPT)
5.2.1 等腰三角形的性质
第五章 图形的轴对称
新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
买合苏迪古丽·买买提
托克逊县第二中学
15909954880
5.2.1 等腰三角形的性质
一、学习目标
理解等腰三角形的定义，能准确识别等腰三角形的腰、底边、顶角和底角。
掌握等腰三角形的性质，包括 “等边对等角” 和 “三线合一”，并能运用这些性质解决几何问题。
结合轴对称知识理解等腰三角形的对称性，体会轴对称与等腰三角形性质的内在联系。
在探究等腰三角形性质的过程中，培养逻辑推理能力和几何直观，提高运用知识解决问题的能力。
二、情境引入
在之前的学习中，我们认识了轴对称图形，而等腰三角形就是一种常见的轴对称图形。生活中处处可见等腰三角形的身影：埃及金字塔的侧面、等腰三角形屋顶的框架、交通标志中的警示标志等。等腰三角形作为一种特殊的三角形，除了具有三角形的一般性质外，还具有哪些独特的性质呢？这些性质与它的轴对称特征有什么关系？本节课我们就来深入探究等腰三角形的性质，揭开它的神秘面纱。
三、等腰三角形的定义与相关概念
（一）定义
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边。两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。
（二）图形表示
如图 1，在△ABC 中，AB = AC，则△ABC 是等腰三角形。其中：
腰：AB、AC
底边：BC
顶角：∠A（两腰 AB、AC 的夹角）
底角：∠B、∠C（底边 BC 与腰 AB、AC 的夹角）
[此处插入图 1：等腰三角形 ABC 的示意图，标注腰、底边、顶角、底角]
（三）特殊情况
等边三角形是特殊的等腰三角形，它的三条边都相等，因此等边三角形的任意两条边都可以看作腰，任意一个角都可以看作顶角或底角。
四、等腰三角形的性质探究
（一）性质 1：等边对等角
探究过程：
取一张等腰三角形纸片（AB = AC），将其沿顶角平分线 AD 折叠（如图 2）。
观察发现：∠B 与∠C 能够完全重合，即∠B = ∠C。
结论：等腰三角形的两底角相等。
[此处插入图 2：等腰三角形折叠示意图，展示∠B 与∠C 重合]
定理内容：等腰三角形的两底角相等（简写成 “等边对等角”）。
几何语言表达：
在△ABC 中，∵AB = AC（已知）
∴∠B = ∠C（等边对等角）
推理证明：
如图 2，作顶角∠A 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
在△ABD 和△ACD 中：\(
\begin{cases}
AB = AC · \\
BAD = CAD è§ \\
AD = AD ±è
\end{cases}
\)
∴△ABD≌△ACD（SAS）
∴∠B = ∠C（全等三角形的对应角相等）
（二）性质 2：三线合一
探究过程：
继续观察折叠后的等腰三角形纸片，发现 BD 与 CD 重合，∠ADB 与∠ADC 重合。
由此可得：BD = CD，∠ADB = ∠ADC = 90°。
结论：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
定理内容：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简写成 “三线合一”）。
几何语言表达：
在△ABC 中，AB = AC，
若 AD 是顶角∠A 的平分线，则 AD⊥BC，BD = CD（即 AD 是底边上的中线和高）。
若 AD 是底边上的中线（BD = CD），则 AD 平分∠BAC，AD⊥BC（即 AD 是顶角平分线和高）。
若 AD 是底边上的高（AD⊥BC），则 AD 平分∠BAC，BD = CD（即 AD 是顶角平分线和底边上的中线）。
推理证明（以 “顶角平分线也是底边上的中线和高” 为例）：
如图 2，∵AD 是顶角∠A 的平分线（已知）
∴∠BAD = ∠CAD
在△ABD 和△ACD 中：\(
\begin{cases}
AB = AC · \\
BAD = CAD · è \\
AD = AD ±è
\end{cases}
\)
∴△ABD≌△ACD（SAS）
∴BD = CD（全等三角形的对应边相等），∠ADB = ∠ADC（全等三角形的对应角相等）
∵∠ADB + ∠ADC = 180°（平角定义）
∴∠ADB = ∠ADC = 90°，即 AD⊥BC（垂直定义）
（三）性质 3：轴对称性
等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线所在的直线（或底边上的中线所在的直线、底边上的高所在的直线）。这一性质是 “等边对等角” 和 “三线合一” 的本质原因，因为轴对称图形沿对称轴折叠后，两旁的部分能够完全重合，从而对应角相等、对应线段相等。
五、等腰三角形性质的应用
（一）利用 “等边对等角” 求角度
例 1：在△ABC 中，AB = AC，∠A = 80°，求∠B 和∠C 的度数。
解：
∵AB = AC（已知）
∴∠B = ∠C（等边对等角）
∵∠A + ∠B + ∠C = 180°（三角形内角和定理），∠A = 80°（已知）
∴80° + ∠B + ∠C = 180°
∴∠B + ∠C = 100°
∵∠B = ∠C
∴∠B = ∠C = 50°
（二）利用 “三线合一” 求线段长度
例 2：如图 3，在△ABC 中，AB = AC，AD 是底边上的中线，若 BC = 6cm，求 BD 的长度。
[此处插入图 3：等腰三角形 ABC，AD 为中线的示意图]
解：
∵AB = AC，AD 是底边上的中线（已知）
∴BD = CD（三线合一）
∵BC = 6cm（已知）
∴BD = \(\frac{1}{2}\)BC = \(\frac{1}{2}\)×6 = 3cm
（三）综合运用性质解决证明问题
例 3：如图 4，在△ABC 中，AB = AC，AD 是顶角平分线，求证：AD 平分 BC 且 AD⊥BC。
[此处插入图 4：等腰三角形 ABC，AD 为顶角平分线的示意图]
证明：
∵AB = AC，AD 是顶角平分线（已知）
∴AD 平分 BC，AD⊥BC（等腰三角形三线合一）
例 4：如图 5，在△ABC 中，AB = AC，点 D 在 BC 上，且 AD = BD，求证：∠BAD = ∠CAD。
[此处插入图 5：等腰三角形 ABC，D 在 BC 上，AD=BD 的示意图]
证明：
∵AB = AC（已知）
∴∠B = ∠C（等边对等角）
∵AD = BD（已知）
∴∠B = ∠BAD（等边对等角）
∴∠BAD = ∠C（等量代换）
∵∠ADB = ∠C + ∠CAD（三角形外角性质），且∠ADB = 180° - ∠B - ∠BAD（三角形内角和定理）
∴∠C + ∠CAD = 180° - ∠B - ∠BAD
∵∠B = ∠C = ∠BAD
∴∠BAD + ∠CAD = 180° - ∠BAD - ∠BAD
∴∠BAD + ∠CAD = 180° - 2∠BAD
又∵∠BAC = ∠BAD + ∠CAD = 180° - 2∠B = 180° - 2∠BAD（等腰三角形顶角与底角关系）
∴等式成立，且由三线合一可知，当 AD 是角平分线时∠BAD = ∠CAD，本题中通过角度关系可证∠BAD = ∠CAD。
六、知识辨析
（一）等腰三角形性质与三角形一般性质的区别
等腰三角形具有三角形的所有一般性质（如内角和为 180°、两边之和大于第三边等），同时还具有特殊性质（“等边对等角”“三线合一”）。这些特殊性质是由等腰三角形的轴对称性决定的，普通三角形不具备这些性质。
（二）“等边对等角” 与 “等角对等边” 的区别
“等边对等角” 是等腰三角形的性质，指在一个三角形中，若两条边相等，则它们所对的角相等；而 “等角对等边” 是等腰三角形的判定方法，指在一个三角形中，若两个角相等，则它们所对的边相等。二者逻辑方向相反，应用场景不同。
（三）“三线合一” 的条件与结论
“三线合一” 的前提条件是 “等腰三角形”，即只有在等腰三角形中，顶角平分线、底边上的中线、底边上的高才互相重合。对于普通三角形，这三条线段是互相独立的，不一定重合。
七、易错点警示
概念混淆：混淆等腰三角形的腰与底边、顶角与底角，导致在应用性质时对应关系错误。例如，误将顶角当作底角进行角度计算。
忽略 “在同一个三角形中” 的条件：应用 “等边对等角” 时，未明确两条相等的边是在同一个三角形中，错误地将不同三角形中的等边对应等角。
“三线合一” 应用错误：在非等腰三角形中错误地应用 “三线合一” 性质，或在等腰三角形中混淆 “顶角” 与 “底角”，将底角平分线当作 “三线合一” 的线段。
角度计算错误：在计算等腰三角形的角度时，忽略三角形内角和定理，或未考虑等腰三角形可能是锐角、直角或钝角三角形的不同情况。
对称轴识别错误：认为等腰三角形的对称轴是顶角平分线（线段），而忽略对称轴是直线，正确的对称轴应为顶角平分线所在的直线。
八、课堂练习
填空题：
（1）在等腰三角形中，若顶角为 100°，则底角的度数为______。
（2）等腰三角形的两边长分别为 5cm 和 10cm，则它的周长为______cm。
（3）在△ABC 中，AB = AC，AD⊥BC 于点 D，若 AB = 10cm，AD = 8cm，则 BC 的长度为______cm。
选择题：
（1）等腰三角形的一个角是 50°，则它的顶角的度数是（ ）
A. 50° B. 80° C. 50° 或 80° D. 65°
（2）下列说法中，正确的是（ ）
A. 等腰三角形的高就是它的对称轴 B. 等腰三角形的顶角平分线一定垂直于底边
C. 等腰三角形的角平分线、中线、高互相重合 D. 等腰三角形的一边长为 4，另一边长为 9，则周长为 17
解答题：
（1）如图 6，在△ABC 中，AB = AC，点 D、E 在 BC 上，且 AD = AE，求证：BD = CE。
[此处插入图 6：等腰三角形 ABC，D、E 在 BC 上，AD=AE 的示意图]
（2）在△ABC 中，AB = AC，∠BAC = 90°，AD 是底边 BC 上的高，求证：AD = BD = CD。
九、方法总结
等腰三角形角度计算方法：
明确已知角是顶角还是底角，若未明确需分类讨论（如一个角为锐角时，可能是顶角也可能是底角）。
利用 “等边对等角” 将边的关系转化为角的关系。
结合三角形内角和定理（180°）列方程求解。
“三线合一” 的应用技巧：
当题目中出现等腰三角形、顶角平分线、底边上的中线或底边上的高这三个条件中的任意一个时，可考虑应用 “三线合一” 得出其他两个条件。
在证明线段相等或垂直关系时，“三线合一” 是重要的辅助工具，可简化证明过程。
等腰三角形对称性的利用：
利用等腰三角形的轴对称性，通过折叠或构造对称点，将分散的条件集中，帮助解决问题。
对称轴是顶角平分线所在的直线，可通过作对称轴辅助解题。
通过本节课的学习，我们掌握了等腰三角形的定义、性质及应用方法，理解了 “等边对等角” 和 “三线合一” 的内涵，体会了轴对称性在等腰三角形中的核心作用。等腰三角形的性质是几何推理的重要依据，在后续学习中有着广泛的应用。希望同学们能熟练运用这些性质，提高几何问题的解决能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
2. 生活中有哪些常见的等腰三角形的图案呢？
1. 什么是等腰三角形
有两边相等的三角形.
等腰三角形的性质
1
问题 1：等腰三角形是比较常见的图形. 你有哪些办法可以得到一个等腰三角形 与同伴交流.
1. 折叠法
2. 尺规画图
问题 2：如图，在△ABC 中，AB = AC，则三角形 ABC 为等腰三角形.它的各个组成部分名称分别是什么
(1) 相等的两条边都叫腰；
(2) 另一边叫底边；
(3) 两腰的夹角∠A 叫顶角；
(4) 腰与底边夹角∠B，∠C 叫底角.
A
B
C
腰
腰
底边
顶角
底角
底角
思考1：(1) 等腰三角形是轴对称图形吗 如果是，沿着它的对称轴折叠，你能发现哪些相等的线段和相等的角
A
B
C
等腰三角形是轴对称图形.
AB＝AC，
BD＝CD，
∠B＝∠C，
∠BAD＝∠CAD，
∠BDA＝∠CDA.
D
合作探究
(2) 等腰三角形的对称轴是一条怎样的直线
你是如何描述的
A
B
C
(3)你认为等腰三角形有哪些特征
与同伴交流.
2.等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴.
3.底边上的高所在的直线是它的对称轴.
1.等腰三角形顶角平分线所在的直线是它的对称轴.
等腰三角形是轴对称图形.
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（也称“三线合一”），它们所在的直线就是等腰三角形的对称轴.
等腰三角形的两个底角相等.
归纳总结
例1 已知一个等腰三角形的底角是顶角的 2 倍，
求它的各个内角的度数.
解：设这个等腰三角形顶角的度数为 x°，则底角度数为 2x°.
根据“三角形三个内角的和等于180°”，得
x＋2x＋2x＝180.
解得 x＝36.
2×36＝72.
所以这个三角形的三个内角分别为36°、72°、72°.
典例精析
1.画出任意一个等腰三角形（等边三角形除外）的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们能不能重合
概念辨析
不能重合
2. 如图，△ABC 是一个等腰三角形，直线 l 是它的对称轴. 请在△ABC 中画出以直线 l 为对称轴的一组对应点、一组对应线段、一组对应角，你能发现哪些相等的线段、相等的角，以及形状、大小
完全相同的图形
A
B
C
l
等边三角形的特征
2
思考 2：通过学习我们知道等腰三角形的轴对称性及其特征，那么当等腰三角形的腰与底边相等时它是什么三角形
等边三角形，它是特殊的等腰三角形
(1) 等边三角形有几条对称轴？
(2) 你能发现它的哪些特征？
等边三角形有 3 条对称轴
1.等边三角形三个内角都相等，且均为60°.
2. 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或角的平分线所在的直线.
3.等边三角形每条边上的中线、高线和角平分线互相重合.
要点归纳
例2 如图是由大小相等的等边三角形组成的图案，请找出它的对称轴.
典例精析
例3 等腰三角形的一个内角是 50°，则这个三角形的
底角的大小是 ( )
A．65° 或 50° B．80° 或 40°
C．65° 或 80° D．50° 或 80°
解析：当 50° 的角是底角时，三角形的底角就是 50°；当 50° 的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是 65°，综上所述，选 A.
A
例4 如图，在△ABC 中，AB = AC，AD 为 BC 边上的中线，∠CAD = 40°，EF 为过点 A 的一条直线，且 EF∥BC，求∠BAE 的度数.
解：在△ABC 中，因为 AB = AC，
AD 为 BC 边上的中线，
所以 AD⊥BC，且 AD 平分∠BAC，
所以∠ADB = 90°，∠BAD =∠CAD = 40°，
所以∠B = 50°，
因为 EF∥BC，
所以∠BAE =∠B = 50°.
解：因为 OA = AB，
所以∠ABO =∠O = 15°. 所以∠BAO =150°.
所以∠BAC =180°－∠BAO = 30°.
因为 AB = BC，
所以∠ACB =∠BAC = 30°.
所以∠CBO = 135°. 所以∠CBD =180°－∠CBO = 45°.
因为BC=CD，所以∠D =∠CBD = 45°. 所以∠BCD = 90°.
所以∠1 = 180°－∠BCD－∠ACB = 60°.
1. 如图，∠O = 15°，且 OA = AB = BC = CD. 求∠1.
⌒
15°
1
C
D
B
O
A
⌒
练一练
（第1题）
1. 如图，中，，是 的
中点，下列结论中不正确的是( )
D
A. B.
C. 平分 D.
2. 等腰三角形的对称轴有( )
D
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 1条或3条
返回
（第3题）
3. [2024咸阳月考] 如图，在等腰三
角形中，，点在 的
延长线上， ，若
，则 的度数为
( )
A
A. B. C. D.
返回
（第4题）
4. [2024晋中期中] 山西万荣东岳庙的飞云
楼是典型的元明风格建筑，飞云楼的顶端
可以近似看作是等腰三角形 （如图），
其中，是 边上的中线，已知
，则 的度数为( )
C
A. B. C. D.
返回
（第5题）
5. [2024枣庄期中] 如图， 是等边
三角形的边上的中线，以点
为圆心，长为半径画弧交 的延长
线于点，则 的度数为( )
A
A. B.
C. D.
返回
6. 定义：在一个三角形中，如果一个内角度数
是另一内角度数的 ，我们称这样的三角形为“半角三角形”，
若等腰三角形为“半角三角形”，则 的顶角度数为
__________.
或
7.等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为 ，则这
个等腰三角形的一个底角的度数是_____________.
或
返回
8.[2024咸阳期中] 如图，已知，于点 ，
，的周长为20，求 的周长.
【解】在中，因为 ，
于点 ，
所以是 的中线.
所以 .
因为 的周长为20，
所以 .
所以 的周长
.
返回
（第9题）
9. [2024天津模拟] 如图，在 中，
，，分别是 的中线和角
平分线.若 ，则 的度数是
( )
B
A. B. C. D.
（第9题）
【点拨】因为，是 的中线，
且 ，
所以 , .
所以 .
因为是 的角平分线，
所以 .
返回
（第10题）
10. 如图，中，, 于
点，于点，于点 ，
，则 的长为( )
D
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
（第10题）
【点拨】因为， ，所以
是的中线.所以 .
因为 ，所以
.
又因为,所以 .
因为，所以 ，故选D.
返回
（第11题）
11. 如图，在
中，， ，点
从点出发以的速度向点 运
动，同时点从点出发以 的
速度向点 运动，其中一个动点到达
D
A. B. C. D.
终点时，另一个动点也随之停止运动，当是以 为
底边的等腰三角形时，该等腰三角形的腰长是( )
12.如图，是等边三角形，，连接 ，
,则 的度数为____.
（第12题）
等腰三角形的性质
等腰三角形的两个底角相等
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高重合（三线合一）
等腰三角形是轴对称图形
谢谢观看！
阿木提江·塔西吐木尔
托克逊县第一中学
13899326086
5.2.1 等腰三角形的性质
第五章 图形的轴对称
新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
买合苏迪古丽·买买提
托克逊县第二中学
15909954880
5.2.1 等腰三角形的性质
一、学习目标
理解等腰三角形的定义，能准确识别等腰三角形的腰、底边、顶角和底角。
掌握等腰三角形的性质，包括 “等边对等角” 和 “三线合一”，并能运用这些性质解决几何问题。
结合轴对称知识理解等腰三角形的对称性，体会轴对称与等腰三角形性质的内在联系。
在探究等腰三角形性质的过程中，培养逻辑推理能力和几何直观，提高运用知识解决问题的能力。
二、情境引入
在之前的学习中，我们认识了轴对称图形，而等腰三角形就是一种常见的轴对称图形。生活中处处可见等腰三角形的身影：埃及金字塔的侧面、等腰三角形屋顶的框架、交通标志中的警示标志等。等腰三角形作为一种特殊的三角形，除了具有三角形的一般性质外，还具有哪些独特的性质呢？这些性质与它的轴对称特征有什么关系？本节课我们就来深入探究等腰三角形的性质，揭开它的神秘面纱。
三、等腰三角形的定义与相关概念
（一）定义
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边。两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。
（二）图形表示
如图 1，在△ABC 中，AB = AC，则△ABC 是等腰三角形。其中：
腰：AB、AC
底边：BC
顶角：∠A（两腰 AB、AC 的夹角）
底角：∠B、∠C（底边 BC 与腰 AB、AC 的夹角）
[此处插入图 1：等腰三角形 ABC 的示意图，标注腰、底边、顶角、底角]
（三）特殊情况
等边三角形是特殊的等腰三角形，它的三条边都相等，因此等边三角形的任意两条边都可以看作腰，任意一个角都可以看作顶角或底角。
四、等腰三角形的性质探究
（一）性质 1：等边对等角
探究过程：
取一张等腰三角形纸片（AB = AC），将其沿顶角平分线 AD 折叠（如图 2）。
观察发现：∠B 与∠C 能够完全重合，即∠B = ∠C。
结论：等腰三角形的两底角相等。
[此处插入图 2：等腰三角形折叠示意图，展示∠B 与∠C 重合]
定理内容：等腰三角形的两底角相等（简写成 “等边对等角”）。
几何语言表达：
在△ABC 中，∵AB = AC（已知）
∴∠B = ∠C（等边对等角）
推理证明：
如图 2，作顶角∠A 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
在△ABD 和△ACD 中：\(
\begin{cases}
AB = AC · \\
BAD = CAD è§ \\
AD = AD ±è
\end{cases}
\)
∴△ABD≌△ACD（SAS）
∴∠B = ∠C（全等三角形的对应角相等）
（二）性质 2：三线合一
探究过程：
继续观察折叠后的等腰三角形纸片，发现 BD 与 CD 重合，∠ADB 与∠ADC 重合。
由此可得：BD = CD，∠ADB = ∠ADC = 90°。
结论：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
定理内容：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简写成 “三线合一”）。
几何语言表达：
在△ABC 中，AB = AC，
若 AD 是顶角∠A 的平分线，则 AD⊥BC，BD = CD（即 AD 是底边上的中线和高）。
若 AD 是底边上的中线（BD = CD），则 AD 平分∠BAC，AD⊥BC（即 AD 是顶角平分线和高）。
若 AD 是底边上的高（AD⊥BC），则 AD 平分∠BAC，BD = CD（即 AD 是顶角平分线和底边上的中线）。
推理证明（以 “顶角平分线也是底边上的中线和高” 为例）：
如图 2，∵AD 是顶角∠A 的平分线（已知）
∴∠BAD = ∠CAD
在△ABD 和△ACD 中：\(
\begin{cases}
AB = AC · \\
BAD = CAD · è \\
AD = AD ±è
\end{cases}
\)
∴△ABD≌△ACD（SAS）
∴BD = CD（全等三角形的对应边相等），∠ADB = ∠ADC（全等三角形的对应角相等）
∵∠ADB + ∠ADC = 180°（平角定义）
∴∠ADB = ∠ADC = 90°，即 AD⊥BC（垂直定义）
（三）性质 3：轴对称性
等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线所在的直线（或底边上的中线所在的直线、底边上的高所在的直线）。这一性质是 “等边对等角” 和 “三线合一” 的本质原因，因为轴对称图形沿对称轴折叠后，两旁的部分能够完全重合，从而对应角相等、对应线段相等。
五、等腰三角形性质的应用
（一）利用 “等边对等角” 求角度
例 1：在△ABC 中，AB = AC，∠A = 80°，求∠B 和∠C 的度数。
解：
∵AB = AC（已知）
∴∠B = ∠C（等边对等角）
∵∠A + ∠B + ∠C = 180°（三角形内角和定理），∠A = 80°（已知）
∴80° + ∠B + ∠C = 180°
∴∠B + ∠C = 100°
∵∠B = ∠C
∴∠B = ∠C = 50°
（二）利用 “三线合一” 求线段长度
例 2：如图 3，在△ABC 中，AB = AC，AD 是底边上的中线，若 BC = 6cm，求 BD 的长度。
[此处插入图 3：等腰三角形 ABC，AD 为中线的示意图]
解：
∵AB = AC，AD 是底边上的中线（已知）
∴BD = CD（三线合一）
∵BC = 6cm（已知）
∴BD = \(\frac{1}{2}\)BC = \(\frac{1}{2}\)×6 = 3cm
（三）综合运用性质解决证明问题
例 3：如图 4，在△ABC 中，AB = AC，AD 是顶角平分线，求证：AD 平分 BC 且 AD⊥BC。
[此处插入图 4：等腰三角形 ABC，AD 为顶角平分线的示意图]
证明：
∵AB = AC，AD 是顶角平分线（已知）
∴AD 平分 BC，AD⊥BC（等腰三角形三线合一）
例 4：如图 5，在△ABC 中，AB = AC，点 D 在 BC 上，且 AD = BD，求证：∠BAD = ∠CAD。
[此处插入图 5：等腰三角形 ABC，D 在 BC 上，AD=BD 的示意图]
证明：
∵AB = AC（已知）
∴∠B = ∠C（等边对等角）
∵AD = BD（已知）
∴∠B = ∠BAD（等边对等角）
∴∠BAD = ∠C（等量代换）
∵∠ADB = ∠C + ∠CAD（三角形外角性质），且∠ADB = 180° - ∠B - ∠BAD（三角形内角和定理）
∴∠C + ∠CAD = 180° - ∠B - ∠BAD
∵∠B = ∠C = ∠BAD
∴∠BAD + ∠CAD = 180° - ∠BAD - ∠BAD
∴∠BAD + ∠CAD = 180° - 2∠BAD
又∵∠BAC = ∠BAD + ∠CAD = 180° - 2∠B = 180° - 2∠BAD（等腰三角形顶角与底角关系）
∴等式成立，且由三线合一可知，当 AD 是角平分线时∠BAD = ∠CAD，本题中通过角度关系可证∠BAD = ∠CAD。
六、知识辨析
（一）等腰三角形性质与三角形一般性质的区别
等腰三角形具有三角形的所有一般性质（如内角和为 180°、两边之和大于第三边等），同时还具有特殊性质（“等边对等角”“三线合一”）。这些特殊性质是由等腰三角形的轴对称性决定的，普通三角形不具备这些性质。
（二）“等边对等角” 与 “等角对等边” 的区别
“等边对等角” 是等腰三角形的性质，指在一个三角形中，若两条边相等，则它们所对的角相等；而 “等角对等边” 是等腰三角形的判定方法，指在一个三角形中，若两个角相等，则它们所对的边相等。二者逻辑方向相反，应用场景不同。
（三）“三线合一” 的条件与结论
“三线合一” 的前提条件是 “等腰三角形”，即只有在等腰三角形中，顶角平分线、底边上的中线、底边上的高才互相重合。对于普通三角形，这三条线段是互相独立的，不一定重合。
七、易错点警示
概念混淆：混淆等腰三角形的腰与底边、顶角与底角，导致在应用性质时对应关系错误。例如，误将顶角当作底角进行角度计算。
忽略 “在同一个三角形中” 的条件：应用 “等边对等角” 时，未明确两条相等的边是在同一个三角形中，错误地将不同三角形中的等边对应等角。
“三线合一” 应用错误：在非等腰三角形中错误地应用 “三线合一” 性质，或在等腰三角形中混淆 “顶角” 与 “底角”，将底角平分线当作 “三线合一” 的线段。
角度计算错误：在计算等腰三角形的角度时，忽略三角形内角和定理，或未考虑等腰三角形可能是锐角、直角或钝角三角形的不同情况。
对称轴识别错误：认为等腰三角形的对称轴是顶角平分线（线段），而忽略对称轴是直线，正确的对称轴应为顶角平分线所在的直线。
八、课堂练习
填空题：
（1）在等腰三角形中，若顶角为 100°，则底角的度数为______。
（2）等腰三角形的两边长分别为 5cm 和 10cm，则它的周长为______cm。
（3）在△ABC 中，AB = AC，AD⊥BC 于点 D，若 AB = 10cm，AD = 8cm，则 BC 的长度为______cm。
选择题：
（1）等腰三角形的一个角是 50°，则它的顶角的度数是（ ）
A. 50° B. 80° C. 50° 或 80° D. 65°
（2）下列说法中，正确的是（ ）
A. 等腰三角形的高就是它的对称轴 B. 等腰三角形的顶角平分线一定垂直于底边
C. 等腰三角形的角平分线、中线、高互相重合 D. 等腰三角形的一边长为 4，另一边长为 9，则周长为 17
解答题：
（1）如图 6，在△ABC 中，AB = AC，点 D、E 在 BC 上，且 AD = AE，求证：BD = CE。
[此处插入图 6：等腰三角形 ABC，D、E 在 BC 上，AD=AE 的示意图]
（2）在△ABC 中，AB = AC，∠BAC = 90°，AD 是底边 BC 上的高，求证：AD = BD = CD。
九、方法总结
等腰三角形角度计算方法：
明确已知角是顶角还是底角，若未明确需分类讨论（如一个角为锐角时，可能是顶角也可能是底角）。
利用 “等边对等角” 将边的关系转化为角的关系。
结合三角形内角和定理（180°）列方程求解。
“三线合一” 的应用技巧：
当题目中出现等腰三角形、顶角平分线、底边上的中线或底边上的高这三个条件中的任意一个时，可考虑应用 “三线合一” 得出其他两个条件。
在证明线段相等或垂直关系时，“三线合一” 是重要的辅助工具，可简化证明过程。
等腰三角形对称性的利用：
利用等腰三角形的轴对称性，通过折叠或构造对称点，将分散的条件集中，帮助解决问题。
对称轴是顶角平分线所在的直线，可通过作对称轴辅助解题。
通过本节课的学习，我们掌握了等腰三角形的定义、性质及应用方法，理解了 “等边对等角” 和 “三线合一” 的内涵，体会了轴对称性在等腰三角形中的核心作用。等腰三角形的性质是几何推理的重要依据，在后续学习中有着广泛的应用。希望同学们能熟练运用这些性质，提高几何问题的解决能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
2. 生活中有哪些常见的等腰三角形的图案呢？
1. 什么是等腰三角形
有两边相等的三角形.
等腰三角形的性质
1
问题 1：等腰三角形是比较常见的图形. 你有哪些办法可以得到一个等腰三角形 与同伴交流.
1. 折叠法
2. 尺规画图
问题 2：如图，在△ABC 中，AB = AC，则三角形 ABC 为等腰三角形.它的各个组成部分名称分别是什么
(1) 相等的两条边都叫腰；
(2) 另一边叫底边；
(3) 两腰的夹角∠A 叫顶角；
(4) 腰与底边夹角∠B，∠C 叫底角.
A
B
C
腰
腰
底边
顶角
底角
底角
思考1：(1) 等腰三角形是轴对称图形吗 如果是，沿着它的对称轴折叠，你能发现哪些相等的线段和相等的角
A
B
C
等腰三角形是轴对称图形.
AB＝AC，
BD＝CD，
∠B＝∠C，
∠BAD＝∠CAD，
∠BDA＝∠CDA.
D
合作探究
(2) 等腰三角形的对称轴是一条怎样的直线
你是如何描述的
A
B
C
(3)你认为等腰三角形有哪些特征
与同伴交流.
2.等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴.
3.底边上的高所在的直线是它的对称轴.
1.等腰三角形顶角平分线所在的直线是它的对称轴.
等腰三角形是轴对称图形.
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（也称“三线合一”），它们所在的直线就是等腰三角形的对称轴.
等腰三角形的两个底角相等.
归纳总结
例1 已知一个等腰三角形的底角是顶角的 2 倍，
求它的各个内角的度数.
解：设这个等腰三角形顶角的度数为 x°，则底角度数为 2x°.
根据“三角形三个内角的和等于180°”，得
x＋2x＋2x＝180.
解得 x＝36.
2×36＝72.
所以这个三角形的三个内角分别为36°、72°、72°.
典例精析
1.画出任意一个等腰三角形（等边三角形除外）的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们能不能重合
概念辨析
不能重合
2. 如图，△ABC 是一个等腰三角形，直线 l 是它的对称轴. 请在△ABC 中画出以直线 l 为对称轴的一组对应点、一组对应线段、一组对应角，你能发现哪些相等的线段、相等的角，以及形状、大小
完全相同的图形
A
B
C
l
等边三角形的特征
2
思考 2：通过学习我们知道等腰三角形的轴对称性及其特征，那么当等腰三角形的腰与底边相等时它是什么三角形
等边三角形，它是特殊的等腰三角形
(1) 等边三角形有几条对称轴？
(2) 你能发现它的哪些特征？
等边三角形有 3 条对称轴
1.等边三角形三个内角都相等，且均为60°.
2. 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或角的平分线所在的直线.
3.等边三角形每条边上的中线、高线和角平分线互相重合.
要点归纳
例2 如图是由大小相等的等边三角形组成的图案，请找出它的对称轴.
典例精析
例3 等腰三角形的一个内角是 50°，则这个三角形的
底角的大小是 ( )
A．65° 或 50° B．80° 或 40°
C．65° 或 80° D．50° 或 80°
解析：当 50° 的角是底角时，三角形的底角就是 50°；当 50° 的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是 65°，综上所述，选 A.
A
例4 如图，在△ABC 中，AB = AC，AD 为 BC 边上的中线，∠CAD = 40°，EF 为过点 A 的一条直线，且 EF∥BC，求∠BAE 的度数.
解：在△ABC 中，因为 AB = AC，
AD 为 BC 边上的中线，
所以 AD⊥BC，且 AD 平分∠BAC，
所以∠ADB = 90°，∠BAD =∠CAD = 40°，
所以∠B = 50°，
因为 EF∥BC，
所以∠BAE =∠B = 50°.
解：因为 OA = AB，
所以∠ABO =∠O = 15°. 所以∠BAO =150°.
所以∠BAC =180°－∠BAO = 30°.
因为 AB = BC，
所以∠ACB =∠BAC = 30°.
所以∠CBO = 135°. 所以∠CBD =180°－∠CBO = 45°.
因为BC=CD，所以∠D =∠CBD = 45°. 所以∠BCD = 90°.
所以∠1 = 180°－∠BCD－∠ACB = 60°.
1. 如图，∠O = 15°，且 OA = AB = BC = CD. 求∠1.
⌒
15°
1
C
D
B
O
A
⌒
练一练
（第1题）
1. 如图，中，，是 的
中点，下列结论中不正确的是( )
D
A. B.
C. 平分 D.
2. 等腰三角形的对称轴有( )
D
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 1条或3条
返回
（第3题）
3. [2024咸阳月考] 如图，在等腰三
角形中，，点在 的
延长线上， ，若
，则 的度数为
( )
A
A. B. C. D.
返回
（第4题）
4. [2024晋中期中] 山西万荣东岳庙的飞云
楼是典型的元明风格建筑，飞云楼的顶端
可以近似看作是等腰三角形 （如图），
其中，是 边上的中线，已知
，则 的度数为( )
C
A. B. C. D.
返回
（第5题）
5. [2024枣庄期中] 如图， 是等边
三角形的边上的中线，以点
为圆心，长为半径画弧交 的延长
线于点，则 的度数为( )
A
A. B.
C. D.
返回
6. 定义：在一个三角形中，如果一个内角度数
是另一内角度数的 ，我们称这样的三角形为“半角三角形”，
若等腰三角形为“半角三角形”，则 的顶角度数为
__________.
或
7.等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为 ，则这
个等腰三角形的一个底角的度数是_____________.
或
返回
8.[2024咸阳期中] 如图，已知，于点 ，
，的周长为20，求 的周长.
【解】在中，因为 ，
于点 ，
所以是 的中线.
所以 .
因为 的周长为20，
所以 .
所以 的周长
.
返回
（第9题）
9. [2024天津模拟] 如图，在 中，
，，分别是 的中线和角
平分线.若 ，则 的度数是
( )
B
A. B. C. D.
（第9题）
【点拨】因为，是 的中线，
且 ，
所以 , .
所以 .
因为是 的角平分线，
所以 .
返回
（第10题）
10. 如图，中，, 于
点，于点，于点 ，
，则 的长为( )
D
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
（第10题）
【点拨】因为， ，所以
是的中线.所以 .
因为 ，所以
.
又因为,所以 .
因为，所以 ，故选D.
返回
（第11题）
11. 如图，在
中，， ，点
从点出发以的速度向点 运
动，同时点从点出发以 的
速度向点 运动，其中一个动点到达
D
A. B. C. D.
终点时，另一个动点也随之停止运动，当是以 为
底边的等腰三角形时，该等腰三角形的腰长是( )
12.如图，是等边三角形，，连接 ，
,则 的度数为____.
（第12题）
等腰三角形的性质
等腰三角形的两个底角相等
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高重合（三线合一）
等腰三角形是轴对称图形
谢谢观看！
阿木提江·塔西吐木尔
托克逊县第一中学
13899326086
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