5.2.3角平分线的性质 课件（共44张PPT）--新2024北师大版七年级数学下册课件

(共44张PPT)
5.2.3角平分线的性质
第五章 图形的轴对称
新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
买合苏迪古丽·买买提
托克逊县第二中学
15909954880
5.2.3 角平分线的性质
一、学习目标
理解角平分线的定义，能准确画出角的平分线。
掌握角平分线的性质定理及其逆定理，能运用这些性质解决几何问题。
结合全等三角形知识理解角平分线性质的推理过程，体会数形结合思想。
在探究角平分线性质的过程中，培养逻辑推理能力和几何直观，提高运用知识解决问题的能力。
二、情境引入
在之前的学习中，我们认识了角平分线，它是从角的顶点出发，将角分成两个相等的角的射线。角平分线作为角的重要组成部分，具有哪些特殊的性质呢？例如，在角平分线上任意取一点，这个点到角的两边的距离是否存在某种关系？生活中，角平分线的性质也有广泛应用，如制作角尺、确定最短距离等。本节课我们就来深入探究角平分线的性质，揭开它的神秘面纱。
三、角平分线的定义
（一）定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。
（二）图形表示
如图 1，射线 OC 从∠AOB 的顶点 O 出发，且∠AOC = ∠BOC，则射线 OC 是∠AOB 的平分线。其中：
∠AOC = ∠BOC = \(\frac{1}{2}\)∠AOB。
射线 OC 是角平分线，向角的内部延伸。
[此处插入图 1：∠AOB 的平分线 OC 的示意图，标注∠AOC=∠BOC]
（三）几何语言表达
∵射线 OC 是∠AOB 的平分线（已知）
∴∠AOC = ∠BOC（角平分线的定义）
四、角平分线的性质探究
（一）性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等
探究过程：
如图 2，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 是 OC 上的任意一点，过点 P 作 PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E。
测量发现：PD = PE。
换一个点 P' 在 OC 上，作 P'D'⊥OA 于点 D'，P'E'⊥OB 于点 E'，测量发现 P'D' = P'E'。
结论：角平分线上的点到角两边的距离相等。
[此处插入图 2：∠AOB 的平分线 OC 上有一点 P，PD⊥OA，PE⊥OB 的示意图]
定理内容：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
几何语言表达：
∵OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB（已知）
∴PD = PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）
推理证明：
如图 2，∵OC 是∠AOB 的平分线（已知）
∴∠AOC = ∠BOC（角平分线的定义）
∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知）
∴∠PDO = ∠PEO = 90°（垂直的定义）
在△PDO 和△PEO 中：\(
\begin{cases}
PDO = PEO · è \\
AOC = BOC · è \\
PO = PO ±è
\end{cases}
\)
∴△PDO≌△PEO（AAS）
∴PD = PE（全等三角形的对应边相等）
（二）逆定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
探究过程：
如图 3，点 P 是∠AOB 内部一点，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，且 PD = PE，连接 OP。
测量发现：∠AOP = ∠BOP，即 OP 是∠AOB 的平分线。
结论：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。
[此处插入图 3：∠AOB 内部点 P 满足 PD=PE，PD⊥OA，PE⊥OB 的示意图]
定理内容：在角的内部，到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
几何语言表达：
∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE（已知）
∴点 P 在∠AOB 的平分线上（在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）
推理证明：
如图 3，∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知）
∴∠PDO = ∠PEO = 90°（垂直的定义）
在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中：\(
\begin{cases}
PD = PE · \\
PO = PO ±è
\end{cases}
\)
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）
∴∠AOP = ∠BOP（全等三角形的对应角相等）
∴OP 是∠AOB 的平分线（角平分线的定义）
∴点 P 在∠AOB 的平分线上
（三）角平分线的集合定义
由性质定理和逆定理可知，角的平分线可以看作是在角的内部到角的两边距离相等的所有点的集合。这一集合定义体现了角平分线的本质特征，即它包含了所有满足到角两边距离相等条件的点，且只包含这些点。
五、角平分线性质的应用
（一）利用性质定理求距离
例 1：如图 4，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，若 PD = 3cm，求 PE 的长度。
[此处插入图 4：∠AOB 的平分线 OC 上有一点 P，PD⊥OA，PE⊥OB，PD=3cm 的示意图]
解：
∵OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB（已知）
∴PE = PD（角平分线上的点到角两边的距离相等）
∵PD = 3cm（已知）
∴PE = 3cm
（二）利用逆定理判断点的位置
例 2：如图 5，在△ABC 中，点 D 是 BC 边上一点，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F，且 DE = DF，求证：点 D 在∠BAC 的平分线上。
[此处插入图 5：△ABC 中 D 在 BC 上，DE⊥AB，DF⊥AC，DE=DF 的示意图]
证明：
∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE = DF（已知）
∴点 D 在∠BAC 的平分线上（在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）
（三）综合运用性质解决证明问题
例 3：如图 6，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F，求证：AE = AF。
[此处插入图 6：△ABC 中 AD 是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC 的示意图]
证明：
∵AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC（已知）
∴DE = DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）
在 Rt△ADE 和 Rt△ADF 中：\(
\begin{cases}
DE = DF · è \\
AD = AD ±è
\end{cases}
\)
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）
∴AE = AF（全等三角形的对应边相等）
（四）利用性质解决实际问题
例 4：如图 7，某工厂要在∠AOB 内部建一个仓库，使仓库到 OA 和 OB 两条公路的距离相等，且距离 O 点 500 米，仓库应建在何处？
[此处插入图 7：∠AOB 和两条公路 OA、OB 的示意图]
解：
作∠AOB 的平分线 OC，在 OC 上截取 OP = 500 米，则点 P 即为仓库的位置。
理由：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此点 P 到 OA 和 OB 的距离相等，且距离 O 点 500 米。
六、知识辨析
（一）角平分线与垂线的区别
角平分线是射线，从角的顶点出发向角的内部延伸；而垂线是直线（或线段、射线），与已知直线（或线段）垂直。角平分线的性质涉及到点到直线的距离，即垂线段的长度，需注意区分角平分线本身与垂线段的不同。
（二）性质定理与逆定理的区别
定理
条件
结论
作用
性质定理
点在角的平分线上，且到角两边的距离（垂线段）存在
点到角两边的距离相等
由位置关系推出数量关系
逆定理
在角的内部，点到角两边的距离相等
点在角的平分线上
由数量关系推出位置关系
（三）角平分线与等腰三角形的关系
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。因此，等腰三角形顶角的平分线也是底边上的中线和高，这体现了角平分线与等腰三角形性质的内在联系。
七、易错点警示
概念混淆：混淆角平分线与角的边的区别，错误地认为角平分线是线段或直线，而忽略它是射线的本质特征。
性质应用错误：在应用性质定理时，未明确点到角两边的距离是垂线段的长度，错误地将点到顶点的距离当作到角两边的距离；或未确保点在角的平分线上，就得出距离相等的结论。
逆定理应用条件遗漏：在应用逆定理时，忽略 “在角的内部” 这一重要条件，错误地认为外部到角两边距离相等的点也在角的平分线上。
距离理解错误：将 “点到角两边的距离” 理解为点到角两边上某一点的线段长度，而非垂线段的长度，导致计算或证明错误。
推理不严谨：在证明过程中，未完整书写推理步骤，如在证明性质定理时，未先证明三角形全等就直接得出距离相等的结论。
八、课堂练习
填空题：
（1）角平分线上的点到这个角的______的距离相等。
（2）在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的______上。
（3）在△ABC 中，∠C = 90°，AD 是∠BAC 的平分线，若 CD = 3cm，则点 D 到 AB 的距离为______cm。
选择题：
（1）下列说法中，正确的是（ ）
A. 角平分线是一条线段 B. 角平分线上的点到角的两边的距离一定相等
C. 到角两边距离相等的点只有一个 D. 角的外部到角两边距离相等的点在角的平分线上
（2）如图 8，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F，若 AB = 8cm，AC = 6cm，△ABC 的面积为 21cm ，则 DE 的长度为（ ）
A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm
[此处插入图 8：△ABC 中 AD 是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC 的示意图]
解答题：
（1）如图 9，在△ABC 中，∠B = ∠C，AD 是∠BAC 的平分线，求证：BD = CD。
[此处插入图 9：△ABC 中∠B=∠C，AD 是角平分线的示意图]
（2）如图 10，在△ABC 中，∠A = 90°，BD 是∠ABC 的平分线，DE⊥BC 于点 E，若 AD = 3cm，BC = 10cm，求△BCD 的面积。
[此处插入图 10：Rt△ABC 中 BD 是角平分线，DE⊥BC 的示意图]
九、方法总结
角平分线性质的应用方法：
当需要证明两条垂线段相等且它们的公共端点在角的平分线上时，可应用性质定理。
当需要证明点在角的平分线上时，可应用逆定理，即证明该点到角两边的距离相等（需注意点在角的内部）。
在计算图形面积时，可利用角平分线上的点到角两边距离相等的性质，将复杂图形的面积转化为多个简单图形的面积之和。
角平分线的作图方法：
以角的顶点为圆心，适当长为半径画弧，交角的两边于两点。
分别以这两点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧在角的内部相交于一点。
过角的顶点和这个交点作射线，这条射线就是角的平分线。
与其他知识的结合技巧：
结合全等三角形的判定和性质，理解角平分线性质的推理过程，为证明提供依据。
结合等腰三角形的性质，利用角平分线与三线合一的关系解决问题。
结合三角形的面积公式，利用角平分线上的点到角两边距离相等的性质，计算三角形的高或底边长。
通过本节课的学习，我们掌握了角平分线的定义、性质定理及其逆定理，理解了它们的几何意义和应用方法，体会了角平分线与全等三角形、等腰三角形等知识的内在联系。角平分线的性质是几何推理的重要依据，在后续学习中有着广泛的应用。希望同学们能熟练运用这些性质，提高几何问题的解决能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
生活中哪些地方有角的身影 请举例说明.
墙角，桌角等.
角是生活中常见的图形，角是轴对称图形吗？如果是，请指出它的对称轴.
角的轴对称性
1
如图，将 ∠AOB 对折，你发现了什么？
O
B
A
角两边能完全重合
角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.
强调：角平分线是一条射线，而角的对称轴是角平分线所在的直线.
知识要点
O
B
A
角平分线的性质
2
思考1：如图，OP 是∠AOB 的平分线，点 C 是 OP 上的任意一点. 在∠AOB 中画出以 OP 所在直线为对称轴的一组对应点 D 和 D'，连接 CD 和 CD'.
(1) 你认为线段 CD 和 CD' 之间有什么关系
说说你的理由.
CD = CD'，因为∠AOB 是轴对称图形，D 和 D' 是对应点，所以 CD 和 CD' 是以 OP 所在直线为对称轴的一组对应线段，所以CD = CD'.
C
D
D′
P
因为 CD⊥OA，即 ∠ODC = 90°，
所以∠OD'C =∠ODC = 90°.
所以 CD'⊥OB.
线段 CD 和 CD' 之间还有(1)中的关系.
得到结论：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
所以∠ODC 和∠OD'C 是以 OP 所在直线为对称轴的组对应角.
所以∠ODC =∠OD'C.
(2) 特别地，当 CD⊥OA 时(如图)，CD' 与 OB 有怎样的位置关系 为什么 此时，线段 CD 和 CD' 之间还有(1)中的关系吗 由此你能得到什么结论
O
B
A
C
D
D′
CD'⊥OB.
因为∠AOB 是轴对称图形，D和 D'是对应点，
P
已知：如图，∠AOC =∠BOC，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点 D，E.
试说明：PD = PE.
P
A
O
B
D
E
解：因为 PD⊥OA，PE⊥OB，
所以 ∠PDO = ∠PEO = 90°.
在 △PDO 和 △PEO 中，
所以△PDO≌△PEO(AAS).
所以 PD = PE.
验证：你能验证上题中的结论吗？
C
∠PDO =∠PEO = 90°，
∠DOP =∠EOP，
OP = OP，
性质：
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
应用所具备的条件：
(1) 点在角的平分线上；
(2) 到角两边的距离(垂直).
性质的作用：
证明线段相等.
B
A
D
O
C
E
几何语言：
因为 OC 是∠AOB 的平分线，
所以 CD = CE.
CD⊥OA，CE⊥OB，
要点归纳
利用尺规作角平分线
3
思考 2：如图，已知∠AOB，如何作出它的平分线
假设∠AOB 的平分线已作出，那么
(1)这条射线有什么特征
(2) 如何确定这条射线上除端点之外的一个点 用三角尺、量角器、圆规等工具试一试. 如果只用尺规呢 与同伴进行交流.
O
B
A
注意：需要确定的点是角对称轴上的点，因此应当从角两边进行“对称”的操作.
A
B
O
例1 如图，已知∠AOB，请用尺规作∠AOB 的平分线.
典例精析
(2) 分别以点 D、点 E 为圆
心，大于 DE 的长为半径
画弧，两弧在∠AOB 的内部
相交于点 C；
作法：
1. 在 OA 和 OB 上分别截取 OD，OE，使 OD = OE；
A
B
E
D
C
O
(3) 作射线 OC.
射线 OC 就是∠AOB 的平分线.
思考 3：请你说说这样作图的道理.
合作探究
比较：过直线上一点作已知直线的垂线与作一个角的平分线，这两种尺规作图方法有什么共同点 与同伴进行交流.
角平分线的作图依据是“SSS”.
例2 如图所示，在 Rt△ABC 中，BD 是 ∠ABC 的平分线，DE⊥AB，垂足为点 E. DE 与 DC 相等吗？为什么？
B
A
C
D
E
解：DE 与 DC 相等.
因为射线 BD 是 ∠ABC 的平分线，点 D到角两边 BA，BC 的距离分别是
线段 DE，DC 的长，
所以 DE = DC.
典例精析
变式：如图，在直角△ABC 中，∠C＝90°，AP 平分∠BAC 交 BC 于点 P，若 PC＝4，AB＝14.
(1) 求点 P 到 AB 的距离；
(2) 求△APB 的面积.
A
B
C
P
D
温馨提示：存在一条垂线段——构造应用
(2) AB·PD = 28.
解：(1) 如图，过 P 作 PD⊥AB 于点 D，
因为 AP 平分∠BAC，PD⊥AB，PC⊥AC，所以 PD = PC = 4.即 P到 AB的距离为4
1. 应用角平分线的性质：
存在角平分线
涉及距离问题
2. 联系角平分线的性质：
面积
周长
条件
利用角平分线的性质所得到的等量关系进行转化求解
归纳总结
反思：回顾探究等腰三角形、线段、角的性质的过程，你运用了哪些方法 积累了哪些经验
2. △ABC 中，∠C = 90°，AD 平分∠CAB，且 BC = 8，BD = 5，则
点 D 到 AB 的距离是 .
A
B
C
D
3
E
1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是
点 E，F，若∠EDB =∠FDB = 60°，
则∠EBF = °，BE = （填图中线段）.
60
BF
E
B
D
F
A
C
G
针对训练
解析：如图，过点 D 作 DF⊥AC 于点 F，
因为 AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，
所以 DF＝DE＝2.
解得 AC＝3.
3. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则 AC 的长是 (　　)
A．6 B．5 C．4 D．3
D
B
C
E
A
D
F
方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段长度是常用的方法.
一、选择题
1. 如图，MC是∠AMB的平分线，P为MC上任意
一点，PD⊥MA，垂足为点D，且PD＝3，则点P
到射线MB的距离是(　C　)
A. 1 B. 2
C. 3 D. 不能确定
C
当堂检测
1. 下列说法错误的是( )
B
A. 角是轴对称图形
B. 角平分线是角的对称轴
C. 将对折，使和重合，折痕所在的直线是
的对称轴
D. 角只有1条对称轴
返回
（第2题）
2. 如图，已知是 的平分线，
于点，于点， ，
则 的长度是( )
D
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
返回
（第3题）
3. 如图，在
中， ， 平分
，于点 ，如果
，那么 等于( )
B
A. B. C. D.
返回
（第4题）
4. [2024咸宁二模] 如图，
中， ，利用尺规在，
上分别截取，，使 ；分
别以，为圆心，大于 的长为半
径作弧，两弧在内交于点 ；作
B
A. B. 1 C. 2 D. 无法确定
射线交于点.若，为上一动点，则 的最
小值为( )
返回
（第5题）
5. 如图，是 的角平分线，
，垂足为， 的面积为12，
，，则 的长为( )
C
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
【点拨】如图，作于点 .
因为是的角平分线， ,
,
所以 ,
所以 .
所以 .
所以 .
返回
6. 如图，的外角的平分线 与
相交于点，若点到 的距离为3，
则点到 的距离为( )
C
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【点拨】如图，过点作于点，于点 ，
于点 .
因为的外角的平分线与相交于点 ，
所以易得 ，故选C.
返回
7. 尺规作图：如图，相关部门要修建一个车
站，要求车站到两个村庄， 的距离相等，且车站到两条公
路，的距离相等，在内部确定车站的位置 .
（保留作图痕迹，不写作法）
【解】如图所示.
返回
（第8题）
8. 如图，点是直线上的点，点, 分别
是，平分线上的点， 于
点，于点,于点 ,则下列
结论错误的是( )
C
A. B.
C. 与互余的角有2个 D. 点是 的中点
（第8题）
【点拨】由角平分线的性质，易知
，，所以 ，
故A选项结论正确.由点，分别是 ，
平分线上的点，易知 ，故
B选项结论正确.与互余的角有， ，
， ，共4个，故C选项结论错误.易知
，所以点是 的中点，故D选项结论正确.
返回
（第9题）
9.如图，，的平分线
与的平分线相交于点 ，作
于点.若 ，则两平行线
与 间的距离为___.
4
【点拨】如图，过点作 .
因为，所以.因为 的
平分线与的平分线 相交于点
，于点 ，
所以， .
所以，即两平行线 与
间的距离为4.
返回
10.如图，的三边，， 的长分别为40，50，60.
其三条角平分线交于点，则
_______.
（第10题）
【点拨】 如图，过点作于点 ，作
于点，作于点 .
因为，，是 的三条角平
分线，
所以 .
因为的三边,, 的长分别为40,50,60，
所以 .
返回
11.如图,钝角三角形的面积是16,最长边, 平分
,点,分别是,上的动点,则 的最小值为
___.
4
（第11题）
【点拨】过点作交于点 ,交
于点,过点作于点 ,如图
所示，此时 取得最小值.
因为平分,, ,
所以 .
所以，即的长为 的
最小值.
因为三角形的面积是16, ,
所以,即 ,
解得 .
所以 的最小值为4.
返回
12.如图，画 ，并画的平分线 .
（1）将三角尺的直角顶点落在 上的
任意一点 处，使三角尺的两条直角边
与 的两边分别垂直，垂足分别为
，（如图①），则___ ；
（填“ ”“ ”或“ ”）
（2）把三角尺绕着点 旋转（如图②），
两直角边分别与，交于点， ，
试猜想与 的大小关系，并说明理由.
【解】，理由如下：过点 作
于点，于点 ，则
.
又因为 ，平分 ，
所以 ， .
所以 .所以 .
因为 ，所以 .
在和 中，
所以 .所以
.
返回
角平分线
性质定理
一个点：角平分线上的点；
两距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段(距离)相等
辅助线
添加
过角平分线上一点向两边作垂线段
尺规作图
属于基本作图，必须熟练掌握
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阿木提江·塔西吐木尔
托克逊县第一中学
13899326086