6.3 用关系式表示变量之间的关系 课件（共33张PPT）--新2024北师大版七年级数学下册课件

6.3 用关系式表示变量之间的关系
第六章 变量之间的关系
新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
买合苏迪古丽·买买提
托克逊县第二中学
15909954880
6.3 用关系式表示变量之间的关系
一、学习目标
结合具体情境，理解用关系式表示变量间关系的意义和特点，能根据实际问题列出变量间的关系式。
学会从关系式中识别自变量和因变量，能根据自变量的值求出因变量的值，或根据因变量的值求出自变量的值。
经历从实际问题中抽象出变量间关系式的过程，培养数学建模能力和抽象思维能力。
感受数学符号的简洁性和准确性，体会关系式在描述变量间关系中的重要作用。
二、情境引入
在之前的学习中，我们已经知道可以用表格来表示变量之间的关系，表格能直观地展示变量的对应数值。但当我们需要描述变量之间的普遍规律，或者计算表格中未列出的数值时，表格就显得不够方便了。例如，汽车以 60 千米 / 小时的速度行驶，行驶时间与路程的关系用表格表示时，只能列出有限的几组数据；而如果用一个式子来表示，就可以涵盖所有可能的时间和路程数值。这个式子就是我们今天要学习的 “关系式”。关系式能更简洁、更全面地描述变量之间的依存关系，是数学中表达变量关系的重要工具。本节课我们就来学习如何用关系式表示变量之间的关系。
三、关系式的概念与组成
（一）概念
用关系式表示变量之间的关系，就是用数学式子（通常是等式）来描述两个变量之间的数量关系。其中，一个变量（自变量）的取值可以自由选择（在一定范围内），另一个变量（因变量）的值则由自变量的值通过关系式计算得出。
（二）组成要素
自变量：在变化过程中主动变化的量，通常用字母\(x\)、\(t\)等表示。
因变量：随着自变量的变化而变化的量，通常用字母\(y\)、\(s\)等表示。
数学符号：包括运算符号（\(+\)、\(-\)、\(\times\)、\(\div\)等）、等号和常量。
例如，在汽车行驶问题中，路程\(s\)（千米）与时间\(t\)（小时）的关系式为\(s = 60t\)，其中\(t\)是自变量，\(s\)是因变量，60 是常量。
四、从实际问题中列出关系式
根据实际问题中的数量关系，找出变量之间的依存规律，是列出关系式的关键。列关系式时需明确哪个是自变量，哪个是因变量，并根据相关公式或实际意义写出它们之间的等式。
（一）几何图形中的关系式
例 1：已知正方形的边长为\(a\)，面积为\(S\)，写出面积\(S\)与边长\(a\)之间的关系式。
分析：正方形的面积公式为面积 = 边长 × 边长，因此关系式为：\(S = a^2\)
其中，自变量是边长\(a\)，因变量是面积\(S\)。
例 2：已知圆的半径为\(r\)，周长为\(C\)，写出周长\(C\)与半径\(r\)之间的关系式。
分析：圆的周长公式为周长 = \(2\pi\times\)半径，因此关系式为：\(C = 2\pi r\)
其中，自变量是半径\(r\)，因变量是周长\(C\)，\(2\pi\)是常量。
（二）生活中的关系式
例 3：某商店出售一种笔记本，单价为 5 元 / 本，设购买数量为\(x\)本，总价为\(y\)元，写出总价\(y\)与购买数量\(x\)之间的关系式。
分析：总价 = 单价 × 数量，因此关系式为：\(y = 5x\)
其中，自变量是购买数量\(x\)，因变量是总价\(y\)，单价 5 元 / 本是常量。
例 4：小明家离学校 1000 米，他步行上学的速度为\(v\)米 / 分钟，步行到学校所需的时间为\(t\)分钟，写出时间\(t\)与速度\(v\)之间的关系式。
分析：时间 = 路程 ÷ 速度，因此关系式为：\(t=\frac{1000}{v}\)
其中，自变量是速度\(v\)，因变量是时间\(t\)，路程 1000 米是常量。
（三）分段关系的关系式
有些实际问题中，变量之间的关系需要分情况讨论，此时关系式为分段形式。
例 5：某出租车的收费标准为：起步价 8 元（3 千米以内），超过 3 千米后，每千米收费 1.5 元。设行驶路程为\(x\)千米（\(x\geq0\)），所需费用为\(y\)元，写出费用\(y\)与路程\(x\)之间的关系式。
分析：
当\(0\leq x\leq3\)时，费用为起步价 8 元，关系式为：\(y = 8\)
当\(x>3\)时，费用 = 起步价 + 超过 3 千米的费用，超过 3 千米的路程为\((x - 3)\)千米，因此关系式为：\(y=8 + 1.5(x - 3)=1.5x + 3.5\)
综上，关系式为：\(
y=\begin{cases}
8 & (0\leq x\leq3) \\
1.5x + 3.5 & (x>3)
\end{cases}
\)
五、从关系式中分析变量关系
（一）确定自变量和因变量
在关系式中，通常等式右边的变量是自变量，等式左边的变量是因变量。例如：
在\(s = 60t\)中，自变量是\(t\)，因变量是\(s\)。
在\(y = 5x + 3\)中，自变量是\(x\)，因变量是\(y\)。
（二）根据自变量的值求因变量的值
将自变量的具体数值代入关系式中，通过计算可求出对应的因变量的值。
例 6：在关系式\(y = 2x - 1\)中，当\(x = 3\)时，求\(y\)的值；当\(x = 0\)时，求\(y\)的值。
解：
当\(x = 3\)时，\(y=2\times3 - 1=6 - 1=5\)；
当\(x = 0\)时，\(y=2\times0 - 1=0 - 1=-1\)。
例 7：在例 5 的出租车收费关系式中，当行驶路程为 5 千米时，所需费用是多少？
解：
因为 5 千米 > 3 千米，所以使用关系式\(y = 1.5x + 3.5\)
当\(x = 5\)时，\(y=1.5\times5 + 3.5=7.5 + 3.5=11\)（元）
因此，行驶路程为 5 千米时，所需费用是 11 元。
（三）根据因变量的值求自变量的值
通过解方程的方法，可由因变量的值求出对应的自变量的值。
例 8：在关系式\(s = 5t + 10\)中，当\(s = 30\)时，求\(t\)的值。
解：
当\(s = 30\)时，\(30 = 5t + 10\)
移项得：\(5t=30 - 10=20\)
解得：\(t = 4\)
例 9：在例 3 的笔记本购买关系式中，若总价为 45 元，求购买的数量。
解：
关系式为\(y = 5x\)，当\(y = 45\)时，\(45 = 5x\)
解得：\(x = 9\)
因此，购买的数量为 9 本。
（四）分析变量的变化趋势
根据关系式的形式，可以分析因变量随自变量的变化趋势：
当关系式为\(y = kx + b\)（\(k>0\)）时，因变量\(y\)随自变量\(x\)的增大而增大。例如\(y = 2x + 1\)，\(x\)增大时，\(y\)随之增大。
当关系式为\(y = kx + b\)（\(k<0\)）时，因变量\(y\)随自变量\(x\)的增大而减小。例如\(y=-3x + 5\)，\(x\)增大时，\(y\)随之减小。
当关系式为\(y = kx^2\)（\(k>0\)）时，因变量\(y\)随自变量\(x\)（\(x>0\)）的增大而增大，且增长速度越来越快。例如\(y = 2x^2\)，\(x>0\)时，\(x\)越大，\(y\)增长越快。
六、典型例题解析
例 10：某长方形的周长为 20 厘米，设长方形的长为\(x\)厘米，面积为\(S\)平方厘米。
（1）写出面积\(S\)与长\(x\)之间的关系式。
（2）当长为 6 厘米时，面积是多少？
（3）当面积为 24 平方厘米时，长是多少？
解：
（1）因为长方形的周长 = 2×（长 + 宽），周长为 20 厘米，所以长 + 宽 = 10 厘米，宽为\((10 - x)\)厘米。
长方形的面积 = 长 × 宽，因此面积\(S\)与长\(x\)之间的关系式为：\(S=x(10 - x)=10x - x^2\)
其中，自变量\(x\)的取值范围是\(0（2）当\(x = 6\)时，\(S=10\times6-6^2=60 - 36=24\)（平方厘米）
因此，当长为 6 厘米时，面积是 24 平方厘米。
（3）当\(S = 24\)时，\(10x - x^2=24\)
整理得：\(x^2 - 10x + 24 = 0\)
因式分解得：\((x - 4)(x - 6)=0\)
解得：\(x = 4\)或\(x = 6\)
因为长需大于宽，当\(x = 4\)时，宽为 6 厘米（长小于宽，不符合实际）；当\(x = 6\)时，宽为 4 厘米（符合实际）。
因此，当面积为 24 平方厘米时，长是 6 厘米。
例 11：某工厂生产一种零件，每件零件的成本为 20 元，销售单价为 30 元，每月固定成本为 10000 元（不含零件成本）。设每月生产并销售\(x\)件零件，每月的利润为\(y\)元。
（1）写出利润\(y\)与销售量\(x\)之间的关系式。
（2）当每月销售 1500 件零件时，利润是多少？
（3）每月至少销售多少件零件才能不亏损？
解：
（1）利润 = 总销售额 - 总成本，总销售额 = 销售单价 × 销售量 = 30x，总成本 = 固定成本 + 零件成本 = 10000 + 20x。
因此，利润\(y\)与销售量\(x\)之间的关系式为：\(y = 30x-(10000 + 20x)=10x - 10000\)
（2）当\(x = 1500\)时，\(y=10\times1500 - 10000=15000 - 10000=5000\)（元）
因此，当每月销售 1500 件零件时，利润是 5000 元。
（3）不亏损即利润\(y\geq0\)，因此：\(10x - 10000\geq0\)
解得：\(x\geq1000\)
因此，每月至少销售 1000 件零件才能不亏损。
七、易错点警示
自变量与因变量混淆：在列关系式时，错误地将因变量当作自变量，或反之。例如，在路程与时间的关系式中，误写成\(t=\frac{s}{60}\)并认为\(s\)是自变量，而实际上通常以时间\(t\)为自变量，路程\(s\)为因变量。
关系式列写错误：对实际问题中的数量关系理解不清，导致关系式列写错误。例如，在例 5 的出租车收费问题中，错误地将超过 3 千米的费用写成\(1.5x\)，而忽略了应减去前 3 千米的费用。
忽略自变量的取值范围：列关系式时未考虑自变量的实际意义，忽略其取值范围。例如，在长方形面积关系式中，未注明长\(x\)需满足\(0代入计算错误：将自变量的值代入关系式时，因运算顺序错误或计算失误导致结果错误。例如，在计算\(y = 2x^2 + 3\)当\(x = 3\)时的值时，错误地计算为\(y=(2\times3)^2 + 3=36 + 3=39\)，而正确结果应为\(y=2\times3^2 + 3=18 + 3=21\)。
分段关系式应用错误：在分段关系式中，未根据自变量的取值范围选择对应的关系式进行计算。例如，在例 5 中，行驶路程为 2 千米时，错误地使用\(y = 1.5x + 3.5\)计算，而应使用\(y = 8\)。
八、课堂练习
填空题：
（1）已知三角形的底边长为 8 厘米，高为\(h\)厘米，面积为\(S\)平方厘米，则面积\(S\)与高\(h\)之间的关系式为______，其中自变量是______，因变量是______。
（2）某手机套餐每月收费标准为：月租费 18 元，包含 100 分钟通话，超过 100 分钟后，每分钟收费 0.2 元。设每月通话时间为\(t\)分钟（\(t\geq0\)），每月话费为\(y\)元，则当\(t>100\)时，\(y\)与\(t\)之间的关系式为______。
（3）在关系式\(y = -2x + 5\)中，当\(x = 2\)时，\(y=\)；当\(y = 1\)时，\(x=\)。
选择题：
（1）下列关系式中，因变量随自变量增大而减小的是（ ）
A. \(y = 3x - 1\) B. \(y = x^2\) C. \(y=-x + 2\) D. \(y = 5x\)
（2）某商品的原价为 50 元，现进行打折促销，折扣为\(x\)（\(0A. \(y = 50x\) B. \(y=\frac{50}{x}\) C. \(y = 50 - x\) D. \(y = 50(1 - x)\)
解答题：
（1）已知一个长方体的长为 5 厘米，宽为 3 厘米，高为\(h\)厘米，体积为\(V\)立方厘米。
① 写出体积\(V\)与高\(h\)之间的关系式。
② 当高为 4 厘米时，体积是多少？
③ 当体积为 60 立方厘米
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
确定一个三角形面积的量有哪些？
D
B
C
A
三角形的底边长和对应高
A
B
C
C
C
C
如图，△ABC 底边 BC 上的高是 6 cm. 当三角形的顶点 C 沿底边所在直线向点 B 运动时，三角形的面积发生了变化.
三角形的底边长是自变量，
三角形的面积是因变量.
用关系式表示变量间的关系
点击几何画板播放
1
当底边长减小时，三角形的面积减小.
(1)在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么?当底边长减小时，三角形的面积是如何变化的?
(2) 如果三角形的底边长为 x (单位：cm)，那么三角形的面积 y (单位：cm2) 如何表示?
(3) 在这个变化过程中，取定一个底边 x 的值，面积 y 的值能确定吗?
与同伴进行交流.
A
B
C
C
C
C
y＝12×????×6＝3????
?
当 x＝9 时，y＝27.
所以取定一个底边 x 的值，面积 y 的值能确定.
A
B
C
C
C
C
(4) 你能用表格完成三角形 ABC 面积变化的过程吗?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}x/cm
10
9
8
7
6
y/cm2
30
27
24
21
18
y = 3x 表示了三角形底边长 x 和三角形面积 y 之间的关系，它是变量 y 随 x 变化的关系式.
注意：关系式是我们表示变量之间关系的一种常用方法，利用关系式 (如 y = 3x)， 我们可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值.
要点归纳
利用表格可以写出关系式，利用关系式可以列表格，两者各有优缺点
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
优点
优点
表格
关系式
直观反映两个变量的
对应关系及变化趋势
准确反映两个变量间的关系，已知一个变量的值，可以求出另一个变量的值
变量的取值个数有限，估计时会有误差
变量间的对应
关系不太直观
归纳总结
你还记得圆锥的体积公式是什么吗？
其中的字母表示什么？
r
h
想一想
V 表示圆锥体积；
r 表示圆锥底面半径；
h 表示圆锥的高.
r
变化中的圆锥
h
r
r
h
底面半径不变
高变
高不变
底面半径变
←点击图标演示→
如图，圆锥的高度是 4 cm，当圆锥的高不变，底面半径由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了变化.
圆锥的底面半径的长度是自变量，
圆锥的体积是因变量.
观察·思考
(1) 在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么?底面半径增大时，圆锥的体积是如何变化的?
底面半径增大时，圆锥的体积随之增大.
(2) 如果圆锥底面半径为 r (单位：cm)，那么圆锥的体积 V (单位：cm3) 如何表示？
(3) 在这个变化过程中，取定一个底面半径 r 的值，体积 V 的值能确定吗?
取定一个底面半径 r 的值，体积 V 的值能确定，例如：当 r＝1 时，V＝43????.
?
你知道什么是“低碳生活”吗?“低碳生活”是指人们尽量减少所耗能量，从而降低碳(特别是二氧化碳)的排放量的一种生活方式.
尝试·交流
一些常见的二氧化碳排放量计算公式如下表所示：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}二氧化碳排放量/kg
计算公式
家居用电
用电量(单位:kW·h)×0.785
开私家车(燃油车)
耗油量(单位:L)×2.7
家用天然气
用气量(单位:m3)×0.19
家用自来水
用水量(单位:m3)×0.91
(1) 你能用字母表示家居用电的二氧化碳排放量的公式吗? 其中的字母表示什么?
y = 0.785x
其中 y(kg)表示家居用电的二氧化碳排放量、
x ( kW·h)表示用电量
随着用电量的增加，二氧化碳排放量增加.
(3) 当用电量为 100 kW·h 时，二氧化碳排放量是多少?
78.5 kg
(2) 随着用电量的增加，二氧化碳排放量是如何变化的? 与同伴进行交流.
(4) 小明家本月大约用电 110 kW·h、开车耗油 75 L、用天然气 20 m3、用自来水 5 m3，请你计算小明家这几项的二氧化碳排放量总和.
家居用电的二氧化碳排放量：
110×0.785 = 86.35（kg）；
开私家车的二氧化碳排放量：
75×2.7 = 202.5（kg）.
天然气的二氧化碳排放量：
20×0.19 = 3.8（kg）；
自来水的二氧化碳排放量：
5×0.91 = 4.55（kg）；
二氧化碳排放量总和：86.35+202.5+3.8+4.55
=297.2(kg)
根据表格中所列的数据，列出两个变量间的关系式，根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值
归纳总结
例 如图所示，梯形 ABCD 的上底长 AD＝x cm，下底长 BC＝25 cm，高 DE＝10 cm，梯形面积是 y cm?，上底长为 x cm.
(1) y 与 x 之间的关系式是什么?
(2) 用表格表示当 x 从 1 变到 6 时(每次增加 1)，y 的相应值:
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}x/cm
1
2
3
4
5
6
y/cm2
——
——
——
——
——
——
130
135
140
145
150
155
y＝12????+25×10＝5????+125.
?
(3) 当 x 每增加 1 时，y 如何变化? 说说你的理由.
(4) 当 x＝0 时，y 等于什么? 此时 y 表示的是什么?
(3) 当 x 每增加 1 时，y 随着增加 5.
(4) 当 x = 0 时，y = 125，此时 y 表示的是△ABC 的面积.
1. [2024唐山期中] 若等腰三角形的周长为20，则底边长???? 与
腰长???? 之间的关系式为( )
?
C
A. ????=?????+10 B. ????=????+10
C. ????=?2????+20 D. ????=2????+20
?
返回
2. [2024枣庄期末] 对于气温，有的地方用摄氏温度表示，有
的地方用华氏温度表示，摄氏温度????(℃)与华氏温度????(℉) 有如
下的对应关系：
?
摄氏温度????/℃
…
?10
0
10
20
30
…
华氏温度????/℉
…
14
32
50
68
86
…
…
0
10
20
30
…
…
14
32
50
68
86
…
由表中数据可知华氏温度????(℉)与摄氏温度????(℃) 的关系式是
( )
?
C
A. ????=1.8????+14 B. ????=?1.8????+32
C. ????=1.8????+32 D. ????=18????+32
?
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3.[2024达州期中] 某型号的签字笔每支2.5元，小涵同学拿
100元钱去购买了????(????≤40)支该型号的签字笔，则剩余的钱????
（元）与???? （支）的关系式是________________________.
?
????=?2.5????+100(????≤40)
?
4.某地区现有果树24 000棵，计划今后每年栽果树3 000棵.
（1）用含年数????（年）的式子表示果树总棵数???? （棵）为
____________________；
（2）预计到第5年该地区有________棵果树.
?
????=24?000+3?000????
?
39 000
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5.根据如图所示的计算程序计算????的对应值，若输入????的值为12 ，
则输出的结果为____.
?
?12
?
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6.[2024榆林期中] 某校准备在校园围墙一角用篱笆围一个长
方形的小花园，已知长方形小花园的长为8米，宽为???? 米，当
长方形小花园的宽由小到大变化时，长方形的面积????
（平方米）也随之发生变化.
?
（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
【解】在这个变化过程中，自变量是长方形小花园的宽，因
变量是长方形小花园的面积.
（2）求长方形小花园的面积????（平方米）与宽???? （米）之间
的关系式，并说明当长方形小花园的宽每增加1米时，长方
形小花园的面积如何变化？
?
【解】根据题意可知长方形小花园的面积????（平方米）与
宽???? （米）之间的关系式为????=8???? ，当长方形小花园的宽
每增加1米时，长方形小花园的面积增加8平方米.
?
（3）当长方形小花园的宽由3米增加到6米时，长方形小花
园的面积增加了多少平方米？
【解】8×6?8×3=48?24=24 （平方米）.
所以，当长方形小花园的宽由3米增加到6米时，长方形小花
园的面积增加了24平方米.
?
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7.某市出租车收费标准如下：3?km以内(含3?km) 收费8元；超
过3?km 的部分每千米收费1.6元.
?
（1）写出应收费????（元）与出租车行驶路线????(km) 之间的关
系式(其中????≥3) .
?
【解】根据题意可得????=8+(?????3)×1.6 ，
即????=1.6????+3.2(????≥3) .
?
（2）小亮乘出租车行驶4?km ，应付多少元？
?
当????=4时，????=1.6????+3.2=1.6×4+3.2=9.6 .
所以小亮乘出租车行驶4?km ,应付9.6元.
?
（3）小波付车费16元，那么出租车行驶了多少千米？
【解】因为16>8，所以出租车行驶超过3?km.
所以当????=16 时，
16=1.6????+3.2 ，
解得????=8 .
所以出租车行驶了8?km .
?
返回
8. 激光测距仪????发出的激光束以3×105?km/s
的速度射向目标????，?????s后测距仪????收到???? 反射回的激光束，则
????到????的距离?????km与时间?????s 的关系式为( )
?
A
A. ????=3×1052???? B. ????=3×105????
C. ????=2×3×105???? D. ????=3×106????
?
返回
9. 如图，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，
根据此规律，最后一个三角形中????与???? 之间的关系是( )
?
B
A. ????=2????+1 B. ????=2????+????
C. ????=2????+1+???? D. ????=2????+????+1
?
返回
10.[2024河源期中] 如图，三角形????????????的高????????=4，????????=8 ，
点????在????????边上，连接????????.若????????的长为????，三角形???????????? 的面积为
????，则????与???? 之间的关系式为____________.
?
????=16?2????
?
返回
11. 观察下图，回答问题：
（1）设图形的周长为????，梯形的个数为????，试写出????与???? 的函
数关系式：___________；
（2）当????=11 时，图形的周长是____.
?
????=3????+2
?
35
返回
求变量之间关系式的“三途径”
3. 结合实际问题写出两个变量之间的关系式，比如
“销量×(售价－进价) = 利润”等.
2. 利用公式写出两个变量之间的关系式，比如各类
几何图形的周长、面积、体积公式等；
1. 根据表格中所列的数据，归纳总结两个变量的关
系式；
谢谢观看！
阿木提江·塔西吐木尔
托克逊县第一中学
13899326086