6.4.1曲线型图象 课件（共25张PPT）--新2024北师大版七年级数学下册课件
文档属性
| 名称 | 6.4.1曲线型图象 课件（共25张PPT）--新2024北师大版七年级数学下册课件 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 6.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-24 00:00:00 | ||
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文档简介
6.4.1曲线型图象
第六章 变量之间的关系
新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
买合苏迪古丽·买买提
托克逊县第二中学
15909954880
6.4.1 曲线型图象
一、学习目标
结合具体情境，理解曲线型图象的概念和特点，能识别曲线型图象所表示的变量间关系。
学会从曲线型图象中读取自变量和因变量的对应值，分析因变量随自变量的变化趋势。
经历从实际问题中抽象出曲线型图象的过程，培养图象分析能力和几何直观素养。
感受曲线型图象在描述非线性变化关系中的直观性，体会数学与现实生活的密切联系。
二、情境引入
在之前的学习中，我们用表格和关系式表示变量之间的关系，表格能呈现具体数据，关系式能描述普遍规律。但当变量之间的关系是非线性变化时（即因变量不随自变量均匀变化），用图象来表示会更加直观。例如，抛出的篮球的高度随时间的变化、某地区一天的气温随时间的变化、植物生长高度随时间的变化等，这些变化关系用曲线型图象来展示，能让我们更清晰地看到变化的整体趋势。本节课我们就来学习曲线型图象，探究如何通过曲线型图象分析变量之间的关系。
三、曲线型图象的概念与特点
（一）概念
曲线型图象是指在平面直角坐标系中，用曲线来表示两个变量之间关系的图形。其中，横轴通常表示自变量，纵轴通常表示因变量，曲线上的每一个点都对应着一组自变量和因变量的取值。
（二）特点
直观性：曲线型图象能直观地展示变量之间的变化趋势，如上升、下降、先升后降、先降后升等，比表格和关系式更易感知整体变化规律。
连续性：曲线型图象通常表示变量在一定范围内的连续变化关系，自变量可以取范围内的任意数值，对应的因变量也有唯一确定的值。
非线性：曲线型图象对应的变量关系多为非线性关系，即因变量随自变量的变化不是均匀的（不同于直线型图象的均匀变化），变化率可能随时改变。
例如，某病人的体温随时间变化的图象是一条曲线，通过图象可以直观地看到体温在不同时间段的升降情况和变化快慢；某股票的价格随时间变化的图象也是一条曲线，能清晰地反映价格的波动趋势。
四、曲线型图象的组成要素
坐标轴：包括横轴（x 轴）和纵轴（y 轴），分别表示两个变量。坐标轴上需要标注变量名称和单位，例如横轴标注 “时间（小时）”，纵轴标注 “温度（℃）”。
刻度：坐标轴上的刻度表示变量的取值，刻度的间隔根据变量的取值范围合理设置，确保图象清晰易读。
曲线：图象的主体部分，由无数个点连接而成，每一个点\((x,y)\)表示当自变量为\(x\)时，因变量为\(y\)。
标题：说明图象所表示的具体内容，如 “某地区一天的气温变化图象”“小球下落高度随时间变化图象” 等。
五、从曲线型图象中获取信息
（一）读取对应数值
曲线型图象上的任意一点都对应着一组自变量和因变量的取值，通过过该点作坐标轴的垂线，可读取对应的数值。
例 1：如图 1 是某植物生长高度随时间变化的曲线型图象，根据图象回答下列问题：
[此处插入图 1：横轴为时间（天），纵轴为高度（厘米），曲线呈现先慢后快再慢的上升趋势]
（1）植物生长到第 10 天时，高度是多少？
（2）当植物高度为 20 厘米时，大约生长了多少天？
解：
（1）过横轴上 “10 天” 的点作纵轴的平行线，与曲线交于一点，再过该交点作横轴的平行线，与纵轴交于 “15 厘米” 处，因此植物生长到第 10 天时，高度是 15 厘米。
（2）过纵轴上 “20 厘米” 的点作横轴的平行线，与曲线交于一点，再过该交点作纵轴的平行线，与横轴交于 “15 天” 处，因此当植物高度为 20 厘米时，大约生长了 15 天。
（二）分析变化趋势
通过观察曲线的走向，可分析因变量随自变量的变化趋势，包括上升、下降、平缓、陡峭等情况，陡峭程度反映变化的快慢。
例 2：如图 2 是某地区一天的气温随时间变化的曲线型图象，分析气温的变化趋势。
[此处插入图 2：横轴为时间（时），纵轴为气温（℃），曲线从 0 时的 10℃下降到 6 时的 5℃，再上升到 14 时的 25℃，然后下降到 24 时的 12℃]
分析：
0 时到 6 时：曲线呈下降趋势，说明气温随时间的增加而降低，这段时间气温从 10℃下降到 5℃，变化较为平缓。
6 时到 14 时：曲线呈上升趋势，说明气温随时间的增加而升高，这段时间气温从 5℃上升到 25℃，变化较为陡峭（尤其是 10 时到 14 时上升速度更快）。
14 时到 24 时：曲线呈下降趋势，说明气温随时间的增加而降低，这段时间气温从 25℃下降到 12℃，变化先快后慢。
（三）确定极值点
曲线型图象中的最高点和最低点分别对应因变量的最大值和最小值，这些点是分析变量关系的重要参考。
例 3：根据例 2 中的气温变化图象，回答下列问题：
（1）这一天的最高气温是多少？出现在什么时间？
（2）这一天的最低气温是多少？出现在什么时间？
解：
（1）图象中的最高点对应的纵轴数值为 25℃，横轴数值为 14 时，因此这一天的最高气温是 25℃，出现在 14 时。
（2）图象中的最低点对应的纵轴数值为 5℃，横轴数值为 6 时，因此这一天的最低气温是 5℃，出现在 6 时。
六、常见的曲线型图象类型及意义
（一）上升型曲线
曲线从左到右呈上升趋势，表明因变量随自变量的增大而增大。根据上升的陡峭程度，可分为缓慢上升和快速上升：
缓慢上升：曲线平缓上升，如植物生长初期的高度变化图象，因变量增长速度较慢。
快速上升：曲线陡峭上升，如物体自由下落时距离随时间的变化图象（忽略空气阻力），因变量增长速度越来越快。
（二）下降型曲线
曲线从左到右呈下降趋势，表明因变量随自变量的增大而减小。根据下降的陡峭程度，可分为缓慢下降和快速下降：
缓慢下降：曲线平缓下降，如一杯热水的温度随时间的变化图象（环境温度较低时），温度下降速度逐渐减慢。
快速下降：曲线陡峭下降，如汽车紧急刹车时速度随时间的变化图象，速度在短时间内迅速降低。
（三）先升后降型曲线
曲线先上升后下降，表明因变量随自变量的增大先增大后减小，图象存在一个最高点（最大值）。例如：
抛出的篮球的高度随时间变化的图象，篮球先上升到最高点，然后下落。
某产品的利润随售价变化的图象，售价过低或过高时利润都较低，存在一个最佳售价使利润最高。
（四）先降后升型曲线
曲线先下降后上升，表明因变量随自变量的增大先减小后增大，图象存在一个最低点（最小值）。例如：
抛物线\(y = x^2 - 2x + 3\)的图象，当\(x < 1\)时，\(y\)随\(x\)的增大而减小；当\(x > 1\)时，\(y\)随\(x\)的增大而增大，最低点为\((1,2)\)。
某运输公司的成本随运输量变化的图象，运输量过少或过多时成本都较高，存在一个最优运输量使成本最低。
七、典型例题解析
例 4：如图 3 是某水库的蓄水量随月份变化的曲线型图象，根据图象回答下列问题：
[此处插入图 3：横轴为月份（1 - 12 月），纵轴为蓄水量（万立方米），曲线 1 - 4 月下降，4 - 7 月上升，7 - 12 月下降，12 月蓄水量低于 1 月]
（1）哪个月份蓄水量最多？哪个月份蓄水量最少？
（2）从 1 月到 4 月，蓄水量是如何变化的？
（3）从 4 月到 7 月，蓄水量的变化趋势是怎样的？这段时间蓄水量增加了多少？
（4）比较 1 月和 12 月的蓄水量，哪个月份的蓄水量更多？
解：
（1）图象中的最高点出现在 7 月，对应的蓄水量最多；最低点出现在 4 月，对应的蓄水量最少。
（2）从 1 月到 4 月，曲线呈下降趋势，说明蓄水量随月份的增加而减少。
（3）从 4 月到 7 月，曲线呈上升趋势，说明蓄水量随月份的增加而增加。4 月蓄水量约为 200 万立方米，7 月蓄水量约为 500 万立方米，因此这段时间蓄水量增加了 500 - 200 = 300 万立方米。
（4）1 月蓄水量约为 300 万立方米，12 月蓄水量约为 250 万立方米，因此 1 月的蓄水量更多。
例 5：如图 4 是某物体运动过程中速度随时间变化的曲线型图象，分析该物体的运动状态。
[此处插入图 4：横轴为时间（秒），纵轴为速度（米 / 秒），曲线 0 - 3 秒从 0 快速上升到 10，3 - 6 秒保持水平，6 - 9 秒缓慢下降到 0]
分析：
0 - 3 秒：曲线呈上升趋势，速度从 0 增加到 10 米 / 秒，说明物体在做加速运动，且加速速度较快。
3 - 6 秒：曲线呈水平状态，速度保持 10 米 / 秒不变，说明物体在做匀速运动。
6 - 9 秒：曲线呈下降趋势，速度从 10 米 / 秒减小到 0，说明物体在做减速运动，且减速速度较慢。
八、易错点警示
坐标轴混淆：读取数据时误将横轴和纵轴表示的变量弄混，导致对应数值读取错误。例如，在气温随时间变化的图象中，错误地将横轴当作气温、纵轴当作时间进行解读。
变化趋势判断错误：对曲线的上升和下降趋势判断不准确，尤其是在曲线平缓变化时，误将上升看作下降，或反之。例如，将缓慢上升的曲线误认为是水平不变的。
极值点识别错误：不能准确找到曲线的最高点和最低点，或对极值点的意义理解错误。例如，在利润随售价变化的图象中，错误地将最低点当作利润最高的点。
数据读取误差过大：通过图象读取数据时，因未准确作垂线或对刻度判断失误，导致读取的数值与实际偏差过大。例如，将横轴上的 “5 天” 误读为 “6 天”，从而得出错误的对应关系。
忽略图象标题和单位：解读图象时未关注标题和坐标轴的单位，导致对图象表示的变量关系理解错误。例如，将 “速度随时间变化图象” 误认为是 “路程随时间变化图象”。
九、课堂练习
填空题：
（1）曲线型图象能直观地展示变量之间的______，包括上升、下降、先升后降等。
（2）在曲线型图象中，最高点对应的因变量值是______，最低点对应的因变量值是______。
（3）如图 5 是某水果的价格随季节变化的图象（横轴为月份，纵轴为价格），由图象可知，价格最高的月份是______，价格最低的月份是______，从 1 月到 6 月，价格呈______趋势。
[此处插入图 5：价格 1 - 3 月上升，3 - 6 月下降，7 - 9 月上升，9 - 12 月下降，3 月价格最高，6 月价格最低]
选择题：
（1）下列变量关系中，适合用曲线型图象表示的是（ ）
A. 匀速行驶的汽车的路程与时间的关系
B. 正方形的周长与边长的关系
C. 人的身高与年龄的关系
D. 圆的半径与直径的关系
（2）如图 6 是某产品的销量随广告费用变化的图象，下列说法错误的是（ ）
[此处插入图 6：销量随广告费用增加先快速上升，后上升速度减慢，最后趋于平缓]
A. 广告费用为 0 时，销量不为 0
B. 随着广告费用的增加，销量一直上升
C. 广告费用增加到一定程度后，销量增长缓慢
D. 广告费用越多，销量增长越快
解答题：
（1）如图 7 是某病人的体温随时间变化的图象（横轴为时间（小时），纵轴为体温（℃）），回答下列问题：
[此处插入图 7：体温 0 - 4 小时从 37℃上升到 39℃，4 - 8 小时从 39℃下降到 37.5℃，8 - 12 小时维持在 37.5℃]
① 病人在第 2 小时的体温是多少？
② 病人的最高体温是多少？出现在什么时间？
③ 从 4 小时到 8 小时，病人的体温是如何变化的？
（2）如图 8 是某河流的水位随天数变化的图象，分析该河流水位的变化趋势，并预测第 15 天的水位大约是多少。
[此处插入图 8：水位 1 - 5 天从 10 米上升到 15 米，5 - 10 天从 15 米下降到 12 米，10 - 14 天从 12 米上升到 14 米]
十、方法总结
曲线型图象的解读步骤：
明确图象的标题和坐标轴表示的变量及单位，理解图象所描述的实际情境。
观察曲线的整体走向，确定因变量随自变量的变化趋势（上升、下降、先升后降等）。
找到曲线的关键点，如最高点、最低点、转折点，分析这些点对应的变量取值及实际意义。
通过作坐标轴的垂线，读取特定自变量对应的因变量值，或特定因变量对应的自变量值。
变化趋势的分析方法：
上升趋势：曲线从左到右向上倾斜，因变量随自变量增大而增大，倾斜程度越陡，增长越快。
下降趋势：曲线从左到右向下倾斜，因变量随自变量增大而减小，倾斜程度越陡，下降越快。
平缓趋势：曲线接近水平，因变量随自变量变化较小，几乎保持不变。
数据读取的技巧：
读取数据时，过目标点分别作横轴和纵轴的垂线，垂线与坐标轴的交点即为对应数值。
对于非整数刻度的图象，根据刻度间隔进行估算，尽量减小误差。
通过本节课的学习，我们认识了曲线型图象的概念和特点，学会了从曲线型图象中获取变量的对应数值、分析变化趋势和识别极值点。曲线型图象作为表示非线性变量关系的重要工具，在科学研究、经济分析、日常生活等领域有着广泛的应用。希望同学们能掌握曲线型图象的解读方法，提高数据分析能力，更好地理解和应用数学知识解决实际问题。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
观察下图，你能从中获取怎样的信息?
招聘启事
亲爱的同学们：
学校广播站要招聘一名天气预报节目主持人，为了公平竞争，特用下题考查同学们的基本素质.请有意向的同学将分析报告于本周内交到学校广播站，欢迎大家积极参与，希望你能成为我校首位天气预报节目主持人！
下表是某天各时刻的气温值，请分析这天的气温变化情况（要求直观、形象、生动）.
时刻/h
0
3
6
9
12
15
18
21
24
温度/℃
26
23
24
27
31
37
35
31
26
用曲线型图象表示的变量间关系
1
上图表示了温度随时间的变化而变化的情况，它是温度与时间之间关系的图象．图象是我们表示变量之间关系的又一种方法，它的特点是非常直观．
请根据左图填空：
(1) 上午 9 时的温度是 ，
12 时的温度是 .
(2) 这一天的最高温度是 ，
是____时达到的，最低温
度是 ,是 达到的.
(3) 这一天的温差是 ，
从最低温度到最高温度经
过了____小时.
14°C
27°C
31°C
37°C
15
23°C
3 时
12
(4) 什么时间范围内温度在上升? 什么时间范围内温度在下降?
(5) 图中的 A 点表示什么?
B 点呢?
(6) 你能预测次日凌晨 1 时的温度吗? 说说你的理由.
D
E
0 时到 3 时、15 时到
24 时温度在下降.
A:21 时的温度是 31°C
B:0 时的温度是 26°C.
大约是 24°C 左右.
3 时到 15 时温度在
上升；
在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（称为横轴）上的点表示自变量，用竖直方向的数轴（称为纵轴）
上的点表示因变量．
横轴
纵轴
0
归纳总结
如何从图象中获取关于两个变量的信息？
(1) 要明白图象上的点所表示的意义；
(2) 从自变量的值得到因变量的值，及从因变量的值得到自变量的值；
(3) 要能看出因变量如何随自变量的变化而变化.
横轴
纵轴
A
B
13
26
5
35
10
C
D
20
10
25
0
交流讨论
方法总结：认真观察图象，弄清楚时间是自变量，温度是因变量，然后由图象上的点确定自变量及因变量的对应值．
例1 如图所示是某市夏日某天的温度随时间变化的图象. 通过观察图象，下列说法中错误的是 ( )
A.这天 15 时的温度最高
B.这天 3 时的温度最低
C.这天最高温度与最低温度
的差是 13 ℃
D.这天 0～3 时，15～24 时
温度在下降
C
典例精析
2
0
1
1
2
3
4
8
7
6
5
水深(米)
时间(时)
A
例2 下图表示了某港口某日从 0 时到 6 时水深变化的情况.
3
4
5
6
3时
约是7米
4 时的水深
先上升，后下降
（1）这天大约什么时刻港口的水最深？水深约是多少？
（2）A 点表示什么？
（3）说说这个港口从 0 时到
6时的水位是怎样变化的.
如图呈现了某年某地日出时间、日落时间的情况. 观察图象，回答下列问题：
(1) 你能描述这一年此地日出时间和日落时间的变化情况吗?
尝试·思考
1月到6月日出时间逐渐提前，日落时间逐渐推迟；
6月到12月日出时间逐渐推迟，日落时间逐渐提前.
如图呈现了某年某地日出时间、日落时间的情况. 观察图象，回答下列问题：
(2) 这一年日出时间最早的大约是什么时候? 最晚呢? 日落时间呢?
尝试·思考
日出时间最早大约是 6 月，最晚大约是 12 月；
日落时间最早大约是 12月之间，最晚大约是 6，7月之间.
1. [2024江西] 将常温中的温度计插入一杯60?℃ 的热水
（恒温）中，温度计的读数????(℃)与时间????(min) 的关系用图象
可近似表示为( )
?
C
A. B. C. D.
返回
2. 在某学校科技节的开幕式上，“编程”学习小组的学
员给同学们带来了一组无人机表演，无人机根据预先设计的方案在空中
组成不同的图案.如图，曲线表示“1号机” 在5?min 的时间内离地面的飞行
高度?(m)随飞行时间????(min) 的变化情况，下列说法错误的是 ( )
?
D
（第2题）
A. 最初的高度为30?m
B. 1?min时的高度和5?min 时的高度相同
C. 3?min时达到最高高度，为60?m
D. 2?min到4?min之间，飞行高度?(m) 持续上升
?
返回
（第3题）
3.蛇的体温随外部环境温度的变
化而变化，如图表示的是一条
蛇在两昼夜之间体温的变化情
况，结合图象，回答下列问题：
（1）第一天，蛇体温的变化范
围是____________；它的体温
从最低上升到最高需要______；
35?℃～40?℃
?
12?h
?
（2）第一天，时间在___________范围内蛇的体温是上升的；
在______________________范围内蛇的体温是下降的.
4时～16时
?
0时∽4时，16时～24时
?
（第3题）
返回
4. 向高为10的容器（形状如图）中注水，注满为止，
则水深?与注水量???? 的关系的大致图象是( )
?
D
A. B. C. D.
返回
5.[2024烟台期末] 某双休日，姐妹俩在社区公园里面荡秋千，
若秋千离地面的高度?(m)与摆动时间????(s) 之间的关系如图所
示，结合图象，解答下列问题：
?
（1）指出变量?，???? 中的自变
量、因变量，求出? 的最大值
和最小值相差多少；
?
【解】由题图可知，自变量为
????，因变量为? ，
?
?的最大值为1.5，最小值为0.5 ，
所以1.5?0.5=1，即? 的最大值和最小值相差1.
?
（2）当????=5.4时，根据图象写出? 的值，除此之外，并指出
与之高度相同的次数；
?
【解】当????=5.4时，?=1 ，
除此之外，与之高度相同的次数是7.
?
（3）请写出秋千摆动第一个来回的时间.
【解】秋千摆动第一个来回的时间为2.8?s .
?
返回
1. 图象是我们表示变量之间关系的又一种方法，它的
特点是非常直观．
2. 曲线型图象能够反映出数据的变化趋势，通过结合
横、纵轴表示的意义，我们能够很直观的感受到数
据的含义.
谢谢观看！
阿木提江·塔西吐木尔
托克逊县第一中学
13899326086
第六章 变量之间的关系
新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
买合苏迪古丽·买买提
托克逊县第二中学
15909954880
6.4.1 曲线型图象
一、学习目标
结合具体情境，理解曲线型图象的概念和特点，能识别曲线型图象所表示的变量间关系。
学会从曲线型图象中读取自变量和因变量的对应值，分析因变量随自变量的变化趋势。
经历从实际问题中抽象出曲线型图象的过程，培养图象分析能力和几何直观素养。
感受曲线型图象在描述非线性变化关系中的直观性，体会数学与现实生活的密切联系。
二、情境引入
在之前的学习中，我们用表格和关系式表示变量之间的关系，表格能呈现具体数据，关系式能描述普遍规律。但当变量之间的关系是非线性变化时（即因变量不随自变量均匀变化），用图象来表示会更加直观。例如，抛出的篮球的高度随时间的变化、某地区一天的气温随时间的变化、植物生长高度随时间的变化等，这些变化关系用曲线型图象来展示，能让我们更清晰地看到变化的整体趋势。本节课我们就来学习曲线型图象，探究如何通过曲线型图象分析变量之间的关系。
三、曲线型图象的概念与特点
（一）概念
曲线型图象是指在平面直角坐标系中，用曲线来表示两个变量之间关系的图形。其中，横轴通常表示自变量，纵轴通常表示因变量，曲线上的每一个点都对应着一组自变量和因变量的取值。
（二）特点
直观性：曲线型图象能直观地展示变量之间的变化趋势，如上升、下降、先升后降、先降后升等，比表格和关系式更易感知整体变化规律。
连续性：曲线型图象通常表示变量在一定范围内的连续变化关系，自变量可以取范围内的任意数值，对应的因变量也有唯一确定的值。
非线性：曲线型图象对应的变量关系多为非线性关系，即因变量随自变量的变化不是均匀的（不同于直线型图象的均匀变化），变化率可能随时改变。
例如，某病人的体温随时间变化的图象是一条曲线，通过图象可以直观地看到体温在不同时间段的升降情况和变化快慢；某股票的价格随时间变化的图象也是一条曲线，能清晰地反映价格的波动趋势。
四、曲线型图象的组成要素
坐标轴：包括横轴（x 轴）和纵轴（y 轴），分别表示两个变量。坐标轴上需要标注变量名称和单位，例如横轴标注 “时间（小时）”，纵轴标注 “温度（℃）”。
刻度：坐标轴上的刻度表示变量的取值，刻度的间隔根据变量的取值范围合理设置，确保图象清晰易读。
曲线：图象的主体部分，由无数个点连接而成，每一个点\((x,y)\)表示当自变量为\(x\)时，因变量为\(y\)。
标题：说明图象所表示的具体内容，如 “某地区一天的气温变化图象”“小球下落高度随时间变化图象” 等。
五、从曲线型图象中获取信息
（一）读取对应数值
曲线型图象上的任意一点都对应着一组自变量和因变量的取值，通过过该点作坐标轴的垂线，可读取对应的数值。
例 1：如图 1 是某植物生长高度随时间变化的曲线型图象，根据图象回答下列问题：
[此处插入图 1：横轴为时间（天），纵轴为高度（厘米），曲线呈现先慢后快再慢的上升趋势]
（1）植物生长到第 10 天时，高度是多少？
（2）当植物高度为 20 厘米时，大约生长了多少天？
解：
（1）过横轴上 “10 天” 的点作纵轴的平行线，与曲线交于一点，再过该交点作横轴的平行线，与纵轴交于 “15 厘米” 处，因此植物生长到第 10 天时，高度是 15 厘米。
（2）过纵轴上 “20 厘米” 的点作横轴的平行线，与曲线交于一点，再过该交点作纵轴的平行线，与横轴交于 “15 天” 处，因此当植物高度为 20 厘米时，大约生长了 15 天。
（二）分析变化趋势
通过观察曲线的走向，可分析因变量随自变量的变化趋势，包括上升、下降、平缓、陡峭等情况，陡峭程度反映变化的快慢。
例 2：如图 2 是某地区一天的气温随时间变化的曲线型图象，分析气温的变化趋势。
[此处插入图 2：横轴为时间（时），纵轴为气温（℃），曲线从 0 时的 10℃下降到 6 时的 5℃，再上升到 14 时的 25℃，然后下降到 24 时的 12℃]
分析：
0 时到 6 时：曲线呈下降趋势，说明气温随时间的增加而降低，这段时间气温从 10℃下降到 5℃，变化较为平缓。
6 时到 14 时：曲线呈上升趋势，说明气温随时间的增加而升高，这段时间气温从 5℃上升到 25℃，变化较为陡峭（尤其是 10 时到 14 时上升速度更快）。
14 时到 24 时：曲线呈下降趋势，说明气温随时间的增加而降低，这段时间气温从 25℃下降到 12℃，变化先快后慢。
（三）确定极值点
曲线型图象中的最高点和最低点分别对应因变量的最大值和最小值，这些点是分析变量关系的重要参考。
例 3：根据例 2 中的气温变化图象，回答下列问题：
（1）这一天的最高气温是多少？出现在什么时间？
（2）这一天的最低气温是多少？出现在什么时间？
解：
（1）图象中的最高点对应的纵轴数值为 25℃，横轴数值为 14 时，因此这一天的最高气温是 25℃，出现在 14 时。
（2）图象中的最低点对应的纵轴数值为 5℃，横轴数值为 6 时，因此这一天的最低气温是 5℃，出现在 6 时。
六、常见的曲线型图象类型及意义
（一）上升型曲线
曲线从左到右呈上升趋势，表明因变量随自变量的增大而增大。根据上升的陡峭程度，可分为缓慢上升和快速上升：
缓慢上升：曲线平缓上升，如植物生长初期的高度变化图象，因变量增长速度较慢。
快速上升：曲线陡峭上升，如物体自由下落时距离随时间的变化图象（忽略空气阻力），因变量增长速度越来越快。
（二）下降型曲线
曲线从左到右呈下降趋势，表明因变量随自变量的增大而减小。根据下降的陡峭程度，可分为缓慢下降和快速下降：
缓慢下降：曲线平缓下降，如一杯热水的温度随时间的变化图象（环境温度较低时），温度下降速度逐渐减慢。
快速下降：曲线陡峭下降，如汽车紧急刹车时速度随时间的变化图象，速度在短时间内迅速降低。
（三）先升后降型曲线
曲线先上升后下降，表明因变量随自变量的增大先增大后减小，图象存在一个最高点（最大值）。例如：
抛出的篮球的高度随时间变化的图象，篮球先上升到最高点，然后下落。
某产品的利润随售价变化的图象，售价过低或过高时利润都较低，存在一个最佳售价使利润最高。
（四）先降后升型曲线
曲线先下降后上升，表明因变量随自变量的增大先减小后增大，图象存在一个最低点（最小值）。例如：
抛物线\(y = x^2 - 2x + 3\)的图象，当\(x < 1\)时，\(y\)随\(x\)的增大而减小；当\(x > 1\)时，\(y\)随\(x\)的增大而增大，最低点为\((1,2)\)。
某运输公司的成本随运输量变化的图象，运输量过少或过多时成本都较高，存在一个最优运输量使成本最低。
七、典型例题解析
例 4：如图 3 是某水库的蓄水量随月份变化的曲线型图象，根据图象回答下列问题：
[此处插入图 3：横轴为月份（1 - 12 月），纵轴为蓄水量（万立方米），曲线 1 - 4 月下降，4 - 7 月上升，7 - 12 月下降，12 月蓄水量低于 1 月]
（1）哪个月份蓄水量最多？哪个月份蓄水量最少？
（2）从 1 月到 4 月，蓄水量是如何变化的？
（3）从 4 月到 7 月，蓄水量的变化趋势是怎样的？这段时间蓄水量增加了多少？
（4）比较 1 月和 12 月的蓄水量，哪个月份的蓄水量更多？
解：
（1）图象中的最高点出现在 7 月，对应的蓄水量最多；最低点出现在 4 月，对应的蓄水量最少。
（2）从 1 月到 4 月，曲线呈下降趋势，说明蓄水量随月份的增加而减少。
（3）从 4 月到 7 月，曲线呈上升趋势，说明蓄水量随月份的增加而增加。4 月蓄水量约为 200 万立方米，7 月蓄水量约为 500 万立方米，因此这段时间蓄水量增加了 500 - 200 = 300 万立方米。
（4）1 月蓄水量约为 300 万立方米，12 月蓄水量约为 250 万立方米，因此 1 月的蓄水量更多。
例 5：如图 4 是某物体运动过程中速度随时间变化的曲线型图象，分析该物体的运动状态。
[此处插入图 4：横轴为时间（秒），纵轴为速度（米 / 秒），曲线 0 - 3 秒从 0 快速上升到 10，3 - 6 秒保持水平，6 - 9 秒缓慢下降到 0]
分析：
0 - 3 秒：曲线呈上升趋势，速度从 0 增加到 10 米 / 秒，说明物体在做加速运动，且加速速度较快。
3 - 6 秒：曲线呈水平状态，速度保持 10 米 / 秒不变，说明物体在做匀速运动。
6 - 9 秒：曲线呈下降趋势，速度从 10 米 / 秒减小到 0，说明物体在做减速运动，且减速速度较慢。
八、易错点警示
坐标轴混淆：读取数据时误将横轴和纵轴表示的变量弄混，导致对应数值读取错误。例如，在气温随时间变化的图象中，错误地将横轴当作气温、纵轴当作时间进行解读。
变化趋势判断错误：对曲线的上升和下降趋势判断不准确，尤其是在曲线平缓变化时，误将上升看作下降，或反之。例如，将缓慢上升的曲线误认为是水平不变的。
极值点识别错误：不能准确找到曲线的最高点和最低点，或对极值点的意义理解错误。例如，在利润随售价变化的图象中，错误地将最低点当作利润最高的点。
数据读取误差过大：通过图象读取数据时，因未准确作垂线或对刻度判断失误，导致读取的数值与实际偏差过大。例如，将横轴上的 “5 天” 误读为 “6 天”，从而得出错误的对应关系。
忽略图象标题和单位：解读图象时未关注标题和坐标轴的单位，导致对图象表示的变量关系理解错误。例如，将 “速度随时间变化图象” 误认为是 “路程随时间变化图象”。
九、课堂练习
填空题：
（1）曲线型图象能直观地展示变量之间的______，包括上升、下降、先升后降等。
（2）在曲线型图象中，最高点对应的因变量值是______，最低点对应的因变量值是______。
（3）如图 5 是某水果的价格随季节变化的图象（横轴为月份，纵轴为价格），由图象可知，价格最高的月份是______，价格最低的月份是______，从 1 月到 6 月，价格呈______趋势。
[此处插入图 5：价格 1 - 3 月上升，3 - 6 月下降，7 - 9 月上升，9 - 12 月下降，3 月价格最高，6 月价格最低]
选择题：
（1）下列变量关系中，适合用曲线型图象表示的是（ ）
A. 匀速行驶的汽车的路程与时间的关系
B. 正方形的周长与边长的关系
C. 人的身高与年龄的关系
D. 圆的半径与直径的关系
（2）如图 6 是某产品的销量随广告费用变化的图象，下列说法错误的是（ ）
[此处插入图 6：销量随广告费用增加先快速上升，后上升速度减慢，最后趋于平缓]
A. 广告费用为 0 时，销量不为 0
B. 随着广告费用的增加，销量一直上升
C. 广告费用增加到一定程度后，销量增长缓慢
D. 广告费用越多，销量增长越快
解答题：
（1）如图 7 是某病人的体温随时间变化的图象（横轴为时间（小时），纵轴为体温（℃）），回答下列问题：
[此处插入图 7：体温 0 - 4 小时从 37℃上升到 39℃，4 - 8 小时从 39℃下降到 37.5℃，8 - 12 小时维持在 37.5℃]
① 病人在第 2 小时的体温是多少？
② 病人的最高体温是多少？出现在什么时间？
③ 从 4 小时到 8 小时，病人的体温是如何变化的？
（2）如图 8 是某河流的水位随天数变化的图象，分析该河流水位的变化趋势，并预测第 15 天的水位大约是多少。
[此处插入图 8：水位 1 - 5 天从 10 米上升到 15 米，5 - 10 天从 15 米下降到 12 米，10 - 14 天从 12 米上升到 14 米]
十、方法总结
曲线型图象的解读步骤：
明确图象的标题和坐标轴表示的变量及单位，理解图象所描述的实际情境。
观察曲线的整体走向，确定因变量随自变量的变化趋势（上升、下降、先升后降等）。
找到曲线的关键点，如最高点、最低点、转折点，分析这些点对应的变量取值及实际意义。
通过作坐标轴的垂线，读取特定自变量对应的因变量值，或特定因变量对应的自变量值。
变化趋势的分析方法：
上升趋势：曲线从左到右向上倾斜，因变量随自变量增大而增大，倾斜程度越陡，增长越快。
下降趋势：曲线从左到右向下倾斜，因变量随自变量增大而减小，倾斜程度越陡，下降越快。
平缓趋势：曲线接近水平，因变量随自变量变化较小，几乎保持不变。
数据读取的技巧：
读取数据时，过目标点分别作横轴和纵轴的垂线，垂线与坐标轴的交点即为对应数值。
对于非整数刻度的图象，根据刻度间隔进行估算，尽量减小误差。
通过本节课的学习，我们认识了曲线型图象的概念和特点，学会了从曲线型图象中获取变量的对应数值、分析变化趋势和识别极值点。曲线型图象作为表示非线性变量关系的重要工具，在科学研究、经济分析、日常生活等领域有着广泛的应用。希望同学们能掌握曲线型图象的解读方法，提高数据分析能力，更好地理解和应用数学知识解决实际问题。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
观察下图，你能从中获取怎样的信息?
招聘启事
亲爱的同学们：
学校广播站要招聘一名天气预报节目主持人，为了公平竞争，特用下题考查同学们的基本素质.请有意向的同学将分析报告于本周内交到学校广播站，欢迎大家积极参与，希望你能成为我校首位天气预报节目主持人！
下表是某天各时刻的气温值，请分析这天的气温变化情况（要求直观、形象、生动）.
时刻/h
0
3
6
9
12
15
18
21
24
温度/℃
26
23
24
27
31
37
35
31
26
用曲线型图象表示的变量间关系
1
上图表示了温度随时间的变化而变化的情况，它是温度与时间之间关系的图象．图象是我们表示变量之间关系的又一种方法，它的特点是非常直观．
请根据左图填空：
(1) 上午 9 时的温度是 ，
12 时的温度是 .
(2) 这一天的最高温度是 ，
是____时达到的，最低温
度是 ,是 达到的.
(3) 这一天的温差是 ，
从最低温度到最高温度经
过了____小时.
14°C
27°C
31°C
37°C
15
23°C
3 时
12
(4) 什么时间范围内温度在上升? 什么时间范围内温度在下降?
(5) 图中的 A 点表示什么?
B 点呢?
(6) 你能预测次日凌晨 1 时的温度吗? 说说你的理由.
D
E
0 时到 3 时、15 时到
24 时温度在下降.
A:21 时的温度是 31°C
B:0 时的温度是 26°C.
大约是 24°C 左右.
3 时到 15 时温度在
上升；
在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（称为横轴）上的点表示自变量，用竖直方向的数轴（称为纵轴）
上的点表示因变量．
横轴
纵轴
0
归纳总结
如何从图象中获取关于两个变量的信息？
(1) 要明白图象上的点所表示的意义；
(2) 从自变量的值得到因变量的值，及从因变量的值得到自变量的值；
(3) 要能看出因变量如何随自变量的变化而变化.
横轴
纵轴
A
B
13
26
5
35
10
C
D
20
10
25
0
交流讨论
方法总结：认真观察图象，弄清楚时间是自变量，温度是因变量，然后由图象上的点确定自变量及因变量的对应值．
例1 如图所示是某市夏日某天的温度随时间变化的图象. 通过观察图象，下列说法中错误的是 ( )
A.这天 15 时的温度最高
B.这天 3 时的温度最低
C.这天最高温度与最低温度
的差是 13 ℃
D.这天 0～3 时，15～24 时
温度在下降
C
典例精析
2
0
1
1
2
3
4
8
7
6
5
水深(米)
时间(时)
A
例2 下图表示了某港口某日从 0 时到 6 时水深变化的情况.
3
4
5
6
3时
约是7米
4 时的水深
先上升，后下降
（1）这天大约什么时刻港口的水最深？水深约是多少？
（2）A 点表示什么？
（3）说说这个港口从 0 时到
6时的水位是怎样变化的.
如图呈现了某年某地日出时间、日落时间的情况. 观察图象，回答下列问题：
(1) 你能描述这一年此地日出时间和日落时间的变化情况吗?
尝试·思考
1月到6月日出时间逐渐提前，日落时间逐渐推迟；
6月到12月日出时间逐渐推迟，日落时间逐渐提前.
如图呈现了某年某地日出时间、日落时间的情况. 观察图象，回答下列问题：
(2) 这一年日出时间最早的大约是什么时候? 最晚呢? 日落时间呢?
尝试·思考
日出时间最早大约是 6 月，最晚大约是 12 月；
日落时间最早大约是 12月之间，最晚大约是 6，7月之间.
1. [2024江西] 将常温中的温度计插入一杯60?℃ 的热水
（恒温）中，温度计的读数????(℃)与时间????(min) 的关系用图象
可近似表示为( )
?
C
A. B. C. D.
返回
2. 在某学校科技节的开幕式上，“编程”学习小组的学
员给同学们带来了一组无人机表演，无人机根据预先设计的方案在空中
组成不同的图案.如图，曲线表示“1号机” 在5?min 的时间内离地面的飞行
高度?(m)随飞行时间????(min) 的变化情况，下列说法错误的是 ( )
?
D
（第2题）
A. 最初的高度为30?m
B. 1?min时的高度和5?min 时的高度相同
C. 3?min时达到最高高度，为60?m
D. 2?min到4?min之间，飞行高度?(m) 持续上升
?
返回
（第3题）
3.蛇的体温随外部环境温度的变
化而变化，如图表示的是一条
蛇在两昼夜之间体温的变化情
况，结合图象，回答下列问题：
（1）第一天，蛇体温的变化范
围是____________；它的体温
从最低上升到最高需要______；
35?℃～40?℃
?
12?h
?
（2）第一天，时间在___________范围内蛇的体温是上升的；
在______________________范围内蛇的体温是下降的.
4时～16时
?
0时∽4时，16时～24时
?
（第3题）
返回
4. 向高为10的容器（形状如图）中注水，注满为止，
则水深?与注水量???? 的关系的大致图象是( )
?
D
A. B. C. D.
返回
5.[2024烟台期末] 某双休日，姐妹俩在社区公园里面荡秋千，
若秋千离地面的高度?(m)与摆动时间????(s) 之间的关系如图所
示，结合图象，解答下列问题：
?
（1）指出变量?，???? 中的自变
量、因变量，求出? 的最大值
和最小值相差多少；
?
【解】由题图可知，自变量为
????，因变量为? ，
?
?的最大值为1.5，最小值为0.5 ，
所以1.5?0.5=1，即? 的最大值和最小值相差1.
?
（2）当????=5.4时，根据图象写出? 的值，除此之外，并指出
与之高度相同的次数；
?
【解】当????=5.4时，?=1 ，
除此之外，与之高度相同的次数是7.
?
（3）请写出秋千摆动第一个来回的时间.
【解】秋千摆动第一个来回的时间为2.8?s .
?
返回
1. 图象是我们表示变量之间关系的又一种方法，它的
特点是非常直观．
2. 曲线型图象能够反映出数据的变化趋势，通过结合
横、纵轴表示的意义，我们能够很直观的感受到数
据的含义.
谢谢观看！
阿木提江·塔西吐木尔
托克逊县第一中学
13899326086
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