6.4.2折线型图象 课件（共28张PPT）--新2024北师大版七年级数学下册课件

(共28张PPT)
6.4.2折线型图象
第六章 变量之间的关系
新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
买合苏迪古丽·买买提
托克逊县第二中学
15909954880
6.4.2 折线型图象
一、学习目标
结合具体情境，理解折线型图象的概念和特点，能准确识别折线型图象所表示的变量间关系。
学会从折线型图象中读取自变量与因变量的对应数值，分析因变量随自变量的变化趋势及变化幅度。
经历从实际问题中抽象出折线型图象的过程，提升图象分析能力和数据解读能力。
感受折线型图象在描述阶段性变化关系中的优势，体会数学与生活实际的紧密联系。
二、情境引入
在现实生活中，许多变量的变化并非连续平滑的，而是呈现出阶段性的特点。例如，某城市每月的用电量变化、某学生一学期的数学成绩波动、某商店每周的销售额变化等。对于这类具有明显阶段划分的变量关系，折线型图象是一种非常合适的表示方式。折线型图象由若干条线段依次连接而成，既能清晰地展示每个阶段的变化情况，又能直观地反映整体的变化趋势。与曲线型图象相比，折线型图象更侧重于表现变量在不同区间内的线性变化规律。本节课我们就来学习折线型图象，探究如何通过折线型图象分析变量之间的阶段性关系。
三、折线型图象的概念与特点
（一）概念
折线型图象是指在平面直角坐标系中，用若干条线段依次连接起来表示两个变量之间关系的图形。其中，横轴通常表示自变量，纵轴通常表示因变量，图象上的每个点对应一组自变量和因变量的取值，相邻两点之间用线段连接，形成折线。
（二）特点
阶段性：折线型图象由多条线段组成，每条线段代表一个变化阶段，不同阶段的变化趋势（上升、下降、平缓）可能不同。例如，某公司季度利润变化的折线图中，每个季度的利润变化形成一条线段，代表该季度的利润变化趋势。
直观性：通过折线的走向和倾斜程度，能直观地看出因变量在不同阶段的变化趋势和变化快慢，比表格更易把握整体变化规律。
离散与连续结合：折线型图象所表示的自变量可以是离散的（如月份、季度），也可以是连续的（如时间），但在每个线段对应的区间内，变量关系可看作近似线性变化。
清晰性：折线型图象能清晰地展示变量的增减变化和转折点，便于分析变量在关键节点的取值和变化情况。
例如，某学校学生人数随年份变化的折线型图象，能清晰地看出每年学生人数的增减情况和整体变化趋势；某股票一周内的收盘价折线图，能直观地反映每天股价的涨跌幅度和波动情况。
四、折线型图象的组成要素
坐标轴：包括横轴（x 轴）和纵轴（y 轴），分别标注对应的变量名称和单位，如横轴标注 “年份”“月份”，纵轴标注 “人数”“销售额（万元）” 等。
数据点：图象上的每个点表示一组自变量和因变量的具体取值，是折线连接的基础，通常用实心点标记。
线段：连接相邻数据点的直线段，每条线段代表一个变化阶段，线段的倾斜方向和程度反映该阶段的变化趋势和快慢。
刻度：坐标轴上的刻度用于表示变量的取值大小，刻度间隔需根据数据范围合理设置，确保图象清晰易读。
标题：用于说明图象的具体内容，如 “2019 - 2024 年某学校学生人数变化折线图”“某商店 2025 年上半年销售额变化折线图” 等。
五、从折线型图象中获取信息
（一）读取数据点的对应数值
折线型图象上的每个数据点都对应着明确的自变量和因变量取值，通过观察数据点在坐标轴上的位置，可直接读取对应数值。
例 1：如图 1 是某学生 2025 年上学期数学单元测试成绩变化的折线型图象，根据图象回答下列问题：
[此处插入图 1：横轴为单元（1 - 6 单元），纵轴为成绩（分），数据点依次为（1,85）、（2,90）、（3,82）、（4,88）、（5,95）、（6,92）]
（1）该学生第 3 单元的测试成绩是多少？
（2）第几个单元的测试成绩最高？成绩是多少？
解：
（1）横轴上 “3 单元” 对应的纵轴数据点数值为 82 分，因此该学生第 3 单元的测试成绩是 82 分。
（2）观察图象可知，第 5 单元的数据点位置最高，对应的成绩为 95 分，因此第 5 单元的测试成绩最高，成绩是 95 分。
（二）分析阶段变化趋势
通过观察每条线段的倾斜方向和程度，可分析每个阶段因变量随自变量的变化趋势（上升、下降）和变化幅度（变化快慢）。
例 2：如图 2 是某商店 2025 年 1 - 6 月销售额变化的折线型图象，分析各阶段销售额的变化趋势。
[此处插入图 2：横轴为月份（1 - 6 月），纵轴为销售额（万元），数据点依次为（1,50）、（2,65）、（3,58）、（4,70）、（5,85）、（6,90）]
分析：
1 月到 2 月：线段从左到右向上倾斜，说明销售额随月份增加而上升，从 50 万元增加到 65 万元，增加了 15 万元，变化幅度较大。
2 月到 3 月：线段从左到右向下倾斜，说明销售额随月份增加而下降，从 65 万元下降到 58 万元，下降了 7 万元，变化幅度较小。
3 月到 4 月：线段向上倾斜，销售额从 58 万元上升到 70 万元，增加了 12 万元，呈上升趋势。
4 月到 5 月：线段向上倾斜且倾斜程度较大，销售额从 70 万元上升到 85 万元，增加了 15 万元，上升趋势明显。
5 月到 6 月：线段向上倾斜，销售额从 85 万元上升到 90 万元，增加了 5 万元，上升幅度放缓。
（三）计算变化量和变化率
通过相邻数据点的数值差，可计算每个阶段的变化量；变化量与自变量变化量的比值可反映变化率（变化快慢）。
例 3：根据例 2 中的销售额变化图象，计算下列阶段的销售额变化量和每月变化率：
（1）1 月到 2 月 （2）2 月到 3 月
解：
（1）1 月到 2 月：
变化量 = 2 月销售额 - 1 月销售额 = 65 - 50 = 15（万元）
自变量变化量 = 2 - 1 = 1（月）
每月变化率 = 15÷1 = 15（万元 / 月）
即该阶段销售额每月增加 15 万元。
（2）2 月到 3 月：
变化量 = 3 月销售额 - 2 月销售额 = 58 - 65 = -7（万元）（负号表示下降）
自变量变化量 = 3 - 2 = 1（月）
每月变化率 = -7÷1 = -7（万元 / 月）
即该阶段销售额每月减少 7 万元。
六、常见的折线型图象类型及意义
（一）整体上升型折线
图象整体呈上升趋势，虽然个别阶段可能下降，但总体因变量随自变量的增大而增加。例如：
某地区人口随年份变化的折线图，整体呈上升趋势，期间可能因某些因素有小幅波动，但总人口在增长。
某企业的年利润变化折线图，随着企业发展，年利润整体呈上升趋势，个别年份可能因市场变化略有下降。
（二）整体下降型折线
图象整体呈下降趋势，个别阶段可能上升，但总体因变量随自变量的增大而减少。例如：
某传统行业的市场份额随年份变化的折线图，由于新兴行业的冲击，市场份额整体呈下降趋势。
某款旧型号手机的销量随时间变化的折线图，随着新型号手机的推出，旧型号手机销量整体下降。
（三）波动型折线
图象呈现出上升与下降交替的波动状态，没有明显的整体上升或下降趋势。例如：
某旅游景点的月接待游客数量折线图，受季节影响，旺季游客增多，淡季游客减少，呈现波动变化。
某股票的日收盘价折线图，受市场行情影响，股价每天都有涨跌，呈现波动状态。
（四）平缓型折线
图象整体变化幅度较小，线段倾斜程度平缓，表明因变量随自变量变化不大。例如：
某城市居民人均月消费水平在短期内的变化折线图，在经济稳定时期，消费水平变化较为平缓。
某成熟产品的月产量变化折线图，生产工艺稳定后，产量波动较小，折线较为平缓。
七、典型例题解析
例 4：如图 3 是某城市 2020 - 2024 年居民人均可支配收入变化的折线型图象，根据图象回答下列问题：
[此处插入图 3：横轴为年份（2020 - 2024），纵轴为人均可支配收入（元），数据点依次为（2020,30000）、（2021,32000）、（2022,33500）、（2023,35500）、（2024,38000）]
（1）2022 年该城市居民人均可支配收入是多少？
（2）哪两年之间居民人均可支配收入增长最快？增长了多少？
（3）从 2020 年到 2024 年，居民人均可支配收入的整体变化趋势是什么？
解：
（1）2022 年对应的人均可支配收入数据点数值为 33500 元，因此 2022 年该城市居民人均可支配收入是 33500 元。
（2）计算每两年之间的收入增长额：
2020 - 2021 年：32000 - 30000 = 2000（元）
2021 - 2022 年：33500 - 32000 = 1500（元）
2022 - 2023 年：35500 - 33500 = 2000（元）
2023 - 2024 年：38000 - 35500 = 2500（元）
因此，2023 - 2024 年之间居民人均可支配收入增长最快，增长了 2500 元。
（3）从 2020 年到 2024 年，折线整体呈上升趋势，说明居民人均可支配收入整体呈逐年增长的趋势。
例 5：如图 4 是某水库的水位在一场暴雨期间随时间变化的折线型图象，分析水库水位的变化情况。
[此处插入图 4：横轴为时间（小时），纵轴为水位（米），数据点依次为（0,10）、（2,12）、（4,15）、（6,14）、（8,13）]
分析：
0 - 2 小时：折线向上倾斜，水位从 10 米上升到 12 米，上升了 2 米，说明暴雨初期水位缓慢上升。
2 - 4 小时：折线向上倾斜且倾斜程度较大，水位从 12 米上升到 15 米，上升了 3 米，说明此时暴雨强度增大，水位快速上升。
4 - 6 小时：折线向下倾斜，水位从 15 米下降到 14 米，下降了 1 米，说明暴雨强度减弱，水位开始回落。
6 - 8 小时：折线向下倾斜，水位从 14 米下降到 13 米，下降了 1 米，说明暴雨结束，水位继续缓慢回落。
八、易错点警示
混淆线段阶段：分析变化趋势时，误将相邻阶段的线段趋势混淆，导致对整体变化的判断错误。例如，在波动型折线图中，将某一阶段的下降趋势误认为整体趋势是下降的。
数据读取错误：读取数据点数值时，看错数据点对应的坐标轴刻度，导致数值读取错误。例如，将横轴上 “2022 年” 对应的纵轴数值误读为相邻年份的数值。
变化幅度计算错误：计算变化量时，用前一阶段数值减去后一阶段数值，导致变化量符号错误；或计算变化率时，忽略自变量的变化量，直接用变化量代替变化率。
忽略数据点意义：认为折线型图象中的线段任意一点都有实际意义，而忽略折线型图象的阶段性特点，线段仅表示相邻数据点之间的近似变化，非数据点的取值为估算值。
标题与坐标轴误解：未仔细阅读图象标题和坐标轴标注，导致对变量关系理解错误。例如，将 “某产品销量随时间变化折线图” 误认为是 “利润随时间变化折线图”。
九、课堂练习
填空题：
（1）折线型图象由若干条______依次连接而成，每条线段代表一个______。
（2）如图 5 是某植物每周生长高度变化的折线图（横轴为周数，纵轴为高度（厘米）），数据点依次为（1,5）、（2,8）、（3,10）、（4,13），则第 2 周的生长高度是______厘米，从第 3 周到第 4 周，高度增加了______厘米。
[此处插入图 5：对应上述数据点的折线图]
（3）折线型图象的变化趋势可通过线段的______和______来判断，向上倾斜表示______，向下倾斜表示______。
选择题：
（1）下列变量关系中，最适合用折线型图象表示的是（ ）
A. 圆的面积与半径的关系
B. 匀速行驶的汽车路程与时间的关系
C. 某学生每天的体温变化情况
D. 某商店每月的销售额变化情况
（2）如图 6 是某公司季度利润变化折线图，下列说法正确的是（ ）
[此处插入图 6：横轴为季度（1 - 4），纵轴为利润（万元），数据点依次为（1,20）、（2,25）、（3,18）、（4,30）]
A. 第 2 季度利润比第 1 季度下降了 5 万元
B. 第 3 季度利润最低
C. 第 4 季度利润比第 3 季度增长了 10 万元
D. 整体利润呈下降趋势
解答题：
（1）如图 7 是某班学生参加体育锻炼时间的折线图（横轴为月份（1 - 5 月），纵轴为平均锻炼时间（小时 / 周）），数据点依次为（1,3）、（2,4）、（3,3.5）、（4,5）、（5,6）。
[此处插入图 7：对应上述数据点的折线图]
① 哪个月份学生平均锻炼时间最长？是多少小时？
② 从 2 月到 3 月，学生平均锻炼时间是如何变化的？变化了多少？
③ 分析该班学生参加体育锻炼时间的整体变化趋势。
（2）如图 8 是某地区年降水量变化折线图（横轴为年份（2019 - 2023），纵轴为降水量（毫米）），数据点依次为（2019,800）、（2020,750）、（2021,900）、（2022,850）、（2023,950）。
[此处插入图 8：对应上述数据点的折线图]
① 计算 2021 年比 2020 年降水量增加了多少毫米。
② 哪一年的降水量最少？是多少毫米？
③ 预测 2024 年该地区的年降水量大约是多少，并说明理由。
十、方法总结
折线型图象的解读步骤：
明确图象标题和坐标轴表示的变量及单位，理解图象反映的实际问题。
识别图象上的各个数据点，读取对应的自变量和因变量数值，关注关键数据点（如最大值点、最小值点）。
按顺序分析每条线段的变化趋势，判断每个阶段是上升、下降还是平缓，结合线段倾斜程度分析变化快慢。
计算各阶段的变化量和变化率，量化分析变化幅度，总结整体变化趋势。
变化趋势的分析技巧：
上升阶段：线段从左到右向上倾斜，起点数值小于终点数值，倾斜越陡，上升越快。
-
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
我们已经学习了几种表示变量之间关系的方法
1.表格法
下表所列为一商店销售某种商品的情况，该种商品的原价为 450 元/件，随着降价的幅度变化，日销量（单位：件）随之发生变化：
降价（元/件） 5 10 15 20 25 30 35
日销量（件） 718 787 845 895 937 973 1000
在这个表中反映了　　个变量之间的关系，
　　　　　　　 是自变量，　　　　是因变量.
2
每件商品的降价
日销量
2.关系式法
某出租车每小时耗油 5 L，若设 t 小时耗油 q L，
则自变量是　　，因变量是____，q 与 t 的关系式
是　　　 .
t
q
q＝5t
3.图象法（曲线型图象）
下图表示了某港口某日从 0 时到 6 时水深变化的情况.
（1）大约什么时刻港口的水最
深？约是多少？
0
5
6
4
3
2
1
1
2
3
4
8
7
6
5
水深/米
时间/时
A
（2）A 点表示什么？
（3）说说这个港口从 0 时到 6
时的水位是怎样变化的.
3 时，约 7 米
4 时港口的水深
水位先上升后下降
每辆汽车上都有一个时速表用来显示汽车当前的速度，你会看这个表吗
用折线型图象表示变量间的关系
1
下面的图象表示一辆汽车的速度随时间变化而变化的情况，你能用一句话描述吗？
时间
速度
0
时间
速度
0
时间
速度
0
时间
速度
0
时间
速度
0
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
加速
减速
匀速
停止
减速
(1) 你能描述这辆汽车在这次行程中 24 min 内速度的变化情况吗
0
4
8
12
16
20
24
90
60
30
时间/min
速度/(km/h)
汽车在行驶过程中，速度往往是变化的.下图表示一辆汽车某次行程中 24 min内的速度情况.
速度先增大，再保持不变，最后减小至停止；停止两分钟后，速度再增大，然后保持不变，最后减小至停止.
(3) 这辆汽车出发后 8 min到 10 min之间可能发生了什么情况
（4）用自己的语言大致描述这辆汽车的行驶情况.
中途休息或加油
先加速 2 分钟到 30 km/h后匀速行驶 4 分钟，再减速 2 分钟后停车 2分钟，又加速 8 分钟到 90 km/h后再匀速行驶 4 分钟，最后减速 2 分钟直至停车.
(2) 这辆汽车在哪些时间段保持匀速行驶
速度分别是多少
汽车在出发后 2 min到 6 min以及18 min到 22 min保持匀速行驶，时速分别是 30 km/h 和 90 km/h.
小结：怎样通过图象判断速度随时间变化的情况？
怎样看图：从左往右随着时间的变化：
若图象上升，表明速度在 ；
若图象下降，表明速度在 ；
若图象与横轴平行，则表明速度 .
若图象在横轴上，表明 .
增大
减小
不变
汽车停止运动
归纳总结
借助图象可判断因变量的变化趋势：
图象自左向右是上升的，则说明因变量随着自变量的增大而增大，
图象自左向右是下降的，则说明因变量随着自变量的增大而减小，
图象自左向右是与横轴平行的，则说明因变量在自变量的增大的过程中保持不变.
图象的识图技巧
（1）注意两数轴上的名称与单位；
（2）分布规律：横轴上的点表示________，纵轴上的点表示________；
（3）识图关键：弄清图象上点的意义，找准关键点:注意图象的起点、终点、最高点、最低点、拐点等特殊位置，并弄清这些点所表示的意义.
自变量
因变量
尝试·思考
在上面的情境中，假设这辆汽车出发后 8 min 到 12 min 静止不动，然后用 6 min加速到 90 km/h，再用 6 min 减速到静止. 你能在下图中画图大致反映这辆汽车的速度随着时间的变化而变化的情况吗
0
4
8
12
16
20
24
90
60
30
时间/分
速度/(千米/时)
例1 用均匀的速度向一个容器注水，最后把容器注满. 在注水过程中，水面高度 h 随时间 t 的变化规律如图所示，则这个容器的形状是图中的( )
C
典例精析
例2 端午节至，甲、乙两队参加了一年一度的赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程 s (米)与时间 t (分)之间的图象如图所示.请你根据图象，回答下列问题：
(1)这次龙舟赛的全程是多少米 哪队先到达终点
(2)求乙与甲相遇时乙的速度.
解：(1)这次龙舟赛的全程是1000米；乙队先到达终点.
典例精析
(2)求乙与甲相遇时乙的速度.
加速后用的时间是 3.8－2.2＝1.6 (分)，
又因为乙加速后是匀速行驶，
所以乙与甲相遇时乙的速度为 600÷1.6＝375 (米/分).
解：由图象看出，相遇是在乙加速后，加速后的
路程是 1000－400＝600(米)，
1. 教材P160随堂练习T2 小明和哥哥从家里出发去买书，
从家出发走了到一个离家 的书店.小明买了书后
随即按原路返回；哥哥看了书后，用 返回家中.下
面的图象中表示哥哥离家的时间与距离之间的关系的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
（第2题）
2. 均匀地向一个容器注水，最后把容器
注满.在注水过程中，水面高度随时间
的变化规律如图所示（图中 为一
折线），这个容器的形状可以是( )
D
A. B. C. D.
返回
3. [2024济宁期末] 小星一家驾车前往某景点旅游，在行驶过
程中，汽车离景点的路程与所用时间 之间的函数
关系的图象如图所示，下列说法正确的是( )
D
（第3题）
A. 小星家离景点的路程为
B. 小星从家出发的平均速度为
C. 小星从家出发离景点的路程为
D. 小星从家到景点共用了
（第3题）
【点拨】根据图象可知，小星家离景点的
路程为 ，所以A说法不正确，故不
符合题意； ，
小星从家出发的平均速度为 ，
所以B说法不正确，故不符合题意；
由图象可得，小星从家出发 离景点的路
程为 ，所以C说法不正确，故不符合题意；
， ，
所以D说法正确，故符合题意.
返回
4. [2024枣庄薛城区期末] 地铁给人们带来了快捷、便利的生活，同时
也是疏导交通、解决拥堵的最佳方式．现有甲、乙两个工程队分别同时
开挖两条 长的隧道，所挖隧道长度与挖掘时间 （天）之间
的关系如图所示，现有下列说法：
①甲队每天挖 ；②乙队开挖2天后，每天挖 ；
③甲队比乙队提前2天完成任务；④当或 时，甲、
乙两队所挖隧道长度都相差 ．
其中正确的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
D
【点拨】①根据题中函数图象，得甲队每天
挖 ，故①正确；
②根据题中函数图象，得乙队开挖2天后，
每天挖 ，故
②正确；
③乙队完成任务的时间为 （天）,
（天），
所以甲队比乙队提前2天完成任务，故③正
确；
④当 时，甲队所挖隧道的长度为
，乙队所挖隧道长度为
；
当时，甲队所挖隧道的长度为 ，
乙队所挖隧道的长度为，所以当
或 时，甲、乙两队所挖隧道长度都相
差 ，故④正确，故选D.
返回
5.[2024宿州月考] 哥哥从家里骑自行车出发，
去超市途中遇到妹妹从超市走路回家，哥哥
在超市买完东西后以原先速度骑车回家，在
（1）家与超市相距___ .
8
回去的路上又遇到了妹妹，便载妹妹一起回家，结果哥哥比
按原先速度回家的时间晚了，二人离超市的距离
和哥哥从家出发后的时间 之间的关系如图所示
（假设二人交流时间忽略不计）.
（2）哥哥和妹妹第1次相遇时离超
市的距离是多少？
【解】由题图可得，哥哥骑车的速
度为 ，
根据题图知，相遇时间为 ，
所以 ，
即哥哥和妹妹第1次相遇时离超市的
距离是 .
（3）哥哥从家里出发到回家所用的时间是多少？
【解】由题意得 .
所以哥哥从家里出发到回家所用的时间是 .
返回
1. 在表示两变量间的关系时，图象法是关系式和表格法的几何表现形式.
2. 图象法能直观反映变量间的整体变化情况及变化规律，是表格法、关系式法所无法代替的.
3. 根据图象的变化趋势或周期性特征，不仅可回顾事情的过去，还可预测事情的未来.
谢谢观看！
阿木提江·塔西吐木尔
托克逊县第一中学
13899326086