第二章 相交线与平行线【章末复习】 课件（共47张PPT）--新2024北师大版七年级数学下册课件

章末复习
第二章 相交线与平行线
新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
买合苏迪古丽·买买提
托克逊县第二中学
15909954880
第二章 相交线与平行线 章末复习
一、复习目标
构建完整的相交线与平行线知识体系，明确各知识点之间的逻辑联系，加深对本章核心概念和定理的理解。
熟练掌握相交线所形成的角的性质、平行线的判定与性质，并能灵活运用这些知识解决几何推理、角度计算等问题。
掌握几何证明的基本方法和步骤，规范推理过程的书写，提高逻辑推理能力和空间想象能力。
能运用相交线与平行线的知识解释生活中的现象，解决实际问题，体会数学与生活的密切联系。
二、知识体系构建
**
三、核心知识梳理
（一）相交线
对顶角与邻补角
对顶角：两条直线相交形成的四个角中，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角。性质：对顶角相等。
邻补角：两条直线相交形成的四个角中，有公共顶点和一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角。性质：邻补角互补（和为\(180^{\circ}\)）。
示例：如图 1，直线\(AB\)与\(CD\)相交于点\(O\)，\(\angle AOC\)与\(\angle BOD\)是对顶角，\(\angle AOC = \angle BOD\)；\(\angle AOC\)与\(\angle BOC\)是邻补角，\(\angle AOC+\angle BOC = 180^{\circ}\)。
[此处插入图 1：两条直线相交形成对顶角和邻补角]
垂线
定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足。
性质：
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（简单说成：垂线段最短）。
点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度。
示例：如图 2，过点\(P\)作直线\(l\)的垂线，垂足为\(O\)，则线段\(PO\)的长度就是点\(P\)到直线\(l\)的距离。
[此处插入图 2：点到直线的垂线及距离示意]
（二）平行线
平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
平行线的判定
同位角相等，两直线平行。
内错角相等，两直线平行。
同旁内角互补，两直线平行。
平行于同一条直线的两条直线互相平行。
垂直于同一条直线的两条直线互相平行（在同一平面内）。
示例：如图 3，直线\(a\)、\(b\)被直线\(c\)所截，若\(\angle1 = \angle2\)（同位角相等），则\(a\parallel b\)；若\(\angle3 = \angle2\)（内错角相等），则\(a\parallel b\)；若\(\angle2+\angle4 = 180^{\circ}\)（同旁内角互补），则\(a\parallel b\)。
[此处插入图 3：平行线判定的角关系示意]
平行线的性质
两直线平行，同位角相等。
两直线平行，内错角相等。
两直线平行，同旁内角互补。
示例：如图 3，若\(a\parallel b\)，则\(\angle1 = \angle2\)（同位角相等），\(\angle3 = \angle2\)（内错角相等），\(\angle2+\angle4 = 180^{\circ}\)（同旁内角互补）。
平行线的性质与判定的关系
判定是由角的关系推导出直线平行（角→线）。
性质是由直线平行推导出角的关系（线→角）。
四、典型题型解析
题型一：相交线相关计算
例 1：如图 4，直线\(AB\)、\(CD\)相交于点\(O\)，\(OE\perp AB\)于点\(O\)，\(\angle EOD = 50^{\circ}\)，求\(\angle AOC\)的度数。
[此处插入图 4：直线 AB、CD 相交，OE 垂直 AB]
解：
∵\(OE\perp AB\)（已知）
∴\(\angle AOE = 90^{\circ}\)（垂直的定义）
∵直线\(AB\)、\(CD\)相交于点\(O\)（已知）
∴\(\angle AOC+\angle AOD = 180^{\circ}\)，\(\angle EOD+\angle AOD = \angle AOE = 90^{\circ}\)（邻补角定义）
∵\(\angle EOD = 50^{\circ}\)（已知）
∴\(\angle AOD = 90^{\circ}-\angle EOD = 90^{\circ}-50^{\circ}=40^{\circ}\)
∴\(\angle AOC = 180^{\circ}-\angle AOD = 180^{\circ}-40^{\circ}=140^{\circ}\)
题型二：平行线判定的应用
例 2：如图 5，已知\(\angle1 = \angle2\)，\(\angle3 = \angle4\)，求证：\(AB\parallel EF\)。
[此处插入图 5：多条直线相交形成∠1、∠2、∠3、∠4]
证明：
∵\(\angle1 = \angle2\)（已知）
∴\(AB\parallel CD\)（内错角相等，两直线平行）
∵\(\angle3 = \angle4\)（已知）
∴\(CD\parallel EF\)（内错角相等，两直线平行）
∵\(AB\parallel CD\)，\(CD\parallel EF\)（已证）
∴\(AB\parallel EF\)（平行于同一条直线的两条直线互相平行）
题型三：平行线性质的应用
例 3：如图 6，\(AB\parallel CD\)，\(BE\)平分\(\angle ABC\)，\(DE\)平分\(\angle ADC\)，\(\angle BAD = 80^{\circ}\)，求\(\angle BED\)的度数。
[此处插入图 6：AB∥CD，BE、DE 为角平分线]
解：
∵\(AB\parallel CD\)（已知）
∴\(\angle BAD+\angle ADC = 180^{\circ}\)（两直线平行，同旁内角互补）
∵\(\angle BAD = 80^{\circ}\)（已知）
∴\(\angle ADC = 180^{\circ}-\angle BAD = 180^{\circ}-80^{\circ}=100^{\circ}\)
∵\(DE\)平分\(\angle ADC\)（已知）
∴\(\angle CDE=\frac{1}{2}\angle ADC=\frac{1}{2}\times100^{\circ}=50^{\circ}\)
同理，由\(AB\parallel CD\)可得\(\angle ABC\)与某些角互补（根据图形具体情况推导），进而求出\(\angle ABE\)的度数，最终得出\(\angle BED = 130^{\circ}\)（具体步骤根据图形细节补充）。
题型四：性质与判定的综合运用
例 4：如图 7，已知\(AD\parallel BC\)，\(\angle A = \angle C\)，求证：\(AB\parallel CD\)。
[此处插入图 7：四边形 ABCD 中 AD∥BC]
证明：
∵\(AD\parallel BC\)（已知）
∴\(\angle A+\angle B = 180^{\circ}\)（两直线平行，同旁内角互补）
∵\(\angle A = \angle C\)（已知）
∴\(\angle C+\angle B = 180^{\circ}\)（等量代换）
∴\(AB\parallel CD\)（同旁内角互补，两直线平行）
题型五：含辅助线的综合问题
例 5：如图 8，\(AB\parallel CD\)，\(\angle B = 110^{\circ}\)，\(\angle D = 150^{\circ}\)，求\(\angle BED\)的度数。
[此处插入图 8：AB∥CD，点 E 在中间形成∠B、∠BED、∠D]
解：过点\(E\)作\(EF\parallel AB\)
∵\(AB\parallel CD\)，\(EF\parallel AB\)（已知）
∴\(EF\parallel CD\)（平行于同一条直线的两条直线互相平行）
∵\(EF\parallel AB\)（所作）
∴\(\angle B+\angle BEF = 180^{\circ}\)（两直线平行，同旁内角互补）
∵\(\angle B = 110^{\circ}\)（已知）
∴\(\angle BEF = 180^{\circ}-\angle B = 180^{\circ}-110^{\circ}=70^{\circ}\)
∵\(EF\parallel CD\)（已证）
∴\(\angle D+\angle DEF = 180^{\circ}\)（两直线平行，同旁内角互补）
∵\(\angle D = 150^{\circ}\)（已知）
∴\(\angle DEF = 180^{\circ}-\angle D = 180^{\circ}-150^{\circ}=30^{\circ}\)
∴\(\angle BED = \angle BEF+\angle DEF = 70^{\circ}+30^{\circ}=100^{\circ}\)
五、易错点警示
概念混淆：对顶角与邻补角概念混淆，如认为对顶角互补或邻补角相等；垂线与垂线段概念混淆，误将垂线段说成垂线，或将点到直线的距离说成垂线段。
平行线判定与性质混用：在推理过程中，将 “同位角相等，两直线平行” 与 “两直线平行，同位角相等” 混用，不知道何时用判定、何时用性质。
辅助线添加问题：在需要添加辅助线的题目中，未规范说明辅助线的作法，或添加后未充分利用辅助线的性质（如平行线的传递性）进行推理。
图形分析错误：在复杂图形中不能准确识别同位角、内错角、同旁内角，导致选用错误的定理进行推理；忽略 “在同一平面内” 的前提条件，如认为空间中垂直于同一直线的两条直线一定平行。
推理过程不规范：推理过程缺乏依据，或依据标注错误，步骤跳跃过大，逻辑不连贯。
六、解题方法总结
图形分解法：对于复杂图形，将其分解为 “三线八角” 等基本图形，找出其中的相交线、平行线和相关角，明确已知条件和所求问题。
线角互推法：根据题目条件，灵活进行 “角的关系→直线平行→新的角的关系→新的直线平行” 的转化，熟练运用判定与性质定理。
辅助线构造法：当图形中存在折线或角的关系不明显时，通过添加辅助线（如作平行线）构造基本图形，将复杂问题转化为简单问题。
规范书写法：按照 “∵条件∴结论（依据）” 的格式书写推理过程，确保每一步都有明确的依据，逻辑清晰、步骤完整。
实际问题转化法：将生活中的实际问题抽象为几何图形，运用相交线与平行线的知识进行分析和解决。
七、章末综合测试
一、选择题
下列各图中，\(\angle1\)与\(\angle2\)是对顶角的是（ ）
[此处插入四个选项的图形]
如图 9，直线\(a\)、\(b\)被直线\(c\)所截，下列条件中不能判定\(a\parallel b\)的是（ ）
A. \(\angle1 = \angle2\) B. \(\angle2 = \angle3\) C. \(\angle3+\angle4 = 180^{\circ}\) D. \(\angle1+\angle4 = 180^{\circ}\)
[此处插入图 9：直线 a、b 被直线 c 所截形成的角]
点\(P\)为直线\(l\)外一点，点\(A\)、\(B\)、\(C\)为直线\(l\)上三点，\(PA = 4cm\)，\(PB = 5cm\)，\(PC = 2cm\)，则点\(P\)到直线\(l\)的距离是（ ）
A. \(2cm\) B. 小于\(2cm\) C. 不大于\(2cm\) D. \(4cm\)
如图 10，\(AB\parallel CD\)，\(\angle A = 50^{\circ}\)，\(\angle C = 30^{\circ}\)，则\(\angle AEC\)的度数为（ ）
A. \(20^{\circ}\) B. \(50^{\circ}\) C. \(80^{\circ}\) D. \(100^{\circ}\)
[此处插入图 10：AB∥CD，点 E 形成∠AEC]
下列说法正确的是（ ）
A. 不相交的两条直线是平行线
B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C. 垂直于同一条直线的两条直线互相平行
D. 同旁内角互补，两直线平行
二、填空题
如图 11，直线\(AB\)、\(CD\)相交于点\(O\)，\(\angle AOD = 120^{\circ}\)，则\(\angle BOC = \)______度，\(\angle AOC = \)______度。
[此处插入图 11：直线 AB、CD 相交]
如图 12，\(AB\parallel CD\)，\(EF\)分别交\(AB\)、\(CD\)于点\(E\)、\(F\)，\(\angle1 = 50^{\circ}\)，则\(\angle2 = \)______度。
[此处插入图 12：AB∥CD 被 EF 所截]
过一点有且只有______条直线与已知直线垂直。
如图 13，计划把河水引到水池\(A\)中，先作\(AB\perp CD\)，垂足为\(B\)，然后沿\(AB\)开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是______。
[此处插入图 13：引水渠示意]
若\(a\parallel b\)，\(b\parallel c\)，则\(a\parallel c\)，理由是______。
三、解答题
如图 14，已知\(\angle1 = \angle2\)，\(\angle3 = 70^{\circ}\)，求\(\angle4\)的度数。
[此处插入图 14：相关直线相交形成角]
如图 15，\(AD\parallel BC\)，\(\angle B = \angle D\)，求证：\(AB\parallel CD\)。
[此处插入图 15：四边形 ABCD 中 AD∥BC]
如图 16，\(AB\parallel CD\)，\(CE\)平分\(\angle BCD\)，\(DE\)平分\(\angle CDA\)，求证：\(DE\perp CE\)。
[此处插入图 16：AB∥CD，CE、DE 为角平分线]
如图 17，\(AB\parallel CD\)，\(\angle B = 60^{\circ}\)，\(\angle D = 30^{\circ}\)，求\(\angle BED\)
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
一、对顶角
两个角有_________，并且两边互为___________，具有这种特殊关系的两个角叫作对顶角.
对顶角的性质：____________.
A
O
C
B
D
1
3
2
4
公共顶点
反向延长线
对顶角相等
二、垂线
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是______ 时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的______，它们的交点叫作______.
1. 垂线的定义
2. 经过直线上或直线外一点，_________一条直线与已知
直线垂直.
4. 直线外一点到这条直线的垂线段的______，叫作点到
直线的距离.
3. 直线外一点与直线上各点的所有连线中，_______最短.
有且只有
垂线段
长度
直角
垂线
垂足
同位角、内错角、同旁内角的结构特征：
同位角 ∠1 与 ∠2
内错角 ∠3 与 ∠2
同旁内角 ∠4 与 ∠2
三、同位角、内错角、同旁内角
三线八角
a
b
c
1
2
4
3
四、平行线
1. 在同一平面内，_______的两条直线叫作平行线.
3. 平行于同一条直线的两条直线______.
2. 经过直线外一点，________一条直线与已知直线平行.
4. 平行线的判定与性质：
两直线平行
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
平行线的判定
平行线的性质
不相交
有且只有
平行
例1 如图，AB⊥CD 于点 O，直线 EF 过 O 点，
∠AOE = 65°，求∠DOF 的度数.
B
A
C
D
F
E
O
解：因为 AB⊥CD，所以∠AOC = 90°.
考点一 利用对顶角、垂线的性质求角度
因为∠AOE = 65°，所以∠COE = 25°.
又因为∠COE =∠DOF (对顶角相等)，
所以∠DOF = 25°.
1. 如图，直线 AB、CD 相交于点 O，OE⊥AB 于 O，OB 平分∠ DOF，∠DOE = 50°，求∠AOC、 ∠EOF、 ∠COF 的度数．
解：因为 AB⊥OE (已知)，
针对训练
所以 ∠EOB = 90°(垂直的定义).
因为 ∠DOE = 50° (已知)，
所以 ∠DOB = 40°(互余的定义).
所以 ∠AOC = ∠DOB = 40° (对顶角相等).
E
F
A
B
D
C
O
又因为 OB 平分∠DOF，
E
F
A
B
D
C
O
所以 ∠BOF = ∠DOB = 40° (角平分线的定义).
所以 ∠EOF = ∠EOB + ∠BOF
= 90° + 40° = 130°.
所以 ∠COF = ∠COD -∠DOF
= 180° - 80° = 100°.
例2 如图，AC⊥BC，CD⊥AB 于点 D，CD = 4.8 cm，AC = 6 cm，BC = 8 cm，则
点 C 到 AB 的距离是____cm，
点 A 到 BC 的距离是____cm，
点 B 到 AC 的距离是____cm.
4.8
6
8
考点二 点到直线的距离
2. 如图所示，修一条路将 B 村庄与 A 村庄及公路 MN 连起来，怎样修才能使所修的公路最短？画出线路图，并说明理由．
解：连接 AB，作 BC⊥MN，C 是垂足，
线段 AB 和 BC 就是符合题意的线路图．
因为从 A 到 B，线段 AB 最短，
从 B 到 MN，垂线段 BC 最短，所以 AB＋BC 最短．
针对训练
C
与点到直线的距离最短有关的作图，一般是过一点作已知直线的垂线.
作图的依据是“垂线段最短”．
方法总结
例3 (1) 如图所示，∠1 = 72°，∠2 = 72°，∠3 = 60°，求∠4 的度数.
解：因为 ∠1 = ∠2 = 72°，
考点三 平行线的性质和判定
所以 a∥b (内错角相等，两直线平行).
所以 ∠3 + ∠4 = 180° (两直线平行，同旁内角互补).
因为 ∠3 = 60°，所以 ∠4 = 120°.
证明：因为 ∠DAC = ∠ACB (已知)，
(2) 已知∠DAC = ∠ACB，∠D + ∠DFE = 180°，求证：EF∥BC.
所以 AD∥BC (内错角相等，两直线平行).
因为 ∠D + ∠DFE = 180° (已知)，
所以 AD∥EF (同旁内角互补，两直线平行).
所以 EF∥BC (平行于同一条直线的两条直线互相平行).
3. 如图，已知 AB∥CD，∠1 = 30°，∠2 = 90°，则∠3 = °.
60
针对训练
4. 如图，若 AE∥CD，∠EBF = 135°，∠BFD = 60°，则∠D = ( )
A. 75° B. 45° C. 30° D. 15°
D
针对训练
解：设∠1 的度数为 x°，则∠2 的度数为 x°，∠3 的度数为 8x°.
例4 如图所示，l1，l2，l3 交于点 O，∠1 = ∠2，
∠3∶∠1 = 8∶1，求∠4 的度数.
）
）
）
）
1
2
3
4
O
考点四 相交线中的方程思想
根据题意可得 x° + x° + 8x° = 180°，
解得 x = 18，即∠1 = ∠2 = 18°.
而∠4 = ∠1 + ∠2（对顶角相等），所以 ∠4 = 36°.
5.如图所示，直线 AB 与 CD 相交于点 O，∠AOC∶
∠AOD = 2∶3，求∠BOD 的度数.
A
B
C
D
O
针对训练
解：设∠AOC 的度数为 2x°，
则∠AOD 的度数为 3x°.
根据题意可得 2x° + 3x° = 180°，
解得 x = 36，即∠AOC = 72°.
而∠BOD = ∠AOC (对顶角相等)，所以 ∠BOD = 72°.
考点1 对顶角、余角和补角
1. [2024合肥期末] 如图，直线????????，????????相交于点???? ，
∠????????????=90? ，那么下列结论错误的是( )
?
D
A. ∠????????????与∠???????????? 是对顶角
B. ∠????????????与∠???????????? 互为余角
C. ∠????????????与∠???????????? 互为余角
D. ∠????????????与∠???????????? 互为补角
?
返回
2. [2024福州月考] 由∠1+∠2=90? ，∠1+∠3=90? ，得
到∠2=∠3 的依据是( )
?
A
A. 同角的余角相等 B. 等角的余角相等
C. 同角的补角相等 D. 等角的补角相等
3.[2024常州期末] 有一个角的补角为117? ，则这个角的余角
是____.
?
27?
?
返回
考点2 与垂直有关的概念及性质
4. 如图，直线????????，????????相交于点???? ，
????????⊥????????，垂足为????，∠????????????=125? ，则
∠????????????= ( )
?
C
A. 55? B. 45? C. 35? D. 25?
?
返回
5. 下列图形中，能用线段????????的长表示点????到线段???????? 的距离
的是( )
?
D
A. B. C. D.
返回
6. [2024枣庄月考] 如图，在三角形????????????中，∠????????????=90? ，
????????=3，????????=4，????????=5，????为直线????????上一动点，连接???????? ，
则线段???????? 的最小值是( )
?
C
A. 3 B. 2.5 C. 2.4 D. 2
【点拨】易知当????????⊥????????时，???????? 的值最小.在直
角三角形????????????中，∠????????????=90? ，????????=3 ，
????????=4，????????=5，所以此时三角形???????????? 的面积
=12?????????????????=12????????????????? ，
?
所以????????=?????????????????????????=125=2.4 .
即线段???????? 的最小值是2.4.
?
返回
考点3 同位角、内错角、同旁内角
7. [2024烟台期末] 如图，下列结论正确的是( )
C
A. ∠4和∠5 是同旁内角
B. ∠3和∠2 是对顶角
C. ∠3和∠5 是内错角
D. ∠1和∠5 是同位角
?
【点拨】A.∠4和∠5 是邻补角，不是同旁内
角，故本选项错误;
B.∠3和(∠1+∠2) 是对顶角，故本选项错
误;
?
C.∠3和∠5 是内错角，故本选项正确;
D.∠5和(∠1+∠2) 是同位角，故本选项错
误.
?
返回
考点4 平行线的判定和性质
（第8题）
8. [2024福建] 在同一平面内，将直尺、
含30? 角的直角三角尺和木工角尺
(????????⊥????????) 按如图方式摆放，若
????????//????????，则∠1 的大小为( )
?
A
A. 30? B. 45? C. 60? D. 75?
?
【点拨】因为????????//???????? ，所以易知
∠????????????=60? .
因为????????⊥????????，所以∠????????????=90? .
所以
∠1=180??∠?????????????∠????????????=30? .故
选A.
?
（第8题）
返回
（第9题）
9. [2024西安高新三中期末] 如图是自
来水公司安装的一条自来水管道，已
知????????//????????，∠????????????=80? ，
∠????????????=140? ，则∠???????????? 等于( )
?
B
A. 45? B. 40? C. 35? D. 30?
?
【点拨】如图，过点????作????????//???????? .
?
因为????????//???????? ,
所以????????//????????//???????? .
?
所以∠????????????=∠????????????,∠????+∠????????????=180? .
因为∠????????????=80? ,∠????????????=140? ,
所以∠????????????=80? ,
∠????????????=180??140?=40? .
所以∠????????????=80??40?=40? .故选B.
?
返回
（第10题）
10. 教材P54习题T9 如图，在甲、乙两
地之间要修一条笔直的公路，从甲地测得公路
的走向是北偏东45? ，如果甲、乙两地同时开
工，若干天后该公路顺利接通，那么乙地开工
的公路走向应是__________.
?
南偏西45?
?
【点拨】因为正北方向的两条直线是平行的，即????//???? ，所以
∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）.又因为∠1=45? ，所
以∠2=45? .所以乙地开工的公路走向应是南偏西45? 。
?
返回
（第11题）
11.如图，把一张长方形的纸条沿着???????? 所
在的直线折叠，若∠????′????????=35? ，则
∠????????????′ 的度数为____.
?
70?
?
【点拨】由折叠的性质可知
∠????????????=∠????′????????=35? ,所以
∠????′????????=35?+35?=70? .
?
易知????????′//????????′ ,所以
∠????????????=∠????′????????=70? .
易知????????//????????,所以∠????????????′=∠????????????=70? .
?
返回
12.将下列推理过程补充完整.
如图，∠1=∠2，∠????=∠????，试说明∠????=∠???? .
?
解：因为∠1=∠2 ，（已知）
∠2=∠3 ，（____________）
?
对顶角相等
所以∠1=∠3 .（等量代换）
所以????????//???????? .（________________________）
所以∠????????????=∠???? .（________________________）
又因为∠????=∠???? ，（已知）
所以∠????????????=∠???? .（等量代换）
所以????????//???????? .（________________________）
所以∠????=∠???? .（________________________）
?
同位角相等，两直线平行
两直线平行，同位角相等
内错角相等，两直线平行
两直线平行，内错角相等
返回
13.如图所示，????????//????????//????????，∠????????????=60? ，
∠????????????=36? ，????????平分∠????????????，求∠???????????? 的度
数.
?
【解】因为????????//????????//???????? ,
所以∠????????????=∠????????????，∠????????????=∠???????????? .
因为∠????????????=60? ，∠????????????=36? ,
?
所以∠????????????=60? ，∠????????????=36? .
所以∠????????????=∠????????????+∠????????????=60?+36?=96? .
因为????????平分∠???????????? ,
所以∠????????????=12∠????????????=12×96?=48? . 所以
∠????????????=∠?????????????∠????????????=60??48?=12? .
?
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思想1 方程思想
14. 已知????????//????????，????????//???????? ，现将直角三角尺
????????????(∠????????????=45?) 和直角三角尺
????????????(∠????????????=30?) 按如图所示放置，直角顶
?
B
A. 110? B. 115? C. 120? D. 140?
?
点????重合，点????，????在????????上，若∠1+∠2=70? ，
∠3:∠4=4:3，则∠???????????? 的度数为( )
?
【点拨】因为????????//???????? ,所以
∠????????????+∠????????????=180? ,即
∠1+∠????????????+∠3+∠4+∠????????????+∠2=180? .
?
因为∠1+∠2=70? ,∠????????????=45? , ∠????????????=30? ,所以
∠3+∠4=35? .因为∠3:∠4=4:3,所以设∠3=4????? ,
∠4=3????? .所以4?????+3?????=35? ,解得????=5,所以∠3=20? .
所以∠????????????=∠????????????+∠3=65? .因为????????//???????? ,所以
∠????????????+∠????????????=180? .所以∠????????????=115? .
?
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思想2 分类讨论思想
15.[2024嘉兴期中] 已知直线????????//????????，点????,????
分别在????????,????????上，如图所示，射线???????? 按顺时
?
针方向以每秒4? 的速度旋转至???????? 便立即回转，并不断往返
旋转；射线????????按顺时针方向每秒1? 的角度旋转至???????? 停止，
此时射线???????? 也停止旋转．
?
（1）若射线????????，???????? 同时开始旋转，当旋转
时间为30秒时，????????′与????????′ 的位置关系为______
____；
?
????????′⊥????????′
?
（2）若射线????????先旋转45秒，射线????????
才开始转动，当射线???????? 旋转的时间为
多少秒时，????????′//????′???? .
?
【解】设当射线????????旋转的时间为???? 秒
时，????????′//????′???? .分情况讨论：
①第一次平行(即0?
图①，
由题知∠????????????′=4????? ，∠????????????′=45?+????? .
∵????????//????????，????????′//????′????，∴∠????????????′=∠????????????=∠????????????′ ，
即4????=45+????，解得????=15 ；
?
②第二次平行(即45如图②，由题知
∠????????????′=4??????180? ，
∠????????????′=?????+45? ，
∵????????//????????，????????′//????′???? ，
∴∠????????????′=∠????????????=180??∠????????????′ ，
即4?????180=180?(45+????) ，解得
????=63 ；
?
③第三次平行时(即90如图②，则∠????????????′=4??????360? ，
∠????????????′=?????+45? .
∵????????//????????，????????′//????′???? ，
∴∠????????????′=∠????????????=∠????????????′ ，
即4?????360=????+45，解得????=135 .
综上所述，当射线???????? 旋转的时间为
15秒或63秒或135秒时，????????′//????′???? .
?
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平面内两条直线的位置关系
两条直线相交
对顶角相等
垂线，点到直线的距离
两条直线被第
三条直线所截
两直线平行
两直线平行的判定
两直线平行的性质
同位角、内错角、同旁内角
两直线平行的判定
同位角相等，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
两直线平行的性质
两直线平行，同位角相等
两直线平行，内错角相等
两直线平行，同旁内角互补
内错角相等，两直线平行
谢谢观看！
阿木提江·塔西吐木尔
托克逊县第一中学
13899326086