第六章 变量之间的关系【章末复习】 课件（共37张PPT）--新2024北师大版七年级数学下册课件
文档属性
| 名称 | 第六章 变量之间的关系【章末复习】 课件（共37张PPT）--新2024北师大版七年级数学下册课件 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 6.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-24 00:00:00 | ||
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文档简介
(共37张PPT)
章末复习
第六章 变量之间的关系
新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
买合苏迪古丽·买买提
托克逊县第二中学
15909954880
第六章 变量之间的关系 章末复习
一、知识框架梳理
本章主要围绕变量之间的关系展开，通过不同的表示方法探究变量的变化规律，核心知识框架如下：
基本概念：变量（自变量、因变量）、常量
表示方法：
表格法：直观呈现变量对应数值
关系式法：用数学式子描述变量关系
图象法：包括曲线型图象和折线型图象，直观展示变化趋势
实践应用：设计运算程序、制作万花筒（结合变量关系与实际操作）
二、核心知识点回顾
（一）变量与常量
定义：
变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量。其中，主动变化的量是自变量，随着自变量变化而变化的量是因变量。
常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量。
示例：在 “汽车以 60 千米 / 小时的速度行驶，路程随时间变化” 中，时间和路程是变量（时间是自变量，路程是因变量），速度 60 千米 / 小时是常量。
（二）用表格表示变量之间的关系
特点：
直观展示自变量与因变量的对应数值，便于读取具体数据。
能清晰看出变量的变化趋势（增大、减小、波动等）。
阅读方法：
明确表格行列代表的变量及单位。
读取对应数值，分析因变量随自变量的变化规律。
可根据变化趋势对未知数据进行合理预测。
示例：某植物生长高度与时间的关系表格，能直接看出不同时间的高度，以及高度随时间的增长趋势。
（三）用关系式表示变量之间的关系
概念：用数学式子（等式）表示自变量与因变量之间的数量关系，通常形式为\(y = f(x)\)（\(x\)为自变量，\(y\)为因变量）。
特点：
简洁、准确地描述变量间的普遍规律，可表示所有可能的对应关系。
便于计算任意自变量对应的因变量值，或根据因变量值求自变量值。
常见类型：
一次关系：如\(y = kx + b\)（\(k\neq0\)），因变量随自变量均匀变化。
二次关系：如\(y = ax^2 + bx + c\)（\(a\neq0\)），因变量变化呈现抛物线趋势。
分段关系：如出租车收费、阶梯电价等，不同自变量范围对应不同关系式。
应用步骤：
根据实际情境列出关系式，明确自变量取值范围。
代入计算：已知自变量求因变量（直接代入），已知因变量求自变量（解方程）。
分析变化趋势：根据关系式系数判断因变量随自变量的增减情况。
（四）用图象表示变量之间的关系
图象组成：平面直角坐标系（横轴表示自变量，纵轴表示因变量）、数据点、连接线（曲线或折线）、标题、单位标注。
曲线型图象：
特点：表示非线性变化关系，因变量随自变量的变化不均匀，图象为连续曲线。
解读方法：观察曲线走向判断变化趋势（上升、下降、先升后降等），通过极值点确定最大值或最小值，读取特定点的对应数值。
示例：气温随时间变化的曲线、物体抛出后高度随时间变化的抛物线。
折线型图象：
特点：由线段连接数据点而成，表示阶段性线性变化，每个线段代表一个变化阶段。
解读方法：分析每条线段的倾斜方向（上升 / 下降）和倾斜程度（变化快慢），计算阶段变化量和变化率，总结整体变化趋势。
示例：销售额随月份变化的折线、学生成绩随单元测试变化的折线。
（五）综合实践应用
设计运算程序：
核心思路：明确输入、运算步骤和输出，通过代数验证和数值测试确保程序逻辑正确，可设计固定结果型、输入相关型或规律型程序。
关键能力：将实际问题转化为数学运算步骤，运用代数知识推导验证，培养逻辑思维和创新意识。
制作万花筒：
原理应用：结合光的反射（物理原理）和对称图形（数学知识），反射镜组角度决定图案对称性（如 60° 角形成六边形对称图案）。
实践价值：体会变量关系在实际制作中的应用，感受数学与科学、艺术的结合。
三、易错点警示
变量识别错误：混淆自变量和因变量，或误将常量当作变量。例如，在 “路程\(s = 60t\)” 中，错误认为\(s\)是自变量、\(t\)是因变量。
表格数据误读：读取表格时看错行列对应关系，或对变化趋势判断错误（如将波动上升误认为整体下降）。
关系式应用错误：
列关系式时忽略实际意义（如未考虑自变量取值范围导致出现负数边长、负数时间等）。
代入计算时运算顺序错误，或求解方程时移项、系数化 1 出错。
对分段关系式未按自变量范围选择对应式子计算（如出租车费计算忽略起步价阶段）。
图象解读偏差：
混淆横纵轴表示的变量，导致数据读取错误。
误将折线型图象的线段延长线当作有效数据，忽略其阶段性特点。
对曲线型图象的极值点位置判断错误，或误将平缓曲线当作水平不变。
实践操作疏漏：制作万花筒时反射镜角度不准确导致图案不对称，或设计运算程序时未验证特殊输入（如零、负数）导致程序失效。
四、解题方法总结
变量关系分析步骤：
明确研究的变化过程，识别自变量、因变量和常量。
选择合适的表示方法（表格 / 关系式 / 图象）描述关系。
提取关键信息：对应数值、变化趋势、极值点、阶段特征等。
结合实际意义验证结论合理性。
跨方法转换技巧：
表格→关系式：根据表格数据寻找数量规律，通过待定系数法列出关系式并验证。
关系式→图象：选取若干自变量值计算对应因变量值，描点连线绘制图象，根据关系式特征预判图象形状。
图象→表格：从图象中读取关键数据点的坐标，整理成表格形式。
综合题解题策略：
复杂问题拆解：将多变量问题分解为单一变量关系逐一分析。
多方法结合：根据问题需求灵活运用表格、关系式和图象，例如用表格呈现数据，用关系式推导规律，用图象直观展示趋势。
验证反思：通过不同方法交叉验证结果，确保结论准确，例如用关系式计算结果与图象读取结果对比。
五、经典例题解析
例 1：变量识别与表格分析
某商店销售笔记本，单价为 5 元 / 本，销售数量与总价的关系如下表：
销售数量（本）
1
2
3
4
5
总价（元）
5
10
15
20
25
（1）指出表中的变量和常量。
（2）分析总价随销售数量的变化趋势。
（3）若销售数量为 8 本，预测总价是多少。
解：
（1）变量是销售数量和总价，常量是单价 5 元 / 本。
（2）总价随销售数量的增大而均匀增大，销售数量每增加 1 本，总价增加 5 元。
（3）根据变化规律，总价 = 5× 销售数量，因此销售 8 本时，总价为\(5 8 = 40\)元。
例 2：关系式应用与图象解读
已知某物体运动的路程\(s\)（米）与时间\(t\)（秒）的关系式为\(s = 2t^2\)（\(t\geq0\)）。
（1）计算\(t = 3\)秒时的路程。
（2）画出该关系式的图象草图，判断路程随时间的变化趋势。
（3）若图象上某点坐标为\((5,50)\)，说明其实际意义。
解：
（1）当\(t = 3\)时，\(s = 2 3^2 = 2 9 = 18\)米。
（2）图象为开口向上的抛物线（\(t\geq0\)部分），路程随时间的增大而增大，且增长速度越来越快（因\(t^2\)的系数为正）。
（3）坐标\((5,50)\)表示当时间为 5 秒时，物体运动的路程为 50 米。
例 3：折线型图象分析
如图是某城市 2025 年上半年月降水量的折线图，根据图象回答问题：
[假设图象数据：1 月 50mm，2 月 65mm，3 月 45mm，4 月 70mm，5 月 85mm，6 月 90mm]
（1）哪个月降水量最多？哪个月最少？
（2）计算 3 月到 4 月的降水量变化量。
（3）描述上半年降水量的整体变化趋势。
解：
（1）6 月降水量最多（90mm），3 月降水量最少（45mm）。
（2）3 月到 4 月的变化量 = 4 月降水量 - 3 月降水量 = 70 - 45 = 25mm，即增加了 25mm。
（3）整体呈波动上升趋势：1 - 2 月上升，2 - 3 月下降，3 - 6 月持续上升，且后期上升幅度较稳定。
六、复习建议
夯实基础：通过思维导图梳理变量、常量、三种表示方法的核心概念，确保每个知识点都能准确理解。
强化练习：针对表格、关系式、图象三种题型分别进行专项练习，重点训练数据读取、趋势分析和计算能力。
跨方法融合：进行不同表示方法之间的转换练习（如根据表格列关系式、根据关系式画图象），加深对变量关系本质的理解。
联系实际：结合生活中的变量关系实例（如气温变化、购物费用计算）进行分析，体会数学的实用性。
错题整理：针对易错点建立错题本，分析错误原因，定期复习巩固，避免重复犯错。
通过本章复习，应能熟练运用表格、关系式和图象表示变量之间的关系，准确分析变化趋势，解决实际问题，并体会数学在描述现实世界变化规律中的重要作用。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
丰富的现实情境
变量及其关系
利用变量之间的关系解决问题、进行预测
自变量和因变量
变量之间关系的探索和表示（表格、关系式、图象）
分析用表格、关系式、图象所表示的变量之间的关系
例 1 心理学家发现，学生对概念的接受能力 y 与提出概念所用的时间 x（单位：分钟）之间有如下关系（其中 0≤x≤30）：
提出概念所用时间 (x) 2 5 7 10 12 13 14 17 20
对概念的接受能力 (y) 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55
考点一 用表格表示的变量关系
（1）上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是
自变量？哪个是因变量？
（2）当提出概念所用时间是 10 分钟时，学生的接受
能力是多少？
提出概念所用的时间 x 和对概念接受能力 y 两个变量，其中 x 是自变量，y 是因变量.
59
提出概念所用时间 (x) 2 5 7 10 12 13 14 17 20
对概念的接受能力 (y) 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55
（3）根据表格中的数据，你认为提出概念几分钟时，
学生的接受能力最强？
（4）从表格中可知，当时间 x 在什么范围内，学生的
接受能力逐步增强？当时间 x 在什么范围内，学
生的接受能力逐步降低？
13分钟.
2 分钟至 13 分钟时学生的接受能力逐步增强，13 分钟至 20 分钟学生的接受能力逐步降低.
提出概念所用时间 (x) 2 5 7 10 12 13 14 17 20
对概念的接受能力 (y) 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55
（5）根据表格大致估计当时间为 23 分钟时，学生对
概念的接受能力是多少？
大约是52.
提出概念所用时间 (x) 2 5 7 10 12 13 14 17 20
对概念的接受能力 (y) 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55
例2 某蓄水池开始蓄水，每时进水 20 m3，设蓄水量
为 V（m3），蓄水时间为 t（时）.
（1）V 与 t 之间的关系式是什么？
（2）若蓄水池最大蓄水量为 1000 m3，则需要多长时
间能蓄满水？
考点二 用关系式表示的变量关系
解：V = 20t.
解：把 V = 1000 m3 代入关系式，得 1000 = 20t，
解得 t = 50(时）.
（3）当 t 逐渐增加时，V 怎样变化？说说你的理由.
解：当 t 逐渐增加时，V 也在逐渐增加，因为 V 是 t 的正整数倍.
1. 梯形上底的长是 x，下底的长是 15，高是 8.
（1）梯形面积 y 与上底长 x 之间的关系式是什么？
（2）当 x 每增加 1 时，y 如何变化？说说你的理由；
（3）当 x＝0 时，y 等于什么？此时它表示的是什么？
y = 4x + 60.
x 每增加 1，y 增加 4.
当 x = 0 时，y = 60，此时它表示的是对应三角形的面积.
针对训练
考点三 用图象表示的变量关系
例3 王大爷饭后出去散步，从家中走 20 min到离家 900 m的公园，与朋友聊天 10 min后，用 15 min返回家中．下面图形表示王大爷离家的时间 x（min）与离家的距离 y（m）之间的关系的是（ ）
D
A
B
C
D
0
0
0
0
A
D
利用图象解决实际问题，应正确理解图象横、纵轴表示的意义，理解问题发生的过程，能够通过图象得到问题的相应解决办法．
方法总结
2. 星期天下午，小强和小明相约在某公交车站一起乘车回学校，小强从家出发先步行到车站，等小明到了后两人一起乘公交车回到学校．图中纵轴表示小强离开家的路程 y (千米)，横轴表示他所用的时间 x (分钟)．下列说法错误的是 ( )
A.小强从家到公交车站步行了 2 千米
B.小强在公交车站等小明用了10 分钟
C.公交车的平均速度是 34 千米/时
D.小强乘公交车用了 30 分钟
x(分钟)
y(千米)
C
0
针对训练
3. 甲、乙两人（甲骑自行车，乙骑摩托车）从 A 城出发到 B 城旅行. 如图表示甲、乙两人离开 A 城的路程与时间的关系图象. 根据图象，你能得到关于甲、乙两人本次旅行的哪些信息？
路程(千米)
摩托车
自行车
时间
(小时)
解：（1）本次旅行甲用了 8 小时；
（2）甲比乙晚到 2 小时
（3）甲出发 3 小时后走
了全程的一半；
……
考点1 常量、变量、自变量和因变量
1. 第31届中国国际广告节于2024年11月28日在厦门正式开幕，
王先生开车去参会，途中他到加油站加油，如图是加油机上
的数据显示牌，金额随着数量的变化而变化，则下列判断正
确的是( )
D
A. 18和8.19是常量
B. 金额是自变量
C. 单价是因变量
D. 金额、数量是变量，单价是常量
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考点2 用表格表示变量之间的关系
2.父亲告诉小明：“距离地面越高，温度越低，”并给小明出
示了下面的表格.
0 1 2 3 4 5
20 14 8 2
根据上表，父亲还给小明出了下面几个问题，你和小明一起
回答.
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？
哪个是因变量？
【解】反映了温度和距离地面的高度两个变量之间的关系.距
离地面的高度是自变量，温度是因变量.
（2）如果用表示距离地面的高度，用 表示温度，那么随
着的变化， 是怎么变化的？
【解】如果用表示距离地面的高度，用 表示温度，那么
随着高度的增大，温度 逐渐减小（或降低）.
（3）你能猜出距离地面 的高空温度是多少吗？
距离地面的高空温度是 .
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考点3 用关系式表示变量之间的关系
3.长方形的长是20，宽是，周长是，面积是 .
（1）写出和 之间的关系式.
【解】由长方形的周长公式，得 .
（2）写出和 之间的关系式.
由长方形的面积公式，得 .
（3）当时，等于多少？ 等于多少？
【解】当时，,解得.将 代入
，得 .
（4）当增加1时，增加多少？ 增加多少？
当增加1时，.所以当 增加1时，
增加20；当增加1时， ，
所以当增加1时， 增加2.
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考点4 用图象表示变量之间的关系
4. 张老师在化学实验室做
实验时，将一杯 的开水放在石棉网上自
然冷却，如图是这杯水冷却时的温度变化图，
根据图中的信息，下列说法不正确的是 ( )
C
A. 水温从逐渐下降到时用了
B. 从开始冷却后时的水温是
C. 实验室的室内温度是
D. 水被自然冷却到了
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5. 教材P156素材 如图是某地冬季一天的气温随时间变
化的图象，根据图象回答下列问题：
（1）8时，12时，22时的气温各是多少？
【解】8时，12时，22时的气温分别是，， .
（2）这一天的最高气温是多少？几
时达到的？最低气温呢？
【解】这一天的最高气温是 ，
14时达到的，最低气温是 ，
4时达到的.
（3）这一天的温差是多少？从最低到最高气温经过多长时间？
【解】这一天的温差为，从最低到最高气温经过 .
（4）在什么范围内气温上升？在什么时间范围内气温下降？
【解】在4时时气温上升，在0时时，14时 时气温下降.
（5）图中的点表示什么？ 点呢？
点表示8时的气温为；点表示24时的气温为 .
（6）在哪一时刻气温为和 ？
【解】在0时和6时的气温为；在12时和23时的气温为 .
（7）你能预测次日凌晨2时的气温吗？
【解】次日凌晨2时的气温约为 （大致范围）.
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思想1 数形结合思想
6. 骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体
温随时间的变化而发生较大变化，
其体温 与时间（时）之间的关系
D
如图①所示.小清同学根据图①绘制了图②，则图②中的变量
最有可能表示的是 ( )
A. 骆驼在 时刻的体温与0时体温的绝对差（即差的绝对值）
B. 骆驼从0时到 时刻之间的最高体温与当日最低体温的差
C. 骆驼在 时刻的体温与当日平均体温的绝对差
D. 骆驼从0时到 时刻之间的体温最大值与最小值的差
【点拨】从0时到4时，温差随时间
的增大而增大，在4时达到最大，是
；从4时到8时，这段时间的最
高体温是，最低体温是 ，
温差不变，从8时开始，最高体温变大，最低体温不变是
，温差变大，达到 ，从16时开始到24时体温下降，
温差不变.即变量最有可能表示的是骆驼从0时到 时刻之间
的体温最大值与最小值的差.
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思想2 分类讨论思想
7.[2024济南期末] 甲、乙两车分别从, 两
地同时出发，甲车匀速前往地，到达 地
后停止；乙车匀速前往地，到达 地立即
以另一速度按原路匀速返回到地，返回到 地时停止．设甲、
乙两车距地的路程为（千米），乙车行驶的时间为
（时），与 之间的图象如图所示．
（1）乙车从地返回 地的速度是_____千米/时；
（2）乙车到达地时甲车距 地的路程是
_____千米；
100
100
（3）求乙车返回前甲、乙两车相距40千米时，乙车行驶的
时间．
【解】由图象易知甲车的速度为80千米/
时，乙车从地到 地的速度为120千米/
时，当乙车返回前甲、乙两车相距40千
米时，
设乙车行驶的时间为 小时，甲、乙两车相遇之前：
，
解得 ；
甲、乙两车相遇之后：
，
解得 .
综上所述，乙车返回前甲、乙两车相距
40千米时，乙车行驶的时间为1.3小时或
1.7小时.
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丰富的
现实情境
自变量
和因变量
变量之间关系的探索和表示
分析用表格、关系式、图象所表示的变量之间关系
利用变量之间的关系解决问题、进行预测
谢谢观看！
阿木提江·塔西吐木尔
托克逊县第一中学
13899326086
章末复习
第六章 变量之间的关系
新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
买合苏迪古丽·买买提
托克逊县第二中学
15909954880
第六章 变量之间的关系 章末复习
一、知识框架梳理
本章主要围绕变量之间的关系展开，通过不同的表示方法探究变量的变化规律，核心知识框架如下：
基本概念：变量（自变量、因变量）、常量
表示方法：
表格法：直观呈现变量对应数值
关系式法：用数学式子描述变量关系
图象法：包括曲线型图象和折线型图象，直观展示变化趋势
实践应用：设计运算程序、制作万花筒（结合变量关系与实际操作）
二、核心知识点回顾
（一）变量与常量
定义：
变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量。其中，主动变化的量是自变量，随着自变量变化而变化的量是因变量。
常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量。
示例：在 “汽车以 60 千米 / 小时的速度行驶，路程随时间变化” 中，时间和路程是变量（时间是自变量，路程是因变量），速度 60 千米 / 小时是常量。
（二）用表格表示变量之间的关系
特点：
直观展示自变量与因变量的对应数值，便于读取具体数据。
能清晰看出变量的变化趋势（增大、减小、波动等）。
阅读方法：
明确表格行列代表的变量及单位。
读取对应数值，分析因变量随自变量的变化规律。
可根据变化趋势对未知数据进行合理预测。
示例：某植物生长高度与时间的关系表格，能直接看出不同时间的高度，以及高度随时间的增长趋势。
（三）用关系式表示变量之间的关系
概念：用数学式子（等式）表示自变量与因变量之间的数量关系，通常形式为\(y = f(x)\)（\(x\)为自变量，\(y\)为因变量）。
特点：
简洁、准确地描述变量间的普遍规律，可表示所有可能的对应关系。
便于计算任意自变量对应的因变量值，或根据因变量值求自变量值。
常见类型：
一次关系：如\(y = kx + b\)（\(k\neq0\)），因变量随自变量均匀变化。
二次关系：如\(y = ax^2 + bx + c\)（\(a\neq0\)），因变量变化呈现抛物线趋势。
分段关系：如出租车收费、阶梯电价等，不同自变量范围对应不同关系式。
应用步骤：
根据实际情境列出关系式，明确自变量取值范围。
代入计算：已知自变量求因变量（直接代入），已知因变量求自变量（解方程）。
分析变化趋势：根据关系式系数判断因变量随自变量的增减情况。
（四）用图象表示变量之间的关系
图象组成：平面直角坐标系（横轴表示自变量，纵轴表示因变量）、数据点、连接线（曲线或折线）、标题、单位标注。
曲线型图象：
特点：表示非线性变化关系，因变量随自变量的变化不均匀，图象为连续曲线。
解读方法：观察曲线走向判断变化趋势（上升、下降、先升后降等），通过极值点确定最大值或最小值，读取特定点的对应数值。
示例：气温随时间变化的曲线、物体抛出后高度随时间变化的抛物线。
折线型图象：
特点：由线段连接数据点而成，表示阶段性线性变化，每个线段代表一个变化阶段。
解读方法：分析每条线段的倾斜方向（上升 / 下降）和倾斜程度（变化快慢），计算阶段变化量和变化率，总结整体变化趋势。
示例：销售额随月份变化的折线、学生成绩随单元测试变化的折线。
（五）综合实践应用
设计运算程序：
核心思路：明确输入、运算步骤和输出，通过代数验证和数值测试确保程序逻辑正确，可设计固定结果型、输入相关型或规律型程序。
关键能力：将实际问题转化为数学运算步骤，运用代数知识推导验证，培养逻辑思维和创新意识。
制作万花筒：
原理应用：结合光的反射（物理原理）和对称图形（数学知识），反射镜组角度决定图案对称性（如 60° 角形成六边形对称图案）。
实践价值：体会变量关系在实际制作中的应用，感受数学与科学、艺术的结合。
三、易错点警示
变量识别错误：混淆自变量和因变量，或误将常量当作变量。例如，在 “路程\(s = 60t\)” 中，错误认为\(s\)是自变量、\(t\)是因变量。
表格数据误读：读取表格时看错行列对应关系，或对变化趋势判断错误（如将波动上升误认为整体下降）。
关系式应用错误：
列关系式时忽略实际意义（如未考虑自变量取值范围导致出现负数边长、负数时间等）。
代入计算时运算顺序错误，或求解方程时移项、系数化 1 出错。
对分段关系式未按自变量范围选择对应式子计算（如出租车费计算忽略起步价阶段）。
图象解读偏差：
混淆横纵轴表示的变量，导致数据读取错误。
误将折线型图象的线段延长线当作有效数据，忽略其阶段性特点。
对曲线型图象的极值点位置判断错误，或误将平缓曲线当作水平不变。
实践操作疏漏：制作万花筒时反射镜角度不准确导致图案不对称，或设计运算程序时未验证特殊输入（如零、负数）导致程序失效。
四、解题方法总结
变量关系分析步骤：
明确研究的变化过程，识别自变量、因变量和常量。
选择合适的表示方法（表格 / 关系式 / 图象）描述关系。
提取关键信息：对应数值、变化趋势、极值点、阶段特征等。
结合实际意义验证结论合理性。
跨方法转换技巧：
表格→关系式：根据表格数据寻找数量规律，通过待定系数法列出关系式并验证。
关系式→图象：选取若干自变量值计算对应因变量值，描点连线绘制图象，根据关系式特征预判图象形状。
图象→表格：从图象中读取关键数据点的坐标，整理成表格形式。
综合题解题策略：
复杂问题拆解：将多变量问题分解为单一变量关系逐一分析。
多方法结合：根据问题需求灵活运用表格、关系式和图象，例如用表格呈现数据，用关系式推导规律，用图象直观展示趋势。
验证反思：通过不同方法交叉验证结果，确保结论准确，例如用关系式计算结果与图象读取结果对比。
五、经典例题解析
例 1：变量识别与表格分析
某商店销售笔记本，单价为 5 元 / 本，销售数量与总价的关系如下表：
销售数量（本）
1
2
3
4
5
总价（元）
5
10
15
20
25
（1）指出表中的变量和常量。
（2）分析总价随销售数量的变化趋势。
（3）若销售数量为 8 本，预测总价是多少。
解：
（1）变量是销售数量和总价，常量是单价 5 元 / 本。
（2）总价随销售数量的增大而均匀增大，销售数量每增加 1 本，总价增加 5 元。
（3）根据变化规律，总价 = 5× 销售数量，因此销售 8 本时，总价为\(5 8 = 40\)元。
例 2：关系式应用与图象解读
已知某物体运动的路程\(s\)（米）与时间\(t\)（秒）的关系式为\(s = 2t^2\)（\(t\geq0\)）。
（1）计算\(t = 3\)秒时的路程。
（2）画出该关系式的图象草图，判断路程随时间的变化趋势。
（3）若图象上某点坐标为\((5,50)\)，说明其实际意义。
解：
（1）当\(t = 3\)时，\(s = 2 3^2 = 2 9 = 18\)米。
（2）图象为开口向上的抛物线（\(t\geq0\)部分），路程随时间的增大而增大，且增长速度越来越快（因\(t^2\)的系数为正）。
（3）坐标\((5,50)\)表示当时间为 5 秒时，物体运动的路程为 50 米。
例 3：折线型图象分析
如图是某城市 2025 年上半年月降水量的折线图，根据图象回答问题：
[假设图象数据：1 月 50mm，2 月 65mm，3 月 45mm，4 月 70mm，5 月 85mm，6 月 90mm]
（1）哪个月降水量最多？哪个月最少？
（2）计算 3 月到 4 月的降水量变化量。
（3）描述上半年降水量的整体变化趋势。
解：
（1）6 月降水量最多（90mm），3 月降水量最少（45mm）。
（2）3 月到 4 月的变化量 = 4 月降水量 - 3 月降水量 = 70 - 45 = 25mm，即增加了 25mm。
（3）整体呈波动上升趋势：1 - 2 月上升，2 - 3 月下降，3 - 6 月持续上升，且后期上升幅度较稳定。
六、复习建议
夯实基础：通过思维导图梳理变量、常量、三种表示方法的核心概念，确保每个知识点都能准确理解。
强化练习：针对表格、关系式、图象三种题型分别进行专项练习，重点训练数据读取、趋势分析和计算能力。
跨方法融合：进行不同表示方法之间的转换练习（如根据表格列关系式、根据关系式画图象），加深对变量关系本质的理解。
联系实际：结合生活中的变量关系实例（如气温变化、购物费用计算）进行分析，体会数学的实用性。
错题整理：针对易错点建立错题本，分析错误原因，定期复习巩固，避免重复犯错。
通过本章复习，应能熟练运用表格、关系式和图象表示变量之间的关系，准确分析变化趋势，解决实际问题，并体会数学在描述现实世界变化规律中的重要作用。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
丰富的现实情境
变量及其关系
利用变量之间的关系解决问题、进行预测
自变量和因变量
变量之间关系的探索和表示（表格、关系式、图象）
分析用表格、关系式、图象所表示的变量之间的关系
例 1 心理学家发现，学生对概念的接受能力 y 与提出概念所用的时间 x（单位：分钟）之间有如下关系（其中 0≤x≤30）：
提出概念所用时间 (x) 2 5 7 10 12 13 14 17 20
对概念的接受能力 (y) 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55
考点一 用表格表示的变量关系
（1）上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是
自变量？哪个是因变量？
（2）当提出概念所用时间是 10 分钟时，学生的接受
能力是多少？
提出概念所用的时间 x 和对概念接受能力 y 两个变量，其中 x 是自变量，y 是因变量.
59
提出概念所用时间 (x) 2 5 7 10 12 13 14 17 20
对概念的接受能力 (y) 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55
（3）根据表格中的数据，你认为提出概念几分钟时，
学生的接受能力最强？
（4）从表格中可知，当时间 x 在什么范围内，学生的
接受能力逐步增强？当时间 x 在什么范围内，学
生的接受能力逐步降低？
13分钟.
2 分钟至 13 分钟时学生的接受能力逐步增强，13 分钟至 20 分钟学生的接受能力逐步降低.
提出概念所用时间 (x) 2 5 7 10 12 13 14 17 20
对概念的接受能力 (y) 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55
（5）根据表格大致估计当时间为 23 分钟时，学生对
概念的接受能力是多少？
大约是52.
提出概念所用时间 (x) 2 5 7 10 12 13 14 17 20
对概念的接受能力 (y) 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55
例2 某蓄水池开始蓄水，每时进水 20 m3，设蓄水量
为 V（m3），蓄水时间为 t（时）.
（1）V 与 t 之间的关系式是什么？
（2）若蓄水池最大蓄水量为 1000 m3，则需要多长时
间能蓄满水？
考点二 用关系式表示的变量关系
解：V = 20t.
解：把 V = 1000 m3 代入关系式，得 1000 = 20t，
解得 t = 50(时）.
（3）当 t 逐渐增加时，V 怎样变化？说说你的理由.
解：当 t 逐渐增加时，V 也在逐渐增加，因为 V 是 t 的正整数倍.
1. 梯形上底的长是 x，下底的长是 15，高是 8.
（1）梯形面积 y 与上底长 x 之间的关系式是什么？
（2）当 x 每增加 1 时，y 如何变化？说说你的理由；
（3）当 x＝0 时，y 等于什么？此时它表示的是什么？
y = 4x + 60.
x 每增加 1，y 增加 4.
当 x = 0 时，y = 60，此时它表示的是对应三角形的面积.
针对训练
考点三 用图象表示的变量关系
例3 王大爷饭后出去散步，从家中走 20 min到离家 900 m的公园，与朋友聊天 10 min后，用 15 min返回家中．下面图形表示王大爷离家的时间 x（min）与离家的距离 y（m）之间的关系的是（ ）
D
A
B
C
D
0
0
0
0
A
D
利用图象解决实际问题，应正确理解图象横、纵轴表示的意义，理解问题发生的过程，能够通过图象得到问题的相应解决办法．
方法总结
2. 星期天下午，小强和小明相约在某公交车站一起乘车回学校，小强从家出发先步行到车站，等小明到了后两人一起乘公交车回到学校．图中纵轴表示小强离开家的路程 y (千米)，横轴表示他所用的时间 x (分钟)．下列说法错误的是 ( )
A.小强从家到公交车站步行了 2 千米
B.小强在公交车站等小明用了10 分钟
C.公交车的平均速度是 34 千米/时
D.小强乘公交车用了 30 分钟
x(分钟)
y(千米)
C
0
针对训练
3. 甲、乙两人（甲骑自行车，乙骑摩托车）从 A 城出发到 B 城旅行. 如图表示甲、乙两人离开 A 城的路程与时间的关系图象. 根据图象，你能得到关于甲、乙两人本次旅行的哪些信息？
路程(千米)
摩托车
自行车
时间
(小时)
解：（1）本次旅行甲用了 8 小时；
（2）甲比乙晚到 2 小时
（3）甲出发 3 小时后走
了全程的一半；
……
考点1 常量、变量、自变量和因变量
1. 第31届中国国际广告节于2024年11月28日在厦门正式开幕，
王先生开车去参会，途中他到加油站加油，如图是加油机上
的数据显示牌，金额随着数量的变化而变化，则下列判断正
确的是( )
D
A. 18和8.19是常量
B. 金额是自变量
C. 单价是因变量
D. 金额、数量是变量，单价是常量
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考点2 用表格表示变量之间的关系
2.父亲告诉小明：“距离地面越高，温度越低，”并给小明出
示了下面的表格.
0 1 2 3 4 5
20 14 8 2
根据上表，父亲还给小明出了下面几个问题，你和小明一起
回答.
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？
哪个是因变量？
【解】反映了温度和距离地面的高度两个变量之间的关系.距
离地面的高度是自变量，温度是因变量.
（2）如果用表示距离地面的高度，用 表示温度，那么随
着的变化， 是怎么变化的？
【解】如果用表示距离地面的高度，用 表示温度，那么
随着高度的增大，温度 逐渐减小（或降低）.
（3）你能猜出距离地面 的高空温度是多少吗？
距离地面的高空温度是 .
返回
考点3 用关系式表示变量之间的关系
3.长方形的长是20，宽是，周长是，面积是 .
（1）写出和 之间的关系式.
【解】由长方形的周长公式，得 .
（2）写出和 之间的关系式.
由长方形的面积公式，得 .
（3）当时，等于多少？ 等于多少？
【解】当时，,解得.将 代入
，得 .
（4）当增加1时，增加多少？ 增加多少？
当增加1时，.所以当 增加1时，
增加20；当增加1时， ，
所以当增加1时， 增加2.
返回
考点4 用图象表示变量之间的关系
4. 张老师在化学实验室做
实验时，将一杯 的开水放在石棉网上自
然冷却，如图是这杯水冷却时的温度变化图，
根据图中的信息，下列说法不正确的是 ( )
C
A. 水温从逐渐下降到时用了
B. 从开始冷却后时的水温是
C. 实验室的室内温度是
D. 水被自然冷却到了
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5. 教材P156素材 如图是某地冬季一天的气温随时间变
化的图象，根据图象回答下列问题：
（1）8时，12时，22时的气温各是多少？
【解】8时，12时，22时的气温分别是，， .
（2）这一天的最高气温是多少？几
时达到的？最低气温呢？
【解】这一天的最高气温是 ，
14时达到的，最低气温是 ，
4时达到的.
（3）这一天的温差是多少？从最低到最高气温经过多长时间？
【解】这一天的温差为，从最低到最高气温经过 .
（4）在什么范围内气温上升？在什么时间范围内气温下降？
【解】在4时时气温上升，在0时时，14时 时气温下降.
（5）图中的点表示什么？ 点呢？
点表示8时的气温为；点表示24时的气温为 .
（6）在哪一时刻气温为和 ？
【解】在0时和6时的气温为；在12时和23时的气温为 .
（7）你能预测次日凌晨2时的气温吗？
【解】次日凌晨2时的气温约为 （大致范围）.
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思想1 数形结合思想
6. 骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体
温随时间的变化而发生较大变化，
其体温 与时间（时）之间的关系
D
如图①所示.小清同学根据图①绘制了图②，则图②中的变量
最有可能表示的是 ( )
A. 骆驼在 时刻的体温与0时体温的绝对差（即差的绝对值）
B. 骆驼从0时到 时刻之间的最高体温与当日最低体温的差
C. 骆驼在 时刻的体温与当日平均体温的绝对差
D. 骆驼从0时到 时刻之间的体温最大值与最小值的差
【点拨】从0时到4时，温差随时间
的增大而增大，在4时达到最大，是
；从4时到8时，这段时间的最
高体温是，最低体温是 ，
温差不变，从8时开始，最高体温变大，最低体温不变是
，温差变大，达到 ，从16时开始到24时体温下降，
温差不变.即变量最有可能表示的是骆驼从0时到 时刻之间
的体温最大值与最小值的差.
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思想2 分类讨论思想
7.[2024济南期末] 甲、乙两车分别从, 两
地同时出发，甲车匀速前往地，到达 地
后停止；乙车匀速前往地，到达 地立即
以另一速度按原路匀速返回到地，返回到 地时停止．设甲、
乙两车距地的路程为（千米），乙车行驶的时间为
（时），与 之间的图象如图所示．
（1）乙车从地返回 地的速度是_____千米/时；
（2）乙车到达地时甲车距 地的路程是
_____千米；
100
100
（3）求乙车返回前甲、乙两车相距40千米时，乙车行驶的
时间．
【解】由图象易知甲车的速度为80千米/
时，乙车从地到 地的速度为120千米/
时，当乙车返回前甲、乙两车相距40千
米时，
设乙车行驶的时间为 小时，甲、乙两车相遇之前：
，
解得 ；
甲、乙两车相遇之后：
，
解得 .
综上所述，乙车返回前甲、乙两车相距
40千米时，乙车行驶的时间为1.3小时或
1.7小时.
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丰富的
现实情境
自变量
和因变量
变量之间关系的探索和表示
分析用表格、关系式、图象所表示的变量之间关系
利用变量之间的关系解决问题、进行预测
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阿木提江·塔西吐木尔
托克逊县第一中学
13899326086
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