第三章 概率初步【章末复习】 课件（共36张PPT）--新2024北师大版七年级数学下册课件
文档属性
| 名称 | 第三章 概率初步【章末复习】 课件（共36张PPT）--新2024北师大版七年级数学下册课件 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 7.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-24 00:00:00 | ||
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文档简介
(共36张PPT)
章末复习
第三章 概率初步
新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
买合苏迪古丽·买买提
托克逊县第二中学
15909954880
第三章 概率初步 章末复习
一、复习目标
构建完整的概率初步知识体系，明确随机事件、概率的定义、计算方法等核心知识点之间的逻辑联系。
熟练掌握随机事件的分类、概率的基本性质，以及不同情境下概率的计算方法（如简单概率、摸球概率、面积相关概率）。
能运用概率知识解决生活中的实际问题，提高分析问题、解决问题的能力和逻辑推理能力。
体会概率在现实生活中的应用价值，培养随机观念和数据分析意识，为后续深入学习概率知识奠定基础。
二、知识体系构建
**
三、核心知识梳理
（一）随机事件的分类
必然事件：在一定条件下，必然会发生的事件。概率为\(1\)，即\(P(\text{ }) = 1\)。
示例：太阳从东方升起、三角形内角和为\(180^{\circ}\)。
不可能事件：在一定条件下，必然不会发生的事件。概率为\(0\)，即\(P(\text{ è }) = 0\)。
示例：掷骰子掷出\(7\)点、水中捞月。
随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。概率取值范围为\(0 < P(\text{é }) < 1\)。
示例：抛硬币正面朝上、明天会下雨。
（二）概率的定义与性质
概率的定义：刻画随机事件发生可能性大小的数值，记作\(P(A)\)。
频率与概率的关系：
频率是通过试验得到的，具有随机性；概率是事件本身的属性，是确定的常数。
在大量重复试验中，随机事件发生的频率会逐渐稳定在该事件的概率附近，因此可以用频率估计概率。
概率的基本性质：
对任意事件\(A\)，有\(0 \leq P(A) \leq 1\)。
必然事件的概率为\(1\)，不可能事件的概率为\(0\)。
若事件\(A\)与事件\(B\)互为对立事件，则\(P(A) + P(B) = 1\)，即\(P(A) = 1 - P(B)\)。
（三）概率的计算方法
简单等可能事件的概率：
适用条件：试验结果有限且每个结果出现的可能性相等。
计算公式：\(P(A)=\frac{\text{ }A\text{ °}}{\text{ è °}}=\frac{m}{n}\)。
示例：掷均匀骰子掷出点数为\(2\)的概率为\(\frac{1}{6}\)。
摸球相关的概率：
放回摸球：每次摸球后将球放回，总球数不变，各次结果独立。
计算公式：多次摸球概率可直接相乘（如两次都摸到红球的概率为\(P_1 \times P_2\)）。
不放回摸球：每次摸球后球不放回，总球数递减，后一次结果受前一次影响。
计算公式：需根据前次结果调整后次结果数（如第一次摸红后第二次摸红的概率为\(\frac{m - 1}{n - 1}\)）。
与面积相关的概率：
适用条件：试验结果无限且在几何区域内均匀分布，概率与区域面积相关。
计算公式：\(P(A)=\frac{\text{ }A\text{ é § }}{\text{ é § }}=\frac{S_A}{S_{\text{ }}}\)。
示例：转盘游戏中指针停在红色区域的概率为红色区域面积与转盘总面积之比。
四、典型题型解析
题型一：随机事件的判断与概率基本性质
例 1：下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A. 抛掷一枚硬币，正面朝上
B. 打开电视，正在播放广告
C. 三角形的外角和为\(360^{\circ}\)
D. 明天会下雨
解：
A 选项：抛掷硬币正面朝上是随机事件；B 选项：打开电视播放广告是随机事件；C 选项：三角形外角和一定是\(360^{\circ}\)，是必然事件；D 选项：明天会下雨是随机事件。故选 C。
例 2：已知事件\(A\)与事件\(B\)互为对立事件，且\(P(A) = 0.6\)，则\(P(B) = \)______。
解：
因为事件\(A\)与事件\(B\)互为对立事件，所以\(P(A) + P(B) = 1\)，则\(P(B) = 1 - P(A) = 1 - 0.6 = 0.4\)。
题型二：简单等可能事件的概率计算
例 3：一个不透明的袋子里装有标号为 1、2、3、4 的 4 个完全相同的小球，从中任意摸出一个球，求摸到标号为偶数的球的概率。
解：
所有可能的结果总数为\(4\)（标号 1、2、3、4）。
事件 “摸到标号为偶数的球” 包含的结果有 2 个（标号 2、4）。
所以，摸到标号为偶数的球的概率\(P = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)。
题型三：摸球相关的概率计算
例 4：一个袋子里装有 3 个红球和 2 个白球，这些球除颜色外完全相同。
（1）从中任意摸出一个球，放回后再摸一个，求两次都摸到白球的概率。
（2）从中任意摸出两个球（不放回），求摸到一个红球和一个白球的概率。
解：
（1）放回摸球时，第一次摸到白球的概率为\(\frac{2}{5}\)，第二次摸到白球的概率也为\(\frac{2}{5}\)。
两次都摸到白球的概率\(P = \frac{2}{5} \times \frac{2}{5} = \frac{4}{25}\)。
（2）不放回摸球时，所有可能的结果总数为\(5 \times 4 = 20\)（考虑顺序）。
事件 “摸到一个红球和一个白球” 包含两种情况：“第一次红第二次白” 和 “第一次白第二次红”。
“第一次红第二次白” 的结果数为\(3 \times 2 = 6\)；“第一次白第二次红” 的结果数为\(2 \times 3 = 6\)。
所以，事件包含的结果数为\(6 + 6 = 12\)，概率\(P = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}\)。
题型四：与面积相关的概率计算
例 5：一个长方形广场的长为 100m，宽为 80m，广场内有一个半径为 10m 的圆形花坛。随机在广场上选择一点，求该点落在花坛内的概率。
解：
广场的总面积\(S_{\text{ }} = 100 \times 80 = 8000\ \text{m}^2\)。
圆形花坛的面积\(S_{\text{è ± }} = \pi \times 10^2 = 100\pi\ \text{m}^2\)。
所以，该点落在花坛内的概率\(P = \frac{S_{\text{è ± }}}{S_{\text{ }}} = \frac{100\pi}{8000} = \frac{\pi}{80} \approx 0.039\)。
题型五：概率的综合应用
例 6：某商场举办抽奖活动，抽奖箱内有质地相同的 10 个球，其中红球 1 个（一等奖），黄球 3 个（二等奖），白球 6 个（三等奖）。顾客从中任意摸出一个球，求：
（1）摸到一等奖的概率；
（2）摸到二等奖或三等奖的概率。
解：
（1）所有可能的结果总数为\(10\)，摸到一等奖（红球）的结果数为\(1\)。
所以，摸到一等奖的概率\(P(\text{ }) = \frac{1}{10}\)。
（2）方法一：直接计算。
摸到二等奖（黄球）的结果数为\(3\)，摸到三等奖（白球）的结果数为\(6\)。
事件 “摸到二等奖或三等奖” 包含的结果数为\(3 + 6 = 9\)，概率\(P = \frac{9}{10}\)。
方法二：利用对立事件。
“摸到二等奖或三等奖” 的对立事件是 “摸到一等奖”。
所以，\(P = 1 - P(\text{ }) = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}\)。
五、易错点警示
事件类型判断错误：混淆必然事件、不可能事件和随机事件，如认为 “明天会下雪” 是必然事件，忽略其不确定性。
频率与概率混淆：将某次试验的频率直接当作概率，如抛 10 次硬币正面朝上 6 次，就认为正面朝上的概率是 0.6，忽略概率是频率的稳定值。
摸球方式忽略：在计算摸球概率时，未区分放回与不放回，导致结果数计算错误。例如，将不放回摸球的总结果数当作不变的总数。
面积计算失误：在与面积相关的概率中，规则图形面积公式误用（如圆的面积用直径计算）、单位不统一或区域范围判断错误。
对立事件应用错误：不能准确识别对立事件，导致利用对立事件计算时出现偏差，如将 “至少一个红球” 的对立事件错误认为是 “最多一个红球”。
等可能条件忽视：在非等可能事件中误用 “\(\frac{m}{n}\)” 公式计算概率，如认为抛瓶盖时盖面朝上的概率是\(\frac{1}{2}\)，忽略其非对称性。
六、解题方法总结
事件分类法：判断事件类型时，根据事件是否必然发生、必然不发生或可能发生，确定其为必然事件、不可能事件或随机事件。
概率公式选择法：根据试验情境选择合适的概率计算公式：
有限等可能事件用 “结果数之比” 公式。
摸球问题区分放回与不放回，分别计算结果数。
无限均匀分布的几何区域用 “面积之比” 公式。
对立事件简化法：当直接计算复杂事件概率困难时，利用对立事件的概率关系（\(P(A) = 1 - P(\text{é }A)\)）简化计算，如 “至少一个” 的对立事件是 “一个都没有”。
图形分析法：在与面积相关的概率中，通过图形分析明确总区域和事件区域，准确计算面积后套用公式。
验证法：计算概率后，检查结果是否在 0 到 1 之间，结合实际情境判断合理性，避免计算错误。
七、章末综合测试
一、选择题
下列事件中，属于不可能事件的是（ ）
A. 抛掷一枚均匀的骰子，掷出点数为 6
B. 射击运动员射击一次，命中靶心
C. 在一个标准大气压下，水加热到\(50^{\circ}\mathrm{C}\)沸腾
D. 明天太阳从东方升起
一个不透明的袋子里装有 2 个红球和 3 个绿球，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是（ ）
A. \(\frac{2}{5}\) B. \(\frac{3}{5}\) C. \(\frac{1}{2}\) D. \(\frac{1}{3}\)
已知事件\(A\)的概率\(P(A) = 0.3\)，则事件\(A\)的对立事件的概率是（ ）
A. 0.3 B. 0.7 C. 0.1 D. 0.9
一个转盘被等分成 6 个扇形，颜色分别为红、红、黄、黄、蓝、蓝。转动转盘，指针停在红色区域的概率是（ ）
A. \(\frac{1}{6}\) B. \(\frac{1}{3}\) C. \(\frac{1}{2}\) D. \(\frac{2}{3}\)
一个长方形的长为 6cm，宽为 4cm，内部有一个面积为\(4\ \text{cm}^2\)的三角形区域。随机向长方形内投一点，该点落在三角形区域内的概率是（ ）
A. \(\frac{1}{6}\) B. \(\frac{1}{4}\) C. \(\frac{1}{3}\) D. \(\frac{1}{2}\)
二、填空题
必然事件的概率是______，不可能事件的概率是______。
一个袋子里装有 5 个相同的球，分别标有数字 1-5，从中任意摸出一个球，摸到标有奇数数字的球的概率是______。
掷一枚均匀的骰子，掷出点数为合数的概率是______（提示：1-6 中合数是 4、6）。
一个圆形靶子的半径为 10cm，靶子上有一个面积为\(25\pi\ \text{cm}^2\)的扇形区域，向靶子投镖（镖一定落在圆内），镖落在扇形区域内的概率是______。
一个袋子里装有 3 个白球和 2 个黑球，从中任意摸出两个球（不放回），摸到两个黑球的概率是______。
三、解答题
一个不透明的盒子里装有 4 个红球、2 个黄球和 1 个蓝球，这些球除颜色外完全相同。从中任意摸出一个球，求：
（1）摸到红球的概率；
（2）摸到不是蓝球的概率。
一个袋子里装有标号为 1、2、3 的 3 个小球，从中任意摸出一个球，记下标号后放回，再摸出一个球。求两次摸出的球的标号之和为 5 的概率。
一个边长为 8m 的正方形场地中，有一个长为 4m、宽为 2m 的长方形舞台。随机在场地中选择一点，求该点不在舞台区域的概率。
某超市举办抽奖活动，抽奖箱内有 100 张奖券，其中一等奖 10 张，二等奖 20 张，其余为三等奖。顾客从中任意抽取一张奖券，求抽到一等奖或二等奖的概率。
一个不透明的袋子里装有 2 个红球和 3 个白球，从中任意摸出两个球（不放回），求至少摸到一个红球的概率。
八、总结与提升
概率初步是研究随机现象的基础，通过本章的学习，我们掌握了随机事件的分类、概率的定义与性质，以及不同情境下概率的计算方法。核心在于理解概率是刻画事件发生可能性大小的数值，掌握 “结果数之比”“面积之比” 等计算方法，并能区分放回与不放回等不同试验情境。
在解决概率问题时，要准确判断事件类型，选择合适的计算方法，注意对立事件的应用以简化计算。同时，要避免混淆频率与概率、忽视等可能条件等常见错误。概率知识在生活中应用广泛，如游戏设计、风险评估、统计决策等，学好本章内容有助于我们更好地理解随机现象，用数学知识解决实际问题。
通过章末复习，希望同学们能梳理知识脉络，巩固薄弱环节，提升解题能力，为后续学习更复杂的概率知识和统计知识打下坚实基础。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
一、事件的分类及其概念
事件
确定事件
随机事件：在一定条件下进行可重复试验时，可能发生也可能不发生的事件
必然事件：必然会发生的事件
不可能事件：必然不会发生的事件
随机事件发生的可能性是有大有小的
二、用频率估计概率
用频率估计概率
一般地，在大量重复试验中，如果事件 A 发生的频率 稳定于某个常数，那么我们可以用事件 A 发生的频率来估计事件 A 发生的概率.
概率
不可能事件发生的概率，P(不可能事件) = 0
必然事件发生的概率，P(必然事件) = 1
刻画一个随机事件 A 发生的可能性大小的数值，叫做随机事件 A 发生的概率，记为 P(A)
如果在一次试验中，有 n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包括其中的 m 种结果，那么事件 A 发生的
概率 P(A) = ，且 0≤P(A)≤1
三、概率的概念及意义
四、等可能事件概率的求法
1. 与摸球相关的等可能事件概率的求法
P (摸出某种颜色球)
该种颜色的球的数量
球的总数
2.与面积相关的等可能事件概率的求法：
该事件所占区域的面积
所求事件的概率 = ——————————— .
总面积
3.与时间相关的等可能事件概率的求法：
该事件所占时间长度
所求事件的概率 = —————————— .
总时长
例1 在成语“瓮中捉鳖”、“拔苗助长”、“守株待兔”和“水中捞月”描述的事件中，分别是什么事件？
解：“瓮中捉鳖”是必然事件，“拔苗助长”和“水中捞月”是不可能事件，“守株待兔”是不确定事件.
考点一 事件的判断和概率的意义
1.“闭上眼睛从布袋中随机地摸出 1 个球，其中摸出红球的概率恰是 ”的意思是（ ）
A．布袋中有 2 个红球和 5 个其他颜色的球
B．如果摸球次数很多，那么平均每摸 7 次，就有 2 次
摸中红球
C．摸 7 次，就有 2 次摸中红球
D．摸 7 次，就有 5 次摸不中红球
B
针对训练
例2 某篮球运动员在最近的几场大赛中罚球投篮的结果如下：
解：观察这位运动员多次进球的频率可以发现在 0.75 上下徘徊，于是可以估计他投篮一次进球的概率是 0.75.
投篮次数 n 8 10 12 9 16 10
进球次数 m 6 8 9 7 12 7
进球率
(1) 把表格补充完整；
(2) 这位运动员投篮一次，进球的概率大约是多少？
0.75
0.8
0.7
0.75
0.75
考点二 用频率估计概率
2. 在一个不透明的布袋中，有红色、黑色、白色球共 40 个，这些球除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现从中摸到红色球、黑色球的频率稳定在 15％ 和 45％，则布袋中白色球的个数最有可能是（ ）
A. 24 B. 18 C. 16 D. 6
C
针对训练
考点三 等可能事件的概率
例3 如图，每个小正方形边长均相同，假设可以随意在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是_______.
解析：设每个小正方形的边长为 1，
则整个大正方形的面积为 3×3 = 9，
阴影部分的面积为 9 - 1×1 -
针对训练
3. 如图，转盘被等分成 16 个扇形，请在转盘的适当地方涂上颜色，使得自由转动这个转盘，当它停止转动时，指针落在红色区域的概率为 ，蓝色区域的概率为 ，黄色区域的概率为 .
4. (丹东·期中)如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针在数字“Ⅱ”所示区域内的概率是( )
Ⅱ
Ⅰ
Ⅲ
Ⅳ
120°
60°
45°
分析：由扇形统计图可得，
指针落在数字“Ⅱ”所示区域内的概率是：
A
5. 一个小孩子将 10 盒蔬菜的标签全部撕掉了. 现在每个盒子看上去都一样，但是她知道有三盒玉米，两盒菠菜，四盒豆角，一盒土豆. 她随机地拿出一盒并打开它.
（2）盒子里面是豆角的概率是多少？
（3）盒子里面不是菠菜的概率是多少？
（4）盒子里面是豆角或土豆的概率是多少？
（1） 盒子里面是玉米的概率是多少？
考点1 事件类型的判断
1. [2024烟台期中] 下列说法中，正确的是( )
B
A. “三角形的内角和是 ”是随机事件
B. “两直线平行，同位角相等”是必然事件
C. “概率为 的事件”是不可能事件
D. 任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的次数一定
是5次
返回
2. 下列语句描述的事件中，是随机事件的为
( )
D
A. 水能载舟，亦能覆舟 B. 只手遮天，偷天换日
C. 瓜熟蒂落，水到渠成 D. 心想事成，万事如意
返回
考点2 频率与概率
3. [2024宝鸡期末] 数学课上老师带领学生
做“频率的稳定性”试验时，统计了某结果
出现的频率，并绘制了如图所示的折线统
D
A. 在玩“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”
B. 一副去掉大小王的普通扑克牌（52张，四种花色）洗匀后，从中任抽
一张牌，花色是梅花
C. 不透明袋子中有1个红球和4个白球，每个球除颜色外都相同，从中任
取一球是白球
D. 掷一枚质地均匀的硬币，硬币落下后朝上的是正面
计图，则符合这一结果的试验最有可能的是( )
【点拨】A.在“石头、剪刀、布”的游戏中，
小明随机出的是“石头”的概率为 ，不符合题
意；
B.一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任意抽出一张
牌，花色是梅花的概率为 ，不符合题意；
C.不透明袋子中有1个红球和4个白球，每个球
除颜色外都相同，从中任取一球是白球的概率
为 ，不符合题意；
D.掷一枚质地均匀的硬币，硬币落下后朝上的
是正面的概率为 ，符合题意.故选D.
返回
4.[2024徐州期中] 下表是某芯片生产厂质检部门对该厂生产
的一批芯片质量检测的情况.
抽取的芯片数 500 1 000 1 500 2 000 4 000
合格数 472 948 1 425 3 804
合格的频率 0.948 0.950 0.949 0.951
（1）______， _______.
0.944
1 898
（2）从这批芯片中任意抽取一个，是合格品的概率约是
_____.（精确到 ）
0.95
（3）如果要生产4 750个合格的芯片，那么该厂估计要生产
多少个芯片？
【解】 （个）.
所以该厂估计要生产5 000个芯片.
返回
考点3 概率的计算与应用
5. [2024广西] 不透明袋子中装有白球2个，红球1个，这些球
除了颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球，取出白球
的概率是( )
D
A. 1 B. C. D.
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（第6题）
6. [2024烟台期中] 如图是一个转盘，扇形1，
2，4的圆心角分别是 ， ， ，任
意转动转盘，指针指向扇形3的概率是( )
B
A. B. C. D.
返回
（第7题）
7. [2024临沂期中] 如图，是小明自制的正方
形飞镖盘，若他每次投掷飞镖都能扎中飞镖盘，
则小明随机投掷一枚飞镖，恰好扎中阴影区域
的概率是( )
B
A. B. C. D.
【点拨】小明随机投掷一枚飞镖，恰好扎中阴影区域的概率
是 .故选B.
返回
8.[2024湖南] 有四枚材质、大小、背面图案完全相同的中国
象棋棋子“ ”“ ”“ ”“ ”，将它们背面朝上任意
放置，从中随机翻开一枚，恰好翻到棋子“ ”的概率是__.
返回
9.有五张正面分别标有数 ，0，1，3，4的不透明卡片，它
们除数字不同外其余全部相同.现将它们背面朝上，洗匀后从
中任取一张，将卡片上的数记为，则使关于 的方程
的解是正整数的概率为__.
【点拨】将原方程整理可得，所以当 或4时，方
程的解为正整数，所以使关于 的方程
的解是正整数的概率为 .
返回
10.一个质地均匀的正方体骰子，其中一个面上标有“1”，两
个面上标有“2”，三个面上标有“3”，将这个骰子掷出后.
（1）求“2”朝上的概率.
【解】因为共有6个面，其中两个面上标有“2”，
所以（“2”朝上） .
（2）求朝上概率最大的数.
因为共有6个面，其中一个面上标有“1”，两个面上标有“2”，
三个面上标有“3”，所以朝上概率最大的数是3.
（3）如果规定：朝上的面的数为1或2时，甲胜；朝上的面
的数为3时，乙胜.那么甲、乙谁获胜的机会大些？
【解】因为（朝上的面的数为“1”或“2”） ，
（朝上的面的数为“3”）， ，
所以甲、乙获胜的机会相同.
返回
考点4 判断游戏的公平性
11.[2024达州期末] 如图是一大一小的两个
可以自由转动的转盘，甲盘被平均分成6等
份，乙盘被平均分成4等份，每个转盘均被
涂上红、黄、蓝三种颜色，转动转盘，当转盘停止后
（指针对准分界线时重转），指针指向的颜色即为转出的颜
色，小明和小颖参与游戏，小明转动甲盘，小颖转动乙盘.
（1）小明转出的颜色为红色的概率为_ _.
（2）小明转出的颜色为黄色的概率为_ _.
（3）小颖转出的颜色为黄色的概率为_ _.
（4）两人均转动转盘，如果转出的颜
色为红色，则胜出，你认为该游戏公
平吗？为什么？
【解】不公平.因为小明转出的颜色为红色的概率为 ，小颖
转出的颜色为红色的概率为， ，所以不公平.
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思想 方程思想
12.某市的一个景点为吸引游客，设置了一种游戏，其规则如
下：凡参与游戏的游客从一个装有12个红球和若干个白球
（每个球除颜色不同外，其他都相同）的不透明纸箱中，随
机摸出一个球，如果摸到红球就可免费得到一个景点吉祥物.
据统计，参与这种游戏的游客共有60 000人，景点一共为参
与该游戏的游客免费发放了景点吉祥物15 000个.
（1）求参与该游戏可免费得到景点吉祥物的概率；
【解】 .
所以参与该游戏可免费得到景点吉祥物的概率为0.25.
（2）请你估计纸箱中白球的数量.
设纸箱中白球有 个，
由（1）可知，随机摸出一个球是红球的概率约为 ，
则，解得 .
所以估计纸箱中白球有36个.
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阿木提江·塔西吐木尔
托克逊县第一中学
13899326086
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第三章 概率初步
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第三章 概率初步 章末复习
一、复习目标
构建完整的概率初步知识体系，明确随机事件、概率的定义、计算方法等核心知识点之间的逻辑联系。
熟练掌握随机事件的分类、概率的基本性质，以及不同情境下概率的计算方法（如简单概率、摸球概率、面积相关概率）。
能运用概率知识解决生活中的实际问题，提高分析问题、解决问题的能力和逻辑推理能力。
体会概率在现实生活中的应用价值，培养随机观念和数据分析意识，为后续深入学习概率知识奠定基础。
二、知识体系构建
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三、核心知识梳理
（一）随机事件的分类
必然事件：在一定条件下，必然会发生的事件。概率为\(1\)，即\(P(\text{ }) = 1\)。
示例：太阳从东方升起、三角形内角和为\(180^{\circ}\)。
不可能事件：在一定条件下，必然不会发生的事件。概率为\(0\)，即\(P(\text{ è }) = 0\)。
示例：掷骰子掷出\(7\)点、水中捞月。
随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。概率取值范围为\(0 < P(\text{é }) < 1\)。
示例：抛硬币正面朝上、明天会下雨。
（二）概率的定义与性质
概率的定义：刻画随机事件发生可能性大小的数值，记作\(P(A)\)。
频率与概率的关系：
频率是通过试验得到的，具有随机性；概率是事件本身的属性，是确定的常数。
在大量重复试验中，随机事件发生的频率会逐渐稳定在该事件的概率附近，因此可以用频率估计概率。
概率的基本性质：
对任意事件\(A\)，有\(0 \leq P(A) \leq 1\)。
必然事件的概率为\(1\)，不可能事件的概率为\(0\)。
若事件\(A\)与事件\(B\)互为对立事件，则\(P(A) + P(B) = 1\)，即\(P(A) = 1 - P(B)\)。
（三）概率的计算方法
简单等可能事件的概率：
适用条件：试验结果有限且每个结果出现的可能性相等。
计算公式：\(P(A)=\frac{\text{ }A\text{ °}}{\text{ è °}}=\frac{m}{n}\)。
示例：掷均匀骰子掷出点数为\(2\)的概率为\(\frac{1}{6}\)。
摸球相关的概率：
放回摸球：每次摸球后将球放回，总球数不变，各次结果独立。
计算公式：多次摸球概率可直接相乘（如两次都摸到红球的概率为\(P_1 \times P_2\)）。
不放回摸球：每次摸球后球不放回，总球数递减，后一次结果受前一次影响。
计算公式：需根据前次结果调整后次结果数（如第一次摸红后第二次摸红的概率为\(\frac{m - 1}{n - 1}\)）。
与面积相关的概率：
适用条件：试验结果无限且在几何区域内均匀分布，概率与区域面积相关。
计算公式：\(P(A)=\frac{\text{ }A\text{ é § }}{\text{ é § }}=\frac{S_A}{S_{\text{ }}}\)。
示例：转盘游戏中指针停在红色区域的概率为红色区域面积与转盘总面积之比。
四、典型题型解析
题型一：随机事件的判断与概率基本性质
例 1：下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A. 抛掷一枚硬币，正面朝上
B. 打开电视，正在播放广告
C. 三角形的外角和为\(360^{\circ}\)
D. 明天会下雨
解：
A 选项：抛掷硬币正面朝上是随机事件；B 选项：打开电视播放广告是随机事件；C 选项：三角形外角和一定是\(360^{\circ}\)，是必然事件；D 选项：明天会下雨是随机事件。故选 C。
例 2：已知事件\(A\)与事件\(B\)互为对立事件，且\(P(A) = 0.6\)，则\(P(B) = \)______。
解：
因为事件\(A\)与事件\(B\)互为对立事件，所以\(P(A) + P(B) = 1\)，则\(P(B) = 1 - P(A) = 1 - 0.6 = 0.4\)。
题型二：简单等可能事件的概率计算
例 3：一个不透明的袋子里装有标号为 1、2、3、4 的 4 个完全相同的小球，从中任意摸出一个球，求摸到标号为偶数的球的概率。
解：
所有可能的结果总数为\(4\)（标号 1、2、3、4）。
事件 “摸到标号为偶数的球” 包含的结果有 2 个（标号 2、4）。
所以，摸到标号为偶数的球的概率\(P = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)。
题型三：摸球相关的概率计算
例 4：一个袋子里装有 3 个红球和 2 个白球，这些球除颜色外完全相同。
（1）从中任意摸出一个球，放回后再摸一个，求两次都摸到白球的概率。
（2）从中任意摸出两个球（不放回），求摸到一个红球和一个白球的概率。
解：
（1）放回摸球时，第一次摸到白球的概率为\(\frac{2}{5}\)，第二次摸到白球的概率也为\(\frac{2}{5}\)。
两次都摸到白球的概率\(P = \frac{2}{5} \times \frac{2}{5} = \frac{4}{25}\)。
（2）不放回摸球时，所有可能的结果总数为\(5 \times 4 = 20\)（考虑顺序）。
事件 “摸到一个红球和一个白球” 包含两种情况：“第一次红第二次白” 和 “第一次白第二次红”。
“第一次红第二次白” 的结果数为\(3 \times 2 = 6\)；“第一次白第二次红” 的结果数为\(2 \times 3 = 6\)。
所以，事件包含的结果数为\(6 + 6 = 12\)，概率\(P = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}\)。
题型四：与面积相关的概率计算
例 5：一个长方形广场的长为 100m，宽为 80m，广场内有一个半径为 10m 的圆形花坛。随机在广场上选择一点，求该点落在花坛内的概率。
解：
广场的总面积\(S_{\text{ }} = 100 \times 80 = 8000\ \text{m}^2\)。
圆形花坛的面积\(S_{\text{è ± }} = \pi \times 10^2 = 100\pi\ \text{m}^2\)。
所以，该点落在花坛内的概率\(P = \frac{S_{\text{è ± }}}{S_{\text{ }}} = \frac{100\pi}{8000} = \frac{\pi}{80} \approx 0.039\)。
题型五：概率的综合应用
例 6：某商场举办抽奖活动，抽奖箱内有质地相同的 10 个球，其中红球 1 个（一等奖），黄球 3 个（二等奖），白球 6 个（三等奖）。顾客从中任意摸出一个球，求：
（1）摸到一等奖的概率；
（2）摸到二等奖或三等奖的概率。
解：
（1）所有可能的结果总数为\(10\)，摸到一等奖（红球）的结果数为\(1\)。
所以，摸到一等奖的概率\(P(\text{ }) = \frac{1}{10}\)。
（2）方法一：直接计算。
摸到二等奖（黄球）的结果数为\(3\)，摸到三等奖（白球）的结果数为\(6\)。
事件 “摸到二等奖或三等奖” 包含的结果数为\(3 + 6 = 9\)，概率\(P = \frac{9}{10}\)。
方法二：利用对立事件。
“摸到二等奖或三等奖” 的对立事件是 “摸到一等奖”。
所以，\(P = 1 - P(\text{ }) = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}\)。
五、易错点警示
事件类型判断错误：混淆必然事件、不可能事件和随机事件，如认为 “明天会下雪” 是必然事件，忽略其不确定性。
频率与概率混淆：将某次试验的频率直接当作概率，如抛 10 次硬币正面朝上 6 次，就认为正面朝上的概率是 0.6，忽略概率是频率的稳定值。
摸球方式忽略：在计算摸球概率时，未区分放回与不放回，导致结果数计算错误。例如，将不放回摸球的总结果数当作不变的总数。
面积计算失误：在与面积相关的概率中，规则图形面积公式误用（如圆的面积用直径计算）、单位不统一或区域范围判断错误。
对立事件应用错误：不能准确识别对立事件，导致利用对立事件计算时出现偏差，如将 “至少一个红球” 的对立事件错误认为是 “最多一个红球”。
等可能条件忽视：在非等可能事件中误用 “\(\frac{m}{n}\)” 公式计算概率，如认为抛瓶盖时盖面朝上的概率是\(\frac{1}{2}\)，忽略其非对称性。
六、解题方法总结
事件分类法：判断事件类型时，根据事件是否必然发生、必然不发生或可能发生，确定其为必然事件、不可能事件或随机事件。
概率公式选择法：根据试验情境选择合适的概率计算公式：
有限等可能事件用 “结果数之比” 公式。
摸球问题区分放回与不放回，分别计算结果数。
无限均匀分布的几何区域用 “面积之比” 公式。
对立事件简化法：当直接计算复杂事件概率困难时，利用对立事件的概率关系（\(P(A) = 1 - P(\text{é }A)\)）简化计算，如 “至少一个” 的对立事件是 “一个都没有”。
图形分析法：在与面积相关的概率中，通过图形分析明确总区域和事件区域，准确计算面积后套用公式。
验证法：计算概率后，检查结果是否在 0 到 1 之间，结合实际情境判断合理性，避免计算错误。
七、章末综合测试
一、选择题
下列事件中，属于不可能事件的是（ ）
A. 抛掷一枚均匀的骰子，掷出点数为 6
B. 射击运动员射击一次，命中靶心
C. 在一个标准大气压下，水加热到\(50^{\circ}\mathrm{C}\)沸腾
D. 明天太阳从东方升起
一个不透明的袋子里装有 2 个红球和 3 个绿球，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是（ ）
A. \(\frac{2}{5}\) B. \(\frac{3}{5}\) C. \(\frac{1}{2}\) D. \(\frac{1}{3}\)
已知事件\(A\)的概率\(P(A) = 0.3\)，则事件\(A\)的对立事件的概率是（ ）
A. 0.3 B. 0.7 C. 0.1 D. 0.9
一个转盘被等分成 6 个扇形，颜色分别为红、红、黄、黄、蓝、蓝。转动转盘，指针停在红色区域的概率是（ ）
A. \(\frac{1}{6}\) B. \(\frac{1}{3}\) C. \(\frac{1}{2}\) D. \(\frac{2}{3}\)
一个长方形的长为 6cm，宽为 4cm，内部有一个面积为\(4\ \text{cm}^2\)的三角形区域。随机向长方形内投一点，该点落在三角形区域内的概率是（ ）
A. \(\frac{1}{6}\) B. \(\frac{1}{4}\) C. \(\frac{1}{3}\) D. \(\frac{1}{2}\)
二、填空题
必然事件的概率是______，不可能事件的概率是______。
一个袋子里装有 5 个相同的球，分别标有数字 1-5，从中任意摸出一个球，摸到标有奇数数字的球的概率是______。
掷一枚均匀的骰子，掷出点数为合数的概率是______（提示：1-6 中合数是 4、6）。
一个圆形靶子的半径为 10cm，靶子上有一个面积为\(25\pi\ \text{cm}^2\)的扇形区域，向靶子投镖（镖一定落在圆内），镖落在扇形区域内的概率是______。
一个袋子里装有 3 个白球和 2 个黑球，从中任意摸出两个球（不放回），摸到两个黑球的概率是______。
三、解答题
一个不透明的盒子里装有 4 个红球、2 个黄球和 1 个蓝球，这些球除颜色外完全相同。从中任意摸出一个球，求：
（1）摸到红球的概率；
（2）摸到不是蓝球的概率。
一个袋子里装有标号为 1、2、3 的 3 个小球，从中任意摸出一个球，记下标号后放回，再摸出一个球。求两次摸出的球的标号之和为 5 的概率。
一个边长为 8m 的正方形场地中，有一个长为 4m、宽为 2m 的长方形舞台。随机在场地中选择一点，求该点不在舞台区域的概率。
某超市举办抽奖活动，抽奖箱内有 100 张奖券，其中一等奖 10 张，二等奖 20 张，其余为三等奖。顾客从中任意抽取一张奖券，求抽到一等奖或二等奖的概率。
一个不透明的袋子里装有 2 个红球和 3 个白球，从中任意摸出两个球（不放回），求至少摸到一个红球的概率。
八、总结与提升
概率初步是研究随机现象的基础，通过本章的学习，我们掌握了随机事件的分类、概率的定义与性质，以及不同情境下概率的计算方法。核心在于理解概率是刻画事件发生可能性大小的数值，掌握 “结果数之比”“面积之比” 等计算方法，并能区分放回与不放回等不同试验情境。
在解决概率问题时，要准确判断事件类型，选择合适的计算方法，注意对立事件的应用以简化计算。同时，要避免混淆频率与概率、忽视等可能条件等常见错误。概率知识在生活中应用广泛，如游戏设计、风险评估、统计决策等，学好本章内容有助于我们更好地理解随机现象，用数学知识解决实际问题。
通过章末复习，希望同学们能梳理知识脉络，巩固薄弱环节，提升解题能力，为后续学习更复杂的概率知识和统计知识打下坚实基础。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
一、事件的分类及其概念
事件
确定事件
随机事件：在一定条件下进行可重复试验时，可能发生也可能不发生的事件
必然事件：必然会发生的事件
不可能事件：必然不会发生的事件
随机事件发生的可能性是有大有小的
二、用频率估计概率
用频率估计概率
一般地，在大量重复试验中，如果事件 A 发生的频率 稳定于某个常数，那么我们可以用事件 A 发生的频率来估计事件 A 发生的概率.
概率
不可能事件发生的概率，P(不可能事件) = 0
必然事件发生的概率，P(必然事件) = 1
刻画一个随机事件 A 发生的可能性大小的数值，叫做随机事件 A 发生的概率，记为 P(A)
如果在一次试验中，有 n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包括其中的 m 种结果，那么事件 A 发生的
概率 P(A) = ，且 0≤P(A)≤1
三、概率的概念及意义
四、等可能事件概率的求法
1. 与摸球相关的等可能事件概率的求法
P (摸出某种颜色球)
该种颜色的球的数量
球的总数
2.与面积相关的等可能事件概率的求法：
该事件所占区域的面积
所求事件的概率 = ——————————— .
总面积
3.与时间相关的等可能事件概率的求法：
该事件所占时间长度
所求事件的概率 = —————————— .
总时长
例1 在成语“瓮中捉鳖”、“拔苗助长”、“守株待兔”和“水中捞月”描述的事件中，分别是什么事件？
解：“瓮中捉鳖”是必然事件，“拔苗助长”和“水中捞月”是不可能事件，“守株待兔”是不确定事件.
考点一 事件的判断和概率的意义
1.“闭上眼睛从布袋中随机地摸出 1 个球，其中摸出红球的概率恰是 ”的意思是（ ）
A．布袋中有 2 个红球和 5 个其他颜色的球
B．如果摸球次数很多，那么平均每摸 7 次，就有 2 次
摸中红球
C．摸 7 次，就有 2 次摸中红球
D．摸 7 次，就有 5 次摸不中红球
B
针对训练
例2 某篮球运动员在最近的几场大赛中罚球投篮的结果如下：
解：观察这位运动员多次进球的频率可以发现在 0.75 上下徘徊，于是可以估计他投篮一次进球的概率是 0.75.
投篮次数 n 8 10 12 9 16 10
进球次数 m 6 8 9 7 12 7
进球率
(1) 把表格补充完整；
(2) 这位运动员投篮一次，进球的概率大约是多少？
0.75
0.8
0.7
0.75
0.75
考点二 用频率估计概率
2. 在一个不透明的布袋中，有红色、黑色、白色球共 40 个，这些球除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现从中摸到红色球、黑色球的频率稳定在 15％ 和 45％，则布袋中白色球的个数最有可能是（ ）
A. 24 B. 18 C. 16 D. 6
C
针对训练
考点三 等可能事件的概率
例3 如图，每个小正方形边长均相同，假设可以随意在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是_______.
解析：设每个小正方形的边长为 1，
则整个大正方形的面积为 3×3 = 9，
阴影部分的面积为 9 - 1×1 -
针对训练
3. 如图，转盘被等分成 16 个扇形，请在转盘的适当地方涂上颜色，使得自由转动这个转盘，当它停止转动时，指针落在红色区域的概率为 ，蓝色区域的概率为 ，黄色区域的概率为 .
4. (丹东·期中)如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针在数字“Ⅱ”所示区域内的概率是( )
Ⅱ
Ⅰ
Ⅲ
Ⅳ
120°
60°
45°
分析：由扇形统计图可得，
指针落在数字“Ⅱ”所示区域内的概率是：
A
5. 一个小孩子将 10 盒蔬菜的标签全部撕掉了. 现在每个盒子看上去都一样，但是她知道有三盒玉米，两盒菠菜，四盒豆角，一盒土豆. 她随机地拿出一盒并打开它.
（2）盒子里面是豆角的概率是多少？
（3）盒子里面不是菠菜的概率是多少？
（4）盒子里面是豆角或土豆的概率是多少？
（1） 盒子里面是玉米的概率是多少？
考点1 事件类型的判断
1. [2024烟台期中] 下列说法中，正确的是( )
B
A. “三角形的内角和是 ”是随机事件
B. “两直线平行，同位角相等”是必然事件
C. “概率为 的事件”是不可能事件
D. 任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的次数一定
是5次
返回
2. 下列语句描述的事件中，是随机事件的为
( )
D
A. 水能载舟，亦能覆舟 B. 只手遮天，偷天换日
C. 瓜熟蒂落，水到渠成 D. 心想事成，万事如意
返回
考点2 频率与概率
3. [2024宝鸡期末] 数学课上老师带领学生
做“频率的稳定性”试验时，统计了某结果
出现的频率，并绘制了如图所示的折线统
D
A. 在玩“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”
B. 一副去掉大小王的普通扑克牌（52张，四种花色）洗匀后，从中任抽
一张牌，花色是梅花
C. 不透明袋子中有1个红球和4个白球，每个球除颜色外都相同，从中任
取一球是白球
D. 掷一枚质地均匀的硬币，硬币落下后朝上的是正面
计图，则符合这一结果的试验最有可能的是( )
【点拨】A.在“石头、剪刀、布”的游戏中，
小明随机出的是“石头”的概率为 ，不符合题
意；
B.一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任意抽出一张
牌，花色是梅花的概率为 ，不符合题意；
C.不透明袋子中有1个红球和4个白球，每个球
除颜色外都相同，从中任取一球是白球的概率
为 ，不符合题意；
D.掷一枚质地均匀的硬币，硬币落下后朝上的
是正面的概率为 ，符合题意.故选D.
返回
4.[2024徐州期中] 下表是某芯片生产厂质检部门对该厂生产
的一批芯片质量检测的情况.
抽取的芯片数 500 1 000 1 500 2 000 4 000
合格数 472 948 1 425 3 804
合格的频率 0.948 0.950 0.949 0.951
（1）______， _______.
0.944
1 898
（2）从这批芯片中任意抽取一个，是合格品的概率约是
_____.（精确到 ）
0.95
（3）如果要生产4 750个合格的芯片，那么该厂估计要生产
多少个芯片？
【解】 （个）.
所以该厂估计要生产5 000个芯片.
返回
考点3 概率的计算与应用
5. [2024广西] 不透明袋子中装有白球2个，红球1个，这些球
除了颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球，取出白球
的概率是( )
D
A. 1 B. C. D.
返回
（第6题）
6. [2024烟台期中] 如图是一个转盘，扇形1，
2，4的圆心角分别是 ， ， ，任
意转动转盘，指针指向扇形3的概率是( )
B
A. B. C. D.
返回
（第7题）
7. [2024临沂期中] 如图，是小明自制的正方
形飞镖盘，若他每次投掷飞镖都能扎中飞镖盘，
则小明随机投掷一枚飞镖，恰好扎中阴影区域
的概率是( )
B
A. B. C. D.
【点拨】小明随机投掷一枚飞镖，恰好扎中阴影区域的概率
是 .故选B.
返回
8.[2024湖南] 有四枚材质、大小、背面图案完全相同的中国
象棋棋子“ ”“ ”“ ”“ ”，将它们背面朝上任意
放置，从中随机翻开一枚，恰好翻到棋子“ ”的概率是__.
返回
9.有五张正面分别标有数 ，0，1，3，4的不透明卡片，它
们除数字不同外其余全部相同.现将它们背面朝上，洗匀后从
中任取一张，将卡片上的数记为，则使关于 的方程
的解是正整数的概率为__.
【点拨】将原方程整理可得，所以当 或4时，方
程的解为正整数，所以使关于 的方程
的解是正整数的概率为 .
返回
10.一个质地均匀的正方体骰子，其中一个面上标有“1”，两
个面上标有“2”，三个面上标有“3”，将这个骰子掷出后.
（1）求“2”朝上的概率.
【解】因为共有6个面，其中两个面上标有“2”，
所以（“2”朝上） .
（2）求朝上概率最大的数.
因为共有6个面，其中一个面上标有“1”，两个面上标有“2”，
三个面上标有“3”，所以朝上概率最大的数是3.
（3）如果规定：朝上的面的数为1或2时，甲胜；朝上的面
的数为3时，乙胜.那么甲、乙谁获胜的机会大些？
【解】因为（朝上的面的数为“1”或“2”） ，
（朝上的面的数为“3”）， ，
所以甲、乙获胜的机会相同.
返回
考点4 判断游戏的公平性
11.[2024达州期末] 如图是一大一小的两个
可以自由转动的转盘，甲盘被平均分成6等
份，乙盘被平均分成4等份，每个转盘均被
涂上红、黄、蓝三种颜色，转动转盘，当转盘停止后
（指针对准分界线时重转），指针指向的颜色即为转出的颜
色，小明和小颖参与游戏，小明转动甲盘，小颖转动乙盘.
（1）小明转出的颜色为红色的概率为_ _.
（2）小明转出的颜色为黄色的概率为_ _.
（3）小颖转出的颜色为黄色的概率为_ _.
（4）两人均转动转盘，如果转出的颜
色为红色，则胜出，你认为该游戏公
平吗？为什么？
【解】不公平.因为小明转出的颜色为红色的概率为 ，小颖
转出的颜色为红色的概率为， ，所以不公平.
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思想 方程思想
12.某市的一个景点为吸引游客，设置了一种游戏，其规则如
下：凡参与游戏的游客从一个装有12个红球和若干个白球
（每个球除颜色不同外，其他都相同）的不透明纸箱中，随
机摸出一个球，如果摸到红球就可免费得到一个景点吉祥物.
据统计，参与这种游戏的游客共有60 000人，景点一共为参
与该游戏的游客免费发放了景点吉祥物15 000个.
（1）求参与该游戏可免费得到景点吉祥物的概率；
【解】 .
所以参与该游戏可免费得到景点吉祥物的概率为0.25.
（2）请你估计纸箱中白球的数量.
设纸箱中白球有 个，
由（1）可知，随机摸出一个球是红球的概率约为 ，
则，解得 .
所以估计纸箱中白球有36个.
返回
谢谢观看！
阿木提江·塔西吐木尔
托克逊县第一中学
13899326086
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