第四章 三角形【章末复习】 课件（共40张PPT）--新2024北师大版七年级数学下册课件
文档属性
| 名称 | 第四章 三角形【章末复习】 课件（共40张PPT）--新2024北师大版七年级数学下册课件 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 7.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-24 00:00:00 | ||
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文档简介
(共40张PPT)
章末复习
第四章 三角形
新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
买合苏迪古丽·买买提
托克逊县第二中学
15909954880
第四章 三角形 章末复习
一、知识框架梳理
二、核心知识点回顾
（一）三角形的基本概念与分类
定义：三角形是由三条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形。三角形用符号 “△” 表示，顶点为 A、B、C 的三角形记作△ABC。
分类：
按边分类：不等边三角形（三边都不相等）、等腰三角形（至少两边相等，含等边三角形）。
按角分类：锐角三角形（三个角都是锐角）、直角三角形（有一个角是直角）、钝角三角形（有一个角是钝角）。
重要线段：
中线：连接顶点与对边中点的线段，三条中线交于重心，重心到顶点距离是到对边中点距离的 2 倍，中线分三角形为面积相等的两部分。
角平分线：平分内角且交对边于一点的线段，三条角平分线交于内心，内心到三边距离相等。
高：从顶点向对边所在直线作的垂线，三条高所在直线交于垂心，锐角三角形高在内部，直角三角形高与直角边重合，钝角三角形高有两条在外部。
（二）三角形的性质
三边关系：
定理：三角形任意两边之和大于第三边（\(a + b > c\)，\(a + c > b\)，\(b + c > a\)）。
推论：三角形任意两边之差小于第三边（\(|a - b| < c\)，\(|a - c| < b\)，\(|b - c| < a\)）。
应用：判断三条线段能否组成三角形（只需验证较短两边之和大于最长边）；求第三边取值范围（两边之差 < 第三边 < 两边之和）。
内角和与外角性质：
内角和定理：三角形三个内角的和等于 180°。
外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和；三角形的外角大于任意一个与它不相邻的内角。
（三）全等三角形
定义与表示：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，记作 “△ABC≌△DEF”，对应顶点字母需写在对应位置。
性质：
对应边相等（\(AB = DE\)，\(BC = EF\)，\(AC = DF\)）。
对应角相等（\(\angle A = \angle D\)，\(\angle B = \angle E\)，\(\angle C = \angle F\)）。
对应中线、角平分线、高相等，周长和面积相等。
判定方法：
SSS：三边对应相等的两个三角形全等。
SAS：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（注意：角必须是两边的夹角，SSA 不能判定全等）。
ASA：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
AAS：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
（四）问题解决策略 —— 特殊化
核心思想：通过研究特殊情况（特殊图形、特殊值、特殊位置）发现规律，简化问题。
应用场景：
探索命题真假（如验证 SSA 不能判定全等）。
简化复杂图形分析（如用等边三角形验证一般性结论）。
辅助开放型问题条件补充（如假设等腰三角形添加全等条件）。
注意事项：特殊化需保留问题核心条件，需结合一般性证明，避免将特殊结论直接等同于一般结论。
三、易混淆概念辨析
三角形的角平分线与角的平分线：三角形的角平分线是线段（顶点到对边交点），角的平分线是射线，二者端点不同，范围不同。
全等三角形的 “对应” 与 “对边 / 对角”：“对应” 指全等三角形中互相重合的元素（如对应边、对应角），由全等符号的顶点顺序确定；“对边 / 对角” 指三角形中边与角的相对位置（如边 BC 的对角是∠A），与全等无关。
全等判定方法的适用条件：
SSS 需三边对应相等，无需角的条件。
SAS 必须是 “两边及夹角”，而非 “两边及一角”（SSA 不成立）。
ASA 与 AAS 的区别：ASA 是 “两角及夹边”，AAS 是 “两角及一角对边”，二者可通过内角和定理互相推导。
三角形的高与垂线：高是线段（顶点到垂足），垂线是直线，高是垂线的一部分，但垂线不一定是高（需过顶点且垂直于对边）。
四、典型例题解析
（一）三角形三边关系应用
例 1：若三角形的两边长分别为 3 和 5，第三边长为整数，求第三边的最大值和最小值。
解：
设第三边长为\(x\)，根据三边关系：\(5 - 3 < x < 5 + 3\)，即\(2 < x < 8\)。
∵\(x\)为整数，∴\(x\)的最大值为 7，最小值为 3。
（二）全等三角形判定与性质综合
例 2：如图 1，AB = CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为 E、F，CE = BF。求证：AE = DF。
[此处插入图 1：AE⊥BC，DF⊥BC，CE=BF 的示意图]
证明：
∵CE = BF（已知）
∴CE - EF = BF - EF（等式性质），即 CF = BE。
∵AE⊥BC，DF⊥BC（已知）
∴∠AEB = ∠DFC = 90°（垂直定义）。
在△AEB 和△DFC 中：\(
\begin{cases}
AB = CD · \\
BE = CF · è \\
AEB = DFC · è
\end{cases}
\)
∴△AEB≌△DFC（HL，直角三角形特殊判定）
∴AE = DF（全等三角形对应边相等）。
（三）特殊化策略的应用
例 3：判断命题 “三角形的三条高交于一点” 是否正确，并说明理由。
解：
特殊情况 1：锐角三角形，三条高交于三角形内部一点，命题成立。
特殊情况 2：直角三角形，三条高交于直角顶点，命题成立。
特殊情况 3：钝角三角形，三条高所在直线交于三角形外部一点，命题成立。
结论：该命题在所有三角形中均成立，因此正确。
（四）开放型问题求解
例 4：如图 2，在△ABC 和△DEC 中，已知 AB = DE，要使△ABC≌△DEC，还需添加什么条件？（写出两种不同类型的条件）
[此处插入图 2：△ABC 与△DEC 有公共顶点 C 的示意图]
解：
添加条件 “AC = DC，BC = EC”，依据 SSS 判定全等。
添加条件 “∠A = ∠D，∠ACB = ∠DCE”，依据 ASA 判定全等。
添加条件 “∠B = ∠E，BC = EC”，依据 SAS 判定全等。
五、常见易错点警示
三边关系判断错误：忽略 “任意两边之和大于第三边” 的完整性，仅验证一组边的关系；求第三边范围时遗漏端点的严格不等关系（如写成\(\leq\)或\(\geq\)）。
全等对应关系混乱：书写全等符号时对应顶点顺序错误，导致后续对应边、对应角判断错误；误用 SSA 作为判定方法（如认为两边及其中一边的对角相等可证全等）。
特殊线段概念混淆：混淆中线、角平分线、高的定义（如将角平分线当作射线，或将高的位置局限于三角形内部）；忽略重心、内心、垂心的位置特征（如认为钝角三角形的垂心在内部）。
特殊化策略滥用：仅通过单一特殊情况得出一般性结论（如用等边三角形证明所有三角形的高等于中线）；特殊化时改变问题核心条件（如验证全等时忽略边或角的对应关系）。
推理步骤不完整：证明全等时遗漏条件（如公共边、对顶角等隐含条件未明确写出）；应用性质时未先证明三角形全等，直接得出边或角相等。
六、章末检测题
（一）选择题
下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A. 1，2，3 B. 3，4，7 C. 5，6，10 D. 5，5，11
在△ABC 中，∠A = 50°，∠B = 60°，则∠C 的度数是（ ）
A. 50° B. 60° C. 70° D. 80°
下列条件中，不能判定△ABC≌△DEF 的是（ ）
A. AB = DE，BC = EF，AC = DF B. ∠A = ∠D，AB = DE，∠B = ∠E
C. AB = DE，AC = DF，∠B = ∠E D. ∠A = ∠D，∠B = ∠E，BC = EF
（二）填空题
等腰三角形的两边长分别为 4 和 9，则第三边长为______。
在△ABC 中，AD 是中线，若△ABD 的面积为 6，则△ABC 的面积为______。
如图 3，△ABC≌△DEF，∠A = 50°，∠B = 60°，则∠F = ______°。
（三）解答题
如图 4，点 B、F、C、E 在同一直线上，BF = CE，AB∥DE，AB = DE。求证：AC = DF。
已知△ABC 中，∠B = 50°，∠C = 70°，AD 是角平分线，求∠ADB 的度数。
用特殊化策略探究：“三角形的一条中线将三角形分成两个全等的三角形” 这一命题是否正确，并说明理由。
七、复习总结与提升建议
知识整合：本章核心是三角形的性质与全等判定，需理清 “概念 — 性质 — 判定 — 应用” 的逻辑链条，明确三边关系、内角和定理与全等判定的内在联系（如 AAS 由 ASA 和内角和定理推导）。
方法提炼：
几何证明需注重条件的完整性和对应关系的准确性，书写时按 “已知 — 推导 — 结论” 的规范格式进行。
复杂问题可通过分解图形、添加辅助线（如连接公共边、作高）构造全等三角形，或用特殊化策略简化分析。
能力提升：多进行开放型问题训练（如补充全等条件），培养发散思维；通过变式练习（如改变图形位置或角度）深化对判定方法的理解；注重几何语言的严谨性，避免因表述不清导致错误。
通过本章复习，应能熟练运用三角形的性质解决边长、角度计算问题，准确应用 SSS、SAS、ASA、AAS 判定三角形全等，并能结合特殊化策略优化解题过程。三角形是几何的基础，其知识和方法将在后续四边形、相似形等学习中持续应用，需扎实掌握。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
一. 三角形的有关性质
1. 不在同一直线上的三条线段首尾_________所组成
的图形叫做三角形. 以点 A，B，C 为顶点的三角形
记为 ，读作“三角形 ABC”.
顺次相接
△ABC
2. 三角形三个内角的和等于______°.
180
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
按角分
按边分
三边各不相等的三角形
等腰三角形
5. 三角形的三边关系
三角形任意两边之和大于第三边；
三角形任意两边之差小于第三边.
3. 三角形的分类
4. 直角三角形的两个锐角互余.
等边三角形
6.三角形的三条角平分线交于一点；
三角形三条中线交于一点；
三角形的三条高所在的直线交于一点.
二. 全等三角形
1. 全等三角形的性质：
对应角相等，对应边相等
3. 三角形的稳定性的依据：
SSS
2. 全等三角形的判定
ASA
SSS
SAS
AAS
例1 已知两条线段的长分别是 3 cm、8 cm ，要想拼成一个三角形，且第三条线段 a 的长为奇数，问第三条线段应取多长？
解： 由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得 8－3 < a < 8 + 3，所以 5 < a < 11.
又因为第三边长为奇数,所以第三条线段应取 7 cm 或 9 cm.
知识点一 三角形的三边关系
1.已知等腰三角形的两边长分别为 10 和 4 ，则该三角形的周长是 ．
24
【方法归纳】等腰三角形没有指明腰和底时要分类讨论，但也别忘了用三边关系检验能否组成三角形这一重要解题环节.
针对训练
例2 如图，CD 是△ABC 的角平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC 的度数．
解：因为∠A＝50°，∠B＝70°，
知识点二 三角形的内角和
所以∠ACB＝180°－∠A－∠B＝180°－50°－70°＝60°.
因为 CD 是∠ACB 的平分线，
所以∠BCD＝ ∠ACB＝ ×60°＝30°.
因为 DE∥BC，
所以∠EDC＝∠BCD＝30°.
所以∠BDC＝180°－∠B－∠BCD＝80°.
2. 在△ABC 中，三个内角∠A，∠B，∠C 满足∠B－∠A =∠C－∠B，则∠B = °.
60
针对训练
解析：因为点 D 是 AC 的中点，所以 AD＝ AC，
例3 如图，在△ABC 中，E 是 BC 上的一点，EC＝2BE，点 D 是 AC 的中点，设△ABC，△ADF 和△BEF 的面积分别为 S△ABC，S△ADF 和 S△BEF，且 S△ABC＝12，
则 S△ADF－S△BEF＝________．
知识点三 三角形的角平分线、中线、高
2
因为 S△ABC＝12，
所以 S△ABD＝ S△ABC＝ ×12＝6.
因为 EC＝2BE，S△ABC＝12，
三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比．
方法总结
所以 S△ABE＝ S△ABC＝ ×12＝4.
因为 S△ABD－S△ABE＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△ABF＋S△BEF)
＝S△ADF－S△BEF，
所以 S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2.
3.如图，在△ABC 中，CE，BF 是两条高，
若∠A = 70°，∠BCE = 30°，则∠EBF 的度数是 °，∠FBC 的度数是 °.
4. 如图，在△ABC 中，两条角平分线
BD 和 CE 交于点 O，若∠BOC = 132°，
则∠A 的度数是 °.
A
B
C
E
F
A
B
C
D
E
O
20
40
84
针对训练
例4 已知：∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC.
试说明：△ABC≌△DCB．
因为 ∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，
∠ACB＝∠DBC，
解：
在△ABC 和△DCB 中，
所以△ABC≌△DCB（ASA ）.
B
C
A
D
【分析】运用“两角及其夹边分别相等的两个三角形
全等”进行判定．
知识点四 全等三角形的判定与性质
例5 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，CE⊥AD 于点 G，交 AB 于点 E，EF∥BC 交 AC 于点 F，
试说明：∠DEC = ∠FEC.
A
B
C
D
F
E
G
【分析】
欲说明∠DEC = ∠FEC
由平行线的性质转化为说明∠DEC = ∠DCE
只需说明△DEG≌△DCG.
A
B
C
D
F
E
G
解：因为 CE⊥AD， 所以∠AGE =∠AGC = 90°.
在△AGE 和△AGC 中，
因为∠AGE =∠AGC，
AG = AG，
∠EAG =∠CAG，
所以△AGE≌△AGC(ASA).
所以 GE = GC.
在△DGE 和△DGC 中，
因为 EG = CG，
∠EGD = ∠CGD = 90°，
DG = DG，
所以△DGE ≌△DGC(SAS).
所以∠DEG =∠DCG.
因为 EF∥BC，
所以∠FEC =∠ECD.
所以∠DEC =∠FEC.
因为 AD 平分∠BAC，所以∠EAG =∠CAG.
利用全等三角形证明角相等，首先要找到两个角所在的两个三角形，看它们全等的条件够不够；有时会用到等角转换，等角转换的途径很多，如：余角，补角的性质、平行线的性质等，必要时要想到添加辅助线.
方法总结
5. 已知△ABC 和△DEF ，下列条件中，不能保证△ABC 和△DEF 全等的是 ( )
A. AB = DE，AC = DF，BC = EF
B. ∠A =∠D，∠B =∠E，AC = DF
C. AB = DE，AC = DF， ∠A =∠D
D. AB = DE，BC = EF， ∠C =∠F
D
针对训练
方程思想
例6 如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC，∠1 =∠2，∠3 =∠C，求∠1 的度数.
A
B
C
D
)
)
)
)
2
4
1
3
解：设∠1 = x，根据题意可得∠2 = x.
因为∠ADB = 180° -∠1 -∠2 = 180° - 2x，
∠3 +∠ADB = 180°，∠4 =∠2，
所以∠3 = 2x， ∠4 = x.
又因为∠3 =∠C，所以∠C = 2x.
在△ABC中，x + 2x + 2x = 180°，
解得 x = 36°. 所以∠1 = 36°.
知识点五 本章中的思想方法
在角的求值问题中，常常利用余角、补角之间的关系进行转化，然后通过三角形内角和定理列方程求解.
方法总结
分类讨论思想
例7 已知等腰三角形的两边长分别为 10 和 6 ，则三角形的周长是 ．
解析：由于没有指明等腰三角形的腰和底，
所以要分两种情况讨论：
26 或 22
第一种 10 为腰，则 6 为底，此时周长为 26；
第二种 10 为底，则 6 为腰，此时周长为 22.
考点1 三角形及其内角和
1. 如图，,点在线段上不与点,重合 ,连接
,若 , ,则 ( )
B
（第1题）
A. B. C. D.
返回
2. [2024廊坊期中] 如图，当 时，该三角形的形状是
( )
B
（第2题）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 不能确定
返回
3. 将两张三角形纸片按如图所示的方式摆放，
量得 ，则 ____.
返回
考点2 三角形的三边关系
4. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )
B
A. ,, B. ,,
C. ,, D. ,,
返回
5.一个三角形的两边长分别为3和5.
（1）求它的第三边 的取值范围；
【解】根据三角形的三边关系可得 ，
即 .
（2）求它的周长 的取值范围；
因为第三边的取值范围为 ，
所以它的周长的取值范围为 ，
即 .
（3）若周长为偶数，求三角形的第三边长.
【解】因为第三边的取值范围为 ，周长为偶数，
所以第三边的长为4或6.
返回
考点3 三角形的高、中线和角平分线
6. 如图，，，分别是 的高、角平分线、中线，
则下列各式中错误的是( )
C
A.
B.
C.
D.
返回
7.如图，在中， ，
于点，平分, ，
求 的度数.
【解】因为，所以 .
因为 ,所以 .
所以 .
因为平分 ,
所以 .
返回
考点4 全等三角形的性质与判定
8. 如图， ，且
,,是上两点， ，
,，，，则 的
长为( )
D
A. B. C. D.
【点拨】设与交于点，于点 .
因为，， ，所以
.又因
为，所以 .又因为
，所以.所以 ，
.所以 .所以
.
返回
9. 如图，点,分别在线段,上,
与相交于点，已知 ，现添
加以下的哪个条件仍不能判定
( )
D
A. B.
C. D.
【点拨】选项A，当 ，
， 时，
，故此选项不符合
题意；选项B，当， ，
时， ，故此选项不符合题意；
选项C，由，，得 ，即
,所以易得 ，故此选项不符合
题意；选项D，当，， 时，不能
判定与 全等，故此选项符合题意.故选D.
返回
10.如图，和中， ，
，，连接，，与交于点 ，与
交于点 .
（1）试说明： ；
【解】因为 ，
所以 ，
即 .
在和中， ，
， ，
所以.所以 .
（2）试说明： .
【解】因为，所以 .
因为 ，
， ，
所以 .所以 .
返回
11. 如图，在四边形
中， ，
，
， 的两边分别交
，于点，.探究图中线段 ，
， 之间的数量关系.
【解】如图，延长到点，使 ，
连接 .
因为 ,
,
所以 .
又因为, ,
所以 .
所以, .
所以 .
因为 ,所以
,
所以 .
又因为 ,所以
.
所以 .所以
.
返回
性质
判定：SAS、ASA、
AAS、SSS
三
角
形
高、角平分线、中线
性质
等腰（等边）三角形的性质与判定
全等三角形
用尺规作三角形
任意两边之和大于第三边，
任意两边差小于第三边
内角和为180°
谢谢观看！
阿木提江·塔西吐木尔
托克逊县第一中学
13899326086
章末复习
第四章 三角形
新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
买合苏迪古丽·买买提
托克逊县第二中学
15909954880
第四章 三角形 章末复习
一、知识框架梳理
二、核心知识点回顾
（一）三角形的基本概念与分类
定义：三角形是由三条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形。三角形用符号 “△” 表示，顶点为 A、B、C 的三角形记作△ABC。
分类：
按边分类：不等边三角形（三边都不相等）、等腰三角形（至少两边相等，含等边三角形）。
按角分类：锐角三角形（三个角都是锐角）、直角三角形（有一个角是直角）、钝角三角形（有一个角是钝角）。
重要线段：
中线：连接顶点与对边中点的线段，三条中线交于重心，重心到顶点距离是到对边中点距离的 2 倍，中线分三角形为面积相等的两部分。
角平分线：平分内角且交对边于一点的线段，三条角平分线交于内心，内心到三边距离相等。
高：从顶点向对边所在直线作的垂线，三条高所在直线交于垂心，锐角三角形高在内部，直角三角形高与直角边重合，钝角三角形高有两条在外部。
（二）三角形的性质
三边关系：
定理：三角形任意两边之和大于第三边（\(a + b > c\)，\(a + c > b\)，\(b + c > a\)）。
推论：三角形任意两边之差小于第三边（\(|a - b| < c\)，\(|a - c| < b\)，\(|b - c| < a\)）。
应用：判断三条线段能否组成三角形（只需验证较短两边之和大于最长边）；求第三边取值范围（两边之差 < 第三边 < 两边之和）。
内角和与外角性质：
内角和定理：三角形三个内角的和等于 180°。
外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和；三角形的外角大于任意一个与它不相邻的内角。
（三）全等三角形
定义与表示：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，记作 “△ABC≌△DEF”，对应顶点字母需写在对应位置。
性质：
对应边相等（\(AB = DE\)，\(BC = EF\)，\(AC = DF\)）。
对应角相等（\(\angle A = \angle D\)，\(\angle B = \angle E\)，\(\angle C = \angle F\)）。
对应中线、角平分线、高相等，周长和面积相等。
判定方法：
SSS：三边对应相等的两个三角形全等。
SAS：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（注意：角必须是两边的夹角，SSA 不能判定全等）。
ASA：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
AAS：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
（四）问题解决策略 —— 特殊化
核心思想：通过研究特殊情况（特殊图形、特殊值、特殊位置）发现规律，简化问题。
应用场景：
探索命题真假（如验证 SSA 不能判定全等）。
简化复杂图形分析（如用等边三角形验证一般性结论）。
辅助开放型问题条件补充（如假设等腰三角形添加全等条件）。
注意事项：特殊化需保留问题核心条件，需结合一般性证明，避免将特殊结论直接等同于一般结论。
三、易混淆概念辨析
三角形的角平分线与角的平分线：三角形的角平分线是线段（顶点到对边交点），角的平分线是射线，二者端点不同，范围不同。
全等三角形的 “对应” 与 “对边 / 对角”：“对应” 指全等三角形中互相重合的元素（如对应边、对应角），由全等符号的顶点顺序确定；“对边 / 对角” 指三角形中边与角的相对位置（如边 BC 的对角是∠A），与全等无关。
全等判定方法的适用条件：
SSS 需三边对应相等，无需角的条件。
SAS 必须是 “两边及夹角”，而非 “两边及一角”（SSA 不成立）。
ASA 与 AAS 的区别：ASA 是 “两角及夹边”，AAS 是 “两角及一角对边”，二者可通过内角和定理互相推导。
三角形的高与垂线：高是线段（顶点到垂足），垂线是直线，高是垂线的一部分，但垂线不一定是高（需过顶点且垂直于对边）。
四、典型例题解析
（一）三角形三边关系应用
例 1：若三角形的两边长分别为 3 和 5，第三边长为整数，求第三边的最大值和最小值。
解：
设第三边长为\(x\)，根据三边关系：\(5 - 3 < x < 5 + 3\)，即\(2 < x < 8\)。
∵\(x\)为整数，∴\(x\)的最大值为 7，最小值为 3。
（二）全等三角形判定与性质综合
例 2：如图 1，AB = CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为 E、F，CE = BF。求证：AE = DF。
[此处插入图 1：AE⊥BC，DF⊥BC，CE=BF 的示意图]
证明：
∵CE = BF（已知）
∴CE - EF = BF - EF（等式性质），即 CF = BE。
∵AE⊥BC，DF⊥BC（已知）
∴∠AEB = ∠DFC = 90°（垂直定义）。
在△AEB 和△DFC 中：\(
\begin{cases}
AB = CD · \\
BE = CF · è \\
AEB = DFC · è
\end{cases}
\)
∴△AEB≌△DFC（HL，直角三角形特殊判定）
∴AE = DF（全等三角形对应边相等）。
（三）特殊化策略的应用
例 3：判断命题 “三角形的三条高交于一点” 是否正确，并说明理由。
解：
特殊情况 1：锐角三角形，三条高交于三角形内部一点，命题成立。
特殊情况 2：直角三角形，三条高交于直角顶点，命题成立。
特殊情况 3：钝角三角形，三条高所在直线交于三角形外部一点，命题成立。
结论：该命题在所有三角形中均成立，因此正确。
（四）开放型问题求解
例 4：如图 2，在△ABC 和△DEC 中，已知 AB = DE，要使△ABC≌△DEC，还需添加什么条件？（写出两种不同类型的条件）
[此处插入图 2：△ABC 与△DEC 有公共顶点 C 的示意图]
解：
添加条件 “AC = DC，BC = EC”，依据 SSS 判定全等。
添加条件 “∠A = ∠D，∠ACB = ∠DCE”，依据 ASA 判定全等。
添加条件 “∠B = ∠E，BC = EC”，依据 SAS 判定全等。
五、常见易错点警示
三边关系判断错误：忽略 “任意两边之和大于第三边” 的完整性，仅验证一组边的关系；求第三边范围时遗漏端点的严格不等关系（如写成\(\leq\)或\(\geq\)）。
全等对应关系混乱：书写全等符号时对应顶点顺序错误，导致后续对应边、对应角判断错误；误用 SSA 作为判定方法（如认为两边及其中一边的对角相等可证全等）。
特殊线段概念混淆：混淆中线、角平分线、高的定义（如将角平分线当作射线，或将高的位置局限于三角形内部）；忽略重心、内心、垂心的位置特征（如认为钝角三角形的垂心在内部）。
特殊化策略滥用：仅通过单一特殊情况得出一般性结论（如用等边三角形证明所有三角形的高等于中线）；特殊化时改变问题核心条件（如验证全等时忽略边或角的对应关系）。
推理步骤不完整：证明全等时遗漏条件（如公共边、对顶角等隐含条件未明确写出）；应用性质时未先证明三角形全等，直接得出边或角相等。
六、章末检测题
（一）选择题
下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A. 1，2，3 B. 3，4，7 C. 5，6，10 D. 5，5，11
在△ABC 中，∠A = 50°，∠B = 60°，则∠C 的度数是（ ）
A. 50° B. 60° C. 70° D. 80°
下列条件中，不能判定△ABC≌△DEF 的是（ ）
A. AB = DE，BC = EF，AC = DF B. ∠A = ∠D，AB = DE，∠B = ∠E
C. AB = DE，AC = DF，∠B = ∠E D. ∠A = ∠D，∠B = ∠E，BC = EF
（二）填空题
等腰三角形的两边长分别为 4 和 9，则第三边长为______。
在△ABC 中，AD 是中线，若△ABD 的面积为 6，则△ABC 的面积为______。
如图 3，△ABC≌△DEF，∠A = 50°，∠B = 60°，则∠F = ______°。
（三）解答题
如图 4，点 B、F、C、E 在同一直线上，BF = CE，AB∥DE，AB = DE。求证：AC = DF。
已知△ABC 中，∠B = 50°，∠C = 70°，AD 是角平分线，求∠ADB 的度数。
用特殊化策略探究：“三角形的一条中线将三角形分成两个全等的三角形” 这一命题是否正确，并说明理由。
七、复习总结与提升建议
知识整合：本章核心是三角形的性质与全等判定，需理清 “概念 — 性质 — 判定 — 应用” 的逻辑链条，明确三边关系、内角和定理与全等判定的内在联系（如 AAS 由 ASA 和内角和定理推导）。
方法提炼：
几何证明需注重条件的完整性和对应关系的准确性，书写时按 “已知 — 推导 — 结论” 的规范格式进行。
复杂问题可通过分解图形、添加辅助线（如连接公共边、作高）构造全等三角形，或用特殊化策略简化分析。
能力提升：多进行开放型问题训练（如补充全等条件），培养发散思维；通过变式练习（如改变图形位置或角度）深化对判定方法的理解；注重几何语言的严谨性，避免因表述不清导致错误。
通过本章复习，应能熟练运用三角形的性质解决边长、角度计算问题，准确应用 SSS、SAS、ASA、AAS 判定三角形全等，并能结合特殊化策略优化解题过程。三角形是几何的基础，其知识和方法将在后续四边形、相似形等学习中持续应用，需扎实掌握。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
一. 三角形的有关性质
1. 不在同一直线上的三条线段首尾_________所组成
的图形叫做三角形. 以点 A，B，C 为顶点的三角形
记为 ，读作“三角形 ABC”.
顺次相接
△ABC
2. 三角形三个内角的和等于______°.
180
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
按角分
按边分
三边各不相等的三角形
等腰三角形
5. 三角形的三边关系
三角形任意两边之和大于第三边；
三角形任意两边之差小于第三边.
3. 三角形的分类
4. 直角三角形的两个锐角互余.
等边三角形
6.三角形的三条角平分线交于一点；
三角形三条中线交于一点；
三角形的三条高所在的直线交于一点.
二. 全等三角形
1. 全等三角形的性质：
对应角相等，对应边相等
3. 三角形的稳定性的依据：
SSS
2. 全等三角形的判定
ASA
SSS
SAS
AAS
例1 已知两条线段的长分别是 3 cm、8 cm ，要想拼成一个三角形，且第三条线段 a 的长为奇数，问第三条线段应取多长？
解： 由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得 8－3 < a < 8 + 3，所以 5 < a < 11.
又因为第三边长为奇数,所以第三条线段应取 7 cm 或 9 cm.
知识点一 三角形的三边关系
1.已知等腰三角形的两边长分别为 10 和 4 ，则该三角形的周长是 ．
24
【方法归纳】等腰三角形没有指明腰和底时要分类讨论，但也别忘了用三边关系检验能否组成三角形这一重要解题环节.
针对训练
例2 如图，CD 是△ABC 的角平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC 的度数．
解：因为∠A＝50°，∠B＝70°，
知识点二 三角形的内角和
所以∠ACB＝180°－∠A－∠B＝180°－50°－70°＝60°.
因为 CD 是∠ACB 的平分线，
所以∠BCD＝ ∠ACB＝ ×60°＝30°.
因为 DE∥BC，
所以∠EDC＝∠BCD＝30°.
所以∠BDC＝180°－∠B－∠BCD＝80°.
2. 在△ABC 中，三个内角∠A，∠B，∠C 满足∠B－∠A =∠C－∠B，则∠B = °.
60
针对训练
解析：因为点 D 是 AC 的中点，所以 AD＝ AC，
例3 如图，在△ABC 中，E 是 BC 上的一点，EC＝2BE，点 D 是 AC 的中点，设△ABC，△ADF 和△BEF 的面积分别为 S△ABC，S△ADF 和 S△BEF，且 S△ABC＝12，
则 S△ADF－S△BEF＝________．
知识点三 三角形的角平分线、中线、高
2
因为 S△ABC＝12，
所以 S△ABD＝ S△ABC＝ ×12＝6.
因为 EC＝2BE，S△ABC＝12，
三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比．
方法总结
所以 S△ABE＝ S△ABC＝ ×12＝4.
因为 S△ABD－S△ABE＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△ABF＋S△BEF)
＝S△ADF－S△BEF，
所以 S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2.
3.如图，在△ABC 中，CE，BF 是两条高，
若∠A = 70°，∠BCE = 30°，则∠EBF 的度数是 °，∠FBC 的度数是 °.
4. 如图，在△ABC 中，两条角平分线
BD 和 CE 交于点 O，若∠BOC = 132°，
则∠A 的度数是 °.
A
B
C
E
F
A
B
C
D
E
O
20
40
84
针对训练
例4 已知：∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC.
试说明：△ABC≌△DCB．
因为 ∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，
∠ACB＝∠DBC，
解：
在△ABC 和△DCB 中，
所以△ABC≌△DCB（ASA ）.
B
C
A
D
【分析】运用“两角及其夹边分别相等的两个三角形
全等”进行判定．
知识点四 全等三角形的判定与性质
例5 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，CE⊥AD 于点 G，交 AB 于点 E，EF∥BC 交 AC 于点 F，
试说明：∠DEC = ∠FEC.
A
B
C
D
F
E
G
【分析】
欲说明∠DEC = ∠FEC
由平行线的性质转化为说明∠DEC = ∠DCE
只需说明△DEG≌△DCG.
A
B
C
D
F
E
G
解：因为 CE⊥AD， 所以∠AGE =∠AGC = 90°.
在△AGE 和△AGC 中，
因为∠AGE =∠AGC，
AG = AG，
∠EAG =∠CAG，
所以△AGE≌△AGC(ASA).
所以 GE = GC.
在△DGE 和△DGC 中，
因为 EG = CG，
∠EGD = ∠CGD = 90°，
DG = DG，
所以△DGE ≌△DGC(SAS).
所以∠DEG =∠DCG.
因为 EF∥BC，
所以∠FEC =∠ECD.
所以∠DEC =∠FEC.
因为 AD 平分∠BAC，所以∠EAG =∠CAG.
利用全等三角形证明角相等，首先要找到两个角所在的两个三角形，看它们全等的条件够不够；有时会用到等角转换，等角转换的途径很多，如：余角，补角的性质、平行线的性质等，必要时要想到添加辅助线.
方法总结
5. 已知△ABC 和△DEF ，下列条件中，不能保证△ABC 和△DEF 全等的是 ( )
A. AB = DE，AC = DF，BC = EF
B. ∠A =∠D，∠B =∠E，AC = DF
C. AB = DE，AC = DF， ∠A =∠D
D. AB = DE，BC = EF， ∠C =∠F
D
针对训练
方程思想
例6 如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC，∠1 =∠2，∠3 =∠C，求∠1 的度数.
A
B
C
D
)
)
)
)
2
4
1
3
解：设∠1 = x，根据题意可得∠2 = x.
因为∠ADB = 180° -∠1 -∠2 = 180° - 2x，
∠3 +∠ADB = 180°，∠4 =∠2，
所以∠3 = 2x， ∠4 = x.
又因为∠3 =∠C，所以∠C = 2x.
在△ABC中，x + 2x + 2x = 180°，
解得 x = 36°. 所以∠1 = 36°.
知识点五 本章中的思想方法
在角的求值问题中，常常利用余角、补角之间的关系进行转化，然后通过三角形内角和定理列方程求解.
方法总结
分类讨论思想
例7 已知等腰三角形的两边长分别为 10 和 6 ，则三角形的周长是 ．
解析：由于没有指明等腰三角形的腰和底，
所以要分两种情况讨论：
26 或 22
第一种 10 为腰，则 6 为底，此时周长为 26；
第二种 10 为底，则 6 为腰，此时周长为 22.
考点1 三角形及其内角和
1. 如图，,点在线段上不与点,重合 ,连接
,若 , ,则 ( )
B
（第1题）
A. B. C. D.
返回
2. [2024廊坊期中] 如图，当 时，该三角形的形状是
( )
B
（第2题）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 不能确定
返回
3. 将两张三角形纸片按如图所示的方式摆放，
量得 ，则 ____.
返回
考点2 三角形的三边关系
4. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )
B
A. ,, B. ,,
C. ,, D. ,,
返回
5.一个三角形的两边长分别为3和5.
（1）求它的第三边 的取值范围；
【解】根据三角形的三边关系可得 ，
即 .
（2）求它的周长 的取值范围；
因为第三边的取值范围为 ，
所以它的周长的取值范围为 ，
即 .
（3）若周长为偶数，求三角形的第三边长.
【解】因为第三边的取值范围为 ，周长为偶数，
所以第三边的长为4或6.
返回
考点3 三角形的高、中线和角平分线
6. 如图，，，分别是 的高、角平分线、中线，
则下列各式中错误的是( )
C
A.
B.
C.
D.
返回
7.如图，在中， ，
于点，平分, ，
求 的度数.
【解】因为，所以 .
因为 ,所以 .
所以 .
因为平分 ,
所以 .
返回
考点4 全等三角形的性质与判定
8. 如图， ，且
,,是上两点， ，
,，，，则 的
长为( )
D
A. B. C. D.
【点拨】设与交于点，于点 .
因为，， ，所以
.又因
为，所以 .又因为
，所以.所以 ，
.所以 .所以
.
返回
9. 如图，点,分别在线段,上,
与相交于点，已知 ，现添
加以下的哪个条件仍不能判定
( )
D
A. B.
C. D.
【点拨】选项A，当 ，
， 时，
，故此选项不符合
题意；选项B，当， ，
时， ，故此选项不符合题意；
选项C，由，，得 ，即
,所以易得 ，故此选项不符合
题意；选项D，当，， 时，不能
判定与 全等，故此选项符合题意.故选D.
返回
10.如图，和中， ，
，，连接，，与交于点 ，与
交于点 .
（1）试说明： ；
【解】因为 ，
所以 ，
即 .
在和中， ，
， ，
所以.所以 .
（2）试说明： .
【解】因为，所以 .
因为 ，
， ，
所以 .所以 .
返回
11. 如图，在四边形
中， ，
，
， 的两边分别交
，于点，.探究图中线段 ，
， 之间的数量关系.
【解】如图，延长到点，使 ，
连接 .
因为 ,
,
所以 .
又因为, ,
所以 .
所以, .
所以 .
因为 ,所以
,
所以 .
又因为 ,所以
.
所以 .所以
.
返回
性质
判定：SAS、ASA、
AAS、SSS
三
角
形
高、角平分线、中线
性质
等腰（等边）三角形的性质与判定
全等三角形
用尺规作三角形
任意两边之和大于第三边，
任意两边差小于第三边
内角和为180°
谢谢观看！
阿木提江·塔西吐木尔
托克逊县第一中学
13899326086
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