第五章 图形的轴对称【章末复习】 课件（共50张PPT））--新2024北师大版七年级数学下册课件

(共50张PPT)
章末复习
第五章 图形的轴对称
新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
买合苏迪古丽·买买提
托克逊县第二中学
15909954880
第五章 图形的轴对称 章末复习
一、知识框架梳理
二、核心知识点回顾
（一）轴对称的基本概念
轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点叫做对称点。
轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线是它的对称轴。
区别与联系：轴对称是两个图形的位置关系，轴对称图形是一个图形自身的性质；两者都沿对称轴折叠后重合，对称轴都是直线，轴对称图形可看作两个成轴对称的图形重合的情形。
（二）轴对称的性质
对称点特征：对称点所连的线段被对称轴垂直平分，即对称轴是对称点连线的垂直平分线。
图形特征：
对应线段相等，对应角相等。
对应线段所在直线的交点在对称轴上（或平行于对称轴）。
成轴对称的两个图形是全等图形。
对称轴性质：对称轴上的点到对应点的距离相等。
（三）特殊轴对称图形的性质
等腰三角形：
定义：有两条边相等的三角形，相等的边为腰，另一边为底边。
性质 1（等边对等角）：等腰三角形的两底角相等（AB=AC ∠B=∠C）。
性质 2（三线合一）：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（AD 平分∠BAC AD⊥BC 且 BD=CD）。
对称性：是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在直线。
线段垂直平分线：
定义：经过线段中点且垂直于线段的直线。
性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等（P 在 l 上 PA=PB）。
逆定理：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上（PA=PB P 在 l 上）。
集合定义：到线段两端距离相等的所有点的集合。
角平分线：
定义：从角的顶点出发，平分角的射线。
性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等（P 在 OC 上 PD=PE）。
逆定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上（PD=PE P 在 OC 上）。
集合定义：角的内部到角两边距离相等的所有点的集合。
（四）问题解决策略
转化策略：
核心思想：将复杂问题转化为简单问题，陌生问题转化为熟悉问题。
应用场景：
角平分线问题→全等三角形问题（构造垂线段或截长补短）。
线段和差问题→线段相等问题（截长法或补短法）。
面积问题→距离问题（利用角平分线或垂直平分线的距离性质）。
特殊化策略：
核心思想：通过特殊图形（如等腰直角三角形、等边三角形）或特殊位置（如对称轴上的点）分析问题，归纳规律。
应用场景：验证命题真假、简化图形分析、辅助条件补充。
三、易混淆概念辨析
轴对称与轴对称图形：
轴对称：研究两个图形的对称关系，如 “△ABC 与△A'B'C' 关于直线 l 对称”。
轴对称图形：研究一个图形的自身对称性质，如 “等腰三角形是轴对称图形”。
联系：轴对称图形可分割为成轴对称的两个图形，成轴对称的两个图形整体可看作轴对称图形。
线段垂直平分线与角平分线的性质对比：
图形
性质定理
逆定理
核心等量关系
线段垂直平分线
到两端距离相等
距离相等的点在其上
PA=PB
角平分线
到两边距离相等
距离相等的点在其上
PD=PE
区别
针对线段两端的距离
针对角两边的距离
距离的对象不同
等腰三角形的 “三线合一” 与一般三角形的三线：
等腰三角形的顶角平分线、中线、高互相重合，是一条线段。
一般三角形的这三条线段互相独立，位置和长度均不同。
关键条件：“三线合一” 仅适用于等腰三角形的顶角和底边，底角的平分线与对边中线、高不重合。
对称轴与对称点连线：
对称轴是直线，对称点连线是线段。
对称轴垂直平分对称点连线，而非对称点连线垂直平分对称轴。
四、典型例题解析
（一）轴对称性质的应用
例 1：如图 1，△ABC 与△A'B'C' 关于直线 l 对称，已知 AB=6cm，∠A=50°，求 A'B' 的长度和∠A' 的度数，并说明理由。
[此处插入图 1：△ABC 与△A'B'C' 关于直线 l 对称的示意图]
解：
∵△ABC 与△A'B'C' 关于直线 l 对称（已知）
∴△ABC≌△A'B'C'（成轴对称的两个图形全等）
∴A'B'=AB，∠A'=∠A（全等三角形的对应边、对应角相等）
∵AB=6cm，∠A=50°（已知）
∴A'B'=6cm，∠A'=50°。
（二）等腰三角形性质的综合应用
例 2：如图 2，在△ABC 中，AB=AC，AD 是 BC 边上的中线，∠B=50°，求∠BAD 的度数。
[此处插入图 2：等腰三角形 ABC，AD 为中线的示意图]
解：
∵AB=AC，AD 是 BC 边上的中线（已知）
∴AD 平分∠BAC（等腰三角形三线合一），∠B=∠C=50°（等边对等角）
∵∠BAC+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理）
∴∠BAC=180°-50°-50°=80°
∵AD 平分∠BAC（已证）
∴∠BAD=∠CAD=\(\frac{1}{2}\)∠BAC=40°。
（三）线段垂直平分线与角平分线的综合应用
例 3：如图 3，在△ABC 中，AB=AC，AB 的垂直平分线交 AB 于 D，交 AC 于 E，若 BE 平分∠ABC，求∠A 的度数。
[此处插入图 3：△ABC 中 AB=AC，DE 是 AB 垂直平分线的示意图]
解：
设∠A=x°
∵DE 是 AB 的垂直平分线（已知）
∴EA=EB（线段垂直平分线性质）
∴∠A=∠ABE=x°（等边对等角）
∵BE 平分∠ABC（已知）
∴∠ABC=2∠ABE=2x°（角平分线定义）
∵AB=AC（已知）
∴∠ABC=∠C=2x°（等边对等角）
∵∠A+∠ABC+∠C=180°（三角形内角和定理）
∴x+2x+2x=180，解得 x=36
∴∠A=36°。
（四）转化策略的应用
例 4：如图 4，在△ABC 中，∠B=2∠C，AD 是∠BAC 的平分线，求证：AB+BD=AC。
[此处插入图 4：△ABC 中 AD 是角平分线，∠B=2∠C 的示意图]
证明（转化为全等三角形问题）：
延长 AB 至 E，使 BE=BD，连接 DE（补短法转化）
∵BE=BD（构造）
∴∠E=∠BDE（等边对等角）
∵∠ABC=∠E+∠BDE=2∠E（外角性质），且∠ABC=2∠C（已知）
∴∠E=∠C
∵AD 平分∠BAC（已知）
∴∠BAD=∠CAD
在△AED 和△ACD 中：\(
\begin{cases}
E= C · è \\
EAD= CAD · è \\
AD=AD ±è
\end{cases}
\)
∴△AED≌△ACD（AAS）
∴AE=AC（全等三角形对应边相等）
∵AE=AB+BE=AB+BD（BE=BD）
∴AB+BD=AC。
五、常见易错点警示
概念理解偏差：
误将对称轴当作线段或射线，忽略其 “直线” 本质（如认为等腰三角形的对称轴是底边上的高，而非高所在直线）。
混淆 “对应点连线被对称轴垂直平分” 的方向，错误表述为 “对称轴被对应点连线垂直平分”。
性质应用错误：
应用等腰三角形 “三线合一” 时，忽略 “顶角” 条件，误将底角平分线当作三线合一的线段。
应用角平分线性质时，未确保距离是 “垂线段长度”，将点到顶点的距离当作到角两边的距离。
推理逻辑漏洞：
证明线段垂直平分线或角平分线时，未完整应用逆定理条件（如忽略角平分线逆定理中的 “在角的内部”）。
转化策略应用中，辅助线添加不当导致转化不等价（如截长法中截取线段未满足全等条件）。
图形分析疏漏：
忽略轴对称图形的多条对称轴（如认为等边三角形只有 1 条对称轴）。
复杂图形中未识别基本对称关系，导致条件提取不全。
六、章末检测题
（一）选择题
下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 等腰梯形 D. 圆
等腰三角形的一个外角是 100°，则它的顶角的度数是（ ）
A. 80° B. 20° C. 80° 或 20° D. 50°
如图 5，在△ABC 中，AB=AC，AD 是角平分线，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F，则下列结论错误的是（ ）
A. DE=DF B. BD=CD C. AE=AF D. AD=BC
[此处插入图 5：等腰三角形 ABC 中 AD 是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC 的示意图]
（二）填空题
线段的对称轴是______，角的对称轴是______。
在△ABC 中，AB=AC，若 AB 的垂直平分线与 AC 所在直线相交所得锐角为 50°，则∠B 的度数为______。
如图 6，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC，若 CD=3cm，AB=10cm，则△ABD 的面积为______cm 。
[此处插入图 6：Rt△ABC 中 AD 是角平分线的示意图]
（三）解答题
如图 7，在△ABC 中，AB=AC，点 D、E 在 BC 上，且 AD=AE，求证：BD=CE。
[此处插入图 7：等腰三角形 ABC 中 D、E 在 BC 上，AD=AE 的示意图]
如图 8，在△ABC 中，∠BAC 的平分线交 BC 于 D，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F，求证：AD 垂直平分 EF。
[此处插入图 8：△ABC 中 AD 是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC 的示意图]
运用转化策略解决问题：如图 9，在四边形 ABCD 中，∠A=90°，AB=AD，AE⊥BC 于 E，求证：AE=AB。
[此处插入图 9：四边形 ABCD 中 AB=AD，∠A=90°，AE⊥BC 的示意图]
七、复习总结与提升建议
知识整合：本章核心是轴对称的性质及特殊图形的应用，需构建 “概念 — 性质 — 判定 — 应用” 的逻辑链，明确等腰三角形、线段垂直平分线、角平分线的内在联系（均为轴对称图形，性质均与距离或角度相等相关）。
方法提炼：
轴对称问题的分析需紧扣 “对称点连线被对称轴垂直平分”，通过找对称点、连对称线段转化条件。
特殊图形问题优先应用其性质（如等腰三角形三线合一、角平分线距离相等）简化推理。
复杂问题通过转化策略拆解为基本图形问题，辅助线添加以构造全等三角形、垂线段为常见手段。
能力提升：
强化图形识别能力，从复杂图形中分离出轴对称基本结构（如角平分线 + 垂线、垂直平分线 + 点）。
注重逻辑推理的严谨性，应用性质和定理时完整表述条件（如角平分线逆定理需强调 “在角的内部”）。
多进行变式训练，通过改变图形位置或条件，深化对轴对称性质的理解和应用灵活性。
轴对称是几何中的重要变换，其性质不仅用于解决证明和计算问题，更在图案设计、最短路径等实际问题中发挥作用。通过本章复习，应能熟练运用轴对称的性质和特殊图形的特征，结合转化等策略解决各类几何问题，为后续学习奠定基础。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1. 轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫作对称轴.
2. 轴对称：如果两个平面图形沿一条直线对折后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴.
一. 轴对称图形与轴对称
3. 轴对称图形和轴对称的区别与联系
轴对称图形
轴对称
区别
联系
图形
轴对称图形是指 ( ) 个具有特殊形状的图形，只对 ( ) 个图形而言
轴对称是指 ( ) 个全等
图形的位置关系，必须涉及 ( ) 个图形
如果把轴对称图形沿对称轴
分成两部分，那么这两个图形
就关于这条直线成轴对称
如果把两个成轴对称的图形
看成一个整体，那么整个图形就是一个轴对称图形
一
一
两
两
4. 轴对称的性质：
在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.
1. 等腰三角形的性质
名称 项目 等腰三角形
性质 ①边：两腰相等
②角：两个底角相等
③重要线段：顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一)
④对称性：是轴对称图形，对称轴为顶角的平分线或底边上的中线或底边上的高所在的直线
二. 简单的轴对称图形
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
3. 角平分线的性质
2. 线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.
例1 如图，△ABC 和△A′B′C′ 关于直线 MN 对称，△A″B″C″ 和△A′B′C′ 关于直线 EF 对称.
(1) 画直线 EF；
(2) 直线 MN 与 EF 相交于点 O，试
探究∠BOB″ 与直线MN，EF 所夹
锐角 α 的数量关系.
A
B
C
A′
B′
C′
A″
B″
C″
M
N
知识点一 轴对称图形与轴对称
A
B
C
A′
B′
C′
A″
B″
C″
解：（1）如图，连接 B′B″，作线段 B′B″ 的垂直平分线EF，则直线 EF 是△A′B′C′ 和△A″B″C″ 的对称轴；
（2）连接 B″O，B′O，BO.
因为 △ABC 和△A′B′C′ 关于直线 MN 对称，
所以∠BOM =∠B′OM.
因为△A″B″C″ 和△A′B′C′
关于直线 EF 对称，
所以∠B′OE =∠B″OE.
所以∠BOB″ = 2(∠B′OM +∠B′OE)
= 2α.
F
E
O
M
N
轴对称和轴对称图形的概念是本章的重点，通过观察日常生活中的轴对称现象，理解轴对称图形和轴对称的概念的区别与联系；学习轴对称变换，不但要会画一个图形关于某直线的对称图形，还要会进行简单的图案设计，利用轴对称作图确定最短路线等.
方法总结
2. 如图所示，作出△ABC 关于直线 l 的对称图形．
A
B
C
A′
B′
C′
解：如图，△A′B′C′ 就是所求作的图形.
l
针对训练
例2 如图所示，在△ABC 中，AB = AC，BD⊥AC 于 D.试说明：∠BAC = 2∠DBC.
A
B
C
D
)
)
1
2
E
【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质，可作顶角∠BAC 的平分线，来获取角之间的数量关系.
知识点二 等腰三角形的性质
解：作∠BAC 的平分线 AE，交 BC 于点 E，如图.
所以 AE⊥BC，∠1 = ∠2 = ∠BAC.
所以∠AEC = 90°，∠2 +∠ACB = 90°.
因为 BD⊥AC，
所以∠2 =∠DBC.
所以∠BAC = 2∠DBC.
A
B
C
D
)
)
1
2
E
因为 AB = AC，
所以∠BDC = 90°，∠DBC +∠ACB = 90°.
例3 如图，在△ABC 中，AB＝AC＝20 cm，DE 垂直平分 AB，垂足为 E，交 AC 于 D，若△DBC 的周长为 35 cm，则 BC 的长为 (　　)
A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．17.5 cm
C
解析：因为 DE 垂直平分 AB，所以 AD＝BD. 所以△DBC 的周长为 BC＋BD＋CD＝BC＋AD＋CD＝BC＋AC＝35 cm. 因为 AC＝20 cm，所以 BC＝35－20＝15 (cm). 故选C
知识点三 线段垂直平分线与角平分线的性质
常常运用线段的垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”进行线段之间的转化，从而来求线段之间的关系及和差等，有时候与等腰三角形的“三线合一”结合起来考查.
方法总结
例4 如图，公路 l1，l2 的附近有两个城镇 A，B. 电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇 A，B 的距离必须相等，到两条公路 l1，l2 的距离也必须相等，发射塔 C 应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，并注明点 C 的位置 (保留作图痕迹，不要求写出画法).
【分析】利用线段垂直平分线及角平分线的性质解题.
解：根据题意，点 C 应满足两个条件：
一是在线段 AB 的垂直平分线上；
二是在两条公路夹角的平分线上，
所以点 C 应是它们的交点.
(2) 作线段 AB 的垂直平分线 FG；
则射线 OD，OE 与直线 FG 的交点 C1，C2 就是所求的位置.
(1) 作两条公路夹角的平分线 OD 和 OE；
2. 如图，在△ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分线，AC = 5 cm，△ABD 的周长等于 13 cm，则△ABC 的周长是 cm.
18
C
A
B
D
E
针对训练
分类讨论思想和方程思想
例5 已知等腰三角形的一个内角为 40°，求这个等腰三角形另外两角的度数.
【提示】要考虑此角是顶角还是底角两种情况.
解：若 40° 角是该等腰三角形的顶角，设一个底角为 x°，
知识点四 本章的数学思想与解题方法
则根据三角形的内角和定理得 x + x + 40 = 180，
解得 x = 70，
即此时该等腰三角形的另外两角度数都是 70°；
若 40° 角是该等腰三角形的底角，设其顶角为 y°，
根据等腰三角形的性质求边长或度数时，若已知条件未明确所给的角是顶角还是底角、所给的边是腰还是底边时，要分情况讨论才能使答案不缺漏. 同时，求出答案后要和三角形的内角和定理及三角形三边关系对照，若不符合，则答案不成立，要舍去，这样才能保证答案正确.
方法总结
则根据三角形的内角和定理得 y + 40 + 40 = 180，
解得 y = 100，即此时另外两角度数是 40° 和 100°.
3. 若等腰三角形的两边长分别为 4 和 6，求它的周长.
解：① 若腰长为 6，则底边长为 4，
周长为 6 + 6 + 4 = 16；
针对训练
② 若腰长为 4，则底边长为 6，
周长为 4 + 4 + 6 = 14.
故这个三角形的周长为 14 或 16.
考点1 轴对称图形
1. 端午节是中国传统节日，下列与端午节有
关的文创图案中，是轴对称图形的是( )
B
A. B. C. D.
返回
2. [2024徐州期末] 如图，方格纸中有3个小方格被涂成黑色，
若从其余13个白色小方格中选出一个涂成黑色，使所有的黑
色方格构成轴对称图形，则不同的涂色方案共有( )
D
A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种
返回
考点2 轴对称的性质
3. [2024晋中期中] 折纸是一种将纸
张折成各种不同形状的艺术活动，
折纸与自然科学结合在一起，不仅
C
A. 与互余 B.
C. 平分 D. 与 互补
成为建筑学院的教具，还发展出了折纸
几何学，成为现代几何学的一个分支. 按如
图所示的方法折纸，则下列说法不正确的是 ( )
【点拨】如图.
由折叠的性质，得
，
.
所以平分 .
故C选项错误，符合题意.
因为 ,所以与互余.易知，所以.所以 与 互余.
故A,B选项正确，不符合题意.
因为 , 所以与 互补.
故D选项正确，不符合题意，故选C.
返回
4.如图，是一张纸片， 是
边上的高，把沿着 折叠，
使点落在边上的 处.
（1）如果 ，，求 的度数；
【解】由折叠的性质，知 ，
所以 .
又因为 ，
所以 .
（2）如果，，，求 的面积.
【解】由折叠的性质，知 .
又因为,所以 .
因为, ,
所以的面积 .
返回
考点3 等腰三角形的性质
（第5题）
5. [2024咸阳月考] 如图，在
中，，平分交 于点
，交的延长线于点 ，若
，则 的度数是( )
D
A. B. C. D.
返回
（第6题）
6. 如图，是等边三角形 的一条中线，
若在边上取一点，使得 ，则
的度数为( )
D
A. B. C. D.
（第6题）
【点拨】因为 为等边三角形，
所以 .
因为是等边三角形 的一条中线，
所以， .
因为，所以 .
又因为 ，
所以 .
所以 .故选D.
返回
考点4 线段垂直平分线的性质
（第7题）
7. 如图，在中， 的垂直平
分线分别交，于， 两点，
， 的周长为9，则
的周长为( )
C
A. 6 B. 12 C. 15 D. 18
（第7题）
【点拨】因为的垂直平分线分别交 ，
于，两点，所以 ，
.
因为 的周长为9，
所以 .
所以 .
所以 .
所以 的周长为
.
返回
（第8题）
8. [2024聊城三模] 如图，在 中，
，的垂直平分线与 交于点
，连接，若 ，则 的
度数为( )
B
A. B. C. D.
返回
考点5 角平分线的性质
（第9题）
9. [2024泉州模拟] 如图，在
中， .用尺规作图法作出
射线，交于点, ，
则点到 的距离是( )
B
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【点拨】如图，过点作于点 .
由作图可知平分 ，
因为 ,所以 ，
所以 .
所以点到 的距离为3.
返回
（第10题）
10. [2024佛山月考] 如图， 平分
，是射线上一点， 于
点，是射线 上的一个动点，连接
.若，则 的长度不可能是
( )
D
A. 18 B. 7.2 C. 6 D. 4.5
【点拨】过点作于点 ，如图.
因为平分，是射线 上一点，
于点， ，
所以由角平分线的性质可得
.
因为是射线 上的一个动点，
所以由垂线段最短可得 .
所以 的长度不可能是4.5.
返回
11.[2024广州二模] 如图，在中， .
（1）实践与操作：用尺规作图法作 的平分线；
（保留作图痕迹，不要求写作法）
【解】 的平分线如图中
所示.
（2）应用与计算：设（1）中的平分线交于点 ，若
的面积为6，，求点到 的距离.
【解】如图，过点作于点 ，
因为 ，所以 ，
又因为为角平分线 上的点，
所以 .
因为 ，所以
，
又因为，所以 .
所以，即点到的距离为 .
返回
思想1 分类讨论思想
12. 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ，那
么这个等腰三角形的顶角等于( )
A
A. 或 B.
C. D. 或
返回
思想2 方程思想
13. [2024深圳福田区期末] 如图，在
中，，垂直平分 ，
分别交，于点，，连接 ，若
，则 的度数为( )
C
A. B. C. D.
【点拨】设 ，因为 垂直平分
，所以.所以 .
所以 .因为
，所以 .又因为
，所以 ，因为
，所以 ，所
以 ，所以 .
返回
思想3 转化思想
14. 如图，等边三角形的边长为2， ，
，三点在一条直线上，且.若 为线段
上一动点，求 的最小值.
【解】连接，因为 是等边三
角形， ，所以
， .
所以 .所以，又因为 ，
所以，所以 ，所以
，所以当点与点 重合时，
的值最小，最小值为线段 的长，因为
.故 的最小值为4.
返回
生
活
中
的
轴
对
称
轴对称现象
两个图形成轴对称，及其对称轴
轴对称图形，及其对称轴
简单的轴
对称图形
等腰三角形的性质
轴对称的性质
对称性
“三线合一”
底角相等
线段垂直平分线上的点到这条线段
两个端点的距离相等
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
应用
图案设计
计算与推理
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阿木提江·塔西吐木尔
托克逊县第一中学
13899326086