问题解决策略：转化 课件（共35张PPT）--新2024北师大版七年级数学下册课件

(共35张PPT)
问题解决策略：转化
第五章 图形的轴对称
新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
买合苏迪古丽·买买提
托克逊县第二中学
15909954880
问题解决策略：转化
一、转化策略的定义与核心思想
转化策略是指在解决问题时，通过对问题进行变形、重组或映射，将复杂问题转化为简单问题、陌生问题转化为熟悉问题、未知问题转化为已知问题的解题方法。其核心思想是 “化归”：借助已有的知识和经验，搭建新旧问题之间的桥梁，通过等价转化降低问题的难度，最终实现问题的解决。
在几何学习中，转化策略尤为重要。例如，面对角平分线相关的复杂问题，可通过构造全等三角形、转化为距离问题等方式简化推理；对于涉及多个图形的综合问题，可通过分解图形、转化为基本图形的性质应用问题。转化策略不仅能提高解题效率，更能培养灵活运用知识的能力。
二、转化策略在角平分线问题中的应用场景
（一）将角平分线问题转化为全等三角形问题
角平分线的性质定理和逆定理的证明过程本身就是转化思想的体现 —— 通过构造垂线段，将角平分线的性质转化为全等三角形的对应边相等问题。在解决实际问题时，这一转化方法同样适用。
例 1：如图 1，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，AB > AC，求证：AB - AC = BD - CD。
[此处插入图 1：△ABC 中 AD 是角平分线，AB> AC 的示意图]
分析：
问题转化：要证明线段差相等（AB - AC = BD - CD），可通过 “截长法” 构造全等三角形，将线段差转化为相等线段。
具体操作：在 AB 上截取 AE = AC，连接 DE。
转化推理：
∵AD 是∠BAC 的平分线（已知）
∴∠BAD = ∠CAD（角平分线定义）
在△AED 和△ACD 中：\(
\begin{cases}
AE = AC é \\
BAD = CAD · è \\
AD = AD ±è
\end{cases}
\)
∴△AED≌△ACD（SAS）
∴DE = CD，∠AED = ∠C（全等三角形性质）
∵AB - AC = AB - AE = BE（AE = AC）
需证 BE = BD - CD = BD - DE
在△BDE 中，BE = BD - DE（即 BD = BE + DE），通过角度关系可证△BDE 是等腰三角形（∠BED = ∠BDE），从而 BE = BD - DE，即 AB - AC = BD - CD。
（二）将角平分线问题转化为距离问题
角平分线的核心性质是 “角平分线上的点到角两边的距离相等”，因此可将涉及角平分线的线段关系问题转化为垂线段的距离问题，利用距离相等的条件简化计算或证明。
例 2：如图 2，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点 O，OD⊥BC 于点 D，若 AB = 5cm，BC = 7cm，AC = 6cm，求 OD 的长度（△ABC 的面积为 18cm ）。
[此处插入图 2：△ABC 中角平分线交于 O，OD⊥BC 的示意图]
分析：
问题转化：点 O 是角平分线交点（内心），到三边距离相等（OD = OE = OF，OE⊥AB，OF⊥AC），可将三角形面积转化为三个小三角形面积之和。
转化推理：
∵S△ABC = S△AOB + S△BOC + S△AOC
设 OD = x，则 OE = OF = x
∴18 = \(\frac{1}{2}\)×AB×OE + \(\frac{1}{2}\)×BC×OD + \(\frac{1}{2}\)×AC×OF
代入数据：18 = \(\frac{1}{2}\)×5x + \(\frac{1}{2}\)×7x + \(\frac{1}{2}\)×6x
解得 x = 2cm，即 OD = 2cm。
（三）将角平分线的判定问题转化为等量关系问题
角平分线的逆定理（到角两边距离相等的点在角平分线上）为判定角平分线提供了依据，可将 “某射线是角平分线” 的判定问题转化为 “该射线上一点到角两边距离相等” 的等量关系证明问题。
例 3：如图 3，在△ABC 中，BD = CD，∠BED = ∠CFD = 90°，且 BE = CF，求证：AD 是∠BAC 的平分线。
[此处插入图 3：△ABC 中 D 是 BC 中点，BE⊥AD，CF⊥AD 的示意图]
分析：
问题转化：要证 AD 是角平分线，需证 AD 上的点到 AB、AC 距离相等，或证∠BAD = ∠CAD。通过证明△BDE≌△CDF 转化出 DE = DF，再结合逆定理证明。
转化推理：
在△BDE 和△CDF 中：\(
\begin{cases}
BED = CFD = 90 ° · \\
BDE = CDF é è§ \\
BD = CD ·
\end{cases}
\)
∴△BDE≌△CDF（AAS）
∴DE = DF（全等三角形对应边相等）
∵DE⊥AB，DF⊥AC（由∠BED = ∠CFD = 90° 得）
∴点 D 在∠BAC 的平分线上（逆定理），即 AD 是∠BAC 的平分线。
（四）将复杂图形转化为基本图形组合
当问题涉及多个角平分线或复杂图形时，可通过分解图形，识别出角平分线性质的基本应用场景（如角平分线 + 垂线 = 距离相等），将复杂问题转化为基本图形的性质叠加问题。
例 4：如图 4，在四边形 ABCD 中，∠ABC 和∠BCD 的平分线交于点 O，OE⊥BC 于点 E，求证：AB + CD = BC。
[此处插入图 4：四边形 ABCD 中角平分线交于 O，OE⊥BC 的示意图]
分析：
问题转化：构造与 AB、CD 相等的线段，将四边形问题转化为三角形问题。过 O 作 OF⊥AB 于 F，OG⊥CD 于 G，利用角平分线性质得 OF = OE = OG，再证明△OBF≌△OBE、△OCD≌△OCE，转化出 AB = BE，CD = CE，从而 AB + CD = BE + CE = BC。
三、转化策略的实施步骤
识别问题特征：分析问题的条件和结论，判断是否为复杂问题、陌生问题或需综合多个知识点的问题。例如，含角平分线的证明题中，若结论涉及线段和差或角度关系，可考虑转化。
确定转化方向：
向已知定理转化：如将角平分线问题转化为全等三角形、距离相等问题（利用角平分线性质定理）。
向基本图形转化：分解复杂图形，识别出角平分线 + 垂线、角平分线 + 中线等基本组合。
向简单形式转化：如将线段和差问题转化为线段相等问题（截长法或补短法）。
实施转化操作：通过添加辅助线（如作垂线、截长补短）、构造全等三角形、利用性质定理建立等量关系等方式完成转化。
解决转化后的问题：运用已学知识解决转化后的简单问题，如利用全等三角形性质、距离相等条件推导结论。
回归原问题：将转化后的结论还原为原问题的答案，确保转化过程的等价性。
四、转化策略的注意事项
转化的等价性：转化过程中需保证问题的本质不变，避免因转化不当导致结论失真。例如，在使用 “截长法” 时，截取的线段需满足构造全等的条件，否则会破坏等价性。
紧扣核心性质：角平分线问题的转化需围绕其核心性质（距离相等、角相等），避免盲目添加辅助线。例如，看到角平分线时，优先考虑作两边的垂线，利用距离相等转化条件。
多种转化尝试：若一种转化方向受阻，可尝试其他方向。例如，线段和差问题既可截长也可补短，角度问题既可转化为全等也可转化为等腰三角形。
结合图形特征：转化需结合图形的对称性、特殊点（如中点、垂足）等特征，提高转化的有效性。例如，等腰三角形中角平分线可结合 “三线合一” 转化。
五、典型例题解析
例 5：如图 5，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，∠B = 2∠C，求证：AB + BD = AC。
[此处插入图 5：△ABC 中 AD 是角平分线，∠B = 2∠C 的示意图]
解：
转化思路：采用 “补短法”，延长 AB 至 E，使 BE = BD，连接 DE，将 AB + BD 转化为 AE，再证明 AE = AC。
转化推理：
∵BE = BD（构造）
∴∠E = ∠BDE（等边对等角）
∵∠ABC = ∠E + ∠BDE = 2∠E（外角性质），且∠ABC = 2∠C（已知）
∴∠E = ∠C
∵AD 是角平分线（已知）
∴∠BAD = ∠CAD
在△AED 和△ACD 中：\(
\begin{cases}
E = C · è \\
EAD = CAD · è \\
AD = AD ±è
\end{cases}
\)
∴△AED≌△ACD（AAS）
∴AE = AC（全等三角形对应边相等）
∵AE = AB + BE = AB + BD（BE = BD）
∴AB + BD = AC。
例 6：如图 6，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于 D，若 BC = 10cm，BD = 7cm，求点 D 到 AB 的距离。
[此处插入图 6：Rt△ABC 中 AD 是角平分线的示意图]
解：
转化思路：求点 D 到 AB 的距离，利用角平分线性质转化为求 CD 的长度（D 到 AC 的距离为 CD）。
转化推理：
∵BC = 10cm，BD = 7cm（已知）
∴CD = BC - BD = 3cm
∵AD 平分∠BAC，∠C = 90°（DC⊥AC），设 DE⊥AB 于 E
∴DE = CD（角平分线性质）
∴DE = 3cm，即点 D 到 AB 的距离为 3cm。
六、课堂练习：运用转化策略解决问题
如图 7，在△ABC 中，∠A = 90°，BD 平分∠ABC，AD = 3cm，BC = 10cm，求△BCD 的面积。（提示：将面积问题转化为距离问题）
求证：角平分线分得的两个角相等（提示：转化为全等三角形问题证明）。
如图 8，在△ABC 中，AB = 2AC，AD 是∠BAC 的平分线，且 AD = BD，求证：CD⊥AC。（提示：构造辅助线转化为等腰三角形问题）
在四边形 ABCD 中，∠A = ∠C = 90°，∠ABC 的平分线交 AD 于 E，EF⊥BD 于 F，求证：EF = EA。（提示：转化为角平分线性质的距离相等问题）
七、方法总结
转化策略是解决几何问题的 “万能钥匙”，在角平分线相关问题中，其核心应用包括：
向全等转化：通过构造垂线段、截长补短等辅助线，将角平分线条件转化为全等三角形的判定条件，利用全等性质推导线段或角度关系。
向距离转化：紧扣 “角平分线上的点到角两边距离相等” 的性质，将线段相等问题转化为垂线段距离相等问题，简化计算或证明。
向基本图形转化：识别复杂图形中的角平分线 + 垂线、角平分线 + 中线等基本组合，利用基本图形的性质快速解题。
向等价关系转化：将线段和差、角度倍数等复杂关系转化为线段相等、角度相等的简单关系，降低推理难度。
通过转化策略，复杂的角平分线问题可被分解、简化为已学过的基本问题，充分体现了 “化难为易、化未知为已知” 的数学思想。在学习中，应多总结转化的常见类型和辅助线添加方法，培养转化意识，提高解题的灵活性和效率。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
观察图形，回答问题：
这两个图形的形状有什么特别的吗 看图后你能提出什么数学问题
面积相同. 利用图片，可以通过折一折、剪一剪、数一数等方法，把不规则图形转化为规则图形来求.
你猜测它们的面积有什么关系 怎么来求它们的面积呢
这两个图形都可以通过剪拼的方式由不规则图形转化为规则图形.
线段和“最短”问题
1
问题 如图，某工厂计划在一条笔直的道路上设立一个储物点，工作人员每天进人工厂大门后，先到储物点取物品，然后再到车间. 你认为该储物点应建在什么地方，才能使工作人员所走的路程最短
大门
车间
道路
活动 1：如果把大门、车间和储物点所在的位置都看作点，把道路看作一条直线，那么上述问题可以抽象成怎样的数学问题 试着写一写、画一画.
理解问题
大门
车间
道路
A
B
l
如图，直线 l 的两侧分别有 A，B 两点，在直线 l 上确定一个点 C，使 AC + CB 最短.
(2) 相信你能解决以下问题：如图，直线 l 的两侧分别有 A，B 两点，在直线 l 上确定一个点 C，使 AC + CB 最短.
拟定计划
(1) 你以前遇到过类似的问题吗 关于“最短”，你有哪些认识
A
B
l
两点之间线段最短
C
原问题与图中这个问题有什么区别和联系
你能将原问题转化为图中这样的问题吗 说说你的想法.
实施计划
如图，作点 B 关于 l 的对称点 B'，根据轴对称的性质，对于 l 上任意一点 C，都有 BC = B'C，
因此 AC＋BC＝AC＋B'C，问题转化为：在直线 l 上确定一个点 C，使 AC＋B'C 最短.
根据“两点之间线段最短”，连接 AB'，与 l 交于点 C，点 C 就是所要确定的点.
A
B
l
B'
C
要点归纳
异侧两点求线段和最小值
同侧两点求线段和最小值
已知:两定点 A，B 位于直线 l 异侧，在直线 l 上找一点P，使 PA+PB 的值最小
已知:两定点 A，B 位于直线 l 同侧，在直线 l 上找一点P，使 PA+PB 的值最小
结论1:连接 AB 交直线 l 于点 P，此时PA+PB 的值最小，最小值为 AB 的长
结论2:作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，交直线 l 于点P，此时PA+PB的值最小，最小值为AB'的长
A
l
B
P
A
B
l
B'
P
例1 如图，已知牧马营地在 M 处，每天牧马人要赶马群先到河边饮水，再到草地上吃草，最后回到营地，请你为牧马人设计出最短的牧马路线.(保留画图痕迹)
解：如图，分别作 M 关于河与草地所在直线的对称点，记为 M'、M"，连接 M'M" 交河与草地所在直线于点 P ，Q.
由对称性知，PM = PM'，QM = QM"，
∴MP+PQ+MQ=PM'+PQ+QM"=M'M".
∴MP－MP－QM 即为最短路线.
草地
河
营地
M
M"
M'
P
Q
典例精析
【例2】(西乡县期末)如图，等腰三角形 ABC 的底边 BC 为 4，面积为 24，腰 AC 的垂直平分线 EF 分别交边 AC，AB 于点 E，F，若 D 为 BC 边的中点，M 为线段 EF 上一动点，则△CDM 的周长的最小值为 ( 　)
A.8 B.10
C.12 D.14
连接 AD 交 EF 于 M，C△CDM 最小值＝CM+DM+CD＝AM+DM+CD＝AD+DC.
提示：
D
【变式】(海珠区期中)如图，在△ABC 中，AB＝AC，BC＝4，△ABC 的面积是 14，AC 的垂直平分线 EF 分别交 AC，AB 于点 E，F .若点 D 为 BC 边的中点，点 M 为线段 EF上一动点，则 CM+DM 的最小值为 (　 )
A.21 B.7
C.4 D.2
分析：连接 AD、AM，则 CM + DM ＝AM + DM ≥ AD.
B
【例3】(郧西县月考)如图，已知 ∠AOB 的大小为 30°，P 是 ∠AOB 内部的一个定点，且 OP＝1，点 E、F 分别是 OA、OB 上的动点，则 △PEF 周长的最小值等于 ( 　)
分析：作 P 点关于 OA 的对称点 P'，作 P 点关于 OB 的对称点 P''，连接 P'P'' 交 OA 于点 E、交BO 于点 F，连接 OP'、OP''，
C△PEF＝PE+PF+EF＝P'E+P''F+EF＝P'P''.
C
转化在代数中的应用
2
活动 2：利用学过的知识计算： ，
你准备怎样解决这个问题 分小组讨论，展示过程和答案.
方法一：通分转化，都变成分母是 64 的分数.
解：原式＝
＝
计算： .
方法二：式子中每个分数的分
子都是 1，分母依次乘 2，转化为边长为 1 的正方形，如图所示，涂色部分的面积可以用 1 减去空白部分的面积，
1.运用“转化”策略，可以化繁为简，化难为易，化不熟悉为熟悉.
2.转化思想的方法和步骤：分析问题，找到转化点;确定转化方法；进行转化；解决问题.
要点归纳
其实“转化”的策略并不神秘，在我们以前的学习中就曾经很多次运用了“转化”的策略，你能回想出哪些呢
① 三角形(梯形)面积→平行四边形面积→长方形面积
② 圆形→长方形(三角形、梯形)
③ 小数乘法→整数乘法
④ 分数除法→分数乘法
......
要点归纳
例4 下面的推导过程中，运用了“转化”思想的是 ( )
D
A.①和② B.②和③ C. ①和③ D.①②③
典例精析
1. 如图，在等边三角形中，， 分别
是，的中点，且是线段 上的一个
动点，当的周长最小时， 点的位置
在( )
C
A. 点处 B. 的中点处
C. 三条高的交点处 D. 以上都不对
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2. 教材P137习题 如图，小方格都是边长为1的正方
形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴
影图案的面积为_______.
（第2题）
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（第3题）
3.如图，在面积为12的 中，
，，于点 ，直
线垂直平分交于点，交 于点
，为直线上一动点，则 周长
的最小值为___.
7
【点拨】如图，连接 .
因为，， ，
所以 .
因为 的面积为12，
所以，所以 .
因为垂直平分，所以 .
因为为直线 上一动点，
所以 .所以
.
所以 .
所以 周长的最小值为7.
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4.[2024滨州期末] 如图，小河边有两个村庄， ，要在河边
上建一自来水厂向村与村供水，若要使水厂到， 村
的水管（同样的料）用料最省，则水厂应建在什么位置？
（1）请找出水厂应建的位置（保留作图痕迹）；
【解】水厂应建的位置 ,如图
所示.
（2）请根据画法写出每一步的详细作图步骤；
【解】作点关于直线的对称点，再连接交于
点，点 即为所求.
（3）请根据画法解释你的结论.
【解】因为点关于直线的对称点是
点 ，所以 .
所以
（两点之间，线段最短）.
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5.[2024扬州月考] 如图，在长度为1个单位长度的小正方形组
成的正方形网格中，点，， 在小正方形的顶点上.
（1）在图中画出与关于直线成轴对称的 ；
【解】如图， 即为所求.
（2）在直线上找一点，使 的长最短；
【解】如图，连接交直线于点 ，
则点 即为所求.
（3） 的面积是___.
8
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6. 教材P138习题 如图，， 为
内的两点，分别在与 上找点
，，使四边形 的周长最小.
【解】如图，作点关于直线的对称点 ,
作关于直线的对称点,连接交 于
点,交于点,则此时四边形 的周长最
小.
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（第7题）
7. 如图，为半圆的直径，且 ，半
圆绕点顺时针旋转 ，点旋转到点
的位置，则图中阴影部分的面积为( )
B
A. B. C. D.
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（第8题）
8. 教材P138习题 如图，已知
，为 内部的一点，点
,分别为射线,射线 上的动点，当
的周长最小时，则 ____.
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9.如图，在五边形 中，
， ，
，.在， 上分别
找一点，，使得 的周长最小，
则 的度数为____.
问题解决策略：转化
化繁为简
化难为易
化不熟悉为熟悉
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阿木提江·塔西吐木尔
托克逊县第一中学
13899326086