6.1.1 平方根 课件（共43张PPT）--2025-2026学年2024新沪科版数学七年级下册

(共43张PPT)
6.1.1 平方根
第6章 实数
新2024沪科版数学七年级下册【公开课精做课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
买合苏迪古丽·买买提
托克逊县第二中学
15909954880
6.1.1 平方根
课程导入
情境引入
学校要举行美术作品比赛，小鸥想裁出一块面积为 25dm 的正方形画布。
问题：这块正方形画布的边长应取多少？
解答：因为正方形面积 = 边长 × 边长，且 5 = 25，所以正方形画布边长为 5dm。
思考与探索
若正方形面积为 1、9、16、36、100，边长分别是多少？
| 正方形面积 /dm |1|9|16|36|100|
|---|---|---|---|---|---|
| 边长 /dm|1|3|4|6|10|
这些问题的共同点是什么？
共同点：已知一个数的平方，求这个数。
知识讲解
平方根的概念
一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫作 a 的平方根，也叫作二次方根。
即：如果 x = a，那么 x 叫作 a 的平方根。
例如：由于 2 = 4，(-2) = 4，所以 4 的平方根是 2 和 - 2（可合写为 ±2） 。
平方根的性质
一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
如：1 的平方根是 ±1；16 的平方根是 ±4。
零的平方根是 0。因为 0 = 0，而非零数的平方不等于 0。
负数没有平方根。因为同号两数相乘得正数，任何数的平方都不会是负数，所以 - 9 没有平方根，所有负数都没有平方根。
平方根的数学符号表示
正数 a 的平方根可以用 “±√a” 来表示。
a 的正平方根记作 “√a ”，读作 “根号 a”；
a 的负平方根记作 “ - √a ”，读作 “负根号 a”。
例如：4 的平方根是 ±2，可表示为 ±√4 = ±2 。
开平方的概念
求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方。
平方与开平方互为逆运算，根据这种关系，可以求一个数的平方根。
例如：已知 3 = 9，那么 9 的平方根就是 ±3，即通过平方运算的结果求其平方根，这就是开平方运算。
算术平方根的概念
我们把正数 a 的正平方根 “√a” 叫作 a 的算术平方根。
换句话说，如果正数 x 满足 x = a ，那么 x 叫作 a 的算术平方根。
规定：0 的算术平方根是 0。
例如：16 的平方根是 ±4，其中 4 是 16 的算术平方根。
算术平方根的性质
正数的算术平方根是一个正数。
0 的算术平方根还是 0。
负数没有算术平方根。
算术平方根具有双重非负性，即√a 中，a≥0，√a≥0。
例题分析
例 1
已知一个正数的两个平方根分别是 2a - 2 和 a - 4，求 a 的值。
解析：因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以 2a - 2 + a - 4 = 0，
即 3a - 6 = 0，
3a = 6，
解得 a = 2。
例 2
分别求下列各数的平方根：
（1）36
（2）(- 2.1)
（3）16/25
解：
（1）由于 (±6) = 36，因此 36 的平方根是 ±6，即 ±√36 = ±6 ；
（2）由于 (±2.1) = ( - 2.1) ，因此 ( - 2.1) 的平方根是 ±2.1，即 ±√( - 2.1) = ±2.1 ；
（3）由于 (±4/5) = 16/25，因此 16/25 的平方根是 ±4/5，即 ±√(16/25) = ±4/5 。
例 3
分别求下列各数的算术平方根：
（1）100
（2）16
（3）0.49
解：
（1）由于 10 = 100，因此√100 = 10 ；
（2）由于 4 = 16，因此√16 = 4 ；
（3）由于 0.7 = 0.49，因此√0.49 = 0.7 。
例 4
若 | m - 1| + √(n + 3)= 0，求 m + n 的值。
解：因为 | m - 1|≥0，√(n + 3)≥0，又 | m - 1| + √(n + 3)= 0，
所以 | m - 1| = 0，√(n + 3)= 0，
即 m - 1 = 0，n + 3 = 0，
解得 m = 1，n = - 3，
所以 m + n = 1 + ( - 3)= - 2 。
课堂总结
重点回顾
平方根的概念：如果 x = a，那么 x 叫作 a 的平方根。
平方根的性质：正数有两个互为相反数的平方根；0 的平方根是 0；负数没有平方根。
平方根的表示：±√a 。
开平方的概念：求非负数平方根的运算。
算术平方根的概念：正数 a 的正平方根√a ，0 的算术平方根是 0。
算术平方根的性质：正数的算术平方根是正数，0 的算术平方根是 0，负数没有算术平方根，且算术平方根具有双重非负性。
知识拓展
被开方数越大，其算术平方根越大，该结论对所有正数都成立。
平方与开平方互为逆运算，利用此关系可进行相关运算和求解。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
某家庭在装修儿童房时需铺地垫 10.8 m2，刚好用去正方形的地垫 30 块. 你能算出每块地垫的边长是多少吗？
每块正方形地垫的面积是 10.8÷30 = 0.36 (m2)，
即边长×边长 = 0.36 m2.
由于 0.62 = 0.36，
因此面积为 0.36 m2 的正方形地垫的边长是 0.6 m.
请你说一说解决问题的思路．
　　学校要举行美术作品比赛，小鸥想裁出一块面积为25 dm2 的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？
平方根的概念及其性质
1
（1）若正方形画布的面积如下，请填表：
（2）你能指出它们的共同特点吗？
正方形的面积/dm2 1 9 16 36 100
正方形的边长/dm
都是已知一个数的平方，求这个数的问题.
1
3
4
6
10
填一填：
根据上述问题的共同点：已知一个数的平方，求这个数. 由此我们抽象出下面的概念：
一般地，如果有一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根，也叫作a的二次方根.
例如：由于 22 = 4，(-2)2 = 4，所以 4 的平方根是 2 和 -2 （可以合写为±2）.
换句话说，如果 ，那么 x 叫作 a 的平方根.
x2 = a
一、平方根的概念
问题1 如果一个数的平方等于 16，这个数是多少？
想一想：4 和 -4 有什么特征？
4 和 -4 互为相反数，会不会是巧合呢？
由于 ，
所以这个数是 4 或 -4.
(±4)2 = 16
二、平方根的性质
4 9 …
…
一个正数的平方根有两个，并且这两个数是相反数.
观察所填的数据，填一填：
1 的平方根是 ；16 的平方根是 ，…；
的平方根是 .
你发现了什么？
a2
±a
a2
±2
±3
±a
合作探究
1. 144 的平方根是什么？
2. 0 的平方根是什么？
3.
的平方根是什么？
4. -9 有没有平方根？为什么？
0
没有，因为一个数的平方不可能是负数
试一试
±12
通过这些题目的解答，你能发现什么
问题：（1）正数有几个平方根？
（2）0 有几个平方根？
（3）负数呢？
有没有一个数的平方是负数？
因为任何数的平方都为非负数，所以负数没有平方根.
想一想
平方根的性质：
1. 正数有两个平方根，它们互为相反数.
2. 0 的平方根还是 0.
3. 负数没有平方根.
要点归纳
例1 已知一个正数的两个平方根分别是 2a－2 和 a－4，
则 a 的值是_____．
解析：因为 一个正数的两个平方根分别是 2a－2 和 a－ 4， 所以 2a－2＋a－4＝0，解得 a＝2.
一个正数有两个平方根，它们互为相反数.
归纳
2
典例精析
这样，正数 a 的平方根可以用“ ”来表示.
例如，4 的平方根是 2 与 -2，即
为书写方便，对正数 a 的平方根，我们有以下规定：
a 的负平方根
记作
读作“负根号 a”
a 的正平方根
读作“根号 a”
记作
三、平方根的数学符号表示
+1
-1
+2
-2
+3
-3
1
4
9
平方运算
我们知道已知一个数，求它的平方的运算叫作平方运算.
练一练：
四、开平方的概念
x
x2
+1
-1
+2
-2
+3
-3
1
4
9
？运算
那么已知一个数的平方，求这个数的运算叫什么呢
x
x2
开平方与平方互为逆运算，根据这种关系，我们可以求出一些数的平方根.
求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方.
特别规定：
例2 求下列各数的平方根：
(1) 64； (2)
(4)
(5) 11.
(3) 0.0004；
解：（1）因为 ，所以64 的平方根是±8.
（2）因为 ，所以 的平方根是 .
（3）因为 ，所以 0.0004 的平方根是±0.02.
（4）因为 ，所以 的平方根是±25.
（5）因为11 的平方根是 .
典例精析
运用平方运算求一个非负数的平方根是常用的方法，如被开方数是小数，要注意小数点的位置，也可先将小数化为分数，再求它的平方根，如被开方数是带分数，先要把它化为假分数.
方法总结
我们把正数 a 的正平方根 叫作 a 的算术平方根.
换句话说，
如果正数 x 满足：x2 = a，那么 x 叫作 a 的算术平方根.
a 的算术平方根
记作
算术平方根的概念及性质
2
判断下列说法是否正确.
① 25 的算术平方根是 5. （ ）
② 25 的平方根是 5. （ ）
③ 5 是 25 的平方根. （ ）
√
√
注意区分“平方根”与“算术平方根”的意义.
练一练：
例如：16 的平方根是 4 和 -4，其中 4 是 16 的算术平方根.
思考：正数、0、负数 的算术平方根各有几个？
正数有一个正的算术平方根，0 的算术平方根还是 0，负数没有算术平方根.
类似平方根的讨论，
算术平方根具有双重非负性
a 的算术平方根
算术平方根的性质
非负数
非负数
例3 求下列各数的平方根和算术平方根：
(1) 1； (2) 81； (3) ； (4) (－3)2.
解：(1) 因为 (±1)2 = 1，所以 1 的平方根是±1，
即± = ±1；1 的算术平方根是 1 .
(2) 因为 (±9)2 = 81，所以 81 的平方根是±9，
即± = ±9；81 的算术平方根是 9 .
(3) 因为 (±)2 = ，所以 的平方根是±，
即± = ± 的算术平方根是 .
例4 若 |m - 1| + = 0，求 m + n 的值.
解：因为 |m - 1|≥0， ≥0，又 |m - 1| + = 0，
所以 |m - 1| = 0， = 0，所以 m = 1，n = -3，
所以 m + n = 1 + (-3) = -2.
几个非负式的和为 0，则每个式子均为 0，现阶段
学过的非负式有绝对值式、平方式及算术平方根.
归纳
解：(4) 因为 (±3)2 = 9 = (-3)2，所以 (-3)2 的平方根是±3，即± = ±3；(-3)2 的算术平方根是 3 .
3. 若 ，则 a = ；
2. 若 = 0，则 m = ；
4. 若|a - 3| + ，则式子 (a + b)2025 =___.
1. 若 |a + 3| = 0， 则 a = ；
-3
7
5
-1
到目前为止，表示非负的式子有：
| a |，a2， .
练一练
例5 用计算器求下列各式的值(精确到0.01)：
(1) ； (2) (3) (4)．
解：
(2) 42.78 ．
(1) 在计算器上依次键入 2 显示结果是：
1.414213562， 精确到0.01，得.
用计算器求平方根
3
(3) 0.94 ．
(4) 在计算器上依次键入：
即可得 0.85
(
5
÷
7
)
2020 年 12 月 17 日，嫦娥五号返回舱首次完成月球采样任务，返回地球. 返回舱返回地球时，是以接近第二宇宙速度 v2 的速度进入地球大气层的，v2满足以下关系式：v22 = 2gr (其中，g取 9.8 m/s2，r 取 6.4×106 m). 如何求 v2 呢
解：v2 =
v2 = 11 200 (m/s)
= 11.2 (km/s).
典例精析
例6 如图，跳水运动员要在空中下落的短暂过程中完成一系列高难度的动作. 如果不考虑空气阻力等其他因素影响，弹跳到最高点后，人体下落到水面所需要的时间 t 与下落的高度 h 之间应遵循下面的公式：h = gt2，其中 h 的单位是 m，t 的单位是 s，g 取 9.8 m/s2. 假设跳板离水面的高度是 3 m，运动员在跳板上跳起至高出跳板 1.2 m 处开始下落，那么运动员下落到水面约需多长时间 (精确到 0.01 s)
解：设运动员下落到水面需 t s，根据题意，得
3 + 1.2 = .
= 0.857.
因为 t ＞0，所以 t≈0.93.
因而，运动员下落到水面约需0.93 s.
核心必知
正数 0 负数
平方根 有____个，分别是 ______，它们互为 ________ 0 没有
算术平方根 0 没有
两
相反数
1星题 基础练
平方根和算术平方根
1.［知识初练］因为， ，所以25的平方
根是____.其中正的平方根是___，即25的算术平方根是___.
5
5
1
2
3
4
5
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16
17
【补充设问1】 有关16的平方根表示正确的是( )
D
A. B.
C. D.
【补充设问2】 16的算术平方根是___.
4
2.[2024·内江中考] 16的平方根是( )
D
A. B.4 C.2 D.
1
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3.下列各数中，没有平方根的是( )
C
A.0 B. C. D.
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4. 的算术平方根是( )
C
A.9 B. C.3 D.
易忽略原式化简导致出错.
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5. 下图是小佳的练习册，她答对的题目数量是
( )
判断题：
一定没有平方根.(√)
2.的平方根是 .(×)
3.1的平方根是1.(×)
4.6是36的一个平方根.(√)
C
A.1道 B.2道 C.3道 D.4道
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6.求下列各数的平方根和算术平方根：
(1)64；
解：因为，所以64的平方根是 ，
即 ；64的算术平方根是8.
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(2) ；
因为，所以的平方根是 ，
即；的算术平方根是 .
(3)0.49；
因为，所以0.49的平方根是 ，
即 ；0.49的算术平方根是0.7.
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(4) .
因为，所以的平方根是 ，
即； 的算术平方根是10.
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用计算器求一个正数的算术平方根或它的近
似值
7.大多数计算器都有“ ”键，用它可以求出一个正有理数
的算术平方根(或其近似值).用计算器依次按键 ，
最终显示的结果是( )
A
A.12 B.122 C. D.
1
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8.用计算器求下列各式的值(结果精确到 )：
(1) ______；
(2) _______.
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算术平方根的应用
9. 某地举办了“绘少年力量，画
无烟未来”青少年控烟绘画大赛.小宇想
裁出一块面积为 的正方形画布，
9
画上自己的作品参加比赛，则这块正方形画布的边长为___
.
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2
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10.[2024·广东中考] 完全相同的4个正方形面积之和是100，
则正方形的边长是( )
B
A.2 B.5 C.10 D.20
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平方根的概念
正数的平方根
负数的平方根
0 的平方根
正平方根
→
→
（不存在）
（就是 0 本身）
负平方根
算术平方根
→
谢谢观看！
阿木提江·塔西吐木尔
托克逊县第一中学
13899326086