6.1.2 立方根 课件（共35张PPT）--2025-2026学年2024新沪科版数学七年级下册

(共35张PPT)
6.1.2 立方根
第6章 实数
新2024沪科版数学七年级下册【公开课精做课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
买合苏迪古丽·买买提
托克逊县第二中学
15909954880
6.1.2 立方根
课程导入
情境引入
要制作一个容积为 8m 的正方体形状的包装箱。
问题：这个正方体包装箱的棱长应该是多少？
解答：因为正方体体积 = 棱长 × 棱长 × 棱长，且 2 =8，所以正方体包装箱的棱长为 2m。
思考与探索
若正方体体积为 1、27、64、125，棱长分别是多少？
| 正方体体积 /m |1|27|64|125|
|---|---|---|---|---|
| 棱长 /m|1|3|4|5|
这些问题的共同点是什么？
共同点：已知一个数的立方，求这个数。
知识讲解
立方根的概念
一般地，如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫作 a 的立方根，也叫作三次方根。
即：如果 x =a，那么 x 叫作 a 的立方根。
例如：由于 3 =27，所以 27 的立方根是 3；由于 (-3) =-27，所以 - 27 的立方根是 - 3。
立方根的性质
正数的立方根是正数。
如：8 的立方根是 2；1 的立方根是 1。
负数的立方根是负数。
如：-8 的立方根是 - 2；-1 的立方根是 - 1。
0 的立方根是 0。因为 0 =0，所以 0 的立方根是 0。
每个数都有且只有一个立方根。这与平方根不同，平方根只有非负数才有，且正数有两个平方根，而立方根不存在这样的限制。
立方根的数学符号表示
数 a 的立方根记作 “\(\sqrt[3]{a}\)”，读作 “三次根号 a”，其中 a 是被开方数，3 是根指数。
例如：27 的立方根是 3，可表示为\(\sqrt[3]{27}=3\)；-8 的立方根是 - 2，可表示为\(\sqrt[3]{-8}=-2\)。
注意：根指数 3 不能省略，而平方根的根指数 2 通常省略不写。
开立方的概念
求一个数的立方根的运算，叫作开立方。
立方与开立方互为逆运算，根据这种关系，可以求一个数的立方根。
例如：已知 4 =64，那么 64 的立方根就是 4，即通过立方运算的结果求其立方根，这就是开立方运算。
立方根的特殊性质
\(\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}\)，即负数的立方根等于它的相反数的立方根的相反数。
例如：\(\sqrt[3]{-125}=-\sqrt[3]{125}=-5\)。
例题分析
例 1
求下列各数的立方根：
（1）64
（2）-125
（3）0.008
解：
（1）由于 4 =64，因此\(\sqrt[3]{64}=4\)；
（2）由于 (-5) =-125，因此\(\sqrt[3]{-125}=-5\)；
（3）由于 0.2 =0.008，因此\(\sqrt[3]{0.008}=0.2\)。
例 2
求下列各式的值：
（1）\(\sqrt[3]{216}\)
（2）\(\sqrt[3]{-\frac{1}{8}}\)
（3）\(-\sqrt[3]{-27}\)
解：
（1）因为 6 =216，所以\(\sqrt[3]{216}=6\)；
（2）因为\((-\frac{1}{2}) =-\frac{1}{8}\)，所以\(\sqrt[3]{-\frac{1}{8}}=-\frac{1}{2}\)；
（3）因为 (-3) =-27，所以\(\sqrt[3]{-27}=-3\)，则\(-\sqrt[3]{-27}=-(-3)=3\)。
例 3
已知一个数的立方根是 4，求这个数的平方根。
解：因为一个数的立方根是 4，所以这个数是 4 =64。
64 的平方根是 ±8，即 ±\(\sqrt{64}=±8\)。
所以这个数的平方根是 ±8。
例 4
若\(\sqrt[3]{x-1}=2\)，求 x 的值。
解：因为\(\sqrt[3]{x-1}=2\)，两边同时立方可得 x-1=2 =8，
则 x=8+1=9。
课堂总结
重点回顾
立方根的概念：如果 x =a，那么 x 叫作 a 的立方根。
立方根的性质：正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0 的立方根是 0；每个数都有且只有一个立方根。
立方根的表示：\(\sqrt[3]{a}\)，根指数 3 不能省略。
开立方的概念：求一个数的立方根的运算，与立方互为逆运算。
立方根的特殊性质：\(\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}\)。
知识拓展
被开方数越大，其立方根越大，该结论对所有实数都成立。
利用立方根可以解决一些与体积相关的实际问题，如根据物体体积求边长等。
平方根与立方根的区别：平方根只有非负数才有，正数有两个平方根且互为相反数；立方根任何数都有，且只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
某化工厂使用半径为 1 米的一种球形储气罐储藏气体，现在要造一个新的球形储气罐，如果要求它的体积必须是原来体积的 8 倍，那么它的半径应是原来储气罐半径的多少倍？
问题：要做一个体积为 64 cm3 的正方体模型 (如图)，它的棱长要取多少？你是怎么知道的？
解：设正方体的棱长为 x cm，则 x3 = 64.
这就是要求一个数，使它的立方等于 64.
因为 x3 = 64，
所以 x = 4. 正方体的棱长为 4 cm.
想一想 (1) 什么数的立方等于 -8？
(2) 如果问题中正方体的体积为 5 cm3，正方体的边长又该是多少？
-2
立方根的概念及性质
1
立方根的概念
一般地，如果一个数的立方等于 a，那么这个数就叫作 a 的立方根，也叫作 a 的三次方根．
立方根的表示
一个数 a 的立方根记作：
根指数
被开方数
其中 a 是被开方数，3 是根指数，3 不能省略.
读作：三次根号 a，
填一填： 根据立方根的意义填空：
因为 = 8，所以 8 的立方根是（　）；
因为( )3 = 0.125，所以 0.125 的立方根是（　 ）；
因为( )3 ＝ 0，所以 0 的立方根是（　）；
因为( )3 ＝ －8，所以 －8 的立方根是（ ）；
因为( )3 ＝ ，所以 的立方根是（ ）.
0
2
-2
0
-2
立方根的性质
正数的立方根是一个正数；
负数的立方根是一个负数；
零的立方根是零.
立方根是它本身的数有 1，-1，0；
平方根是它本身的数
只有 0.
知识要点
平方根与立方根的异同
被开方数 平方根 立方根
有两个，互为相反数
有一个，是正数
无平方根
零
有一个，是负数
零
正数
负数
零
求一个数 a 的立方根的运算叫作开立方，a 叫作被开方数.
注意：这个根指数3 绝对不可省略.
每个数 a 都有一个立方根，记作 ，读作“三次
根号 a”. 如：x3 = 7 时，x 是 7 的立方根．
a 叫作被开方数
3 叫作根指数
开立方及相关运算
2
求一个数的立方根的运算叫做“开立方”.
“开立方”与“立方”互为逆运算
逆向思维
与学方运算的过程一样，体现着一种重要的数学思想方法，你体会到了么？
例1 求下列各数的立方根:
(1) 27； (2)－64； (3) 0.
典例精析
解：(1) 因为 33 = 27，所以 27 的立方根是 3，即
= 3 .
(2) 因为 (－4)3 = －64，所以 －64 的立方根是 －4，即
= －4 .
(3) 因为 03 = 0，所以 0 的立方根是 0，即
= 0 .
求下列各式的值：
体会：对于任何数 a,
a
2
4
0
-2
-3
探究1
3
23 ___
=
3
43 ___
=
温馨提示：开立方与立方运算互为逆运算.
体会：对于任何数 a,
a
8
27
0
-8
-27
探究2
求下列各式的值:
体会：
(1) 求一个负数的立方根，可以先求出这个负数绝对值的立方根，然后再取它的相反数.
(2) 负号可从“根号内” 直接移到“根号外” .
求下列各式的值:
(1) ； (2) .
探究3
-0.2
-0.2
求下列各式的值：
答案：(1) 0.5； (2)－4； (3) －4； (4) 5； (5) 16.
练一练
例2 求下列各式的值：
例3 已知 x－2 的平方根是±2，2x＋y＋7 的立方根是 3，求 x2＋y2 的算术平方根．
方法总结：本题先根据平方根和立方根的定义，运用方程思想求出 x，y 值，再根据算术平方根的定义求解．
解：因为 x－2 的平方根是±2，
所以 x－2＝4. 所以x＝6.
因为 2x＋y＋7 的立方根是 3，
所以 2x＋y＋7＝27. 把 x＝6 代入，解得 y＝8.
因为 x2＋y2＝36＋64＝100，
所以 x2＋y2 的算术平方根为 10.
例4 用计算器求下列两数的立方根(精确到0.01)：
(1) 2； (2) 7.797； (3) －17.456； (4) .
解：(1) 在计算器上依次按键： ，
显示结果是 1.259 921 05，精确到 0.01，得
SHIFT
2
=
用计算器求立方根
3
(2)
请同学们自己算出第(3)(4)题的结果.
1. 填表：
课本练习
a 1 8 27 64
5 6 7 8 9 10
1
2
3
4
125
216
343
512
729
1000
3.用计算器计算(精确到0.1):
(1) ； (2) ； (3) (4) .
2. 求下列各数的立方根:
(1) 0.729； (2) －0.729； (3) ； (4) .
解：(1) ≈3.0； (2) ≈0.7；
(3) (4) ≈0.3.
解：(1) 0.9； (2) －0.9；(3) ； (4) .
核心必知
1.正数的立方根是一个______,负数的立方根是一个______,0
的立方根是___.
2.开立方时，若被开方数是负数,则负号可以移到根号外,用式
子表示是 .
正数
负数
0
1星题 基础练
立方根
1.［知识初练］因为 ，所以___是27的立方根，记作
___.
3
3
2. 的立方根是( )
C
A. B.2 C. D.不存在
【变式题】 若一个数的立方根为5，则这个数是( )
B
A. B.125 C. D.
3.下列计算不正确的是( )
C
A. B.
C. D.
4.若一个数的立方根就是它本身，则这个数是__________.
1或或0
【补充设问】 若一个数的算术平方根和立方根都等于它本
身，则这个数是______.
0或1
5.求下列各数的立方根：
(1)0.008；
解： .
(2) ；
.
(3) .
.
用计算器求一个数的立方根或它的近似值
6.用计算器计算 的按键顺序是( )
B
A. B.
C. D.
7.用计算器计算(结果精确到 )：
(1) _______;
(2) _______.
立方根的应用
8. 魔方是匈牙利建筑师鲁比克发明的一
种智力玩具.如图，一个二阶魔方由8个完全相同的
小正方体组成，体积为 ，那么该魔方的棱
长为______.
9.将一个长、宽、高分别为、、 的长方体
铁块锻造成一个正方体铁块，则锻造成的正方体铁块的棱长
是( )
A
A. B. C. D.
10.如图的零件是由两个正方体焊接而成的，已知
大正方体和小正方体的体积分别为 和
，现要给这个零件的表面刷上油漆，那么
所刷油漆的面积是( )
B
A. B. C. D.
2星题 中档练
11. 的算术平方根是( )
C
A.2 B. C. D.
因为，所以的算术平方根是 ,故选C.
12.已知， ，则
( )
A
A. B.28.72 C.2.872 D.
【补充设问】 若，则 ____________.
13.已知一个数的两个不同的平方根分别是和
则数 的立方根是( )
A
A.4 B. C.8 D.
14. ［分类讨论思想］已知， 满足
，则 的值为_______.
0或
15. ［立德树人·传统文化］ 每年农历八月十五日是
我国传统的中秋佳节，这时是一年秋季的中期，所以被称为
中秋.自古便有中秋赏月、品月饼的习俗.某商店的李师傅制
作的正方体月饼礼盒的体积为 ，而康师傅制作的正
方体月饼礼盒的体积比李师傅制作的大 ，则康师傅
制作的正方体月饼礼盒的表面积为_____ .
294
立方根
立方根的概念及性质
开立方及相关运算
谢谢观看！
阿木提江·塔西吐木尔
托克逊县第一中学
13899326086