6.2.2实数的运算和大小比较 课件（共41张PPT）--2025-2026学年2024新沪科版数学七年级下册

6.2.2实数的运算和大小比较
第6章 实数
新2024沪科版数学七年级下册【公开课精做课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
买合苏迪古丽·买买提
托克逊县第二中学
15909954880
6.2.2 实数的运算和大小比较
课程导入
知识回顾
上节课我们学习了实数的概念及分类，知道实数是有理数和无理数的统称，并且实数与数轴上的点一一对应。
有理数可以进行加、减、乘、除、乘方等运算，那么实数是否也能进行这些运算呢？实数之间又该如何比较大小呢？这就是我们本节课要探讨的内容。
情境引入
如图，数轴上有 A、B 两点，分别表示实数√2 和√3 。
问题：你能判断出√2 和√3 的大小关系吗？A、B 两点在数轴上的位置有什么特点？
通过观察数轴可知，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，因为 B 点在 A 点右边，所以√3 > √2 。
知识讲解
实数的大小比较
数轴比较法
在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。
这是实数大小比较的基本方法，利用了实数与数轴上的点一一对应的关系。例如：在数轴上表示 - 1.5 和 -√2 ，-√2≈-1.414，因为 - 1.414 在 - 1.5 的右边，所以 -√2 > -1.5 。
法则比较法
正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于一切负数。
例如：3 > 0，-2 <0，5> -3 。
两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。
例如：5 和 3 都是正数，|5|=5，|3|=3，因为 5 > 3，所以 5 > 3 ；-5 和 - 3 都是负数，| -5|=5，| -3|=3，因为 5 > 3，所以 - 5 < -3 。
对于含有根号的正数比较大小，可先比较它们的平方的大小，平方大的数大。
例如：比较√5 和 2，因为 (√5)?=5，2?=4，5 > 4，所以√5 > 2 ；比较√7 和√10 ，因为 (√7)?=7，(√10)?=10，7 < 10，所以√7 < √10 。
实数的运算
实数的运算法则
有理数的运算法则在实数范围内仍然适用，包括：
加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得 0；一个数同 0 相加，仍得这个数。
减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即 a - b = a + (-b) 。
乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同 0 相乘，都得 0；几个不等于 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。
除法法则：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数，即 a ÷ b = a × (1/b)（b≠0）；两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0。
乘方法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0 的任何正整数次幂都是 0。
实数的运算律
有理数的运算律在实数范围内同样适用，包括：
加法交换律：a + b = b + a 。
加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c) 。
乘法交换律：a × b = b × a 。
乘法结合律：(a × b) × c = a × (b × c) 。
乘法分配律：a × (b + c) = a × b + a × c 。
实数的运算顺序
先算乘方和开方；
再算乘除；
最后算加减；
同级运算，从左到右依次进行；
如果有括号，先算括号里面的。
实数的相关性质
相反数：实数 a 的相反数是 - a，0 的相反数是 0。若 a 与 b 互为相反数，则 a + b = 0 。例如：√2 的相反数是 -√2 ，π 的相反数是 -π 。
绝对值：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0。即：
当 a > 0 时，|a| = a；
当 a = 0 时，|a| = 0；
当 a < 0 时，|a| = -a 。
例如：|√3|=√3 ，| -√5|=√5 ，|0|=0 。
倒数：如果两个实数的乘积是 1，那么这两个实数互为倒数，0 没有倒数。若 a 与 b 互为倒数，则 a × b = 1 。例如：2 的倒数是 1/2，√2 的倒数是 1/√2=√2/2（分母有理化后） 。
例题分析
例 1
比较下列各组数的大小：
（1）√10 和 3 ；
（2）-√5 和 - 2.2 ；
（3）√3 - 2 和 - 1/2 。
解：
（1）因为 (√10)?=10，3?=9，10 > 9，所以√10 > 3 ；
（2）因为 | -√5|=√5≈2.236，| -2.2|=2.2，2.236 > 2.2，所以 -√5 < -2.2 ；
（3）因为√3≈1.732，所以√3 - 2≈1.732 - 2=-0.268 ，又因为 - 1/2=-0.5 ，-0.268 > -0.5 ，所以√3 - 2 > -1/2 。
例 2
计算下列各式的值：
（1）√4 + √25 - √16 ；
（2）(√3 + √2) - √2 ；
（3）√5 × √20 ÷ √4 ；
（4）(2 + √3)(2 - √3) 。
解：
（1）√4 + √25 - √16=2 + 5 - 4=3 ；
（2）(√3 + √2) - √2=√3 + √2 - √2=√3 ；
（3）√5 × √20 ÷ √4=√(5×20)÷2=√100÷2=10÷2=5 ；
（4）(2 + √3)(2 - √3)=2? - (√3)?=4 - 3=1 。
例 3
已知实数 a、b 在数轴上的对应点如图所示（a 在原点左侧，b 在原点右侧，且 a 到原点的距离大于 b 到原点的距离），化简 | a| - |b| + |a - b| 。
解：
由数轴可知，a <0，b> 0，且 | a| > |b| ，所以 a - b < 0 。
根据绝对值的性质：|a|=-a，|b|=b，|a - b|=-(a - b)=b - a 。
则 | a| - |b| + |a - b|=-a - b + b - a=-2a 。
例 4
计算：√(- 3)? + |1 - √2| - √2 。
解：
√( - 3)?=√9=3 ，因为 1 - √2 < 0，所以 | 1 - √2|=√2 - 1 。
则√( - 3)? + |1 - √2| - √2=3 + √2 - 1 - √2=2 。
课堂总结
重点回顾
实数的大小比较方法：
数轴比较法：数轴上右边的数总比左边的数大；
法则比较法：正数大于 0，负数小于 0，正数大于负数；两个正数绝对值大的数大，两个负数绝对值大的数反而小；含根号正数可比较平方大小。
实数的运算：有理数的运算法则、运算律在实数范围内仍然适用，运算顺序与有理数相同。
实数的性质：
相反数：a 的相反数是 - a，a + (-a)=0 ；
绝对值：正数绝对值是本身，负数绝对值是相反数，0 的绝对值是 0 ；
倒数：乘积为 1 的两个数互为倒数，0 没有倒数。
知识拓展
在进行实数运算时，遇到无理数可根据需要取近似值，转化为有理数进行计算，但结果要注意保留适当的精确度。
对于含有根号的运算，可利用平方差公式、完全平方公式等进行简便计算，如 (a + √b)(a - √b)=a? - b 。
比较实数大小时，要灵活选择合适的方法，对于复杂的实数比较，可结合多种方法进行判断。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？
， 0，1.414， ， ， ， ，
0.1010010001…（相邻两个 1 之间逐次增加一个 0）.
是有理数，
是无理数.
思考：有理数可以做加、减、乘、除、乘方运算，实数可以吗？
（相邻两个 1 之间逐次增加一个 0）
思考1：如图，直径为 1 个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上一点从原点到达 A 点，则数轴上表示点 A 表示的数是多少？
因为圆的周长为 π，数轴上此点 A 表示的是无理数 π.
0
-2
-1
1
3
2
4
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
A
实数与数轴上的点
1
思考2：如图，以数轴上的单位长度为边作一个正方形，以原点为圆心、这个正方形对角线的长为半径画弧，与数轴正半轴的交点记作点A，那么，点 A 表示什么数?
A
1
0
2
4
3
-1
-2
1
点 A′ 是画弧时与数轴的另一交点，它表示什么数？
A′
推广：由上可知，无理数和有理数一样也可以用数轴上的点来表示.
这可以说明：
每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示.
反过来，还可以说明：
数轴上每一个点都表示唯一的一个实数.
上面两个结论结合起来可以简洁地说成：
实数和数轴上的点一一对应.
如果在数轴上表示正实数、零、负实数，它们分别应该在数轴上的什么位置呢？
例1 如图所示，数轴上 A，B 两点表示的数分别为－1 和 ，若点 A 是线段 BC 的中点，求点 C 所表示的实数．
解：因为数轴上 A，B 两点表示的数分别为－1 和 ，
所以点 B 到点 A 的距离为 1＋ .
则点 C 到点 A 的距离为 1＋ .
设点 C 表示的实数为 x，则点 A 到点 C 的距离为－1－x，
所以－1－x ＝ 1＋ ，
所以 x ＝ －2－
本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，其中利用了：当点 A 是线段 BC 的中点时，点 C 到点 A 的距离等于点 B 到点 A 的距离；两点之间的距离为两数差的绝对值．
方法总结
例2 如图所示，数轴上 A，B 两点表示的数分别为
和 5.1，则 A，B 两点之间表示整数的点共有 ( )
A．6 个 B．5 个 C．4 个 D．3 个
解析：因为 ≈ 1.414，所以 和 5.1 之间的整数有 2，3，4，5，所以 A，B 两点之间表示整数的点共有 4 个.
C
例3 分别写出：
解：(1) －7 的相反数是 7， ????3 的相反数是 －????3.
?
(1) －7，????3 的相反数；
?
(2) －3，25 的倒数；
?
(2) －3 的倒数是 －13， 25 的倒数是 52.
?
(3) 3－27，3.14－π 的绝对值；
?
(3) 3－27 的绝对值是 3， 3.14－π 的绝对值 是 π－3.14 .
?
(4) 绝对值为 5 的实数.
?
(4) 绝对值为 5 的实数是 ±5 .
?
1. 的相反数是 ，
的相反数是 ，
的相反数是 .
2. -π 的绝对值是 ，
= ，
= .
练一练
1. 若 a 是一个实数，则实数 a 的相反数为 -a.
2. ① 一个正实数的绝对值是它本身；
② 一个负实数的绝对值是它的相反数；
③ 0 的绝对值是 0.
归纳总结
填空：设 a，b，c 是任意实数，则
（1）a + b = （加法交换律）；
（2）(a + b) + c = （加法结合律）；
（3）a + 0 = 0 + a = ；
（4）a + (-a) = (-a) + a = ；
（5）ab = （乘法交换律）；
（6）(ab)c = （乘法结合律）；
b + a
a + (b + c)
a
0
ba
a(bc)
（7） 1 · a = a · 1 = ；
a
实数的运算
2
（8）a(b + c) = （乘法对于加法的分配律），
(b + c)a = （乘法对于加法的分配律）；
（9）实数的减法运算规定为 a - b = a + ；
（10）对于每一个非零实数 a，存在一个实数 b，满足
a · b = b · a = 1，我们把 b 叫做 a 的＿＿＿；
（11）实数的除法运算（除数 b≠0），规定为 a÷b =
a · ；
（12）实数有一条重要性质：如果 a≠0，b≠0，那么
ab＿＿0.
ab + ac
ba + ca
(-b)
倒数
≠
每个正实数有且只有两个平方根，它们互为相反数. 0 的平方根是 0.
在实数范围内，负数没有平方根.
在实数范围内，每个实数有且只有一个立方根，而且与它本身的符号相同.
实数的平方根与立方根的性质：
此外，前面所学的有关数、式、方程（组）的性质、法则和解法，对于实数仍然成立.
总结归纳
例4 近似计算：
【方法总结】在实数运算中，如果遇到无理数，并且需要求出结果的近似值时，可按要求的精确度用相应的近似有限小数代替无理数，再进行计算.
在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样．
例如：
与 互为相反数；
与 互为倒数；
实数的性质
3
思考：实数怎么比较大小呢？
与有理数规定的大小一样，数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.
原点
0
正实数
负实数
<
实数的大小比较
4
1. 正数大于零，负数小于零，正数大于负数；
2. 两个正数，绝对值大的数较大；
3. 两个负数，绝对值大的数反而小.
与有理数一样，在实数范围内：
总结归纳
，2 分别可以看作是面积为 5，4 的正方形的边长，容易说明：面积较大的正方形，它的边长也较大，因此
同样，因为 5 < 9，
所以
不用计算器， 与 2 比较哪个大？与 3 比较呢？
议一议
例5 在数轴上作出表示下列各数的点，比较它们的大小，并用“ < ”连接它们.
-1，
-2，
5.
-1
-2
5
由数轴上各点的位置，得
熟记常见数的算术平方根的约数值有助于解题.
归纳
合作交流
你会比较 7?23 与 13 的大小吗？
?
解：因为 4＜ 7 ＜9 ，所以2＜ 7 ＜3.
?
所以 0＜ 7－2 ＜1.
?
所以7－23 ＜13.
?
课本练习
1.如图，已知一个实数 a 在数轴上的位置为点 A，则下列说法错误的是( ).
(A) a 的相反数是 -a (B) a 的倒数是 1????
(C) a 的绝对值是 a (D) a 的绝对值是 -a
?
A
C
2.近似计算(精确到 0.01)：
(1) 7 + 5； (2) 14×6 - 23.
?
(2) 14×6 - 23≈14×2.449 - 2×1.732
＝0.61225 - 3.464=?2.85175≈ - 2.85.
?
3.比较下列各组数中两个数的大小:
(1) -5，-6；(2) ????，3；(3) 3?12，12.
?
解：(1) 7 +5≈2.646 + 2.236＝4.882≈4.88.

?
解：(1) -5＞-6；(2) ????＞3；(3) 3?12＜12.
?
1星题 基础练
实数与数轴上的点的关系
1.如图，数轴上表示实数???? 的点可能是( )
?
B
A.点???? B.点???? C.点???? D.点????
?
2.[2024·合肥期中] 如图，面积
为3的正方形????????????????的顶点???? 在数
轴上，以点????为圆心，???????? 的长为
半径画弧交数轴于点????，若点????
?
D
A.????? B.???? C.????????? D.?????????
?
表示的数为2，则点???? 表示的数是 ( )
?
实数的相反数、倒数、绝对值
3.???????????? 的倒数是( )
?
A
A.???????? B.????????? C.????????????? D.????????????
?
4.[2024·杭州月考] 填空：
(1)???? 的相反数是______，绝对值是____；
(2)????????? 的相反数是________，绝对值是________；
(3)若|????|=????，则????= ______；
(4)????????????的倒数是_ _，|?????????????|= ________.
?
?????
?
????
?
?????????
?
?????????
?
±????
?
????????
?
?????????????
?
实数的运算
5.计算??????|?????| 的结果是( )
?
B
A.????? B.????? C.1 D.5
?
6.估计????????? 的值应在( )
?
A
A.3和4之间 B.2和3之间 C.4和5之间 D.1和2之间
7.近似计算(精确到????.???????? )：
?
(1)????+???????? ；
?
解：原式≈????.????????????+????.????????????≈????.???????? .
?
(2)????????×?????????????? .
?
原式≈????????×????.?????????????????×????.????????????=????.??????????????????????.????????????≈?????.???????? .
?
8.计算：?????????????????+|?????????| .
?
解：原式=?????????+?????????=????????? .
?
实数的大小比较
9.[2024·自贡中考] 在0，?????，?????，???? 四个数中，最大的数
是( )
?
C
A.????? B.0 C.???? D.?????
?
10.[2024·深圳中考] 如图，实数????，????，????，???? 在数轴上表示如
下，则最小的实数为( )
?
A
A.???? B.???? C.???? D.????
?
11.比较大小：????????___4.(填“> ”“< ”或“= ”)
?
<
?
12.[2024·合肥月考] 现给出下列各数：?????????，????????，|?????|，????，
????? ，在数轴上作出表示这些数的点，比较它们的大小，并
用“< ”连接.
?
解：在数轴上表示如答图所示.
??????????
2星题 中档练
13.下列各组数中互为相反数的一组是( )
C
A.?|?????|与????????? B.?????与?(?????)????
C.?????????与|?????????| D.?????与?|?????|
?
14. 对于两个不相等的实数????，???? ，定义一种
新的运算：?????????=????+?????????????(????+????>????)，如?????????=????+?????????????=???? ，
那么?????(?????????)= ( )
?
A
A.1 B.????? C.???????? D.2
?
由题意得?????(?????????)=?????????+?????????????=?????????=????+?????????????=???? .
?
15.[2024·合肥二模] 如图，直径为1的圆上有一点????，且点????
与数轴上表示????? 的点重合，将这个圆在数轴上无滑动滚动，
当点???? 再次与数轴上的某个点重合时，这个点的位置可能是
( )
?
D
A.3与4之间 B.6与7之间
C.?????与?????之间 D.?????与????? 之间
?
16.????的整数部分是___，????????????? 的小数部分是_________，
????????????? 的小数部分是________.
?
2
?????????????
?
?????????
?
17.如图,数轴上表示1,????的点分别为????,????,点????到点???? 的距离与
点????到原点的距离相等,设点????表示的数为???? .
?
(1)求???? 的值;
?
解：因为点????，????表示的数分别为1，???? ,
所以????????=?????????,所以????=????????? .
?
(2)求(?????????)???? 的值.
?
解：因为????=????????? ,
所以(?????????)????=(??????????????)????=???? .
?
实数
在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义和有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义完全一样
实数与数轴上点的一一对应
实数的运算
实数的运算律
用计算器计算
实数的大小比较
谢谢观看！
阿木提江·塔西吐木尔
托克逊县第一中学
13899326086