7.1.2不等式的基本性质 课件（共36张PPT）--2025-2026学年2024新沪科版数学七年级下册

(共36张PPT)
7.1.2不等式的基本性质
第7章 一元一次不等式与不等式组
新2024沪科版数学七年级下册【公开课精做课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
买合苏迪古丽·买买提
托克逊县第二中学
15909954880
7.1.2 不等式的基本性质
课程导入
知识回顾
上节课我们学习了不等式的概念、解、解集以及解集的表示方法。我们知道，像\(x + 3 > 5\)、\(2x \leq 6\)这样用不等号表示大小关系的式子就是不等式。
在学习等式时，我们掌握了等式的基本性质，利用这些性质可以求解等式中的未知数。那么不等式是否也有类似的性质呢？利用这些性质能否帮助我们求解不等式呢？这就是本节课要探讨的核心问题。
情境引入
问题 1：已知小明的年龄是 12 岁，小华的年龄是 10 岁，显然小明的年龄大于小华的年龄，即 12 > 10。5 年后，小明的年龄是 17 岁，小华的年龄是 15 岁，此时 17 > 15，不等关系仍然成立；5 年前，小明的年龄是 7 岁，小华的年龄是 5 岁，7 > 5，不等关系也成立。
问题 2：如果苹果的单价是每千克 8 元，梨的单价是每千克 6 元，即 8 > 6。若购买 2 千克，买苹果需要 16 元，买梨需要 12 元，16 > 12；若购买 0.5 千克，买苹果需要 4 元，买梨需要 3 元，4 > 3。
这些情境中蕴含着不等式的哪些变化规律呢？
知识讲解
不等式的基本性质 1
不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
用字母表示为：如果\(a > b\)，那么\(a \pm c > b \pm c\)；如果\(a < b\)，那么\(a \pm c < b \pm c\)。
例如：
因为 5 > 3，两边都加 2，得 5 + 2 > 3 + 2，即 7 > 5，不等号方向不变；
因为 7 < 10，两边都减 5，得 7 - 5 < 10 - 5，即 2 < 5，不等号方向不变。
不等式的基本性质 2
不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
用字母表示为：如果\(a > b\)，\(c > 0\)，那么\(ac > bc\)（或\(\frac{a}{c} > \frac{b}{c}\)）；如果\(a < b\)，\(c > 0\)，那么\(ac < bc\)（或\(\frac{a}{c} < \frac{b}{c}\)）。
例如：
因为 6 > 4，两边都乘 3，得 6×3 > 4×3，即 18 > 12，不等号方向不变；
因为 10 < 15，两边都除以 5，得 10÷5 < 15÷5，即 2 < 3，不等号方向不变。
不等式的基本性质 3
不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
用字母表示为：如果\(a > b\)，\(c < 0\)，那么\(ac < bc\)（或\(\frac{a}{c} < \frac{b}{c}\)）；如果\(a < b\)，\(c < 0\)，那么\(ac > bc\)（或\(\frac{a}{c} > \frac{b}{c}\)）。
例如：
因为 8 > 5，两边都乘\(-2\)，得 8×(-2) < 5×(-2)，即\(-16 < -10\)，不等号方向改变；
因为 12 < 18，两边都除以\(-3\)，得 12÷(-3) > 18÷(-3)，即\(-4 > -6\)，不等号方向改变。
不等式性质与等式性质的对比
性质类型
等式性质
不等式性质
不同点
加减同一个数（或式子）
两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等
两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变
无
乘除同一个正数
两边乘（或除以）同一个正数，结果仍相等
两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变
无
乘除同一个负数
两边乘（或除以）同一个负数，结果仍相等
两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变
不等号方向是否改变
例题分析
例 1
利用不等式的性质，填 “>” 或 “<”：
（1）若\(a > b\)，则\(a + 3\)\(b + 3\)；
（2）若\(a < b\)，则\(a - 5\)\(b - 5\)；
（3）若\(a > b\)，则\(3a\)\(3b\)；
（4）若\(a < b\)，则\(-2a\)\(-2b\)；
（5）若\(a > b\)，则\(\frac{a}{-4}\)______\(\frac{b}{-4}\)。
解：
（1）根据不等式基本性质 1，两边加 3，不等号方向不变，所以填 “>”；
（2）根据不等式基本性质 1，两边减 5，不等号方向不变，所以填 “<”；
（3）根据不等式基本性质 2，两边乘 3（正数），不等号方向不变，所以填 “>”；
（4）根据不等式基本性质 3，两边乘\(-2\)（负数），不等号方向改变，所以填 “>”；
（5）根据不等式基本性质 3，两边除以\(-4\)（负数），不等号方向改变，所以填 “<”。
例 2
判断下列各题的推导是否正确，并说明理由：
（1）因为\(7.5 > 5.7\)，所以\(-7.5 < -5.7\)；
（2）因为\(a + 8 > 4\)，所以\(a > -4\)；
（3）因为\(4a > 4b\)，所以\(a > b\)；
（4）因为\(-1 > -2\)，所以\(-a - 1 > -a - 2\)。
解：
（1）正确。理由：根据不等式基本性质 3，两边乘\(-1\)，不等号方向改变，所以推导正确。
（2）正确。理由：根据不等式基本性质 1，两边减 8，不等号方向不变，即\(a + 8 - 8 > 4 - 8\)，得\(a > -4\)，所以推导正确。
（3）正确。理由：根据不等式基本性质 2，两边除以 4（正数），不等号方向不变，即\(\frac{4a}{4} > \frac{4b}{4}\)，得\(a > b\)，所以推导正确。
（4）正确。理由：根据不等式基本性质 1，两边加\(-a\)，不等号方向不变，即\(-1 + (-a) > -2 + (-a)\)，得\(-a - 1 > -a - 2\)，所以推导正确。
例 3
利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集：
（1）\(x - 7 > 26\)；
（2）\(3x < 2x + 1\)；
（3）\(\frac{x}{2} > 50\)；
（4）\(-4x > 3\)。
解：
（1）根据不等式基本性质 1，两边加 7，得\(x - 7 + 7 > 26 + 7\)，即\(x > 33\)。
在数轴上表示解集：找到表示 33 的点，画空心圆圈，向右画射线。
（2）根据不等式基本性质 1，两边减\(2x\)，得\(3x - 2x < 2x + 1 - 2x\)，即\(x < 1\)。
在数轴上表示解集：找到表示 1 的点，画空心圆圈，向左画射线。
（3）根据不等式基本性质 2，两边乘 2，得\(\frac{x}{2} 2 > 50 2\)，即\(x > 100\)。
在数轴上表示解集：找到表示 100 的点，画空心圆圈，向右画射线。
（4）根据不等式基本性质 3，两边除以\(-4\)，不等号方向改变，得\(x < -\frac{3}{4}\)。
在数轴上表示解集：找到表示\(-\frac{3}{4}\)的点，画空心圆圈，向左画射线。
例 4
已知\(a < b\)，判断下列不等式是否成立，并说明理由：
（1）\(a + 1 < b + 1\)；
（2）\(3a < 3b\)；
（3）\(-a < -b\)；
（4）\(a - 2 > b - 2\)。
解：
（1）成立。理由：根据不等式基本性质 1，两边加 1，不等号方向不变，所以\(a + 1 < b + 1\)成立。
（2）成立。理由：根据不等式基本性质 2，两边乘 3（正数），不等号方向不变，所以\(3a < 3b\)成立。
（3）不成立。理由：根据不等式基本性质 3，两边乘\(-1\)（负数），不等号方向应改变，所以\(-a > -b\)，原不等式\(-a < -b\)不成立。
（4）不成立。理由：根据不等式基本性质 1，两边减 2，不等号方向不变，所以\(a - 2 < b - 2\)，原不等式\(a - 2 > b - 2\)不成立。
课堂总结
重点回顾
不等式的基本性质 1：两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变。
不等式的基本性质 2：两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变。
不等式的基本性质 3：两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变。
利用不等式的基本性质可以解不等式，步骤与解方程类似，但要特别注意应用性质 3 时不等号方向需改变。
不等式性质与等式性质的主要区别在于乘除同一个负数时，不等式的不等号方向会改变，而等式仍然成立。
知识拓展
运用不等式性质时，要明确 “同一个数（或式子）” 的含义，确保两边操作的一致性。
解不等式时，每一步变形都要依据不等式的基本性质，尤其要警惕在乘除负数时忘记改变不等号方向的错误。
可以通过列举具体数值验证不等式性质的正确性，加深对性质的理解和记忆。例如，用\(5 > 3\)验证乘负数后不等号方向改变：\(5 (-2) = -10\)，\(3 (-2) = -6\)，显然\(-10 < -6\)。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
解方程的依据是：___________
猜想 ：解不等式的依据是：____________
文字语言 符号语言
性质1 等式两边加 (或减) 同一个数 (或式子) 结果仍相等 如果a = b，
那么 a + c = b + c，
a - c = b - c
性质2 等式两边乘 (或除以)同一个数 (或式子) 结果仍相等 如果a = b，
那么ac = bc，
等式的性质
不等式的性质
用不等号填一填：
1.a b；
2.a + c b + c；
3.(a + c) - c (b + c) - c.
观察 如图所示，在托盘天平的右盘放上一质量为 b g 的立体木块，左盘放上一质量为 a g 的立体木块，天平向左倾斜.
a g
b g
c g
＞
＞
＞
c g
你发现了什么？
1
不等式的基本性质
性质 1 不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变.
即：如果 a > b，那么 a + c > b + c，a - c > b - c.
一般地，不等式具有如下基本性质：
总结归纳
解析：因为 a > b，两边都加上 3，
解析：因为 a < b，两边都减去 5，
由不等式的基本性质 1，得
a + 3 > b + 3.
由不等式的基本性质 1，得
a - 5 < b - 5.
（1）已知 a > b，则 a + 3 b + 3；
（2）已知 a < b，则 a - 5 b - 5.
>
<
例1 用“>”或“<”填空：
典例精析
1. 用“＞”或“＜”填空，并说明是根据不等式的哪一条性质：
(1) 若 x＋3＞6，则 x____3，
根据是_______________；
(2) 若 a－2＜3，则 a____5，
根据是_______________．
＞
＜
不等式的性质 1
不等式的性质 1
练一练
用不等号填一填：
1.a b；
2.2a 2b；
3. .
如图所示，在托盘天平的右盘放上一质量为 b g 的立体木块，左盘放上一质量为 a g 的立体木块，天平向左倾斜.
a g
b g
>
>
>
a g
b g
你发现了什么？
合作交流
性质 2 不等式的两边都乘以 (或除以) 同一个正数，不等号的方向不变.
即：如果 a > b，c > 0，那么 ac > bc， > .
一般地，不等式还有如下性质：
总结归纳
a>b
-a-b
a-a-b>b-a-b
-b>-a
(-1)×a<(-1)×b
×(-1)
不等式两边同乘 -1，不等号方向改变.
猜想：不等式两边同乘一个负数，不等号方向改变.
a>b
×(-1)
-a<-b
×3
-3a<-3b
×c(c>0)
-ac<-bc
×(-c) (-c<0)
合作交流
性质 3 不等式的两边都乘以 (或除以) 同一个负数，不等号的方向改变.
即：如果 a > b，c < 0，那么 ac < bc， < .
一般地，不等式还有如下性质：
总结归纳
因为 a > b，两边都乘 3，
解析：因为 a > b，两边都乘 -1，
解析：
由不等式的基本性质 2，得
3a > 3b.
由不等式的基本性质 3，得
-a < -b.
（1）已知 a > b，则 3a 3b；
（2）已知 a > b，则 -a -b.
>
<
例2 用“>”或“<”填空：
解析：因为 a < b，两边都除以 -3，
由不等式基本性质 3，得
由不等式基本性质 1，得
（3）已知 a < b，则 .
>
将 两边都加上 2，
（1）如果 a＞b，那么 ac＞bc.
（2）如果 a＞b，那么 ac2＞bc2.
（3）如果 ac2＞bc2，那么 a＞b.
2. 判断正误：
×
×
√
当 c≤0 时，不成立.
当 c = 0 时，不成立.
思考：不等式的基本性质与等式的基本性质有什么相同点和不同点？
练一练
下面是某同学根据不等式的性质做的一道题：
在不等式 -4x + 5 > 9 的两边都减去 5，得
-4x > 4
在不等式 -4x > 4 的两边都除以 -4，得
x > -1
请问他做对了吗？如果不对，请改正.
不对
x < -1
说一说
思考：等式有对称性及传递性，那么不等式具有对称性和传递性吗
已知 x > 5，那么 5 < x 吗
由 8 < x，x < y，可以得到 8 < y 吗
如：8 < 10，10 < 15，8 15.
x > 5 5 < x
<
性质4（对称性）：如果 a > b，那么 b < a.
性质5（同向传递性）：如果 a > b，b > c，那么 a > c.
例3 如果不等式 (a＋1)x＜a＋1 可变形为 x＞1，
那么 a 必须满足________.
方法总结：只有当不等式的两边都乘以 (或除以) 同一个负数时，不等号的方向才改变．
解析：根据不等式的基本性质，可判断 a＋1 为负数，即 a＋1＜0，可得 a＜－1.
a＜－1
例4 利用不等式的性质求下列 x 的范围：
(1) x - 7＞26； (2) 3x＜2x + 1；
(3) ＞50；　　 (4) -4x＞3.
求未知数 x 的范围
化为 x＞a 或 x＜a 的形式
目标
方法：不等式的基本性质
思路：
解：(1) 根据不等式的性质1，
不等式两边都加 7，不等号的方向不变，
得 x - 7 + 7＞26 + 7，即 x＞33.
(1) x - 7＞26； (2) 3x＜2x + 1；　　　　
(2) 根据______________，
不等式两边都减去____，不等号的方向_____，
得 .
3x - 2x＜2x + 1 - 2x，即 x＜1
不等式的性质1
2x
不变
(3) 为了使不等式 ＞50 中不等号的一边变为 x，
根据不等式的性质 2，不等式的两边都除以　，
不等号的方向不变，得
x＞75.
(4) 为了使不等式 -4x＞3 中的不等号的一边变为 x，
根据______________，不等式两边都除以____，
不等号的方向______，得
x＜- .
不等式的性质3
-4
改变
(3) ＞ 50；　　 (4) -4x ＞ 3.　　　　
为何不两边同时加上 ？
1. 设 a＞b，用“＜”“＞”填空并回答是根据不等式的哪一条基本性质.
（1）a - 3____b - 3；
（2）a÷3____b÷3；
（3）0.1a____0.1b；
（4）-4a____-4b；
（5）2a + 3____2b + 3；
（6）(m2 + 1)a____ (m2 + 1)b (m 为常数).
＞
＞
＞
＞
＞
＜
不等式的性质 1
不等式的性质 2
不等式的性质 2
不等式的性质 3
不等式的性质 1，2
不等式的性质 2
做一做
2. 已知 a＜0，用“＜”“＞”填空：
(1) a + 2 ____2； (2) a - 1 _____-1；
(3) 3a______0； (4) ______0；
(5) a2_____0； (6) a3______0；
(7) a - 1_____0； (8)| a |______0．
＜
＜
＜
＞
＜
＞
＜
＞
1. 如果 a < b，用不等号填空:
(1) 4a______4b； (2) a - 10______b - 10；
(3) a______b； (4) -a______-b.
2. 若 m > n，判断下列不等式是否正确：
(1) m－7 < n－7. ( )
(2) 3m < 3n. ( )
(3) －5m > －5n. ( )
(4) > . ( )
课本练习
＜
＜
＜
＞
×
×
×
√
3. 如果 x≥y， a < 0，b > 0，用不等号填空：
(1) ； (2) bx________by；
(3) 2x______x + y； (4) abx________aby.
≤
≥
≥
≤
核心必知
不等式的基本性质：
性质1 如果，那么___，___ .
性质2 如果，，那么___，___ .
性质3 如果，，那么，___ .
性质4 如果，那么___ .
性质5 如果，，那么___ .
1星题 基础练
不等式的基本性质
1.填空：
(1)若，两边都加上 ，得________(依据：______
______________).
(2)若 ，两边都除以2，得________(依据：_________
______________).
不等式的基本性质1
不等式的基本性质2
(3)若，两边都乘 ，得________(依据：_________
__________).
不等式的基本性质3
2.若，则___.(填“ ”或“ ”)
3. 如图，，，三人在公园玩跷跷板，则， ，
三人中体重最小的是___.(填“”“”或“ ”)
4.[2024·广州中考] 若 ，则( )
D
A. B.
C. D.
5. [2024·长春中考] 不等关系在生活中广泛
存在.如图，，分别表示两位同学的身高， 表示台阶的高
度.图中两人的对话体现的数学原理是( )
A
A.若，则
B.若，，则
C.若，，则
D.若，，则
2星题 中档练
6.以下说法正确的是______.(填序号)
①由，得；②由，得 ；③由
，得；④由，得 .
7.若不等式的解集为，则 的取值范围
是________.
【变式题】 已知，为任意有理数，则
___.(填“ ”或“ ”)
8. [2024·安庆二模] 已知非零实数，， 满
足：， ，则下列结论正确的是
( )
D
A. B.
C. D.
9.将下列不等式化成“”或“ ”的形式.
(1) ；
解：两边同时减去，得 ，
两边同时除以2，得 .
(2) ；
两边同时减去1，得 ，
两边同时除以，得 .
(3) .
解：两边同时减去2，得，两边同时减去 ，得
，两边同时除以，得 .
性质1：如果 a＞b，那么 a±c＞b±c
不等式的基本性质
性质4：如果 a＞b，那么 b＜a.
性质5：如果 a＞b，b＞c，那么 a＞c
性质2：如果 a＞b，c＞0，那么
ac＞bc (或 )
性质3：如果 a＞b，c＜0 那么
ac＜bc (或 )
谢谢观看！
阿木提江·塔西吐木尔
托克逊县第一中学
13899326086