7.2.1一元一次不等式的解法 课件（共36张PPT）--2025-2026学年2024新沪科版数学七年级下册

7.2.1一元一次不等式的解法
第7章 一元一次不等式与不等式组
新2024沪科版数学七年级下册【公开课精做课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
买合苏迪古丽·买买提
托克逊县第二中学
15909954880
7.2.1 一元一次不等式的解法
课程导入
知识回顾
上节课我们学习了不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变；两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变；两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变。
我们还知道，像\(x + 3 > 5\)、\(2x \leq 6\)这样的不等式中只含有一个未知数，并且未知数的次数是 1。这样的不等式是什么类型的不等式呢？又该如何求解呢？这就是本节课要学习的内容。
情境引入
问题：某商店准备购进 A、B 两种商品，已知购进 A 商品 3 件和 B 商品 2 件，共需 120 元；购进 A 商品 5 件和 B 商品 4 件，共需 220 元。若商店准备用不超过 500 元购进这两种商品，且 A 商品数量不少于 5 件，设购进 A 商品\(x\)件，那么\(x\)需要满足什么样的不等式？这个不等式该如何求解？
要解决这个问题，我们首先需要明确这类不等式的特征，掌握它的解法。
知识讲解
一元一次不等式的概念
只含有一个未知数，并且未知数的次数是 1，系数不等于 0 的不等式，叫作一元一次不等式。
一元一次不等式的特征：
只含有一个未知数；
未知数的次数是 1；
不等式的两边都是整式；
未知数的系数不为 0。
例如：\(3x - 2 > 0\)、\(5x + 1 \leq 2x - 3\)、\(\frac{x}{2} + 3 < 7\)都是一元一次不等式；而\(x^2 + 1 > 0\)（未知数次数是 2）、\(\frac{1}{x} + 2 < 5\)（不是整式）、\(x + y > 3\)（含有两个未知数）都不是一元一次不等式。
一元一次不等式的解法步骤
解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程的步骤类似，主要包括：
去分母：根据不等式的基本性质 2 或 3，在不等式两边都乘各分母的最小公倍数，去掉分母。注意：如果分母是负数，乘负数后不等号方向要改变。
去括号：利用乘法分配律去括号，括号前是 “+” 号，去掉括号后各项符号不变；括号前是 “-” 号，去掉括号后各项符号都要改变。
移项：把含有未知数的项移到不等式的一边，常数项移到另一边，移项要变号（依据不等式基本性质 1）。
合并同类项：把不等式两边的同类项分别合并，化为\(ax > b\)或\(ax < b\)（\(a \neq 0\)）的形式。
系数化为 1：根据不等式的基本性质 2 或 3，在不等式两边都除以未知数的系数\(a\)，得到不等式的解集。注意：如果\(a > 0\)，不等号方向不变；如果\(a < 0\)，不等号方向改变。
解一元一次不等式与解一元一次方程的异同
步骤
解一元一次方程
解一元一次不等式
不同点
去分母
在方程两边乘各分母的最小公倍数，等式仍成立
在不等式两边乘各分母的最小公倍数，乘负数时不等号方向改变
乘负数时不等号方向是否改变
去括号
去括号法则相同
去括号法则相同
无
移项
移项要变号，等式仍成立
移项要变号，不等号方向不变
无
合并同类项
合并同类项法则相同
合并同类项法则相同
无
系数化为 1
两边除以未知数系数，等式仍成立
两边除以未知数系数，系数为负数时不等号方向改变
系数为负数时不等号方向是否改变
结果
方程的解是一个具体的数（或无解）
不等式的解集是一个范围
结果形式不同
例题分析
例 1
解下列不等式，并在数轴上表示解集：
（1）\(2(x + 1) < 3x\)；
（2）\(\frac{x - 1}{2} \geq \frac{2x - 5}{3}\)。
解：
（1）\(2(x + 1) < 3x\)
去括号，得\(2x + 2 < 3x\)；
移项，得\(2x - 3x < -2\)；
合并同类项，得\(-x < -2\)；
系数化为 1，两边除以\(-1\)（不等号方向改变），得\(x > 2\)。
在数轴上表示解集：找到表示 2 的点，画空心圆圈，向右画射线。
（2）\(\frac{x - 1}{2} \geq \frac{2x - 5}{3}\)
去分母，两边乘 6（最小公倍数），得\(3(x - 1) \geq 2(2x - 5)\)；
去括号，得\(3x - 3 \geq 4x - 10\)；
移项，得\(3x - 4x \geq -10 + 3\)；
合并同类项，得\(-x \geq -7\)；
系数化为 1，两边除以\(-1\)（不等号方向改变），得\(x \leq 7\)。
在数轴上表示解集：找到表示 7 的点，画实心圆点，向左画射线。
例 2
解不等式：\(1 - \frac{x - 1}{3} \leq \frac{2x + 3}{2}\)，并写出它的正整数解。
解：
去分母，两边乘 6，得\(6 - 2(x - 1) \leq 3(2x + 3)\)；
去括号，得\(6 - 2x + 2 \leq 6x + 9\)；
合并同类项，得\(8 - 2x \leq 6x + 9\)；
移项，得\(-2x - 6x \leq 9 - 8\)；
合并同类项，得\(-8x \leq 1\)；
系数化为 1，两边除以\(-8\)（不等号方向改变），得\(x \geq -\frac{1}{8}\)。
所以该不等式的解集是\(x \geq -\frac{1}{8}\)，它的正整数解是 1，2，3，…（所有正整数）。
例 3
当\(x\)为何值时，代数式\(2x - 3\)的值大于代数式\(5x + 3\)的值？
解：
根据题意，得\(2x - 3 > 5x + 3\)；
移项，得\(2x - 5x > 3 + 3\)；
合并同类项，得\(-3x > 6\)；
系数化为 1，两边除以\(-3\)（不等号方向改变），得\(x < -2\)。
所以当\(x < -2\)时，代数式\(2x - 3\)的值大于代数式\(5x + 3\)的值。
例 4
已知关于\(x\)的方程\(3x + a = x - 7\)的解是正数，求\(a\)的取值范围。
解：
解方程\(3x + a = x - 7\)，
移项，得\(3x - x = -7 - a\)；
合并同类项，得\(2x = -7 - a\)；
系数化为 1，得\(x = \frac{-7 - a}{2}\)。
因为方程的解是正数，即\(x > 0\)，
所以\(\frac{-7 - a}{2} > 0\)；
去分母，得\(-7 - a > 0\)；
移项，得\(-a > 7\)；
系数化为 1，两边除以\(-1\)（不等号方向改变），得\(a < -7\)。
所以\(a\)的取值范围是\(a < -7\)。
课堂总结
重点回顾
一元一次不等式的概念：只含有一个未知数，未知数次数是 1，系数不为 0 的不等式。
解一元一次不等式的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1。每一步都要依据不等式的基本性质，尤其注意系数化为 1 时，若系数是负数，不等号方向必须改变。
解一元一次不等式与解一元一次方程的异同：步骤基本相同，但在去分母和系数化为 1 时，不等式乘除负数要改变不等号方向，而方程无此变化；方程的解是具体数值，不等式的解集是范围。
可以利用一元一次不等式解决与代数式大小比较、方程解的范围相关的问题。
知识拓展
解不等式时，去分母容易漏乘不含分母的项，要特别注意每一项都要乘各分母的最小公倍数。
移项时要变号，不要与加法交换律混淆，例如把\(3x + 2 > 2x - 1\)移项为\(3x - 2x > -1 - 2\)，而不是\(3x + 2x > -1 + 2\)。
系数化为 1 时，一定要先判断系数的正负，再决定是否改变不等号方向，这是解不等式最容易出错的地方。
求不等式的特殊解（如正整数解、负整数解等）时，需先求出不等式的解集，再在解集中筛选符合条件的解。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
问题 某公司的统计资料表明，科研经费每增加1万元，年利润就增加 1.8 万元. 如果该公司原来的年利润为 200 万元，要使年利润超过 245 万元，那么增加的科研经费应高于多少万元?
前面问题中涉及的数量关系是：
设该公司增加科研经费 x 万元，那么年利润就增加1.8x 万元. 因为年利润要超过 245 万元，所以 200 + 1.8x > 245.
原年利润 + 增加的年利润 ＞ 增加后的年利润
一元一次不等式的概念
1
像 200 + 1.8x > 245 这样，
含有一个未知数，未知数的次数是 1且不等号两边都是整式的不等式叫作一元一次不等式.
它与一元一次方程的定义有什么共同点？
知识要点
1. 下列不等式中，哪些是一元一次不等式?
(1) 3x + 2 > x - 1； (2) 5x + 3 < 0；
(3) (4) x(x - 1) < 2x.
?
?
?
?
左边不是整式
化简后是
x2 - x < 2x
练一练
例1 已知 是关于 x 的一元一次不等式，
则 a 的值是_______．
解析：由 是关于 x 的一元一次不等式得 2a－1＝1，计算即可求出 a 的值是1.
1
典例精析
解不等式：
4x - 1 < 5x + 15.
解方程：
4x - 1 = 5x + 15.
解：移项，得
4x - 5x = 15 + 1.
合并同类项，得
-x = 16.
系数化为 1，得
x = -16.
解：移项，得
4x - 5x < 15 + 1.
合并同类项，得
-x < 16.
系数化为 1，得
x > -16.
解一元一次不等式
2
根据不等式的性质，解不等式 200 + 1.8x > 245.
根据不等式的性质 1，两边同时减去 200，得
200 + 1.8x - 200 > 245 - 200.
即 1.8x > 45.
再根据不等式的性质 2，两边同时除以 1.8，得
x > 25.
因此，这个不等式的解集为 x > 25.
探究
像这样求不等式的解集的过程叫作解不等式.
例2 解不等式 2x + 5 ≤ 7(2 - x)，并把它的解集在数轴上表示出来.
解：
首先将括号去掉
去括号，得 2x + 5≤14 - 7x.
移项，得 2x + 7x≤14 - 5.
将同类项放在一起
合并同类项，得 9x≤9.
x 系数化为 1，得 x≤1.
根据不等式的性质2
原不等式的解集在数轴上的表示如图：
-1
0
1
2
例3 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来：
解 ： 不等式两边同乘以 6，得
2(4 + x) - 6 < 3x.
去括号，得 8 + 2x - 6 <3x.
移项、合并同类项，得 -x < -2.
x 系数化成1，得 x > 2.
在数轴上表示不等式的解集：
4+????3?1?
2. 解下列一元一次不等式 ：
（1）2 - 5x < 8 - 6x ；
（2）
解：
（1） 原不等式为 2 - 5x < 8 - 6x.
将同类项放在一起
即 x < 6.
移项，得 -5x + 6x < 8 - 2，
计算结果
练一练
首先将分母去掉
去括号，得 2x -10 + 6≤9x.
去分母，得 2(x - 5) + 6≤9x.
移项，得 2x - 9x≤10 - 6.
去括号
将同类项放在一起
（2） 原不等式为
合并同类项，得 -7x≤4.
两边都除以 -7，得
x≥ .
计算结果
根据不等式性质3
方法归纳：熟练运用不等式的5个基本性质是解题的关键.
解一元一次不等式与解一元一次方程的依据和步骤有什么异同点？
它们的依据不相同.解一元一次方程的依据是等式的性质，解一元一次不等式的依据是不等式的性质.
它们的步骤基本相同，都是去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为 1.
这些步骤中，要特别注意的是：不等式两边都乘（或除以）同一个负数，必须改变不等号的方向. 这是与解一元一次方程不同的地方.
议一议
所以当 x≤6 时，代数式 x + 2 的值大于或等于 0.
解：
解得 x≤6.
x≤6 在数轴上表示如图所示.
-1
0
1
2
3
4
5
6
根据题意，得 x + 2≥0，
由图可知，满足条件的正整数有 1，2，3，4，5，6.
3. 当 x 取什么值时，代数式 x +2 的值大于或
等于 0？并求出所有满足条件的正整数.
例4 已知不等式 x＋8＞4x＋m (m 是常数) 的解集是
x＜3，求 m.
方法总结：已知解集求字母系数的值，通常是先解含有字母的不等式，再利用解集唯一性列方程求字母的值．解题过程体现了方程思想．
解：因为 x＋8＞4x＋m，
所以 x－4x＞m－8，即－3x＞m－8，
因为其解集为 x＜3，
所以 ，解得 m = －1.
1. 解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来:
(1) 2x＞－8； (2) －4x＜2；
(3) 5x－4≤7x－1； (4) 2x－5≥2＋5x.
课本习题
解：(1) x＞－4.
(1)
(2) x＞－12.
?
(3) x≥－32.
?
(4) x≤－73.
?
(2)
(3)
(4)
2.解下列不等式：
(1) 3(1－x)≤x＋8； (2) 12－2x＞3(2x－3).
解：
(1) 去括号，得 3－3x≤x＋8.
移项，得 x + 3x≥3－8.
合并同类项，得 4x≥－5.
x 系数化为 1，得 x≥－54.
?
(2) 去括号，得
12－2x＞6x－9.
移项，得
6x + 2x＜12 + 9.
合并同类项，得
8x＜21.
x 系数化为 1，得 x＜218.
?
课本习题
1. 解下列不等式：
(1) 3???? + 75>?????1
?
解：
(1) 不等式两边同乘以 5，
得 3x + 7 > 5x - 5.
移项、合并同类项，得
-2x > -12.
x 系数化成1，得
x < 6.
(2) 2???? + 1?15>???? ? 33.
?
(2) 不等式两边同乘以 -15，得
2x + 1 < -5(x - 3).
去括号，得 2x + 1 <-5x +15
移项、合并同类项，得
7x < 14.
x 系数化成1，得 x < 2.
2. 当 x 取什么值时，代数式 4x - 1 的值分别满足下列条件：(1) 大于 7； (2) 小于 -2x + 5.
3.设 表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示，那么 这三种物体的质量从大到小的顺序排列应为( ).
(A) (B) (C) (D)
A
解：(1) x＞2.
(2) x＜1.
核心必知
1.含有一个未知数，未知数的次数是___且不等号两边都是
______的不等式叫作一元一次不等式.
2.求______________的过程叫作解不等式.
1
整式
不等式的解集
1星题 基础练
一元一次不等式的定义
1.[2024·淮北月考] 下列式子中，是一元一次不等式的是
( )
B
A.????????????? B.?????????>???? C.?????????=???? D.????????>????
?
2.若??????????????????????>????是关于????的一元一次不等式，则????= ___.
?
1
【变式题】 若(?????????)????|????|>????是关于???? 的一元一次
不等式，则????= ____.
?
?????
?
本题易忽视未知数的系数不为0导致出错.
解不含分母的一元一次不等式
3.不等式?????????????≤????? 的解集为( )
?
B
A.????????? D.????≥?????
?
4.[2024·安庆月考] 在数轴上表示不等式????????+????解集正确的是( )
?
C
A. B.
C. D.
5.[2024·合肥月考] 不等式?????????????≥????????????? 的非负整数解有
( )
?
B
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
6.要使?????????????????的值不大于????????+????，则???? 的最大值是_____.
?
????.????
?
根据题意，得?????????????????≤????????+????,解得????≤????.???? .
?
所以???? 的最大值是6.5.
?
7.解不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：
(1)?????????
解：移项，得?????????????????不等式的解集在数轴上表示如答图①所示.
?
(2)?????????????≤????????????? .
?
解：移项、合并同类项，得?????????≤?????，系数化为1，得????≥???? .
不等式的解集在数轴上表示如答图②所示.
?
8. [2024·杭州二模] 解不等式：
?????????????他的解题过程正确吗？若不正确，请你帮助他写出正确的解
题过程.
?
解：去括号，得?????????????移项，得?????????????合并同类项，得????????所以????解：小州同学的解题过程不正确.正确的解题过程如下：
去括号，得?????????????移项，得?????????????????合并同类项，得?????????
[2024·合肥期末] 不等式?????????????(?????????)≥???? 的解集为________.
?
????≥?????
?
2星题 中档练
9.下列式子：①?????????;③??????????????>???? ;
④?????>????;⑤??????????????>????;⑥?????+????>????+???? .
其中是一元一次不等式的有( )
?
A
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
10.若不等式????≤????的解都是不等式?????????????≥????的解，则???? 的
取值范围是( )
?
A
A.????≤????? B.?????????
?
先求出不等式?????????????≥???? 的解集，然后根据不等式
????≤????的解都是不等式?????????????≥???? 的解进行求解即可.
?
11.已知关于????的不等式?????????+????>???? 的最小整数解为2，则
实数???? 的取值范围是( )
?
A
A.????≤?????
12.[2024·滁州月考] 已知关于????的方程?????????????????=????????? 的解
为负数，则???? 的取值范围是________.
?
?????
13.定义新运算“△ ”：????△????=?????????????.若关于???? 的不等式
????△????>????的解集为????>?????，则???? 的值为____.
?
?????
?
一元一次不等式
一元一次不等式的概念
解一元一次不等式
→
将解集在
数轴上表示
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阿木提江·塔西吐木尔
托克逊县第一中学
13899326086