7.2.2一元一次不等式的应用 课件（共28张PPT）--2025-2026学年2024新沪科版数学七年级下册
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| 名称 | 7.2.2一元一次不等式的应用 课件（共28张PPT）--2025-2026学年2024新沪科版数学七年级下册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 10.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-24 18:11:22 | ||
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文档简介
(共28张PPT)
7.2.2一元一次不等式的应用
第7章 一元一次不等式与不等式组
新2024沪科版数学七年级下册【公开课精做课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
买合苏迪古丽·买买提
托克逊县第二中学
15909954880
7.2.2 一元一次不等式的应用
课程导入
知识回顾
上节课我们学习了一元一次不等式的解法，掌握了去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 等步骤，并且知道在系数化为 1 时，若系数为负数，不等号方向需要改变。
在现实生活中，我们经常会遇到需要通过数量关系比较大小、确定范围的问题，例如购物预算、生产限额、方案选择等。这些问题往往可以转化为一元一次不等式来解决，本节课我们就来学习如何运用一元一次不等式解决实际问题。
情境引入
问题：某学校计划购买一批篮球和足球，已知每个篮球的价格是 80 元，每个足球的价格是 60 元。学校准备用不超过 3000 元的资金购买，且篮球的数量不少于足球数量的 2 倍。设购买足球\(x\)个，那么购买篮球的数量应满足什么条件？如何通过不等式确定购买方案的范围？
要解决这类问题，需要先分析题目中的不等关系，再列出不等式并求解。
知识讲解
列一元一次不等式解决实际问题的步骤
审清题意：认真阅读题目，明确问题中的已知条件、未知量以及要解决的问题，找出题目中的不等关系（如 “不超过”“不少于”“至少”“最多” 等关键词）。
设未知数：根据问题设出适当的未知数，通常用字母\(x\)、\(y\)等表示未知量，要注明未知数的单位。
列不等式：根据题目中的不等关系，把文字语言转化为数学符号语言，列出一元一次不等式。
解不等式：按照一元一次不等式的解法步骤求出不等式的解集。
检验并作答：结合实际问题的意义，检验不等式的解集是否合理，是否符合实际情况，然后写出答案。
常见的不等关系关键词及对应符号
关键词
不等关系
对应符号
不超过、至多、最多
小于或等于
\(\leq\)
不少于、至少、最少
大于或等于
\(\geq\)
大于、多于、超过
大于
>
小于、少于、不足
小于
<
不等于
不等于
≠
例题分析
例 1
某商店准备购进 A、B 两种商品，已知购进 A 商品 3 件和 B 商品 2 件，共需 120 元；购进 A 商品 5 件和 B 商品 4 件，共需 220 元。
（1）求 A、B 两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）若商店准备用不超过 500 元购进这两种商品，且 A 商品数量不少于 5 件，问最多能购进 A 商品多少件？
解：
（1）设 A 商品每件进价为\(x\)元，B 商品每件进价为\(y\)元。
根据题意，得\(\begin{cases}3x + 2y = 120 \\5x + 4y = 220\end{cases}\)
解方程组，由第一个方程得\(2y = 120 - 3x\)，即\(y = 60 - 1.5x\)。
将\(y = 60 - 1.5x\)代入第二个方程，得\(5x + 4(60 - 1.5x)=220\)，\(5x + 240 - 6x = 220\)，\(-x = -20\)，解得\(x = 20\)。
则\(y = 60 - 1.5 20 = 30\)。
所以 A 商品每件进价 20 元，B 商品每件进价 30 元。
（2）设购进 A 商品\(a\)件，因为资金不超过 500 元，且 A 商品数量不少于 5 件，
则购买 B 商品的资金为\(500 - 20a\)元，购进 B 商品的数量为\(\frac{500 - 20a}{30}\)件（数量应为非负整数）。
根据题意，得\(20a + 30b \leq 500\)（\(b\)为 B 商品数量），且\(a \geq 5\)。
为求最多购进 A 商品的数量，可假设将资金全部用于购买 A 商品（或 B 商品数量为 0），则\(20a \leq 500\)，解得\(a \leq 25\)。
但需满足实际情况，且\(a \geq 5\)，所以最多能购进 A 商品 25 件（此时 B 商品数量为 0）。
验证：当\(a = 25\)时，\(20 25 = 500\)元，符合资金不超过 500 元的条件，且\(25 \geq 5\)，所以最多能购进 A 商品 25 件。
例 2
某工厂计划生产一批零件，原计划每天生产 100 个，15 天完成。实际生产时改进了技术，每天生产的零件数量是原计划的 1.2 倍，结果提前完成了任务。问实际生产这批零件用了多少天？实际生产比原计划提前了多少天？（要求实际生产天数为整数）
解：
原计划生产的零件总数为\(100 15 = 1500\)个。
实际每天生产的零件数量为\(100 1.2 = 120\)个。
设实际生产这批零件用了\(x\)天，因为提前完成任务，所以实际生产天数小于原计划天数，即\(x < 15\)。
根据零件总数不变，得\(120x \geq 1500\)（需生产完所有零件），
解得\(x \geq 12.5\)。
因为\(x\)为整数，所以\(x = 13\)。
实际生产比原计划提前的天数为\(15 - 13 = 2\)天。
答：实际生产这批零件用了 13 天，实际生产比原计划提前了 2 天。
例 3
某中学为了丰富学生的课余生活，计划购买一批篮球和排球。若购买 2 个篮球和 3 个排球共需 310 元；购买 1 个篮球和 2 个排球共需 190 元。
（1）求篮球和排球的单价分别是多少元？
（2）学校准备用不超过 1000 元购买篮球和排球共 10 个，问最多能购买多少个篮球？
解：
（1）设篮球的单价为\(x\)元，排球的单价为\(y\)元。
根据题意，得\(\begin{cases}2x + 3y = 310 \\x + 2y = 190\end{cases}\)
由第二个方程得\(x = 190 - 2y\)，代入第一个方程，得\(2(190 - 2y) + 3y = 310\)，\(380 - 4y + 3y = 310\)，\(-y = -70\)，解得\(y = 70\)。
则\(x = 190 - 2 70 = 50\)。
所以篮球单价 50 元，排球单价 70 元。
（2）设购买篮球\(m\)个，则购买排球\((10 - m)\)个。
根据题意，得\(50m + 70(10 - m) \leq 1000\)，\(50m + 700 - 70m \leq 1000\)，\(-20m \leq 300\)，
两边除以\(-20\)（不等号方向改变），得\(m \geq -15\)。
又因为购买数量不能为负数，且\(m \leq 10\)（共买 10 个），同时要使篮球数量最多，所以\(m\)的最大值为 10。
验证：当\(m = 10\)时，购买排球 0 个，费用为\(50 10 = 500 \leq 1000\)，符合条件。
答：最多能购买 10 个篮球。
例 4
某单位要组织员工去某地旅游，甲旅行社说：“如果领队买一张全票，其余员工可享受半价优惠。” 乙旅行社说：“包括领队在内，全部按全票的 6 折优惠。” 已知两家旅行社的全票单价都是 200 元。
（1）设员工人数为\(x\)，分别用含\(x\)的式子表示两家旅行社的费用；
（2）当员工人数为多少时，选择甲旅行社更优惠？
解：
（1）甲旅行社的费用：领队全票 200 元，其余\(x\)名员工半价优惠，即\(200 + 200 0.5x = 200 + 100x\)元。
乙旅行社的费用：包括领队在内共\((x + 1)\)人，全部按全票 6 折优惠，即\(200 0.6(x + 1) = 120(x + 1) = 120x + 120\)元。
（2）要使选择甲旅行社更优惠，即甲旅行社费用小于乙旅行社费用，
得\(200 + 100x < 120x + 120\)，
移项，得\(200 - 120 < 120x - 100x\)，\(80 < 20x\)，
解得\(x > 4\)。
因为员工人数\(x\)为正整数，所以当员工人数大于 4 时，即员工人数为 5，6，7，… 时，选择甲旅行社更优惠。
答：当员工人数为 5 人及以上时，选择甲旅行社更优惠。
课堂总结
重点回顾
列一元一次不等式解决实际问题的步骤：审清题意、设未知数、列不等式、解不等式、检验并作答。
关键是准确找出题目中的不等关系，理解 “不超过”“不少于”“至少”“最多” 等关键词的含义，将文字语言转化为数学不等式。
在解不等式后，要结合实际问题的意义检验解集的合理性，例如人数、件数等应为非负整数，需在解集中筛选符合条件的解。
常见的实际问题类型包括购物预算问题、生产任务问题、方案选择问题等，解决这些问题的核心是建立不等关系模型。
知识拓展
在分析不等关系时，要注意题目中的隐含条件，例如购买商品的数量不能为负数，生产的产品数量应为整数等。
对于方案选择问题，通常需要列出多个不等式，或比较不同方案的费用 / 效益，选择最优方案。
解决实际问题时，可先通过列表、画图等方式梳理已知条件和未知量，帮助理清数量关系，更准确地列出不等式。
检验解集时，不仅要满足不等式，还要符合实际情境的限制，确保答案的合理性和实用性。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1. 应用一元一次方程解实际问题的步骤：
实际问题
找相等关系
设未知数
列出方程
检验解的合理性
解方程
2. 将下列生活中的不等关系翻译成数学语言：
(1) 超过；
(2) 至少；
(3) 最多.
＞
≥
≤
问题：小华打算在星期天与同学去登山，计划上午 7 点出发，到达山顶后休息 2 h，下午 4 点以前必须回到出发点. 如果他们去时的平均速度是 3 km/h，回来时的平均速度是 4 km/h，他们最远能登上哪座山顶(图中数字表示出发点到山顶的路程)？
一元一次不等式的应用
1
前面问题中涉及的数量关系是：
去时所花时间＋休息时间＋回来所花时间 ≤ 总时间.
解：设从出发点到山顶的距离为 x km，则他们去时所花时间为 h 回来所花时间为 h.
他们在山顶休息了 2 h，又上午 7 点到下午 4 点之间总共相隔 9 h，即所用时间应小于或等于 9 h.
所以有 ＋2＋ ≤ 9.
解得 x≤12.
因此要满足下午 4 点以前必须返回出发点，小华他们最远能登上 D 山顶.
设未知数
找出不等关系
仿照一元一次方程解决实际问题，可以得到运用一元一次不等式解决实际问题的步骤：
实际问题
解不等式
列不等式
结合实际问题
确定答案
总结归纳
例1 某童装店按每套 90 元的价格购进 40 套童装，应缴纳的税费为销售额的 10%. 如果要获得不低于 900 元的纯利润，每套童装的售价至少是多少元？
解：设每套童装的售价是 x 元.
则 40x－90×40－40x·10％≥900.
解得
x≥125.
答：每套童装的售价至少是 125 元.
分析： 本题涉及的数量关系是：
销售额－成本－税费≥纯利润(900元).
典例精析
例2 当一个人坐下时，不宜提举超过 4.5 kg 的重物，以免受伤. 小明坐在书桌前，桌上有两本各重 1.2 kg 的画册和一批每本重 0.4 kg 的记事本. 如果小明想坐着搬动这两本画册和一些记事本，问他最多只应搬动多少本记事本？
解：设小明最多只应搬动 x 本记事本，则
解得 x≤5.25.
1.2×2＋0.4x≤4.5.
答：小明最多只应搬动 5 本记事本.
因为记事本的数目必须是整数，所以 x 的最大值为 5.
分析: 本题涉及的数量关系是：
画册的总重+记事本的总重≤ 4.5 kg.
解：设人数为 x，买个人票需要 10x 元，买20人的团体票需要 20×10×80% 元，根据题意，得
10x > 20×10×80%. 解不等式，得 x > 16.
因为人数必须是小于 20 的整数，即 x<20.
因此，当人数是 17，18，19 时，买 20 人的团体票比买个人票要便宜.
例3 为拓宽农民增收致富渠道，某村依托自身油菜
种植业优势，举办油菜花节，其间进行民俗表演，表演收取门票，个人票每张 10 元，20 人以上(含 20 人)的团体票 8 折优惠. 在人数不足 20 人的情况下，何时买 20 人的团体票比买个人票要便宜
例4 甲、乙两超市以同样价格出售同样的商品，并且给出了不同的优惠方案：在甲超市累计购物超过 100 元后，超出 100 元的部分按 90% 收费；在乙超市累计购物超过50 元后，超出 50 元的部分按 95% 收费．顾客到哪家超市购物花费少？
分析:甲乙两超市的优惠价格不一样，因此需要分类讨论：
(1) 当购物不超过 50 元；
(2) 当购物超过 50 元而不超过 100 元；
(3) 当购物超过 100 元.
解：(1) 当购物不超过 50 元时，在甲、乙两超市都不享受优惠，购物花费一样；
(2) 当购物超过 50 元而不超过 100 元时，在乙超市享受优惠， 购物花费少；
(3) 当累计购物超过 100 元后，设购物花费 x (x > 100) 元.
① 若 50 + 0.95(x - 50) > 100 + 0.9(x - 100)，即 x > 150，
在甲超市购物花费少；
② 若 50 + 0.95(x - 50) < 100 + 0.9(x - 100)，即 x < 150，
在乙超市购物花费少；
③ 若 50 + 0.95(x - 50) = 100 + 0.9(x - 100)，即 x = 150，
在甲、乙两超市购物花费一样.
课本练习
1.学校准备用 2 000 元购买名著和字典，其中名著每套 65 元，字典每本 40 元. 现已购买名著 20 套，问最多还能买字典多少本
解：设还能买字典 x 本，
根据题意得：20×65 + 40x≤2000，
解得 x≤17
答：最多还能买字典 17 本.
2.甲步行的速度为 5 km/h，先走 30 min后，乙从甲的出发地沿相同路径追赶甲，乙步行的速度最快为 6 km/h，问乙至少需要多少时间才能赶上甲
解：设乙需要 x h才能赶上甲
由题意得：5( x + )≤6x，
解得 x≥2.5.
答：乙至少需要 2.5 h才能赶上甲.
1星题 基础练
解含分母的一元一次不等式
1.［知识初练］解不等式 .
去分母，得___________________，
去括号，得________________,
移项、合并同类项，得_________,
两边同时除以____,得______.
2.不等式 的解集是______.
3.将不等式 去分母时，不等式左、右两边同时
乘以的最小正整数是( )
D
A.5 B.6 C.12 D.30
4.[2024·六安月考] 在数轴上表示不等式 的解集，
正确的是( )
C
A. B.
C. D.
5.解不等式：
(1) ；
解：去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 .
(2) .
解：去分母,得 .
去括号,得 .
移项,得 .
合并同类项,得 .
系数化为1,得 .
6. [2024·杭州模拟] 小丁和小迪分别解不等式
的过程如下，
你认为他们的解法是否正确？若正确，请在框内( )处打
“√”；若一人错误，请指出错误之处.若你觉得两人的解法均
错误，请写出正确的解答过程.
小丁：( ) 解：去分母，得 . 去括号，得 . 移项，得 . 合并同类项，得 . 两边都除以7，得 . 小迪：( )
解：去分母，得
.
去括号，得
.
移项，得
.
合并同类项，得 .
两边都除以2，得 .
解：两人均错误.正确的解答过程如下：
去分母，得 .
去括号，得 .
移项，得 .
合并同类项，得 .
两边都除以7，得 .
2星题 中档练
7.[2024·滨州期末] 若不等式与不等式
的解集相同，则实数 的值为( )
A
A.20 B.24 C. D.
8.已知关于的不等式的解都是不等式 的解，
则 的取值范围是( )
A
A. B. C. D.
9.使不等式 成立的最小整数是___.
0
10.若关于的不等式的解集是，则 的
值为___.
5
由不等式得 ，然后根
据不等式的解集为即可求得 的值.
11.[2024·池州月考] 解不等式 ，把它的解集
在数轴上表示出来，并写出这个不等式的所有负整数解.
解：.去分母，得 .
去括号，得 .移项，得
.合并同类项，得 .系数化为1，
得 ．
将不等式的解集表示在数轴上，如答图.
由数轴可知该不等式的所有负整数解为， .
一元一次不等式的应用
实际问题
根据题意列不等式
↓
解一元一次不等式
→
→
根据实际问题找出符合条件的解集或整数解
↑
得出解决问题的答案
谢谢观看！
阿木提江·塔西吐木尔
托克逊县第一中学
13899326086
7.2.2一元一次不等式的应用
第7章 一元一次不等式与不等式组
新2024沪科版数学七年级下册【公开课精做课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
买合苏迪古丽·买买提
托克逊县第二中学
15909954880
7.2.2 一元一次不等式的应用
课程导入
知识回顾
上节课我们学习了一元一次不等式的解法，掌握了去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 等步骤，并且知道在系数化为 1 时，若系数为负数，不等号方向需要改变。
在现实生活中，我们经常会遇到需要通过数量关系比较大小、确定范围的问题，例如购物预算、生产限额、方案选择等。这些问题往往可以转化为一元一次不等式来解决，本节课我们就来学习如何运用一元一次不等式解决实际问题。
情境引入
问题：某学校计划购买一批篮球和足球，已知每个篮球的价格是 80 元，每个足球的价格是 60 元。学校准备用不超过 3000 元的资金购买，且篮球的数量不少于足球数量的 2 倍。设购买足球\(x\)个，那么购买篮球的数量应满足什么条件？如何通过不等式确定购买方案的范围？
要解决这类问题，需要先分析题目中的不等关系，再列出不等式并求解。
知识讲解
列一元一次不等式解决实际问题的步骤
审清题意：认真阅读题目，明确问题中的已知条件、未知量以及要解决的问题，找出题目中的不等关系（如 “不超过”“不少于”“至少”“最多” 等关键词）。
设未知数：根据问题设出适当的未知数，通常用字母\(x\)、\(y\)等表示未知量，要注明未知数的单位。
列不等式：根据题目中的不等关系，把文字语言转化为数学符号语言，列出一元一次不等式。
解不等式：按照一元一次不等式的解法步骤求出不等式的解集。
检验并作答：结合实际问题的意义，检验不等式的解集是否合理，是否符合实际情况，然后写出答案。
常见的不等关系关键词及对应符号
关键词
不等关系
对应符号
不超过、至多、最多
小于或等于
\(\leq\)
不少于、至少、最少
大于或等于
\(\geq\)
大于、多于、超过
大于
>
小于、少于、不足
小于
<
不等于
不等于
≠
例题分析
例 1
某商店准备购进 A、B 两种商品，已知购进 A 商品 3 件和 B 商品 2 件，共需 120 元；购进 A 商品 5 件和 B 商品 4 件，共需 220 元。
（1）求 A、B 两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）若商店准备用不超过 500 元购进这两种商品，且 A 商品数量不少于 5 件，问最多能购进 A 商品多少件？
解：
（1）设 A 商品每件进价为\(x\)元，B 商品每件进价为\(y\)元。
根据题意，得\(\begin{cases}3x + 2y = 120 \\5x + 4y = 220\end{cases}\)
解方程组，由第一个方程得\(2y = 120 - 3x\)，即\(y = 60 - 1.5x\)。
将\(y = 60 - 1.5x\)代入第二个方程，得\(5x + 4(60 - 1.5x)=220\)，\(5x + 240 - 6x = 220\)，\(-x = -20\)，解得\(x = 20\)。
则\(y = 60 - 1.5 20 = 30\)。
所以 A 商品每件进价 20 元，B 商品每件进价 30 元。
（2）设购进 A 商品\(a\)件，因为资金不超过 500 元，且 A 商品数量不少于 5 件，
则购买 B 商品的资金为\(500 - 20a\)元，购进 B 商品的数量为\(\frac{500 - 20a}{30}\)件（数量应为非负整数）。
根据题意，得\(20a + 30b \leq 500\)（\(b\)为 B 商品数量），且\(a \geq 5\)。
为求最多购进 A 商品的数量，可假设将资金全部用于购买 A 商品（或 B 商品数量为 0），则\(20a \leq 500\)，解得\(a \leq 25\)。
但需满足实际情况，且\(a \geq 5\)，所以最多能购进 A 商品 25 件（此时 B 商品数量为 0）。
验证：当\(a = 25\)时，\(20 25 = 500\)元，符合资金不超过 500 元的条件，且\(25 \geq 5\)，所以最多能购进 A 商品 25 件。
例 2
某工厂计划生产一批零件，原计划每天生产 100 个，15 天完成。实际生产时改进了技术，每天生产的零件数量是原计划的 1.2 倍，结果提前完成了任务。问实际生产这批零件用了多少天？实际生产比原计划提前了多少天？（要求实际生产天数为整数）
解：
原计划生产的零件总数为\(100 15 = 1500\)个。
实际每天生产的零件数量为\(100 1.2 = 120\)个。
设实际生产这批零件用了\(x\)天，因为提前完成任务，所以实际生产天数小于原计划天数，即\(x < 15\)。
根据零件总数不变，得\(120x \geq 1500\)（需生产完所有零件），
解得\(x \geq 12.5\)。
因为\(x\)为整数，所以\(x = 13\)。
实际生产比原计划提前的天数为\(15 - 13 = 2\)天。
答：实际生产这批零件用了 13 天，实际生产比原计划提前了 2 天。
例 3
某中学为了丰富学生的课余生活，计划购买一批篮球和排球。若购买 2 个篮球和 3 个排球共需 310 元；购买 1 个篮球和 2 个排球共需 190 元。
（1）求篮球和排球的单价分别是多少元？
（2）学校准备用不超过 1000 元购买篮球和排球共 10 个，问最多能购买多少个篮球？
解：
（1）设篮球的单价为\(x\)元，排球的单价为\(y\)元。
根据题意，得\(\begin{cases}2x + 3y = 310 \\x + 2y = 190\end{cases}\)
由第二个方程得\(x = 190 - 2y\)，代入第一个方程，得\(2(190 - 2y) + 3y = 310\)，\(380 - 4y + 3y = 310\)，\(-y = -70\)，解得\(y = 70\)。
则\(x = 190 - 2 70 = 50\)。
所以篮球单价 50 元，排球单价 70 元。
（2）设购买篮球\(m\)个，则购买排球\((10 - m)\)个。
根据题意，得\(50m + 70(10 - m) \leq 1000\)，\(50m + 700 - 70m \leq 1000\)，\(-20m \leq 300\)，
两边除以\(-20\)（不等号方向改变），得\(m \geq -15\)。
又因为购买数量不能为负数，且\(m \leq 10\)（共买 10 个），同时要使篮球数量最多，所以\(m\)的最大值为 10。
验证：当\(m = 10\)时，购买排球 0 个，费用为\(50 10 = 500 \leq 1000\)，符合条件。
答：最多能购买 10 个篮球。
例 4
某单位要组织员工去某地旅游，甲旅行社说：“如果领队买一张全票，其余员工可享受半价优惠。” 乙旅行社说：“包括领队在内，全部按全票的 6 折优惠。” 已知两家旅行社的全票单价都是 200 元。
（1）设员工人数为\(x\)，分别用含\(x\)的式子表示两家旅行社的费用；
（2）当员工人数为多少时，选择甲旅行社更优惠？
解：
（1）甲旅行社的费用：领队全票 200 元，其余\(x\)名员工半价优惠，即\(200 + 200 0.5x = 200 + 100x\)元。
乙旅行社的费用：包括领队在内共\((x + 1)\)人，全部按全票 6 折优惠，即\(200 0.6(x + 1) = 120(x + 1) = 120x + 120\)元。
（2）要使选择甲旅行社更优惠，即甲旅行社费用小于乙旅行社费用，
得\(200 + 100x < 120x + 120\)，
移项，得\(200 - 120 < 120x - 100x\)，\(80 < 20x\)，
解得\(x > 4\)。
因为员工人数\(x\)为正整数，所以当员工人数大于 4 时，即员工人数为 5，6，7，… 时，选择甲旅行社更优惠。
答：当员工人数为 5 人及以上时，选择甲旅行社更优惠。
课堂总结
重点回顾
列一元一次不等式解决实际问题的步骤：审清题意、设未知数、列不等式、解不等式、检验并作答。
关键是准确找出题目中的不等关系，理解 “不超过”“不少于”“至少”“最多” 等关键词的含义，将文字语言转化为数学不等式。
在解不等式后，要结合实际问题的意义检验解集的合理性，例如人数、件数等应为非负整数，需在解集中筛选符合条件的解。
常见的实际问题类型包括购物预算问题、生产任务问题、方案选择问题等，解决这些问题的核心是建立不等关系模型。
知识拓展
在分析不等关系时，要注意题目中的隐含条件，例如购买商品的数量不能为负数，生产的产品数量应为整数等。
对于方案选择问题，通常需要列出多个不等式，或比较不同方案的费用 / 效益，选择最优方案。
解决实际问题时，可先通过列表、画图等方式梳理已知条件和未知量，帮助理清数量关系，更准确地列出不等式。
检验解集时，不仅要满足不等式，还要符合实际情境的限制，确保答案的合理性和实用性。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1. 应用一元一次方程解实际问题的步骤：
实际问题
找相等关系
设未知数
列出方程
检验解的合理性
解方程
2. 将下列生活中的不等关系翻译成数学语言：
(1) 超过；
(2) 至少；
(3) 最多.
＞
≥
≤
问题：小华打算在星期天与同学去登山，计划上午 7 点出发，到达山顶后休息 2 h，下午 4 点以前必须回到出发点. 如果他们去时的平均速度是 3 km/h，回来时的平均速度是 4 km/h，他们最远能登上哪座山顶(图中数字表示出发点到山顶的路程)？
一元一次不等式的应用
1
前面问题中涉及的数量关系是：
去时所花时间＋休息时间＋回来所花时间 ≤ 总时间.
解：设从出发点到山顶的距离为 x km，则他们去时所花时间为 h 回来所花时间为 h.
他们在山顶休息了 2 h，又上午 7 点到下午 4 点之间总共相隔 9 h，即所用时间应小于或等于 9 h.
所以有 ＋2＋ ≤ 9.
解得 x≤12.
因此要满足下午 4 点以前必须返回出发点，小华他们最远能登上 D 山顶.
设未知数
找出不等关系
仿照一元一次方程解决实际问题，可以得到运用一元一次不等式解决实际问题的步骤：
实际问题
解不等式
列不等式
结合实际问题
确定答案
总结归纳
例1 某童装店按每套 90 元的价格购进 40 套童装，应缴纳的税费为销售额的 10%. 如果要获得不低于 900 元的纯利润，每套童装的售价至少是多少元？
解：设每套童装的售价是 x 元.
则 40x－90×40－40x·10％≥900.
解得
x≥125.
答：每套童装的售价至少是 125 元.
分析： 本题涉及的数量关系是：
销售额－成本－税费≥纯利润(900元).
典例精析
例2 当一个人坐下时，不宜提举超过 4.5 kg 的重物，以免受伤. 小明坐在书桌前，桌上有两本各重 1.2 kg 的画册和一批每本重 0.4 kg 的记事本. 如果小明想坐着搬动这两本画册和一些记事本，问他最多只应搬动多少本记事本？
解：设小明最多只应搬动 x 本记事本，则
解得 x≤5.25.
1.2×2＋0.4x≤4.5.
答：小明最多只应搬动 5 本记事本.
因为记事本的数目必须是整数，所以 x 的最大值为 5.
分析: 本题涉及的数量关系是：
画册的总重+记事本的总重≤ 4.5 kg.
解：设人数为 x，买个人票需要 10x 元，买20人的团体票需要 20×10×80% 元，根据题意，得
10x > 20×10×80%. 解不等式，得 x > 16.
因为人数必须是小于 20 的整数，即 x<20.
因此，当人数是 17，18，19 时，买 20 人的团体票比买个人票要便宜.
例3 为拓宽农民增收致富渠道，某村依托自身油菜
种植业优势，举办油菜花节，其间进行民俗表演，表演收取门票，个人票每张 10 元，20 人以上(含 20 人)的团体票 8 折优惠. 在人数不足 20 人的情况下，何时买 20 人的团体票比买个人票要便宜
例4 甲、乙两超市以同样价格出售同样的商品，并且给出了不同的优惠方案：在甲超市累计购物超过 100 元后，超出 100 元的部分按 90% 收费；在乙超市累计购物超过50 元后，超出 50 元的部分按 95% 收费．顾客到哪家超市购物花费少？
分析:甲乙两超市的优惠价格不一样，因此需要分类讨论：
(1) 当购物不超过 50 元；
(2) 当购物超过 50 元而不超过 100 元；
(3) 当购物超过 100 元.
解：(1) 当购物不超过 50 元时，在甲、乙两超市都不享受优惠，购物花费一样；
(2) 当购物超过 50 元而不超过 100 元时，在乙超市享受优惠， 购物花费少；
(3) 当累计购物超过 100 元后，设购物花费 x (x > 100) 元.
① 若 50 + 0.95(x - 50) > 100 + 0.9(x - 100)，即 x > 150，
在甲超市购物花费少；
② 若 50 + 0.95(x - 50) < 100 + 0.9(x - 100)，即 x < 150，
在乙超市购物花费少；
③ 若 50 + 0.95(x - 50) = 100 + 0.9(x - 100)，即 x = 150，
在甲、乙两超市购物花费一样.
课本练习
1.学校准备用 2 000 元购买名著和字典，其中名著每套 65 元，字典每本 40 元. 现已购买名著 20 套，问最多还能买字典多少本
解：设还能买字典 x 本，
根据题意得：20×65 + 40x≤2000，
解得 x≤17
答：最多还能买字典 17 本.
2.甲步行的速度为 5 km/h，先走 30 min后，乙从甲的出发地沿相同路径追赶甲，乙步行的速度最快为 6 km/h，问乙至少需要多少时间才能赶上甲
解：设乙需要 x h才能赶上甲
由题意得：5( x + )≤6x，
解得 x≥2.5.
答：乙至少需要 2.5 h才能赶上甲.
1星题 基础练
解含分母的一元一次不等式
1.［知识初练］解不等式 .
去分母，得___________________，
去括号，得________________,
移项、合并同类项，得_________,
两边同时除以____,得______.
2.不等式 的解集是______.
3.将不等式 去分母时，不等式左、右两边同时
乘以的最小正整数是( )
D
A.5 B.6 C.12 D.30
4.[2024·六安月考] 在数轴上表示不等式 的解集，
正确的是( )
C
A. B.
C. D.
5.解不等式：
(1) ；
解：去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 .
(2) .
解：去分母,得 .
去括号,得 .
移项,得 .
合并同类项,得 .
系数化为1,得 .
6. [2024·杭州模拟] 小丁和小迪分别解不等式
的过程如下，
你认为他们的解法是否正确？若正确，请在框内( )处打
“√”；若一人错误，请指出错误之处.若你觉得两人的解法均
错误，请写出正确的解答过程.
小丁：( ) 解：去分母，得 . 去括号，得 . 移项，得 . 合并同类项，得 . 两边都除以7，得 . 小迪：( )
解：去分母，得
.
去括号，得
.
移项，得
.
合并同类项，得 .
两边都除以2，得 .
解：两人均错误.正确的解答过程如下：
去分母，得 .
去括号，得 .
移项，得 .
合并同类项，得 .
两边都除以7，得 .
2星题 中档练
7.[2024·滨州期末] 若不等式与不等式
的解集相同，则实数 的值为( )
A
A.20 B.24 C. D.
8.已知关于的不等式的解都是不等式 的解，
则 的取值范围是( )
A
A. B. C. D.
9.使不等式 成立的最小整数是___.
0
10.若关于的不等式的解集是，则 的
值为___.
5
由不等式得 ，然后根
据不等式的解集为即可求得 的值.
11.[2024·池州月考] 解不等式 ，把它的解集
在数轴上表示出来，并写出这个不等式的所有负整数解.
解：.去分母，得 .
去括号，得 .移项，得
.合并同类项，得 .系数化为1，
得 ．
将不等式的解集表示在数轴上，如答图.
由数轴可知该不等式的所有负整数解为， .
一元一次不等式的应用
实际问题
根据题意列不等式
↓
解一元一次不等式
→
→
根据实际问题找出符合条件的解集或整数解
↑
得出解决问题的答案
谢谢观看！
阿木提江·塔西吐木尔
托克逊县第一中学
13899326086