8.2.2 单项式乘以多项式 课件（共26张PPT））--2025-2026学年2024新沪科版数学七年级下册

8.2.2 单项式乘以多项式
第8章 整式乘法与因式分解
新2024沪科版数学七年级下册【公开课精做课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
买合苏迪古丽·买买提
托克逊县第二中学
15909954880
幻灯片 1：封面
课程名称：8.2.2 单项式乘以多项式
学科：数学
年级：七年级
教师姓名：[您的姓名]
幻灯片 2：教学目标
理解单项式乘以多项式的运算法则，明确法则的推导依据。
能够熟练运用单项式乘以多项式的法则进行计算，解决相关实际问题。
感受数学知识之间的内在联系，培养转化思想和运算能力。
幻灯片 3：教学重难点
重点：掌握单项式乘以多项式的运算法则并能准确应用。
难点：理解单项式乘以多项式法则的推导过程，处理好各项的符号问题。
幻灯片 4：复习回顾
单项式的定义：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。
多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式。
单项式乘以单项式法则：把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
乘法分配律：\(m(a + b + c) = ma + mb + mc\)。
小练习：计算\(3x·2x^2\)，\((-2a)·(-5b)\)，复习单项式乘法知识。
幻灯片 5：情境导入
问题：一个长方形的操场，长为\((a + b + c)\)，宽为\(m\)，这个操场的面积是多少？
引导学生从不同角度列式：
方法一：长方形面积 = 长 × 宽 = \(m(a + b + c)\)。
方法二：可将操场看作三个小长方形，面积分别为\(ma\)、\(mb\)、\(mc\)，总面积为\(ma + mb + mc\)。
提问：\(m(a + b + c)\)与\(ma + mb + mc\)有什么关系？引出本节课课题。
幻灯片 6：探究单项式乘以多项式法则
根据乘法分配律计算下列各式：
（1）\(2(a + b)\)
解：\(2(a + b) = 2×a + 2×b = 2a + 2b\)
（2）\(m(x + y + z)\)
解：\(m(x + y + z) = m×x + m×y + m×z = mx + my + mz\)
（3）\(3x(2x + 1)\)
解：\(3x(2x + 1) = 3x×2x + 3x×1 = 6x^2 + 3x\)（结合单项式乘以单项式法则）
（4）\(-2a(3a^2 - 5b)\)
解：\(-2a(3a^2 - 5b) = -2a×3a^2 + (-2a)×(-5b) = -6a^3 + 10ab\)
组织学生讨论，总结单项式乘以多项式的计算方法。
幻灯片 7：单项式乘以多项式法则
法则内容：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
字母表示：\(m(a + b + c) = ma + mb + mc\)（\(m\)，\(a\)，\(b\)，\(c\)均为单项式）。
法则解析：
转化思想：将单项式乘以多项式转化为单项式乘以单项式。
步骤分解：先分配再相乘，最后求和。
符号处理：多项式的每一项都包括它前面的符号，相乘时要注意符号的运算。
幻灯片 8：例 1 - 单项式乘以多项式计算
（1）计算\(2x(3x^2 + 4x - 5)\)
解：\(2x(3x^2 + 4x - 5) = 2x×3x^2 + 2x×4x + 2x×(-5) = 6x^3 + 8x^2 - 10x\)
（2）计算\(-3a^2(2a - b + 1)\)
解：\(-3a^2(2a - b + 1) = -3a^2×2a + (-3a^2)×(-b) + (-3a^2)×1 = -6a^3 + 3a^2b - 3a^2\)
（3）计算\((x^2y)(-2xy + 3xy^2 - 1)\)
解：\((x^2y)(-2xy + 3xy^2 - 1) = x^2y×(-2xy) + x^2y×3xy^2 + x^2y×(-1) = -2x^3y^2 + 3x^3y^3 - x^2y\)
幻灯片 9：例 2 - 含乘方的单项式乘以多项式
计算\((-2x)^2(3x^2 - 2x + 1) - 3x(x^3 - 2x^2)\)
解：
第一步：先算乘方：\((-2x)^2 = 4x^2\)
第二步：分别计算单项式乘以多项式：
\(4x^2(3x^2 - 2x + 1) = 4x^2×3x^2 + 4x^2×(-2x) + 4x^2×1 = 12x^4 - 8x^3 + 4x^2\)
\(3x(x^3 - 2x^2) = 3x×x^3 + 3x×(-2x^2) = 3x^4 - 6x^3\)
第三步：去括号并合并同类项：
\(12x^4 - 8x^3 + 4x^2 - (3x^4 - 6x^3) = 12x^4 - 8x^3 + 4x^2 - 3x^4 + 6x^3 = 9x^4 - 2x^3 + 4x^2\)
幻灯片 10：易错点辨析
判断对错并改正：
（1）\(2x(3x - 1) = 6x^2 - 1\) (×)，改正：\(2x(3x - 1) = 6x^2 - 2x\)（漏乘多项式的第二项）
（2）\(-3a(2a + b) = -6a^2 + 3ab\) (×)，改正：\(-3a(2a + b) = -6a^2 - 3ab\)（符号处理错误）
（3）\(x^2(2x^3 - x + 1) = 2x^5 - x^3\) (×)，改正：\(x^2(2x^3 - x + 1) = 2x^5 - x^3 + x^2\)（漏乘多项式的第三项）
（4）\(2a(3a^2 - 2b) = 5a^3 - 4ab\) (×)，改正：\(2a(3a^2 - 2b) = 6a^3 - 4ab\)（系数相乘错误）
幻灯片 11：课堂练习
（1）计算\(5a(2a^2 - 3a + 4)\)
解：\(5a(2a^2 - 3a + 4) = 5a×2a^2 + 5a×(-3a) + 5a×4 = 10a^3 - 15a^2 + 20a\)
（2）计算\(-2xy(3x^2y - xy^2 + 2)\)
解：\(-2xy(3x^2y - xy^2 + 2) = -2xy×3x^2y + (-2xy)×(-xy^2) + (-2xy)×2 = -6x^3y^2 + 2x^2y^3 - 4xy\)
（3）计算\(3x^2(2x - 5) - x(x^2 - 7x)\)
解：\(3x^2(2x - 5) - x(x^2 - 7x) = 6x^3 - 15x^2 - x^3 + 7x^2 = 5x^3 - 8x^2\)
幻灯片 12：实际应用问题
问题：一个三角形的底边长为\((2x + 3y)\)，这条底边上的高为\(4x\)，求这个三角形的面积。
解：
三角形面积 = \(\frac{1}{2}×\)底 × 高 = \(\frac{1}{2}×(2x + 3y)×4x\)
计算：\(\frac{1}{2}×4x×(2x + 3y) = 2x(2x + 3y) = 2x×2x + 2x×3y = 4x^2 + 6xy\)
答：这个三角形的面积为\(4x^2 + 6xy\)。
幻灯片 13：课堂小结
单项式乘以多项式法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即\(m(a + b + c) = ma + mb + mc\)。
运算步骤：
运用乘法分配律，将单项式与多项式的每一项相乘；
按照单项式乘以单项式的法则计算每一组乘积；
将所得的积相加（注意合并同类项，若有同类项）。
注意事项：不要漏乘多项式的任何一项，注意各项的符号运算，结果要化为最简形式。
幻灯片 14：布置作业
教材第 85 页习题 A 组第 1，2，4 题。
思考题：已知一个多项式与单项式\(-2x\)的积为\(-8x^3 + 10x^2 - 2x\)，求这个多项式。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1.能根据乘法分配律和单项式与单项式相乘的法则，
探究单项式与多项式相乘的法则；
2.掌握单项式与多项式相乘的法则并会运用.（重难点）.
学习目标
单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘,作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。
问题 同学们还记得单项式的乘法法则吗？
问 题 一个施工队修筑一条路面宽为 n m的公路，第一天修筑 a m 长,第二天修筑 b m 长，第三天修筑 c m 长，3 天共修筑路面的面积是多少?
单项式乘多项式
1
n
a
第一天
第二天
第三天
b
c
na
nb
nc
a + b + c
（单位：m）
方法一 3 天共修筑路面的总长为 (a + b + c) m，因为路面的宽为 n m，所以 3 天共修筑路面 _________m2.
n(a+b+c)
n
a
第一天
第二天
第三天
b
c
na
nb
nc
a + b + c
方法二 先分别计算每天修筑路面的面积，然后相加，则 3 天共修筑路面 ____________ m2.
na + nb + nc
因此，有
n( a + b + c)
na + nb + nc
=
n
a
第一天
第二天
第三天
b
c
na
nb
nc
a + b + c
单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加.
单项式与多项式的乘法法则:
本质是运用分配律，把单项式与多项式相乘转化为单项式与单项式相乘.
反思与提升：
要点归纳
b
n
a
c
试一试
计算：2a2 · (3a2－5b).
解：原式 = 2a2·3a2 + 2a2· (－5b)
= 6a4－10a2b.
方法总结：根据乘法分配律，将单项式乘多项式的每一项，然后求和．
单项式与多项式相乘
2
例1 计算：
(1) (-2x)(x2 - x + 1)； (2) a(a2 + a) - a2(a - 2).
典例精析
解： (1) (-2x)(x2-x+1)

(2) a(a2 + a) - a2(a - 2)

= -2x3 + 2x2 - 2x
= (-2x)·x2 + (-2x)·(-x)+(-2x)·1
= 3a2
= a3 + a2 - a3+2a2
= a·a2 + a·a - a2·a + 2a2
例2 一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽 a 米，
下底宽 (a＋2b) 米，坝高 a 米．
(1) 求这条防洪堤坝的横断面面积；
解： [ a＋(a＋2b) ]× a
＝ a (2a＋2b)
＝ a2＋ ab (平方米).
故这条防洪堤坝的横断面面积为 ( a2＋ ab) 平方米.
(2) 如果这条防洪堤坝长 100 米，那么这条防洪堤坝的体积是多少立方米？
解： ( a2＋ ab)×100＝50a2＋50ab (立方米)．
故这条防洪堤坝的体积为 (50a2＋50ab) 立方米．
例3 先化简，再求值：
5a(2a2－5a＋3)－2a2(5a＋5)＋7a2，其中 a＝2.
解：5a(2a2－5a＋3)－2a2(5a＋5)＋7a2
＝10a3－25a2＋15a－10a3－10a2＋7a2
＝－28a2＋15a，
当 a＝2 时，原式＝－82.
方法总结：在计算时要注意先化简然后再代值计算．
整式的加减运算实际上就是去括号与合并同类项．
1. 计算：(1) 5x · (3x + 4)；
(3) x(x2 + 3) + x2(x - 3) - 3x(x2 - x - 1)；
(4) (-a) · (-2ab) + 3a ·(ab - 13b - 1).
?
(2) (5a2 - 43a + 1)(-3a)；
?
解：(1) 5x · (3x + 4) = 15x2 + 20x.
(2) (5a2 - 43 a + 1)(-3a) = -15a3 + 4a2 - 3a.
?
(3) x(x2 + 3) + x2(x - 3) - 3x(x2 - x - 1)= -x3 + 6x.
(4) (-a) · (-2ab) + 3a ·(ab - 13b - 1)= 5a2b - ab - 3a.
?
2. 如图，某长方体的长为 a + 1，宽为 a，高为 3，问这个长方体的体积是多少?
a +1
a
3
解：由题，V = 3(a + 1)?a
?
= 3a2 + 3a.
分析：长方形体积=长×宽×高
3. 在 x(c + d) = xc + xd 中，如果将 x 换为 (a + b) 如何计算(a + b)(c + d ) ? 写出你的思考过程.
将 (a + b) 当作一个整体
则有 (a + b)(c + d )
= (a + b)c + (a + b) d
= ac+ bc + ad + bd
对于一些较复杂的式子，可以将某一个部分当作一个整体来化简较为方便
整体思想
1星题 基础练
单项式与多项式的乘法法则
1.［知识初练］????(?????????????)=?????????????+________= _______.
?
?????(?????)
?
?????????????
?
2.??????????(?????????????????????????+????)=?????????????????+????????????????????+ ____,横线上应
填写( )
?
B
A.???????? B.(?????????) C.(?????) D.1
?
3.[2024·淮南月考] 计算：?????????????(?????????????????????)= _____________
______.
?
?????????????????????+????????????????
?
4.计算：
(1)????????(??????????????????????) ；
?
解：原式=?????????????????????????????????? .
?
(2)(????+?????????????????)?(?????????????) .
?
解：原式=??????????????????????????????????+????????????????????.
?
单项式与多项式的乘法法则的应用
5. 剪纸是中国特有的民间艺
术，春节临近，如图是王奶奶剪出的
一幅长方形剪纸，这幅剪纸的一边长
为????????????? ，与其相邻的另一边长为
?
(?????????????????????)
?
(?????????????)????????，则这幅剪纸的面积为___________???????????? .
?
6. ［数形结合思想］通过计算几何图形的
面积可表示一些代数恒等式，如图可表示
的代数恒等式是______________________.
????????(????+????)=????????????+????????????
?
2星题 中档练
7.现规定一种新的运算，?????????=????????+??????????????，其中????，????
为实数，那么?????????+(?????????)????? 等于( )
?
A
A.?????????????????? B.????????????? C.???????? D.??????????????????
?
8.[2024·菏泽期中] 某同学在计算一个多项式乘???????????? 时，因抄
错运算符号，算成了加上????????????，得到的结果是????????????+????????????? ，
那么正确的计算结果是( )
?
A
A.?????????????+????????????????????????? B.????????????+?????????????????????????
C.?????????????+????????????????????? D.??????????????????????????????????????
?
9.[2024·滁州期中] 先化简，再求值：
????????????(????????+?????????????)?????(??????????????????????????)，其中????=???? .
?
解：
????????????(????????+?????????????)?????(??????????????????????????)=????????????+??????????????????????????(??????????????????????????????)=????????????+??????????????????????????????????????+????????+????????=?????????????????????．当????=????时，原式=????×?????????????????=???????? ．
?
10. 已知(?????????)?????(??????????????????????????)?????????????+????????中不含????
的三次项，求???? 的值.
?
解：原式=?????????????(??????????????????????????)?????????????+????????=???????????????????????????????????????????????????????????????+????????=????????????????+(??????????????)????????????????????????? .
因为多项式中不含???? 的三次项，
所以??????????????=????，解得????=????????? .
?
整式的乘法
单项式乘多项式
实质上是转化为单项式×单项式
注意
(1) 计算时，要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，单项式分别与多项式的每一项相乘时，同号相乘得正，异号相乘得负；
(2) 不要出现漏乘现象；
(3) 运算要有顺序：先乘方，再乘除，最后加减；
(4) 对于混合运算，最后应合并同类项
谢谢观看！
阿木提江·塔西吐木尔
托克逊县第一中学
13899326086